【論數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值意義10000字（論文）】

論數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值意義目錄TOC\o"1-3"\h\u35391引言 1277101.1研究背景 148381.2研究意義 1236571.3研究?jī)r(jià)值 2322242數(shù)學(xué)結(jié)合思想的起源與發(fā)展 2154042.1數(shù)與形的產(chǎn)生 28022.2古希臘時(shí)期的數(shù)形結(jié)合思想 3109752.3中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合 4305202.4解析幾何的創(chuàng)立 6233382.5近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合 6228623數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值體現(xiàn) 746433.1數(shù)形結(jié)合在概念定理中的優(yōu)越性 7313153.2數(shù)形結(jié)合對(duì)微積分的重要作用 9268693.3數(shù)形結(jié)合為三大幾何問(wèn)題的解決提供了轉(zhuǎn)機(jī) 9259483.4數(shù)形結(jié)合使圓錐曲線(xiàn)的研究有了新進(jìn)展 11313944總結(jié) 129054參考文獻(xiàn) 13摘要：數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容以及對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中所提煉的數(shù)學(xué)觀(guān)點(diǎn)與方法，而數(shù)形結(jié)合思想是具有一般性的數(shù)學(xué)思想,也是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)和最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，在數(shù)學(xué)中具有重要的價(jià)值和意義.數(shù)形結(jié)合思想貫徹于整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體現(xiàn)中，通過(guò)“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，將代數(shù)式的精確性與幾何圖形的直觀(guān)性相結(jié)合，使代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題相互滲透、相互轉(zhuǎn)化，為代數(shù)問(wèn)題提供了幾何直觀(guān)，為幾何問(wèn)題提供了精確的證明，具有很高的研究?jī)r(jià)值.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合；方法；價(jià)值1引言1.1研究背景數(shù)學(xué)是一門(mén)科學(xué)，其主要研究的是空間和數(shù)量的相關(guān)關(guān)系，同時(shí)也是一種反映社會(huì)和自然規(guī)律的語(yǔ)言.數(shù)學(xué)以抽象概括的形式逐漸形成科學(xué)語(yǔ)言，處于自然科學(xué)和人類(lèi)生活中的基礎(chǔ)地位，促進(jìn)著社會(huì)的發(fā)展.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了掌握最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，更應(yīng)該掌握數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)，即數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想在培養(yǎng)能力、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反面都發(fā)揮著重要的作用.數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容以及對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中所提煉的數(shù)學(xué)觀(guān)點(diǎn)與方法，而數(shù)形結(jié)合思想是具有一般性的數(shù)學(xué)思想,也是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)和最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，在數(shù)學(xué)中具有重要的價(jià)值和意義.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》中寫(xiě)到“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非.”這短短的幾句話(huà)，直接明了的道出了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)思想中的重要性.1.2研究意義數(shù)形結(jié)合思想貫徹于整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體現(xiàn)中，它將看似獨(dú)立的代數(shù)與幾何結(jié)合到一起，為代數(shù)問(wèn)題提供了幾何直觀(guān)，為幾何問(wèn)題提供了精確的證明，具有很高的研究?jī)r(jià)值.數(shù)形結(jié)合通過(guò)形象來(lái)揭示事物的本質(zhì)，與邏輯思維相輔相成，使數(shù)學(xué)研究有目的、有方向，并與嚴(yán)格論證辯證統(tǒng)一、有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的不斷完善與發(fā)展.數(shù)形結(jié)合思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)基本方法，數(shù)和形兩者相互滲透，不可分割.通過(guò)“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，將代數(shù)式的精確性與幾何圖形的直觀(guān)性相結(jié)合，使代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題相互滲透、相互轉(zhuǎn)化，從而使抽象思維與形象思維完美融合.1.3研究?jī)r(jià)值通過(guò)數(shù)形結(jié)合，首先，我們對(duì)于幾何圖形性質(zhì)的研究更加深入廣泛了，同時(shí)，研究的對(duì)象也更為廣泛，方法也更加一般化了.其次是為代數(shù)研究提供了幾何直觀(guān).代數(shù)方法便于精確計(jì)算，幾何圖形直觀(guān)形象，兩者相結(jié)合，互相促進(jìn)，從而加深了我們對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的認(rèn)識(shí).正如拉格朗日所說(shuō)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)這兩門(mén)科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”.[1]數(shù)形結(jié)合思想的重要性顯而易見(jiàn)，對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的研究自然也很多，但當(dāng)下對(duì)于數(shù)形結(jié)合的研究主要集中于中學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的情況及教學(xué)策略等，然而，數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值并不局限于此.本文簡(jiǎn)單的介紹了數(shù)形結(jié)合的起源與發(fā)展，主要從數(shù)形結(jié)合在概念定理中所具有的優(yōu)越性、在微積分這個(gè)數(shù)學(xué)分支中的重要性、在三大幾何問(wèn)題以及圓錐曲線(xiàn)的研究中發(fā)揮的重要作用四個(gè)方面來(lái)論述數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值意義.希望由此能夠引起大家對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的重視.2數(shù)學(xué)結(jié)合思想的起源與發(fā)展2.1數(shù)與形的產(chǎn)生人類(lèi)在蒙昧?xí)r代就已經(jīng)具有識(shí)別事物多寡的能力，從這種原始的“數(shù)覺(jué)”到抽象的“數(shù)”概念的形成，是一個(gè)緩慢的、漸進(jìn)的過(guò)程.[2]在后來(lái)，人類(lèi)根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)察覺(jué)并發(fā)現(xiàn)，一棵樹(shù)，一條魚(yú)，一個(gè)太陽(yáng)等在這一系列物體間，似乎存在著某些共同的屬性，這樣，“數(shù)”也就應(yīng)運(yùn)而生了.同時(shí)，我們可以清楚看出此時(shí)的“數(shù)”與具體的事物或“形”是相互聯(lián)系在一起的、不可分割的.而這也是“數(shù)”與“形”相結(jié)合的最早的無(wú)意識(shí)表征[3].隨著遠(yuǎn)古人類(lèi)對(duì)數(shù)的理解的不斷進(jìn)步，他們?yōu)榱烁玫谋磉_(dá)事物在“數(shù)”方面的數(shù)學(xué)，于是便產(chǎn)生了“記數(shù)”，如石子記數(shù)、繩結(jié)記數(shù)、刻痕記數(shù)等，都是人類(lèi)早期的記數(shù)方式.數(shù)的概念產(chǎn)生之后，首先用來(lái)表示“數(shù)”的工具是“形”，在古代的各種各樣的記數(shù)法中，都是以具體的圖形來(lái)表示抽象的數(shù)（如圖1），以及中國(guó)的算盤(pán)是一個(gè)歷史最長(zhǎng)的記數(shù)工具.而幾何知識(shí)最初是從人們對(duì)形的直覺(jué)中萌發(fā)出來(lái)的，這與數(shù)的產(chǎn)生類(lèi)似.那時(shí)候人們首先是從自然界中提取幾何形式的，比如圓月，并且通過(guò)器皿制作、建筑設(shè)計(jì)以及繪畫(huà)裝飾加以再現(xiàn).這一時(shí)期由于人類(lèi)的認(rèn)識(shí)能力有局限，對(duì)于“數(shù)”與“形”的概念還處于蒙昧的初級(jí)認(rèn)知階段，數(shù)和形的結(jié)合是無(wú)意識(shí)，結(jié)合的根本原因是人們無(wú)法對(duì)兩者進(jìn)行區(qū)分[4].圖1用圖形表示數(shù)2.2古希臘時(shí)期的數(shù)形結(jié)合思想幾何學(xué)發(fā)展的繁榮時(shí)期是在古希臘時(shí)期，古巴比倫人和古埃及人從長(zhǎng)期的生產(chǎn)生活實(shí)踐中獲得了大量的直觀(guān)幾何知識(shí)，傳入了古希臘，在這一時(shí)期有兩大著名的數(shù)學(xué)學(xué)派，他們是此時(shí)數(shù)學(xué)的代表，為幾何學(xué)的進(jìn)步與發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)，其中之一的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派信奉“萬(wàn)物皆數(shù)”，他們?cè)谒阈g(shù)的基礎(chǔ)上，成功的為幾何學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，真正的做到了將數(shù)與形相結(jié)合起來(lái)，為古希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了極大的促進(jìn)作用.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的貢獻(xiàn)之一是有意識(shí)地承認(rèn)并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)上的東西如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實(shí)際事務(wù)或?qū)嶋H形象是截然不同的[5].畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)做了許多研究，比如“完全數(shù)”、“親和數(shù)”、“形數(shù)”等等，其中，他們對(duì)“形數(shù)”的研究，強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神，通過(guò)對(duì)形的觀(guān)察來(lái)探究數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.例如，三角形數(shù)1,3,6,10圖2三角形數(shù)正方形數(shù)1,4,9,16圖3正方形數(shù)五邊形數(shù)1,5,12,22圖4五邊形數(shù)用公式表示為：；；.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出“萬(wàn)物皆數(shù)”，他們信奉“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比[6]”.他們之所以認(rèn)為數(shù)是一切事物的本源，是因?yàn)樗麄冊(cè)噲D將幾何學(xué)建立在算術(shù)的基礎(chǔ)之上.畢達(dá)哥拉斯相信任何量都可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比（即某個(gè)有理量），這是他們對(duì)“數(shù)”狹隘的認(rèn)識(shí)，當(dāng)畢氏學(xué)派的成員西帕蘇斯發(fā)現(xiàn)了不可公度線(xiàn)段時(shí)，一切的幾何基礎(chǔ)倒塌.歐幾里得是希臘論證幾何學(xué)的集大成者，他的《幾何原本》是運(yùn)用公理化演繹的方式編著的，而《幾何原本》的出現(xiàn)為幾何學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，用幾何的觀(guān)點(diǎn)去研究代數(shù)的問(wèn)題，一般認(rèn)為，所有的代數(shù)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)換為幾何問(wèn)題，其實(shí)這也是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)無(wú)理數(shù)的存在持否定態(tài)度的表現(xiàn).他們從幾何的視角將數(shù)用線(xiàn)段進(jìn)行了描述，其中，數(shù)與數(shù)之和可以看作是將某一線(xiàn)段進(jìn)行延伸所得，同樣的，對(duì)于兩數(shù)之差的表示則是將一線(xiàn)段割去另一線(xiàn)段的長(zhǎng)度而得，而屬于數(shù)之間的乘積是可用以這兩個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)的矩形的米那估計(jì)來(lái)替代的.[5]在“形”的相互關(guān)系的比較中，在一定程度上數(shù)的概念也得到了發(fā)展，而無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)就是最為典型的例子.只是，在這一時(shí)期的古希臘人，他們是完全無(wú)法接受無(wú)理數(shù)的概念的，而所導(dǎo)致的結(jié)果就是把代數(shù)與幾何看成是完完全全不相干的學(xué)科.[5]后來(lái)的人們一直被這種看法所影響，一直到笛卡爾時(shí)期坐標(biāo)幾何的產(chǎn)生，數(shù)與形的結(jié)合才得到了進(jìn)一步的發(fā)展.2.3中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)中，處處可以尋覓到它的印跡.早期作為歷史最長(zhǎng)計(jì)算工具的算籌和算盤(pán)，便可以看作是“數(shù)形結(jié)合”的雛形.我國(guó)流傳至今的一部最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已記載：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”在《九章算術(shù)》“商功”章節(jié)中所敘述的體積之術(shù)文，其實(shí)就已經(jīng)孕育著幾何代數(shù)化方法.我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家劉徽撰寫(xiě)的《九章算術(shù)注》中也主張“析理以詞，解體用圖”，意思是用言辭來(lái)分析與表達(dá)道理，用圖形來(lái)建立幾何直觀(guān)幫助解決問(wèn)題.在中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展中，數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)也體現(xiàn)地淋漓盡致，它不但促進(jìn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了參考，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn).而在古代的數(shù)學(xué)研究中，最能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的范例之一可屬劉徽和楊輝對(duì)“三角形面積公式”的推導(dǎo).在《九章算術(shù)》一書(shū)中，記錄有劉徽對(duì)三角形面積公式的推導(dǎo)方法，其中有這樣一段對(duì)于三角面積公式的推導(dǎo)過(guò)程的描述：“半廣以乘正從.半廣知，以盈補(bǔ)虛為直田也.亦可半正從以乘廣.”其實(shí)，劉徽的這種推導(dǎo)方式所得到的結(jié)論與我們現(xiàn)在所運(yùn)用的三角形面積公式的表述是完全一致的，而在當(dāng)時(shí)對(duì)于三角形面積公式這一結(jié)論的得出，得益于中國(guó)古代數(shù)學(xué)家將數(shù)與形相結(jié)合以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考，它也是數(shù)形結(jié)合思想在我們古代運(yùn)用最直接的反映.[3]具體分析如下（如圖5所示）.圖5劉徽對(duì)三角形面積公式的推導(dǎo)后來(lái)，楊輝進(jìn)一步研究了劉徽的三角面積公式的推導(dǎo)方法，其研究成果記錄在《田畝比類(lèi)乘除捷法》一書(shū)中.根據(jù)書(shū)中記載，楊輝將他自己的推導(dǎo)方法總結(jié)為：“廣步可以折半者，用半廣以乘正從，從補(bǔ)可以折半者，用半從步乘廣.廣從皆不可折半者，用步從相乘折半.”[3]而這一結(jié)論與我們現(xiàn)在所運(yùn)用的三角形面積公式完全一致，用公式可以將楊輝的結(jié)論表述為以下三種情況：；；.劉徽和楊輝對(duì)三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程是我國(guó)古代數(shù)學(xué)中數(shù)與形完美結(jié)合的典范，其具體做法是通過(guò)“以盈補(bǔ)虛”的方式將三角形構(gòu)造和轉(zhuǎn)化成為一個(gè)矩形，從而得出三角面積公式，而這無(wú)疑是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).2.4解析幾何的創(chuàng)立17世紀(jì)以后，隨著社會(huì)生產(chǎn)的進(jìn)一步發(fā)展和需要，圓錐曲線(xiàn)的研究也應(yīng)運(yùn)而生，而就是在這樣的背景下，解析幾何應(yīng)人們的種種需要產(chǎn)生了.解析幾何的發(fā)明要?dú)w功于法國(guó)的兩位著名數(shù)學(xué)家笛卡爾與費(fèi)馬，他們對(duì)解析幾何的創(chuàng)立有著極為重要的作用，他們對(duì)解析幾何的研究是數(shù)與形相結(jié)合的直觀(guān)體現(xiàn)，是數(shù)與形相結(jié)合的典型的代表性成果.笛卡爾和費(fèi)馬打破了古希臘人對(duì)代數(shù)與結(jié)合認(rèn)識(shí)上的狹隘性，他們將數(shù)與形相結(jié)合統(tǒng)一了起來(lái).依據(jù)笛卡爾的《幾何》可以知道，他創(chuàng)立解析幾何的要旨是把幾何學(xué)的問(wèn)題歸結(jié)為代數(shù)形式的問(wèn)題，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是從運(yùn)動(dòng)軌跡（形）出發(fā)尋找它所滿(mǎn)足的方程（數(shù)），而費(fèi)馬則相反，他是從方程（數(shù)）出發(fā)研究曲線(xiàn)（形），他指出“每當(dāng)在最后的方程中出現(xiàn)了兩個(gè)未知量，我們就得到一個(gè)軌跡，其中一個(gè)未知量的端點(diǎn)描繪出一條直線(xiàn)或曲線(xiàn).這條直線(xiàn)簡(jiǎn)單且唯一，曲線(xiàn)的種類(lèi)無(wú)限的多——圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)、橢圓等等”[7]，對(duì)比兩人的思維路徑，他們的研究正是解析幾何基本原理的兩個(gè)相反方面.即把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化用代數(shù)方法，然后用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)[8].“隨著解析幾何的創(chuàng)立，……，不僅使過(guò)去的幾何問(wèn)題有了一個(gè)一般的解法和一個(gè)有力的工具——代數(shù)的工具，而且還擴(kuò)大了幾何的領(lǐng)域.另一方面又揭露了，代數(shù)與分析中的許多事實(shí)可以用幾何來(lái)表現(xiàn)，例如函數(shù)關(guān)系就可以用圖形來(lái)表示.反過(guò)來(lái)，幾何上的一些考慮又可以幫助解決代數(shù)與分析的問(wèn)題”[9].2.5近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合從解析幾何創(chuàng)立以后，數(shù)與形之間就不再有那么明顯的界限了.對(duì)于18世紀(jì)后的數(shù)學(xué)，也許我們只能牽強(qiáng)的把“數(shù)”理解成是包括數(shù)論、分析學(xué)及代數(shù)方程等側(cè)重“數(shù)”的代數(shù)學(xué)，而“形”就是包含了解析幾何、微分幾何、數(shù)論幾何、歐幾里得幾何等側(cè)重于“形”的幾何學(xué).但解析解卻并不只是單純地“形”進(jìn)行研究，因而解析幾何從誕生開(kāi)始便不能算是完全意義上的幾何學(xué).在此后，代數(shù)與幾何幾乎是緊密聯(lián)系、捆綁式發(fā)展，而數(shù)與形在局部相關(guān)領(lǐng)域聯(lián)系也更加緊密，“數(shù)”提供了研究的工具、思路和方法，更新看待問(wèn)題的視角，而“形”提供研究的對(duì)象和輔助思考的工具，數(shù)形結(jié)合思想也徹底的、完全的滲透到數(shù)學(xué)的發(fā)展當(dāng)中，并被當(dāng)作一種研究問(wèn)題的思想方法提煉出來(lái).在近現(xiàn)代數(shù)形結(jié)合思想的推動(dòng)下，“數(shù)”的運(yùn)用使得研究向更加深入、抽象的方向發(fā)展，不過(guò)在另外一些領(lǐng)域，比如代數(shù)學(xué)內(nèi)部研究的對(duì)象與“形”的聯(lián)系卻越來(lái)越遠(yuǎn).由于整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)越來(lái)越多的數(shù)學(xué)分支與日益興起的綜合交叉學(xué)科，現(xiàn)象已經(jīng)很難準(zhǔn)確的詮釋“數(shù)”與“形”的具體含義，同時(shí)，數(shù)學(xué)家們所關(guān)注的“結(jié)合”、“聯(lián)系”也不再僅只是“數(shù)”與“形”這些具體的數(shù)學(xué)對(duì)象，在他們看來(lái)，關(guān)注不同的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想之間的相互融合更具有實(shí)際意義.由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具大部分兼具“數(shù)”和“形”雙重特征，“數(shù)形結(jié)合”已經(jīng)作為一種基本數(shù)學(xué)思想被完全地、徹底地熔融到數(shù)學(xué)的發(fā)展中.[10]3數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的、具有一般性的數(shù)學(xué)思想之一，它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的價(jià)值.數(shù)學(xué)主要研究的兩類(lèi)對(duì)象就是數(shù)與形，數(shù)代表的是學(xué)習(xí)知識(shí)的抽象特征，而形代表的這是則是數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀(guān)形象特征.在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合將抽象的解析式、代數(shù)式的本質(zhì)特征表現(xiàn)出來(lái)，借助直觀(guān)進(jìn)行幾何化、形象化.此外，數(shù)形結(jié)合是聯(lián)系數(shù)與形的紐帶，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，可化抽象為直觀(guān)，化難為易，很好的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.因此，掌握數(shù)形結(jié)合思想是很有必要的.3.1數(shù)形結(jié)合在概念定理中的優(yōu)越性在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下，一個(gè)幾何對(duì)象可以被代數(shù)所完全刻畫(huà)，幾何概念可以表示成代數(shù)的形式，幾何目標(biāo)也可以通過(guò)代數(shù)方法來(lái)達(dá)到，而幾何圖像也可以間接從代數(shù)的角度來(lái)體現(xiàn)；反過(guò)來(lái)看，數(shù)形結(jié)合思想使代數(shù)語(yǔ)言得到了幾何解釋?zhuān)瑥亩勾鷶?shù)語(yǔ)言有了直觀(guān)、形象的意義.比如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)完全平方公式的證明，具體的證明過(guò)程如下（如圖6所示）：圖6完全平方公式的證明在以為邊長(zhǎng)的正方形中，被切割成四個(gè)四邊形，其中包含有兩個(gè)分別以，為邊長(zhǎng)的小正方形，根據(jù)圖像關(guān)系可以知道，大正方形的面積是被四個(gè)四邊形所填充，也就是以為邊的大正方形的面積等于其他四個(gè)四邊形面積的和，即，整理就得到完全平方式：圖6完全平方公式的證明又如我國(guó)古代科學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的證明：下圖的正方形是由四個(gè)完全相同的直角三角形拼成，其中，直角三角形的兩直角邊分別為、，斜邊為.那么，這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為，中間小正方形的邊長(zhǎng)為.四個(gè)三角形的面積之和，大正方形的面積，小正方形的面積.顯然，四個(gè)三角形的面積之和=大正方形的面積-小正方形的面積，即，所以，所以，即，勾股定理成立.圖7趙爽弦圖圖82002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽趙爽利用他所繪制的圖案，非常巧妙的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合邏輯性嚴(yán)密的證明了勾股定理，對(duì)我國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn).值得一提的是，2002年，在我國(guó)北京舉辦的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上所使用的會(huì)徽就是“勾股弦圖”.（如圖8所示）這顯然也是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的一大驕傲.此外，對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想，在向量運(yùn)算中也得到了了充分的體現(xiàn).對(duì)于一些幾何定理，我們可以通過(guò)構(gòu)造向量來(lái)證明，或者簡(jiǎn)化證明過(guò)程.例如，在三角形中構(gòu)造向量，可以運(yùn)用數(shù)量積的定義和向量的運(yùn)算法則證明三角形的余弦定理，也可以利用向量積模的定義證明三角形的正弦定理.上述例子說(shuō)明，從古至今，數(shù)形結(jié)合相互間的聯(lián)系就很緊密.用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，用幾何方法處理代數(shù)問(wèn)題，充分體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于理解數(shù)學(xué)概念、證明數(shù)學(xué)定理的優(yōu)越性.3.2數(shù)形結(jié)合對(duì)微積分的重要作用3.2.1微積分創(chuàng)立的準(zhǔn)備工作在恩格斯的《自然辯證法》一書(shū)中，微積分的創(chuàng)立被看成是17世紀(jì)人類(lèi)理性精神的最高勝利，但是它的產(chǎn)生離不開(kāi)解析幾何所給予的貢獻(xiàn).在17世紀(jì)上半葉時(shí)期，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)積累了大量微積分的知識(shí)和方法，如德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)了如何求旋轉(zhuǎn)體體積；意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里建立了不可分量原理，后稱(chēng)“卡瓦列里原理”；法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何學(xué)》中提出了“圓法”；費(fèi)馬提出了求極大值與極小值的代數(shù)的方法；巴羅給出了求曲線(xiàn)切線(xiàn)的方法——“微分三角法”，也叫“特征三角法”以及沃利斯的“無(wú)窮算法”等，這些努力都為微積分的產(chǎn)生起到了積極的促進(jìn)作用，而解析幾何的出現(xiàn)則為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ).3.2.2解析幾何在微積分中的作用17世紀(jì)笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，建立了坐標(biāo)系中點(diǎn)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)，這為利用數(shù)形結(jié)合思想去研究微積分打下了基礎(chǔ).[11]事實(shí)上，微積分學(xué)中的很多問(wèn)題就是運(yùn)用的數(shù)形化歸，這是形象思維的常見(jiàn)形式，其主要體現(xiàn)在兩方面：一是將代數(shù)問(wèn)題幾何化，將問(wèn)題的本質(zhì)形象化，即根據(jù)數(shù)量特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形；二是將幾何問(wèn)題代數(shù)化，也就是將圖像信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)信息.在微積分中，許多概念定理都離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合.如：函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)表示它的圖像在這個(gè)區(qū)間上是一個(gè)連貫的曲線(xiàn)；定積分表示曲邊梯形的面積代數(shù)和.而解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，使運(yùn)動(dòng)與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創(chuàng)立搭起了舞臺(tái)，可以說(shuō)，正是有了解析幾何，才推動(dòng)了微積分的發(fā)展.3.3數(shù)形結(jié)合為三大幾何問(wèn)題的解決提供了轉(zhuǎn)機(jī)古希臘是幾何學(xué)的故鄉(xiāng)，而古希臘時(shí)期的三大幾何難題，是延續(xù)兩千多年才得以解決的世界性難題.3.3.1三大幾何問(wèn)題古希臘著名的三大幾何問(wèn)題分別是：（1）化圓為方，即求作一個(gè)正方形，使其與給定的圓的面積相等；（2）倍立方體，即求作一個(gè)立方體，使這個(gè)立方體的體積等于已知正方體的兩倍；（3）三等分角，即將任意給定的一個(gè)角三等分.三大幾何問(wèn)題的起源涉及一些古老的傳說(shuō)，例如關(guān)于化圓為方問(wèn)題，安娜薩格拉斯是古希臘著名的學(xué)者，在當(dāng)時(shí)，由于當(dāng)時(shí)的宗教認(rèn)為太陽(yáng)是神靈，而他卻認(rèn)為太陽(yáng)是一塊熾熱的石頭，所以被蒙受冤獄之苦，在被囚禁的日子里，陽(yáng)光每天穿過(guò)牢房那狹小的方形窗戶(hù)進(jìn)入室內(nèi).一天，他在凝視圓圓的太陽(yáng)賞賜給他的方形光亮?xí)r，突發(fā)奇想：能不能做一個(gè)正方形，使它的面積與一個(gè)已知圓的面積恰好相等呢？于是，一道世界名題——化圓為方問(wèn)題誕生了.[12]關(guān)于倍立方體問(wèn)題有兩個(gè)神話(huà)故事，一個(gè)是埃拉托塞尼曾記載一位古希臘詩(shī)人講述的故事，說(shuō)神話(huà)中的米諾斯王嫌別人為他建造的墳?zāi)固?，命令將其擴(kuò)大一倍；另一個(gè)是說(shuō)在埃拉托塞尼的記述中，瘟疫襲擊提洛島，一個(gè)先知者說(shuō)已經(jīng)得到神的諭示，必須將立方體的祭壇的體積加倍，瘟疫方可停息.[13]這類(lèi)問(wèn)題引起了古希臘許多數(shù)學(xué)家的注意，激發(fā)了整個(gè)古希臘許多數(shù)學(xué)家的研究興趣.這三大幾何問(wèn)題的難處在于古希臘人限制了作圖工具，古希臘人要求幾何作圖只能使用不帶刻度的直尺和圓規(guī)（稱(chēng)為尺規(guī)作圖法），致使這三大幾何問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，而實(shí)際操作起來(lái)卻很難，令數(shù)學(xué)家們百思不得其解.3.3.2三大幾何問(wèn)題的解決這三個(gè)幾何作圖問(wèn)題看起來(lái)不復(fù)雜，但實(shí)際上卻困擾了數(shù)學(xué)家們一千多年，一代代數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)力無(wú)限時(shí)間與精力，都沒(méi)有找到正確的方法.許多古希臘學(xué)者都為解決這三個(gè)問(wèn)題作了大量的工作，如今看來(lái)，盡管他們最終沒(méi)能解決這三大幾何問(wèn)題，但他們?cè)趪L試解決這三個(gè)問(wèn)題過(guò)程中的探討引出了許多重要的發(fā)現(xiàn)，這些發(fā)現(xiàn)對(duì)整個(gè)希臘數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響.有的人在解決問(wèn)題的過(guò)程中很靈活，巧妙地添加了一些條件，如阿基米德在直尺上標(biāo)出兩個(gè)點(diǎn)，解決了三等分角的問(wèn)題；柏拉圖用兩個(gè)三角形板來(lái)解決了倍立方體問(wèn)題一些數(shù)學(xué)家在此基礎(chǔ)上探索了一些新的數(shù)學(xué)問(wèn)題和理論.例如，柏拉圖的學(xué)生梅內(nèi)克繆斯為了解決倍立方體問(wèn)題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)；希臘數(shù)學(xué)家在求解三等分任意角的過(guò)程中，發(fā)展了高等幾何，包括希皮亞斯的割圓曲線(xiàn)、尼科梅德斯的蚌線(xiàn)、阿基米德的螺線(xiàn)等.一直到1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，利用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，才為解決這三大幾何難題的解決提供了新的轉(zhuǎn)機(jī).其中，在1637年，笛卡爾首先提出立方倍積問(wèn)題不可能用尺規(guī)作圖得出.解析幾何誕生后，將代數(shù)方程與幾何曲線(xiàn)緊密的結(jié)合在了一起，促使人們對(duì)尺規(guī)作圖可能性問(wèn)題有了更加深入的認(rèn)識(shí)，從而得出結(jié)論：一個(gè)幾何量能否用直尺、圓規(guī)作出的問(wèn)題，等價(jià)于它能否由已知量經(jīng)過(guò)有限次加、減、乘、除、開(kāi)方運(yùn)算求得.三大幾何作圖問(wèn)題的真正解決是在解析幾何創(chuàng)立之后的19世紀(jì).1837年，法國(guó)數(shù)學(xué)家旺澤爾進(jìn)過(guò)努力，在代數(shù)方程論的基礎(chǔ)上，證明了倍立方體和三等分角問(wèn)題只用尺規(guī)作圖是不可能的.1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明了數(shù)的超越性，從而也證明了尺規(guī)作圖化圓為方的不可能性.至此，古希臘三大幾何問(wèn)題才徹底得以解決.事實(shí)上，三大幾何問(wèn)題的解決過(guò)程中存在著解析幾何的影子，可見(jiàn)，解析幾何在三大作圖問(wèn)題中的作用是不可替代的.3.4數(shù)形結(jié)合使圓錐曲線(xiàn)的研究有了新進(jìn)展關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的起源，古希臘幾何學(xué)家梅內(nèi)克繆斯認(rèn)為圓錐曲線(xiàn)是為了解決三大幾何問(wèn)題中的“倍立方體”問(wèn)題而提出的.圓錐曲線(xiàn)的出現(xiàn)引起了許多古希臘數(shù)學(xué)家的興趣，他們都對(duì)圓錐曲線(xiàn)做了深入研究，其中包括歐幾里得和阿基米德.但對(duì)圓錐曲線(xiàn)研究的集大成者，則是在阿基米德之后的古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼奧斯.阿波羅尼奧斯晚年，在自己研究成果的基礎(chǔ)上，總結(jié)了前人在圓錐曲線(xiàn)的研究成就，撰成了《圓錐曲線(xiàn)論》.《圓錐曲線(xiàn)論》是圓錐曲線(xiàn)的經(jīng)典著作，它代表了古希臘幾何的最高水平，但這本書(shū)晦澀難懂，阻礙了希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展.自此以后很長(zhǎng)時(shí)間，圓錐曲線(xiàn)的研究不再像古希臘時(shí)期那樣輝煌，希臘幾何也再?zèng)]有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步.17世紀(jì)初期，在研究古希臘“三線(xiàn)軌跡”和“四線(xiàn)軌跡”的基礎(chǔ)上，費(fèi)馬和笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，圓錐曲線(xiàn)的研究從此進(jìn)入了一個(gè)嶄新的時(shí)期.[14]在這一時(shí)期，數(shù)學(xué)家們從代數(shù)的視角，運(yùn)用解析的方法，研究圓錐曲線(xiàn)的定義、方程和各種性質(zhì)，同時(shí)出現(xiàn)了大量圓錐曲線(xiàn)的著作，有些還成為了當(dāng)時(shí)的經(jīng)典教材，為我們提供了豐富的寶庫(kù).在這些著作中，呈現(xiàn)出了各種各樣的橢圓定義方式，而橢圓方程的推導(dǎo)也是精彩紛呈.其中，圓錐曲線(xiàn)的解析方程就是在1655年得到的，英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家沃利斯所撰寫(xiě)的《論圓錐曲線(xiàn)》一書(shū)中為了解釋阿波羅尼奧斯的結(jié)論，他將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，由此第一次得到了圓錐曲線(xiàn)的解析方程.顯然，解析幾何的引入，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，巧妙的將晦澀難懂的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化得易懂，同時(shí)，也促使圓錐曲線(xiàn)的研究有了新進(jìn)展.19世紀(jì)以來(lái)，解析幾何受到分析學(xué)和各種科學(xué)的影響，內(nèi)容發(fā)展得非常豐富，以圓錐曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，不僅在理論上達(dá)到了極高峰，實(shí)際中也得到了充分的運(yùn)用.[14]4總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)單的說(shuō)就是把數(shù)學(xué)中的“數(shù)”與數(shù)學(xué)中的“形”結(jié)合起來(lái)，用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀(guān)的圖像相結(jié)合，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜、抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成直觀(guān)、形象的內(nèi)容.數(shù)形結(jié)合思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分重要的作用.首先，在數(shù)學(xué)概念定理的教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合有著優(yōu)越性，而數(shù)學(xué)概念定理的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的關(guān)鍵.有時(shí)候在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，如果穿插了概念定理的幾何意義，那么學(xué)生對(duì)于概念定理的理解就會(huì)更加深刻，對(duì)于概念定理的記憶也會(huì)更加牢固.因此，教師在