6.2-矩陣(部編)課件

6.2矩陣6.2.1矩陣的概念及其基本運(yùn)算例6.2.2

由m個(gè)方程組成的n元線性方程組未知元的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來的位置也可以排成一張數(shù)表它是一個(gè)矩陣，這個(gè)矩陣可以明確地把線性方程組的特征表示出來。排成一個(gè)并用方括號(hào)（或圓括號(hào)）括起來的數(shù)表稱為簡稱矩陣，其中稱為矩陣的第元素記作幾種特殊矩陣：（1）當(dāng)時(shí)，稱矩陣

為階方陣，簡稱方陣；（2）形如（含主對(duì)角線）的元素不全為零，其它元素都為零）（即主對(duì)角線上方的n階方陣稱為上三角矩陣；（3）形如的n階方陣稱為下三角矩陣。上三角矩陣、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣．（4）形如的n階方陣稱為對(duì)角矩陣，我們常把對(duì)角矩陣記作（5）主對(duì)角線上元素是1，其余元素全部是零的n階方陣稱為n階單位矩陣，記作En或E；（6）當(dāng)m=1時(shí)，只有一行稱之為行矩陣，因?yàn)樗且挥行驍?shù)組，故又稱為行向量；（7）當(dāng)n=1時(shí)，矩陣只有一列稱之為列矩陣，也稱為列向量.（8）當(dāng)時(shí)，稱之為零矩陣，一般記為。以后將會(huì)發(fā)現(xiàn)，零矩陣在矩陣運(yùn)算中的作用相似于數(shù)中的“0”。2．矩陣的基本運(yùn)算（1）矩陣相等如果兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相同，而且各對(duì)應(yīng)元素相等,即（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n），則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B。

如a11=1,a12=0,a13=9,a21=-3,a22=1,a23=-3。(2)矩陣的加法設(shè)

A=（aij），B=（bij）是兩個(gè)m×n矩陣，規(guī)定：即矩陣A+B的元素為A與B相對(duì)應(yīng)的元素之和。稱矩陣A+B為A與B的和。矩陣的減法運(yùn)算.稱矩陣A—B為A與B的差．注意：只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個(gè)矩陣，才能作加減法運(yùn)算．（3）矩陣的數(shù)乘設(shè)k是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，矩陣規(guī)定：稱該矩陣為數(shù)k與矩陣A的數(shù)量乘積，或稱之為矩陣的數(shù)乘。例6.2.4

設(shè)兩個(gè)3×2矩陣A，B為，求5A-4B。

解先做矩陣的數(shù)乘運(yùn)算5A和4B，然后求矩陣5A和4B的差，因?yàn)樗岳?.2.5

已知矩陣且A+2X=B，求矩陣X.解由A+2X=B，得（4）矩陣的乘法一般的，設(shè)A是一個(gè)m×s矩陣，B是一個(gè)s×n矩陣，即規(guī)定A與B的乘積是一個(gè)m×s矩陣，其中例6.2.7

設(shè)矩陣求AB與BA。解：例6.2.8設(shè)矩陣求AC和BC.解

注：不能從AC=BC中消去矩陣C而得到A=B。（5）矩陣的轉(zhuǎn)置將一個(gè)m×n矩陣的各行換成同序數(shù)的列（或者將各列換成同序數(shù)的行）所得到的n×m矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為（或），即例6.2.9

已知解法一

解法二

（6）對(duì)稱矩陣如果矩陣A=(aij)滿足：A=

，即它的第i行第j列的元素與第j行第i列的元素相同，即aij=aji（i，j=1,2,…,n），則稱A是對(duì)稱矩陣。顯然，對(duì)稱矩陣一定是方陣.例如矩陣就是一個(gè)四階對(duì)稱矩陣。6.2.2逆矩陣1.逆矩陣的概念與性質(zhì)設(shè)有n

階方陣A，若存在n階方陣B，滿足則稱B為A的逆矩陣（也稱矩陣A是可逆的），記為即逆矩陣的性質(zhì)：性質(zhì)1

若存在，則必唯一。性質(zhì)2若A可逆，則也可逆，且性質(zhì)3

若A可逆，則可逆，且性質(zhì)4若同階方陣A、B都可逆，則AB也可逆，且推廣：2．利用伴隨矩陣求逆矩陣由n階方陣的行列式中元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的n階方陣的轉(zhuǎn)置矩陣，稱為A的伴隨矩陣，記作，而類似的，也成立。因?yàn)楣视袕亩?.2.10

判斷下列方陣是否可逆?若可逆，求其逆陣。解因?yàn)樗訟可逆。于是而所以B不可逆。所以B不可逆。例6.2.11

求解矩陣方程組中的未知矩陣X，其中分析：若存在，則用分別同時(shí)左乘等式的兩端，可得：即得矩陣方程的解由例6.2.10已解出則6.2.3矩陣的初等行變換1.矩陣的初等行變換矩陣經(jīng)過了如下三種變換：（1）互換變換：對(duì)換矩陣的兩行，常用表示第i行和第j行的互換；（2）倍乘變換：用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行；常用表示數(shù)k乘矩陣第I行；（3）倍加變換：將矩陣某一行的k倍加到另一行上，常用表示第i行的k倍加到第j行。稱矩陣的上述三種變換為矩陣的初等行變換。2．利用初等行變換求逆矩陣線性方程組有唯一解，此時(shí)，從矩陣的初等行變換的角度看，用消元法求解線性方程組的過程，可表示為例6.2.12

設(shè)用初等變換法求解

所以例6.2.13

解矩陣方程AX=B，其中解：所以3．利用初等行變換求矩陣的秩設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，在A中位于任意選定k行k列交點(diǎn)上的

個(gè)元素，按原來的相對(duì)位置組成的k階行列式，稱為A的一個(gè)k階子式，其中k≤min(m,n).矩陣它的第一、二、三行與第一、二、四列交點(diǎn)上的9個(gè)元素按原來次序組成的三階行列式是A的一個(gè)三階子式。它的第一、二、三、四行與第二、三、四、五列交點(diǎn)上的16個(gè)元素按原來次序組成的三階行列式就是A的一個(gè)四階子式。一般的，我們稱矩陣A中非零的最高階子式的階數(shù)稱為矩陣的秩，記為R(A)=r。A的秩就為R(A)=3。顯然，零矩陣O的秩為零，即R(O)=0若A是n階方陣，且R(A)=