第16講 圓的方程7種常見考法歸類解析版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第16講圓的方程7種常見考法歸類回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.知識點1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．2．圓的要素：是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。鐖D所示．3．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.當(dāng)a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓．注：（1）圓的方程的推導(dǎo)：設(shè)圓上任一點M(x，y)，則|MA|＝r，由兩點間的距離公式，得eq\r(x－a2＋y－b2)＝r，化簡可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)當(dāng)圓心在原點即A(0,0)，半徑長r＝1時，方程為x2＋y2＝1，稱為單位圓．(3)相同的圓，建立坐標(biāo)系不同時，圓心坐標(biāo)不同，導(dǎo)致圓的方程不同，但是半徑是不變的．(4)圓上的點都滿足方程，滿足方程的點都在圓上．知識點2點與圓的位置關(guān)系(1)根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷：d＞r?點在圓外；d＝r?點在圓上；d＜r?點在圓內(nèi)．(2)根據(jù)點M(x0，y0)的坐標(biāo)與圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關(guān)系判斷：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點在圓外；(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上；(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點在圓內(nèi)．知識點3圓的一般方程1．圓的一般方程的概念當(dāng)D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．注：將方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓．當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).2．圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑長為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).注：圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，其方程是一種特殊的二元二次方程，圓心和半徑長需要代數(shù)運算才能得出，且圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F(xiàn)為常數(shù))具有以下特點：(1)x2，y2項的系數(shù)均為1；(2)沒有xy項；(3)D2＋E2－4F＞0.3．常見圓的方程的設(shè)法標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0過原點(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圓心在x軸上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圓心在y軸上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0與x軸相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0與y軸相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝04.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))5.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.知識點4圓的軌跡問題軌跡和軌跡方程區(qū)別：軌跡是指點在運動變化中形成的圖形，比如直線、圓等．軌跡方程是點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式．1、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑．常用到中點坐標(biāo)公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．一般地，在解決有關(guān)圓的問題時，有時利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡捷．2、判斷點與圓的位置關(guān)系的方法(1)確定圓的方程：化為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)將點的坐標(biāo)代入代數(shù)式(x－a)2＋(y－b)2，比較代數(shù)式的值與r2的大小關(guān)系．(3)下結(jié)論：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示點在圓上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示點在圓外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示點在圓內(nèi)．此外，也可以利用點與圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷．當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＝r時，點在圓上；當(dāng)d<r時，點在圓內(nèi)．3、圓的一般方程辨析判斷二元二次方程與圓的關(guān)系時，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓．此時有兩種途徑：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方變形，看方程等號右端是否為大于零的常數(shù)．4、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓5、利用待定系數(shù)法求圓的方程的解題策略(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).6、求與圓有關(guān)的軌跡問題的方程(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等．7、用代入法求軌跡方程的一般方法8、圓上的點到定點的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;①若點在外，則;②若點在上，則;③若點在內(nèi)，則;9、與圓有關(guān)的最值問題常見的幾種類型(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)截距的最值問題．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．考點一：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（一）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心、半徑例1．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此圓的圓心及半徑長分別為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求解即可.【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)方程可得：圓的圓心為，半徑為，故選：B.變式1．（2023秋·高二單元測試）圓的圓心和半徑分別是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義即可得圓心坐標(biāo)和半徑.【詳解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，圓心坐標(biāo)為,半徑.故選：B變式2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心C的坐標(biāo)為________，圓的面積為________．【答案】【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接得出圓心和半徑，進(jìn)而得圓的面積.【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則圓心，半徑，故圓的面積．故答案為：，．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2．（2023春·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心為點，且經(jīng)過原點，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【分析】先求出圓的半徑，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由已知得圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.變式1．（廣東省廣州市培正中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）求圓心在y軸上，半徑為1，且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】【分析】設(shè)圓的方程為，將點代入圓的方程，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，可設(shè)圓的方程為，因為點在圓上，可得，解得，所以所求圓的方程為.變式2．（福建省泉州外國語中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）與x軸相切，且圓心坐標(biāo)為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________【答案】【分析】根據(jù)圓的圓心坐標(biāo)結(jié)合與y軸相切可得到該圓的半徑可得答案.【詳解】∵圓心坐標(biāo)為，又與y軸相切，∴圓的半徑為2，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.變式3．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出圓心坐標(biāo)以及圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可知，圓心的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.變式4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過點和坐標(biāo)原點，并且圓心在直線上的圓的方程．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法或幾何法求解.【詳解】法一（待定系數(shù)法）：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，解得，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．法二（幾何法）：由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為．∵弦的垂直平分線過圓心，∴由，得，即圓心坐標(biāo)為，半徑r＝＝5．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．變式5．（廣東省肇慶市百花中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）直線與直線相交于點，直線過點且與直線平行.(1)求直線的方程；(2)求圓心在直線上且過點的圓的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)直線的位置關(guān)系可設(shè)，進(jìn)而即得；（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得圓心和半徑，即得.【詳解】（1）由，可得，即，由題可設(shè)直線，又直線過點，所以，所以直線的方程為；（2）因為圓心在直線上且過點，由，可得線段的中垂線方程為，由，可得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心在直線上且過點的圓的方程為.考點二：圓的一般方程（一）圓的一般方程辨析例3．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)校考期末）方程表示一個圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】運用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，解得.故選：B變式1．（2023秋·河南許昌·高二禹州市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程表示圓，則實數(shù)a的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【分析】先把整理成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，滿足右邊關(guān)于的表達(dá)式大于零.【詳解】由，可得，所以，解得或，選項中只有符合題意.故選：D.（二）由圓的一般方程求圓心、半徑例4．（上海市第三女子中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）圓的圓心坐標(biāo)是________.【答案】【分析】化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得圓心坐標(biāo)．【詳解】由，得，可得圓心坐標(biāo)為．故答案為：．變式1．（2023春·湖北武漢·高二武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知圓C：，則圓C的圓心和半徑為（

）A．圓心，半徑 B．圓心，半徑C．圓心，半徑 D．圓心，半徑【答案】A【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得圓心與半徑.【詳解】由化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心，半徑.故選:A.變式2．（2023秋·高二課時練習(xí)）圓C：的圓心是_____，半徑是_____．【答案】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出答案.【詳解】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，.所以，圓心，半徑.故答案為：；.（三）求圓的一般方程例5．（2023秋·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學(xué)?？计谥校┣筮m合下列條件的圓的方程：(1)圓心在直線上，且過點的圓；(2)過三點的圓.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意得到，再解方程組即可.（2）首先設(shè)圓的一般方程為：，，根據(jù)題意得到，再解方程組即可.【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題知：，解得.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)圓的一般方程為：，，由題知：，所以圓的方程為：.變式1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓經(jīng)過拋物線與軸的交點，且過點，則圓的方程為______.【答案】【分析】首先設(shè)圓的一般方程，結(jié)合條件，利用待定系數(shù)法，即可求解.【詳解】設(shè)圓的方程為，令，，則由圓經(jīng)過拋物線與軸的交點可知方程與同解，所以，，所以圓的方程為，又因為圓過點，所以，所以，所以圓的方程為.故答案為：變式2．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點四點共圓，則點D到坐標(biāo)原點O的距離為______．【答案】3【分析】待定系數(shù)法求得過的圓的方程為，從而可得，解得，再根據(jù)兩點距離公式即可求解.【詳解】設(shè)過的圓的方程為：，，則，解得，所以過的圓的方程為：.又因為點在此圓上，所以，解得，所以點D到坐標(biāo)原點O的距離為.故答案為：變式3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過坐標(biāo)原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將三個點的坐標(biāo)代入得到方程組，求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的方程為，由題意知,圓過點，和，所以，解得，所以所求圓的方程為.故選：A變式4．（2023秋·高二?？颊n時練習(xí)）已知圓經(jīng)過點和，該圓與兩坐標(biāo)軸的四個截距之和為，求圓的方程.【答案】.【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，然后利用圓與兩坐標(biāo)軸的四個截距之和為，即可求解.【詳解】設(shè)圓的一般方程為，由圓經(jīng)過點和，代入圓的一般方程，得(*)設(shè)圓在軸上的截距為、，則它們是方程的兩個根，得.設(shè)圓在軸上的截距為、，則它們是方程的兩個根，得.由已知，得，即.③由(*)③聯(lián)立解得.故所求圓的方程為.考點三：根據(jù)對稱性求圓的方程例6．（2023秋·重慶榮昌·高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校校考期中）圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【分析】兩圓關(guān)于直線對稱等價于圓心關(guān)于直線對稱，半徑不變，根據(jù)題意運算求解.【詳解】∵圓的圓心，半徑為，則關(guān)于直線對稱的點為，∴對稱圓的圓心為，半徑為，故對稱圓的方程為：.故答案為：.變式1．（2023秋·高二單元測試）圓關(guān)于直線對稱的圓是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圓心關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)，即可得到對稱圓的方程.【詳解】圓圓心為，半徑為，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，所以點關(guān)于直線對稱的點為，所以圓關(guān)于直線對稱的圓是.故選：D.變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）與圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.【答案】【分析】先求得所求圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓的圓心，半徑，點關(guān)于直線對稱的點坐標(biāo)為則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：變式3．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，再求得關(guān)于的對稱點，得到圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程.【詳解】由題意知,圓的圓心與關(guān)于直線對稱，且兩圓半徑相等，因為圓，即，所以圓心，半徑為，設(shè)圓關(guān)于直線對稱點為，則，解得，即，所以圓的方程為，即.故選：A.變式4．（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得圓心關(guān)于直線的對稱點，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A變式5．（2023秋·高二課時練習(xí)）求圓關(guān)于直線的對稱圓方程.【答案】【分析】求出已知圓的半徑和圓心坐標(biāo)，再求出其圓心關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)，則可求對稱圓的方程.【詳解】由可得，故圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)點P關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，故，所以圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為：.考點四：點與圓的位置關(guān)系例7．【多選】（2023秋·高二課時練習(xí)）(多選)下列各點中，不在圓的外部的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用給定的圓方程，把各選項中的點的坐標(biāo)代入判斷作答.【詳解】對于A，，點在圓內(nèi)；對于B，，點在圓外；對于C，，在圓上；對于D，，在圓內(nèi).故選：ACD變式1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）寫出圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內(nèi)？【答案】答案見解析【分析】將點的坐標(biāo)代入圓的方程，驗證是否在這個圓上．根據(jù)點到圓心的距離判斷該點在圓外還是在圓內(nèi).【詳解】圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．把點的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊相等,點的坐標(biāo)滿足圓的方程,所以點在這個圓上．把點的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊不相等,點的坐標(biāo)不滿足圓的方程,所以點不在這個圓上．又因為點到圓心A的距離．故點在圓內(nèi)．變式2．（2023秋·高二?？颊n時練習(xí)）若點在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將點的坐標(biāo)代入圓的方程計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，半徑，所以，把點代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.故選：D變式3．（2023秋·高二課時練習(xí)）點與圓的位置關(guān)系是（

）A．點在圓上 B．點在圓內(nèi) C．點在圓外 D．不確定【答案】C【分析】點到圓心的距離大于半徑，點在圓外.【詳解】因為，所以點在圓外，故選：C考點五：圓過定點問題例8．（2023秋·山西晉中·高二山西省平遙中學(xué)校?？计谥校┤魣A過坐標(biāo)原點，則實數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【答案】A【分析】把坐標(biāo)代入圓方程求解．注意檢驗，方程表示圓．【詳解】將代入圓方程，得，解得或0，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意.故選：C．變式1．（2023·高二課時練習(xí)）點是直線上任意一點，是坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】設(shè)點，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標(biāo).【詳解】設(shè)點，則線段的中點為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點坐標(biāo)為、.故選：D.變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為_______【答案】【分析】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，根據(jù)題意設(shè)圓心為，求出，寫出圓的方程，可得出關(guān)于、的方程組，即可得出圓所過定點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，由題意可知，由韋達(dá)定理可得，，所以，線段的中點為，設(shè)圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為.故答案為：.變式3．（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標(biāo)為__．【答案】或【分析】由已知得，從而，由此能求出定點的坐標(biāo)．【詳解】解：，即，令，解得，，或，，所以定點的坐標(biāo)是或．故答案為：或.變式4．（2023秋·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線：．（1）當(dāng)取何值時，方程表示圓？（2）求證：不論為何值，曲線必過兩定點．（3）當(dāng)曲線表示圓時，求圓面積最小時的值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）當(dāng)時，可知方程表示直線；當(dāng)時，化簡整理已知方程，可知滿足圓的方程；（2）將已知方程整理為，從而可得方程組，解方程組求得兩定點坐標(biāo)，結(jié)論可證得；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可知以為直徑的圓面積最小，從而得到圓的方程，與已知方程對應(yīng)相等可構(gòu)造方程組，解方程組求得結(jié)果．【詳解】解：（1）當(dāng)時，方程為表示一條直線．當(dāng)時，，整理得，由于，所以時方程表示圓．（2）證明：方程變形為．由于取任何值，上式都成立，則有．解得或所以曲線必過定點，，即無論為何值，曲線必過兩定點.（3）由（2）知曲線過定點A，，在這些圓中，以為直徑的圓的面積最小（其余不以為直徑的圓的直徑大于的長，圓的面積也大），從而以為直徑的圓的方程為，所以，解得．考點六：與圓有關(guān)的軌跡問題例9．（上海市上海中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）點與兩個定點，的距離的比為，則點的軌跡方程為______．【答案】【分析】設(shè)出動點，利用條件得到，再化簡即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點，由題知，兩邊平方化簡得，即，所以點的軌跡方程為.故答案為：.變式1．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓：，過點的直線與圓交于點，，線段的中點為，則點的軌跡方程為___________.【答案】【分析】先判斷點在圓內(nèi)，連接，設(shè)出點的坐標(biāo)，在利用垂徑定理得到，寫出和坐標(biāo)，利用，得到，的關(guān)系，即可得出結(jié)果.【詳解】由圓：方程變形為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)而得出，所以點在圓內(nèi)部，又因為為線段的中點，連接，由垂徑定理得，設(shè)點的坐標(biāo)，得，，所以，得，整理得，所以點的軌跡方程為，故答案為：

變式2．（2023秋·安徽阜陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點，且被直線平分.(1)求圓的一般方程；(2)設(shè)是圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線方程求定點，結(jié)合圓的性質(zhì)，可得圓心，利用兩點之間距離公式，可得答案；（2）設(shè)動點坐標(biāo)，根據(jù)題意，建立等量關(guān)系，代入圓的方程，可得答案.【詳解】（1）直線恒過點.因為圓恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標(biāo)為，又圓經(jīng)過點，所以圓的半徑，所以圓的方程為，即.（2）設(shè).因為為線段的中點，所以，因為點是圓上的動點，所以，即，所以的軌跡方程為.變式3．（2023秋·山東日照·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過點且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點為圓C上任意一點，且點，求線段EF的中點M的軌跡方程.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即得；（2）根據(jù)相關(guān)點法，設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用中點公式結(jié)合圓的方程即得.【詳解】（1）由題可設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解之得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)M（x，y），，由及M為線段EF的中點得，解得,又點E在圓C：上，所以有，化簡得：,故所求的軌跡方程為．變式4．（2023秋·高二課時練習(xí)）正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點的軌跡方程為圓，再求出的取值范圍即可.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點，則由，得，整理得，即點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，圓心M到點D的距離為，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.

變式5．【多選】（2023秋·高一單元測試）已知點，動點滿足，則下面結(jié)論正確的為（

）A．點的軌跡方程為 B．點到原點的距離的最大值為5C．面積的最大值為4 D．的最大值為18【答案】ABD【分析】設(shè)動點，根據(jù)兩點之間的距離公式結(jié)合條件化簡即可判斷A選項，再由圓外一點到圓上一點的距離范圍判斷B和C選項，利用向量的數(shù)量積公式和代入消元法即可判斷D選項.【詳解】設(shè)動點，則由得：，即，化簡得：，即，所以A選項正確；所以點軌跡是圓心為，半徑為的圓，則點到原點的距離最大值為，所以B選項正確；又，和點軌跡的圓心都在軸上，且，所以當(dāng)圓的半徑垂直于軸時，面積取得最大值，所以C選項錯誤；又，因為（），所以（），則，所以D選項正確；故選：ABD.考點七：與圓有關(guān)的最值問題例10．（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）已知圓C過點，當(dāng)圓C到原點O的距離最小時，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知圓C到原點O的距離最小時，則，進(jìn)而聯(lián)立直線方程可得圓心坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由可得線段中點坐標(biāo)為，又，所以垂直平分線的方程為，所以圓心C在線段垂直平分線上，當(dāng)圓C到原點O的距離最小時，則,所以直線方程為，聯(lián)立，所以圓心,又半徑,故圓的方程為：故答案為：變式1．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上運動，求當(dāng)半徑最小時的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________【答案】【分析】設(shè)出圓心，表達(dá)出半徑，配方求出最小值，從而得到圓心和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓心，則半徑為，故當(dāng)時，取得最小值為，此時圓心為，故當(dāng)半徑最小時的圓的方程為.故答案為：變式2．（2023秋·高二課時練習(xí)）圓過點，求面積最小的圓的方程為_________【答案】【分析】根據(jù)題意知所求圓為以為直徑的圓，再利用條件即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)為直徑時，過的圓的半徑最小，從而面積最小，又，所以，所求圓的圓心為中點，半徑為，則所求圓的方程為：.故答案為：.變式3．（2023秋·高二課時練習(xí)）如果圓的方程為，那么當(dāng)圓面積最大時，該圓的方程為________，最大面積為________．【答案】【分析】設(shè)圓的半徑為，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得.即可得出半徑的最大值，以及的取值，代入圓的方程以及根據(jù)圓的面積公式，即可得出答案.【詳解】設(shè)圓的半徑為，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，.因為，當(dāng)最大時，圓的面積最大.所以，當(dāng)時，半徑最大為1，此時圓的方程為，面積為.故答案為：；.變式4．（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）圓上的點到直線的最大距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心及半徑，圓上點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半徑.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為所以圓上的點到直線的最大距離為.故選:C.1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.故選：B.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．【答案】【分析】設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點共圓∵點M在直線上，∴設(shè)點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(1,-1).,的方程為.故答案為：3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為____________．【答案】或或或．【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設(shè)（1）若圓過三點，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．一、單選題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）將圓平分的直線是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可知所求的直線過圓心，所以先求出圓的圓心，然后將圓心坐標(biāo)代入各直線方程驗證即可.【詳解】要使直線平分圓，只要直線經(jīng)過圓的圓心即可，由，得，所以圓心坐標(biāo)為，對于A，因為，所以直線不過圓心，所以A錯誤，對于B，因為，所以直線不過圓心，所以B錯誤，對于C，因為，所以直線過圓心，所以C正確，對于D，因為，所以直線不過圓心，所以D錯誤，故選：C2．（2022秋·高二課時練習(xí)）若點是圓的弦的中點，則弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出圓心坐標(biāo)，由題意可得，從而可求出直線的斜率，進(jìn)而可求出直線的方程.【詳解】因為圓心，，所以圓心，因為是圓的弦的中點，所以，所以，則直線的方程為，即，故選：C.3．（2022秋·高二課時練習(xí)）過三點的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入點坐標(biāo)，計算得到答案.【詳解】設(shè)圓的方程為，將A，B，C三點的坐標(biāo)代入方程，整理可得，解得，故所求的圓的一般方程為，故選：D．4．（2021秋·高二課時練習(xí)）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)所求圓的圓心，根據(jù)點關(guān)于直線的對稱得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以已知圓的圓心為，半徑，因為圓與圓關(guān)于直線對稱，所以圓的圓心與點關(guān)于直線對稱，半徑也為1，設(shè)可得，解得，所以，圓的方程是，故選：B5．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)條件求出圓心與半徑寫出圓的方程.【詳解】因為圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，所以圓心為，直徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：C.6．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：，過點的兩條直線，互相垂直，圓心C到直線，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由四邊形是矩形，應(yīng)用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.【詳解】過圓心C分別作直線，的垂線，垂足分別為，．，互相垂直，所以四邊形為矩形．由圓C：，可得，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值為1，故選：B.

7．（2021秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期中）過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】求出A，B的坐標(biāo)，并判斷兩直線垂直，推出點M在以為直徑的圓上，求得，即，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知過定點,動直線即過定點，對于直線和動直線滿足，故兩直線垂直，因此點M在以為直徑的圓上，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為，故選：C8．（2023春·遼寧·高一遼寧實驗中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B，P是直徑為4的圓上的三個動點，且，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出圓心和AB中點，結(jié)合圓的性質(zhì)，利用向量的運算及數(shù)量積的運算即可.【詳解】設(shè)圓心為O，AB的中點為D，如圖：

因為A，B，P是直徑為4的圓上的三個動點，且，所以，且|PD|的最小值為2-1=1，又，，所以，故選：C二、多選題9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若直線始終平分圓的周長，則的取值可能是()A． B．-C． D．2【答案】ABC【分析】由題可知直線過圓心，有，代入利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出范圍即可判斷.【詳解】由題可知直線過圓心，有，即，則，故ABC符合題意．故選：ABC．10．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）過四點中的三點的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】可以把點代入圓的方程，驗證點是否在圓上，再判斷各選項.【詳解】對于A，點在圓上，故A正確；對于B，點在圓上，故B正確；對于C，點都不在圓上，故C錯誤；對于D，點都不在圓上，故D錯誤；故選：AB.11．（2022·高二課時練習(xí)）設(shè)有一組圓：，下列命題正確的是（）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過點C．經(jīng)過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為【答案】ABD【分析】對A根據(jù)圓心橫縱坐標(biāo)關(guān)系即可判斷，對B和C代入，再利用判別式即可判斷，對D由圓的半徑不變即可判斷.【詳解】A選項，圓心為，一定在直線上，A正確；B選項，將代入得：，其中，方程無解，即所有圓均不經(jīng)過點，B正確；C選項，將代入得：，其中，故經(jīng)過點的圓有兩個，故C錯誤；D選項，所有圓的半徑為2，面積為4，故D正確.故選：ABD.12．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知曲線（

）A．若，則C是圓B．若，，則C是圓C．若，，則C是直線D．若，，則C是直線【答案】BC【分析】根據(jù)圓的一般方程對選項一一判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，，若，則C是圓；若，則C是點；若，則C不存在.故A錯誤.對于B，當(dāng)時，，且，則C是圓，故B正確.對于C，當(dāng)時，，且，則C是直線，故C正確.對于D，當(dāng)，時，，若，則表示一元二次方程，若，則表示拋物線，故D錯誤.故選：BC13．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的圓心是B．圓的半徑是2C．D．的取值范圍是【答案】ABCD【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出A、B；根據(jù)已知可知圓心在直線上，代入即可得出C；根據(jù)C的結(jié)論得，代入根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出D項.【詳解】對于A、B，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以，圓心為，半徑為，故A、B正確；對于C項，由已知可得，直線經(jīng)過圓心，所以，整理可得，故C項正確；對于D項，由C知，所以，所以的取值范圍是，故D項正確.故選：ABCD.三、填空題14．（2023秋·高二課時練習(xí)）圓過原點，則a，b，r應(yīng)滿足的條件是__________．【答案】【分析】把點的坐標(biāo)代入圓的方程可得答案.【詳解】因為圓過原點，所以，即；故答案為：.15．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若表示圓，則實數(shù)的值為______.【答案】【分析】依題意可得，解得，再代入檢驗.【詳解】因為表示圓，所以，解得或，當(dāng)時方程，即，不表示任何圖形，故舍去；當(dāng)時方程，即，表示以為圓心，為半徑的圓，符合題意；故答案為：16．（2023秋·高二課時練習(xí)）過點的直線與圓交于點B，則線段中點P的軌跡方程為___________.【答案】【分析】設(shè)點P的坐標(biāo)為，點B為，結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得，代入圓的方