【論數(shù)形結合思想的價值意義10000字（論文）】

論數(shù)形結合思想的價值意義目錄TOC\o"1-3"\h\u35391引言 1277101.1研究背景 148381.2研究意義 1236571.3研究價值 2322242數(shù)學結合思想的起源與發(fā)展 2154042.1數(shù)與形的產(chǎn)生 28022.2古希臘時期的數(shù)形結合思想 3109752.3中國古代數(shù)學中的數(shù)形結合 4305202.4解析幾何的創(chuàng)立 6233382.5近現(xiàn)代數(shù)學中的數(shù)形結合 6228623數(shù)形結合思想的價值體現(xiàn) 746433.1數(shù)形結合在概念定理中的優(yōu)越性 7313153.2數(shù)形結合對微積分的重要作用 9268693.3數(shù)形結合為三大幾何問題的解決提供了轉機 9259483.4數(shù)形結合使圓錐曲線的研究有了新進展 11313944總結 129054參考文獻 13摘要：數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識的本質認識，是從具體的數(shù)學內容以及對數(shù)學的認識過程中所提煉的數(shù)學觀點與方法，而數(shù)形結合思想是具有一般性的數(shù)學思想,也是數(shù)學中最常見和最基本的數(shù)學思想方法之一，在數(shù)學中具有重要的價值和意義.數(shù)形結合思想貫徹于整個數(shù)學知識體現(xiàn)中，通過“數(shù)”與“形”的緊密結合，將代數(shù)式的精確性與幾何圖形的直觀性相結合，使代數(shù)問題和幾何問題相互滲透、相互轉化，為代數(shù)問題提供了幾何直觀，為幾何問題提供了精確的證明，具有很高的研究價值.關鍵詞：數(shù)學思想；數(shù)形結合；方法；價值1引言1.1研究背景數(shù)學是一門科學，其主要研究的是空間和數(shù)量的相關關系，同時也是一種反映社會和自然規(guī)律的語言.數(shù)學以抽象概括的形式逐漸形成科學語言，處于自然科學和人類生活中的基礎地位，促進著社會的發(fā)展.學習數(shù)學，除了掌握最基本的數(shù)學知識以外，更應該掌握數(shù)學知識背后的本質，即數(shù)學思想.數(shù)學思想在培養(yǎng)能力、提升數(shù)學核心素養(yǎng)反面都發(fā)揮著重要的作用.數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識的本質認識，是從具體的數(shù)學內容以及對數(shù)學的認識過程中所提煉的數(shù)學觀點與方法，而數(shù)形結合思想是具有一般性的數(shù)學思想,也是數(shù)學中最常見和最基本的數(shù)學思想方法之一，在數(shù)學中具有重要的價值和意義.我國著名數(shù)學家華羅庚先生在《談談與蜂房結構有關的數(shù)學問題》中寫到“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事非.”這短短的幾句話，直接明了的道出了數(shù)形結合在數(shù)學思想中的重要性.1.2研究意義數(shù)形結合思想貫徹于整個數(shù)學知識體現(xiàn)中，它將看似獨立的代數(shù)與幾何結合到一起，為代數(shù)問題提供了幾何直觀，為幾何問題提供了精確的證明，具有很高的研究價值.數(shù)形結合通過形象來揭示事物的本質，與邏輯思維相輔相成，使數(shù)學研究有目的、有方向，并與嚴格論證辯證統(tǒng)一、有機結合，促進了數(shù)學的不斷完善與發(fā)展.數(shù)形結合思想方法是學習數(shù)學的一個基本方法，數(shù)和形兩者相互滲透，不可分割.通過“數(shù)”與“形”的緊密結合，將代數(shù)式的精確性與幾何圖形的直觀性相結合，使代數(shù)問題和幾何問題相互滲透、相互轉化，從而使抽象思維與形象思維完美融合.1.3研究價值通過數(shù)形結合，首先，我們對于幾何圖形性質的研究更加深入廣泛了，同時，研究的對象也更為廣泛，方法也更加一般化了.其次是為代數(shù)研究提供了幾何直觀.代數(shù)方法便于精確計算，幾何圖形直觀形象，兩者相結合，互相促進，從而加深了我們對數(shù)量關系與空間形式的認識.正如拉格朗日所說：“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”.[1]數(shù)形結合思想的重要性顯而易見，對于數(shù)形結合思想的研究自然也很多，但當下對于數(shù)形結合的研究主要集中于中學生運用數(shù)形結合解決數(shù)學問題的情況及教學策略等，然而，數(shù)形結合思想的價值并不局限于此.本文簡單的介紹了數(shù)形結合的起源與發(fā)展，主要從數(shù)形結合在概念定理中所具有的優(yōu)越性、在微積分這個數(shù)學分支中的重要性、在三大幾何問題以及圓錐曲線的研究中發(fā)揮的重要作用四個方面來論述數(shù)形結合思想的價值意義.希望由此能夠引起大家對數(shù)形結合思想的重視.2數(shù)學結合思想的起源與發(fā)展2.1數(shù)與形的產(chǎn)生人類在蒙昧時代就已經(jīng)具有識別事物多寡的能力，從這種原始的“數(shù)覺”到抽象的“數(shù)”概念的形成，是一個緩慢的、漸進的過程.[2]在后來，人類根據(jù)生活經(jīng)驗察覺并發(fā)現(xiàn)，一棵樹，一條魚，一個太陽等在這一系列物體間，似乎存在著某些共同的屬性，這樣，“數(shù)”也就應運而生了.同時，我們可以清楚看出此時的“數(shù)”與具體的事物或“形”是相互聯(lián)系在一起的、不可分割的.而這也是“數(shù)”與“形”相結合的最早的無意識表征[3].隨著遠古人類對數(shù)的理解的不斷進步，他們?yōu)榱烁玫谋磉_事物在“數(shù)”方面的數(shù)學，于是便產(chǎn)生了“記數(shù)”，如石子記數(shù)、繩結記數(shù)、刻痕記數(shù)等，都是人類早期的記數(shù)方式.數(shù)的概念產(chǎn)生之后，首先用來表示“數(shù)”的工具是“形”，在古代的各種各樣的記數(shù)法中，都是以具體的圖形來表示抽象的數(shù)（如圖1），以及中國的算盤是一個歷史最長的記數(shù)工具.而幾何知識最初是從人們對形的直覺中萌發(fā)出來的，這與數(shù)的產(chǎn)生類似.那時候人們首先是從自然界中提取幾何形式的，比如圓月，并且通過器皿制作、建筑設計以及繪畫裝飾加以再現(xiàn).這一時期由于人類的認識能力有局限，對于“數(shù)”與“形”的概念還處于蒙昧的初級認知階段，數(shù)和形的結合是無意識，結合的根本原因是人們無法對兩者進行區(qū)分[4].圖1用圖形表示數(shù)2.2古希臘時期的數(shù)形結合思想幾何學發(fā)展的繁榮時期是在古希臘時期，古巴比倫人和古埃及人從長期的生產(chǎn)生活實踐中獲得了大量的直觀幾何知識，傳入了古希臘，在這一時期有兩大著名的數(shù)學學派，他們是此時數(shù)學的代表，為幾何學的進步與發(fā)展做出了巨大的貢獻，其中之一的畢達哥拉斯學派信奉“萬物皆數(shù)”，他們在算術的基礎上，成功的為幾何學的發(fā)展奠定了基礎，真正的做到了將數(shù)與形相結合起來，為古希臘數(shù)學的發(fā)展起到了極大的促進作用.畢達哥拉斯學派的貢獻之一是有意識地承認并強調數(shù)學上的東西如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實際事務或實際形象是截然不同的[5].畢達哥拉斯學派對數(shù)做了許多研究，比如“完全數(shù)”、“親和數(shù)”、“形數(shù)”等等，其中，他們對“形數(shù)”的研究，強烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神，通過對形的觀察來探究數(shù)之間的內在聯(lián)系.例如，三角形數(shù)1,3,6,10圖2三角形數(shù)正方形數(shù)1,4,9,16圖3正方形數(shù)五邊形數(shù)1,5,12,22圖4五邊形數(shù)用公式表示為：；；.畢達哥拉斯學派提出“萬物皆數(shù)”，他們信奉“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結為整數(shù)或整數(shù)之比[6]”.他們之所以認為數(shù)是一切事物的本源，是因為他們試圖將幾何學建立在算術的基礎之上.畢達哥拉斯相信任何量都可以表示成兩個整數(shù)之比（即某個有理量），這是他們對“數(shù)”狹隘的認識，當畢氏學派的成員西帕蘇斯發(fā)現(xiàn)了不可公度線段時，一切的幾何基礎倒塌.歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者，他的《幾何原本》是運用公理化演繹的方式編著的，而《幾何原本》的出現(xiàn)為幾何學的發(fā)展奠定了基礎，用幾何的觀點去研究代數(shù)的問題，一般認為，所有的代數(shù)問題都可以轉換為幾何問題，其實這也是畢達哥拉斯學派對無理數(shù)的存在持否定態(tài)度的表現(xiàn).他們從幾何的視角將數(shù)用線段進行了描述，其中，數(shù)與數(shù)之和可以看作是將某一線段進行延伸所得，同樣的，對于兩數(shù)之差的表示則是將一線段割去另一線段的長度而得，而屬于數(shù)之間的乘積是可用以這兩個數(shù)為邊長的矩形的米那估計來替代的.[5]在“形”的相互關系的比較中，在一定程度上數(shù)的概念也得到了發(fā)展，而無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)就是最為典型的例子.只是，在這一時期的古希臘人，他們是完全無法接受無理數(shù)的概念的，而所導致的結果就是把代數(shù)與幾何看成是完完全全不相干的學科.[5]后來的人們一直被這種看法所影響，一直到笛卡爾時期坐標幾何的產(chǎn)生，數(shù)與形的結合才得到了進一步的發(fā)展.2.3中國古代數(shù)學中的數(shù)形結合數(shù)形結合的歷史源遠流長，我國古代數(shù)學中，處處可以尋覓到它的印跡.早期作為歷史最長計算工具的算籌和算盤，便可以看作是“數(shù)形結合”的雛形.我國流傳至今的一部最早的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中就已記載：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”在《九章算術》“商功”章節(jié)中所敘述的體積之術文，其實就已經(jīng)孕育著幾何代數(shù)化方法.我國偉大的數(shù)學家劉徽撰寫的《九章算術注》中也主張“析理以詞，解體用圖”，意思是用言辭來分析與表達道理，用圖形來建立幾何直觀幫助解決問題.在中國古代數(shù)學的發(fā)展中，數(shù)形結合的優(yōu)勢也體現(xiàn)地淋漓盡致，它不但促進了中國古代數(shù)學的發(fā)展，同時也為現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展提供了參考，對數(shù)學的發(fā)展作出了巨大貢獻.而在古代的數(shù)學研究中，最能體現(xiàn)數(shù)形結合的范例之一可屬劉徽和楊輝對“三角形面積公式”的推導.在《九章算術》一書中，記錄有劉徽對三角形面積公式的推導方法，其中有這樣一段對于三角面積公式的推導過程的描述：“半廣以乘正從.半廣知，以盈補虛為直田也.亦可半正從以乘廣.”其實，劉徽的這種推導方式所得到的結論與我們現(xiàn)在所運用的三角形面積公式的表述是完全一致的，而在當時對于三角形面積公式這一結論的得出，得益于中國古代數(shù)學家將數(shù)與形相結合以解決數(shù)學問題的思考，它也是數(shù)形結合思想在我們古代運用最直接的反映.[3]具體分析如下（如圖5所示）.圖5劉徽對三角形面積公式的推導后來，楊輝進一步研究了劉徽的三角面積公式的推導方法，其研究成果記錄在《田畝比類乘除捷法》一書中.根據(jù)書中記載，楊輝將他自己的推導方法總結為：“廣步可以折半者，用半廣以乘正從，從補可以折半者，用半從步乘廣.廣從皆不可折半者，用步從相乘折半.”[3]而這一結論與我們現(xiàn)在所運用的三角形面積公式完全一致，用公式可以將楊輝的結論表述為以下三種情況：；；.劉徽和楊輝對三角形面積公式的推導過程是我國古代數(shù)學中數(shù)與形完美結合的典范，其具體做法是通過“以盈補虛”的方式將三角形構造和轉化成為一個矩形，從而得出三角面積公式，而這無疑是數(shù)形結合思想的體現(xiàn).2.4解析幾何的創(chuàng)立17世紀以后，隨著社會生產(chǎn)的進一步發(fā)展和需要，圓錐曲線的研究也應運而生，而就是在這樣的背景下，解析幾何應人們的種種需要產(chǎn)生了.解析幾何的發(fā)明要歸功于法國的兩位著名數(shù)學家笛卡爾與費馬，他們對解析幾何的創(chuàng)立有著極為重要的作用，他們對解析幾何的研究是數(shù)與形相結合的直觀體現(xiàn)，是數(shù)與形相結合的典型的代表性成果.笛卡爾和費馬打破了古希臘人對代數(shù)與結合認識上的狹隘性，他們將數(shù)與形相結合統(tǒng)一了起來.依據(jù)笛卡爾的《幾何》可以知道，他創(chuàng)立解析幾何的要旨是把幾何學的問題歸結為代數(shù)形式的問題，簡單的說就是從運動軌跡（形）出發(fā)尋找它所滿足的方程（數(shù)），而費馬則相反，他是從方程（數(shù)）出發(fā)研究曲線（形），他指出“每當在最后的方程中出現(xiàn)了兩個未知量，我們就得到一個軌跡，其中一個未知量的端點描繪出一條直線或曲線.這條直線簡單且唯一，曲線的種類無限的多——圓、拋物線、雙曲線、橢圓等等”[7]，對比兩人的思維路徑，他們的研究正是解析幾何基本原理的兩個相反方面.即把幾何問題轉化用代數(shù)方法，然后用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質[8].“隨著解析幾何的創(chuàng)立，……，不僅使過去的幾何問題有了一個一般的解法和一個有力的工具——代數(shù)的工具，而且還擴大了幾何的領域.另一方面又揭露了，代數(shù)與分析中的許多事實可以用幾何來表現(xiàn)，例如函數(shù)關系就可以用圖形來表示.反過來，幾何上的一些考慮又可以幫助解決代數(shù)與分析的問題”[9].2.5近現(xiàn)代數(shù)學中的數(shù)形結合從解析幾何創(chuàng)立以后，數(shù)與形之間就不再有那么明顯的界限了.對于18世紀后的數(shù)學，也許我們只能牽強的把“數(shù)”理解成是包括數(shù)論、分析學及代數(shù)方程等側重“數(shù)”的代數(shù)學，而“形”就是包含了解析幾何、微分幾何、數(shù)論幾何、歐幾里得幾何等側重于“形”的幾何學.但解析解卻并不只是單純地“形”進行研究，因而解析幾何從誕生開始便不能算是完全意義上的幾何學.在此后，代數(shù)與幾何幾乎是緊密聯(lián)系、捆綁式發(fā)展，而數(shù)與形在局部相關領域聯(lián)系也更加緊密，“數(shù)”提供了研究的工具、思路和方法，更新看待問題的視角，而“形”提供研究的對象和輔助思考的工具，數(shù)形結合思想也徹底的、完全的滲透到數(shù)學的發(fā)展當中，并被當作一種研究問題的思想方法提煉出來.在近現(xiàn)代數(shù)形結合思想的推動下，“數(shù)”的運用使得研究向更加深入、抽象的方向發(fā)展，不過在另外一些領域，比如代數(shù)學內部研究的對象與“形”的聯(lián)系卻越來越遠.由于整個數(shù)學領域內越來越多的數(shù)學分支與日益興起的綜合交叉學科，現(xiàn)象已經(jīng)很難準確的詮釋“數(shù)”與“形”的具體含義，同時，數(shù)學家們所關注的“結合”、“聯(lián)系”也不再僅只是“數(shù)”與“形”這些具體的數(shù)學對象，在他們看來，關注不同的數(shù)學方法與數(shù)學思想之間的相互融合更具有實際意義.由于現(xiàn)代數(shù)學工具大部分兼具“數(shù)”和“形”雙重特征，“數(shù)形結合”已經(jīng)作為一種基本數(shù)學思想被完全地、徹底地熔融到數(shù)學的發(fā)展中.[10]3數(shù)形結合思想的價值體現(xiàn)數(shù)形結合思想是中學數(shù)學中常見的、具有一般性的數(shù)學思想之一，它在數(shù)學學習中具有重要的價值.數(shù)學主要研究的兩類對象就是數(shù)與形，數(shù)代表的是學習知識的抽象特征，而形代表的這是則是數(shù)學知識的直觀形象特征.在研究和解決數(shù)學問題時，數(shù)形結合將抽象的解析式、代數(shù)式的本質特征表現(xiàn)出來，借助直觀進行幾何化、形象化.此外，數(shù)形結合是聯(lián)系數(shù)與形的紐帶，通過數(shù)與形的相互轉化，可化抽象為直觀，化難為易，很好的解決數(shù)學問題.因此，掌握數(shù)形結合思想是很有必要的.3.1數(shù)形結合在概念定理中的優(yōu)越性在數(shù)形結合思想的指導下，一個幾何對象可以被代數(shù)所完全刻畫，幾何概念可以表示成代數(shù)的形式，幾何目標也可以通過代數(shù)方法來達到，而幾何圖像也可以間接從代數(shù)的角度來體現(xiàn)；反過來看，數(shù)形結合思想使代數(shù)語言得到了幾何解釋，從而使代數(shù)語言有了直觀、形象的意義.比如畢達哥拉斯學派對完全平方公式的證明，具體的證明過程如下（如圖6所示）：圖6完全平方公式的證明在以為邊長的正方形中，被切割成四個四邊形，其中包含有兩個分別以，為邊長的小正方形，根據(jù)圖像關系可以知道，大正方形的面積是被四個四邊形所填充，也就是以為邊的大正方形的面積等于其他四個四邊形面積的和，即，整理就得到完全平方式：圖6完全平方公式的證明又如我國古代科學家趙爽對勾股定理的證明：下圖的正方形是由四個完全相同的直角三角形拼成，其中，直角三角形的兩直角邊分別為、，斜邊為.那么，這個大正方形的邊長為，中間小正方形的邊長為.四個三角形的面積之和，大正方形的面積，小正方形的面積.顯然，四個三角形的面積之和=大正方形的面積-小正方形的面積，即，所以，所以，即，勾股定理成立.圖7趙爽弦圖圖82002年世界數(shù)學家大會會徽趙爽利用他所繪制的圖案，非常巧妙的運用數(shù)形結合邏輯性嚴密的證明了勾股定理，對我國的數(shù)學發(fā)展做出了重大貢獻.值得一提的是，2002年，在我國北京舉辦的世界數(shù)學家大會上所使用的會徽就是“勾股弦圖”.（如圖8所示）這顯然也是中國古代數(shù)學史上的一大驕傲.此外，對于數(shù)形結合思想，在向量運算中也得到了了充分的體現(xiàn).對于一些幾何定理，我們可以通過構造向量來證明，或者簡化證明過程.例如，在三角形中構造向量，可以運用數(shù)量積的定義和向量的運算法則證明三角形的余弦定理，也可以利用向量積模的定義證明三角形的正弦定理.上述例子說明，從古至今，數(shù)形結合相互間的聯(lián)系就很緊密.用代數(shù)方法解決幾何問題，用幾何方法處理代數(shù)問題，充分體現(xiàn)出了數(shù)形結合思想對于理解數(shù)學概念、證明數(shù)學定理的優(yōu)越性.3.2數(shù)形結合對微積分的重要作用3.2.1微積分創(chuàng)立的準備工作在恩格斯的《自然辯證法》一書中，微積分的創(chuàng)立被看成是17世紀人類理性精神的最高勝利，但是它的產(chǎn)生離不開解析幾何所給予的貢獻.在17世紀上半葉時期，數(shù)學家們已經(jīng)積累了大量微積分的知識和方法，如德國天文學家、數(shù)學家開普勒發(fā)現(xiàn)了如何求旋轉體體積；意大利數(shù)學家卡瓦列里建立了不可分量原理，后稱“卡瓦列里原理”；法國數(shù)學家笛卡爾在《幾何學》中提出了“圓法”；費馬提出了求極大值與極小值的代數(shù)的方法；巴羅給出了求曲線切線的方法——“微分三角法”，也叫“特征三角法”以及沃利斯的“無窮算法”等，這些努力都為微積分的產(chǎn)生起到了積極的促進作用，而解析幾何的出現(xiàn)則為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎.3.2.2解析幾何在微積分中的作用17世紀笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，建立了坐標系中點與數(shù)的一一對應，這為利用數(shù)形結合思想去研究微積分打下了基礎.[11]事實上，微積分學中的很多問題就是運用的數(shù)形化歸，這是形象思維的常見形式，其主要體現(xiàn)在兩方面：一是將代數(shù)問題幾何化，將問題的本質形象化，即根據(jù)數(shù)量特征，構造出相應的幾何圖形；二是將幾何問題代數(shù)化，也就是將圖像信息轉化為代數(shù)信息.在微積分中，許多概念定理都離不開數(shù)形結合.如：函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)表示它的圖像在這個區(qū)間上是一個連貫的曲線；定積分表示曲邊梯形的面積代數(shù)和.而解析幾何是代數(shù)與幾何相結合的產(chǎn)物，它將變量引進了數(shù)學，使運動與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創(chuàng)立搭起了舞臺，可以說，正是有了解析幾何，才推動了微積分的發(fā)展.3.3數(shù)形結合為三大幾何問題的解決提供了轉機古希臘是幾何學的故鄉(xiāng)，而古希臘時期的三大幾何難題，是延續(xù)兩千多年才得以解決的世界性難題.3.3.1三大幾何問題古希臘著名的三大幾何問題分別是：（1）化圓為方，即求作一個正方形，使其與給定的圓的面積相等；（2）倍立方體，即求作一個立方體，使這個立方體的體積等于已知正方體的兩倍；（3）三等分角，即將任意給定的一個角三等分.三大幾何問題的起源涉及一些古老的傳說，例如關于化圓為方問題，安娜薩格拉斯是古希臘著名的學者，在當時，由于當時的宗教認為太陽是神靈，而他卻認為太陽是一塊熾熱的石頭，所以被蒙受冤獄之苦，在被囚禁的日子里，陽光每天穿過牢房那狹小的方形窗戶進入室內.一天，他在凝視圓圓的太陽賞賜給他的方形光亮時，突發(fā)奇想：能不能做一個正方形，使它的面積與一個已知圓的面積恰好相等呢？于是，一道世界名題——化圓為方問題誕生了.[12]關于倍立方體問題有兩個神話故事，一個是埃拉托塞尼曾記載一位古希臘詩人講述的故事，說神話中的米諾斯王嫌別人為他建造的墳墓太小，命令將其擴大一倍；另一個是說在埃拉托塞尼的記述中，瘟疫襲擊提洛島，一個先知者說已經(jīng)得到神的諭示，必須將立方體的祭壇的體積加倍，瘟疫方可停息.[13]這類問題引起了古希臘許多數(shù)學家的注意，激發(fā)了整個古希臘許多數(shù)學家的研究興趣.這三大幾何問題的難處在于古希臘人限制了作圖工具，古希臘人要求幾何作圖只能使用不帶刻度的直尺和圓規(guī)（稱為尺規(guī)作圖法），致使這三大幾何問題看似簡單，而實際操作起來卻很難，令數(shù)學家們百思不得其解.3.3.2三大幾何問題的解決這三個幾何作圖問題看起來不復雜，但實際上卻困擾了數(shù)學家們一千多年，一代代數(shù)學家貢獻力無限時間與精力，都沒有找到正確的方法.許多古希臘學者都為解決這三個問題作了大量的工作，如今看來，盡管他們最終沒能解決這三大幾何問題，但他們在嘗試解決這三個問題過程中的探討引出了許多重要的發(fā)現(xiàn)，這些發(fā)現(xiàn)對整個希臘數(shù)學產(chǎn)生了巨大的影響.有的人在解決問題的過程中很靈活，巧妙地添加了一些條件，如阿基米德在直尺上標出兩個點，解決了三等分角的問題；柏拉圖用兩個三角形板來解決了倍立方體問題一些數(shù)學家在此基礎上探索了一些新的數(shù)學問題和理論.例如，柏拉圖的學生梅內克繆斯為了解決倍立方體問題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線；希臘數(shù)學家在求解三等分任意角的過程中，發(fā)展了高等幾何，包括希皮亞斯的割圓曲線、尼科梅德斯的蚌線、阿基米德的螺線等.一直到1637年，法國數(shù)學家笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，利用代數(shù)方法來研究幾何問題，才為解決這三大幾何難題的解決提供了新的轉機.其中，在1637年，笛卡爾首先提出立方倍積問題不可能用尺規(guī)作圖得出.解析幾何誕生后，將代數(shù)方程與幾何曲線緊密的結合在了一起，促使人們對尺規(guī)作圖可能性問題有了更加深入的認識，從而得出結論：一個幾何量能否用直尺、圓規(guī)作出的問題，等價于它能否由已知量經(jīng)過有限次加、減、乘、除、開方運算求得.三大幾何作圖問題的真正解決是在解析幾何創(chuàng)立之后的19世紀.1837年，法國數(shù)學家旺澤爾進過努力，在代數(shù)方程論的基礎上，證明了倍立方體和三等分角問題只用尺規(guī)作圖是不可能的.1882年，德國數(shù)學家林德曼證明了數(shù)的超越性，從而也證明了尺規(guī)作圖化圓為方的不可能性.至此，古希臘三大幾何問題才徹底得以解決.事實上，三大幾何問題的解決過程中存在著解析幾何的影子，可見，解析幾何在三大作圖問題中的作用是不可替代的.3.4數(shù)形結合使圓錐曲線的研究有了新進展關于圓錐曲線的起源，古希臘幾何學家梅內克繆斯認為圓錐曲線是為了解決三大幾何問題中的“倍立方體”問題而提出的.圓錐曲線的出現(xiàn)引起了許多古希臘數(shù)學家的興趣，他們都對圓錐曲線做了深入研究，其中包括歐幾里得和阿基米德.但對圓錐曲線研究的集大成者，則是在阿基米德之后的古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯.阿波羅尼奧斯晚年，在自己研究成果的基礎上，總結了前人在圓錐曲線的研究成就，撰成了《圓錐曲線論》.《圓錐曲線論》是圓錐曲線的經(jīng)典著作，它代表了古希臘幾何的最高水平，但這本書晦澀難懂，阻礙了希臘數(shù)學的發(fā)展.自此以后很長時間，圓錐曲線的研究不再像古希臘時期那樣輝煌，希臘幾何也再沒有實質性的進步.17世紀初期，在研究古希臘“三線軌跡”和“四線軌跡”的基礎上，費馬和笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，圓錐曲線的研究從此進入了一個嶄新的時期.[14]在這一時期，數(shù)學家們從代數(shù)的視角，運用解析的方法，研究圓錐曲線的定義、方程和各種性質，同時出現(xiàn)了大量圓錐曲線的著作，有些還成為了當時的經(jīng)典教材，為我們提供了豐富的寶庫.在這些著作中，呈現(xiàn)出了各種各樣的橢圓定義方式，而橢圓方程的推導也是精彩紛呈.其中，圓錐曲線的解析方程就是在1655年得到的，英國數(shù)學家、物理學家沃利斯所撰寫的《論圓錐曲線》一書中為了解釋阿波羅尼奧斯的結論，他將幾何條件轉化為代數(shù)條件，由此第一次得到了圓錐曲線的解析方程.顯然，解析幾何的引入，運用數(shù)形結合思想，巧妙的將晦澀難懂的圓錐曲線問題轉化得易懂，同時，也促使圓錐曲線的研究有了新進展.19世紀以來，解析幾何受到分析學和各種科學的影響，內容發(fā)展得非常豐富，以圓錐曲線來說，不僅在理論上達到了極高峰，實際中也得到了充分的運用.[14]4總結數(shù)形結合思想簡單的說就是把數(shù)學中的“數(shù)”與數(shù)學中的“形”結合起來，用于解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想，其實質就是將抽象的數(shù)學語言和直觀的圖像相結合，通過數(shù)與形的相互轉化，將復雜、抽象的內容轉化成直觀、形象的內容.數(shù)形結合思想作為中學數(shù)學中最基本、最常見的數(shù)學思想，在數(shù)學教學中有著十分重要的作用.首先，在數(shù)學概念定理的教學中，數(shù)形結合有著優(yōu)越性，而數(shù)學概念定理的學習是學生認識數(shù)學的基礎，也是學生學習新知識的關鍵.有時候在數(shù)學概念的教學中，如果穿插了概念定理的幾何意義，那么學生對于概念定理的理解就會更加深刻，對于概念定理的記憶也會更加牢固.因此，教師在