2024貴州中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí) 第28講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（課件）

第28講與圓有關(guān)的位置關(guān)系

貴州近年真題精選1

考點(diǎn)精講2

重難點(diǎn)分層練3貴州近年真題精選1命題點(diǎn)與圓有關(guān)的位置關(guān)系(黔西南州2023.18)1.(2023黔西南州18題3分)已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為m、n，且m、n滿足

＋(n－2)2＝0，圓心距O1O2＝

，則兩圓的位置關(guān)系為________．相交第2題圖與切線性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算(黔西南州2考，黔東南州2考，貴陽3考)2命題點(diǎn)2.(2015黔西南州6題4分)如圖，點(diǎn)P在⊙O外，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，∠P＝50°，則∠AOB等于(

)A.150°B.130°C.155°D.135°B第3題圖3.(2021貴陽9題3分)如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)是(

)A.144°B.130°C.129°D.108°A第4題圖4.(2021黔西南州23題12分)如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥l，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E，連接CE.(1)求證：∠CAD＝∠CAB；∵直線l切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥l.∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB；(6分)(1)證明：如解圖，連接OC，(2)若EC＝4，sin∠CAD＝

，求⊙O的半徑．(2)如解圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°.∵∠CAD＝∠CAB，∴sin∠CAD＝sin∠CAB＝

，

，∴BC＝EC＝4，∴

，∴AB＝12.∴⊙O的半徑為6.(12分)第4題圖第5題圖5.(2022三州聯(lián)考22題12分)如圖，點(diǎn)P在⊙O外，PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，直線PO與⊙O相交于點(diǎn)A、B.(1)若∠A＝30°，求證：PA＝3PB；∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠OCB＝90°－∠ACO＝60°，∴∠BCP＝90°－∠OCB＝30°，∵OC＝OB，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB，∠OBC＝60°，∴∠P＝∠OBC－∠BCP＝30°，∴∠P＝∠BCP，∴BP＝BC，∵OA＝OB＝BC，∴OA＝OB＝BP，∴PA＝3PB；(6分)第5題圖(1)證明：如解圖，連接OC，(2)∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC.∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，∴∠ACO＋∠OCB＝∠BCP

＋∠OCB，∴∠ACO＝∠BCP，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COB＝2∠A＝2∠BCP，∵∠P＋∠COB＝90°，∴∠P＋2∠BCP＝90°，∴∠BCP＝

(90°－∠P)．(12分)(2)小明發(fā)現(xiàn)，∠A在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，始終有∠BCP＝(90°－∠P)成立．請你寫出推理過程．第5題圖6.(2022貴陽23題10分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，連接OP，點(diǎn)A關(guān)于OP的對稱點(diǎn)C恰好落在⊙O上．(1)求證：OP∥BC；第6題圖(1)證明：∵點(diǎn)A關(guān)于OP的對稱點(diǎn)是點(diǎn)C，∴∠AOP＝∠COP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠AOC＝∠OBC＋∠OCB，∴2∠AOP＝2∠B，∴∠AOP＝∠B，∴OP∥BC；(4分)(2)過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AP的延長線于點(diǎn)D，如果∠D＝90°，DP＝1.求⊙O的直徑．第6題圖∵CD是⊙O的切線，∴CD⊥OC，∵∠D＝90°，∴AD∥OC，∴∠A＋2∠AOP＝180°，由(1)知，∠AOP＝∠B，∴∠A＋2∠B＝180°①，∵OA＝OP，∴∠A＋∠OPA＋∠AOP＝2∠A＋∠B＝180°②，由①②得∠A＝∠B＝60°，∴△AOP，△COB都是等邊三角形，∴∠POC＝60°，第6題圖(2)解：如解圖，連接PC，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形，∴OC＝PC，∠DCP＝∠DCO－∠PCO＝90°－60°＝30°，在Rt△PCD中，PC＝2PD＝2，∴⊙O的直徑為2OC＝2PC＝4.(10分)第6題圖第7題圖7.(2023貴陽23題10分)如圖，AB為⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，⊙O的切線AF交BD的延長線于點(diǎn)F，切點(diǎn)為A，且∠CAD＝∠ABD.(1)求證：AD＝CD；(1)證明：在⊙O中，∵∠ABD與∠ACD都是

所對的圓周角，∴∠ABD＝∠ACD.∵∠CAD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD；(4分)(2)解：∵AF是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴∠FAB＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°.∵∠FAD＋∠BAD＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠FAD＝∠ABD.又∵∠ABD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠FAD.第7題圖(2)若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(ASA)，∴AE＝AF，ED＝FD.(6分)在Rt△BAF中，∵AB＝4，BF＝5，∴AF＝3，即AE＝3.∵

AB·AF＝

BF·AD，∴AD＝

.第7題圖在Rt△ADF中，

，∴BE＝5－

×2＝

.∵∠BEC＝∠AED，且∠ECB＝∠EDA，∴△BEC∽△AED，∴

，即BC＝

.第7題圖∵∠BDC與∠BAC都是

所對的圓周角，∴∠BDC＝∠BAC.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∴sin∠BAC＝

，即sin∠BDC＝

.(10分)第7題圖第8題圖貴州其他地市真題8.(2022黔南州10題4分)如圖，已知直線AD是⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，OD交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，且∠ODA＝36°，則∠ACB的度數(shù)為(

)A.54°

B.36°C.30°

D.27°D第9題圖9.(2023遵義12題3分)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，連接AC，⊙P和⊙Q分別是△ABC和△ADC的內(nèi)切圓，則PQ的長是(

)A.B.C.D.B第10題圖10.(2021遵義12題4分)如圖，AB是⊙O的弦，等邊三角形OCD的邊CD與⊙O相切于點(diǎn)P，且CD∥AB，連接OA，OB，OP，AD.若∠COD＋∠AOB＝180°，AB＝6，則AD的長是(

)A.B.C.D.C第11題圖3命題點(diǎn)與切線判定有關(guān)的證明與計(jì)算(黔西南州4考，黔東南州4考)11.(2021黔東南州23題12分)如圖，PA是以AC為直徑的⊙O的切線，切點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作AB⊥OP,交⊙O于點(diǎn)B.(1)求證：PB是⊙O的切線；(1)證明：如解圖，連接OB，BC，設(shè)AB與OP的交點(diǎn)為D，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，∴△AOP≌△BOP(SAS)，∴∠OBP＝∠OAP，∵PA為⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∵OB為⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線；(6分)第11題圖D(2)若AB＝6，cos∠PAB＝

，求PO的長．(2)解：如解圖，∵AB⊥OP，∴AD＝

AB＝3，∵cos∠PAB＝

，∴，∴AP＝5，∴PD＝

＝4，∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∠APO＝∠DPA，∴△PAO∽△PDA，∴

，即

，∴PO＝

.(12分)第11題圖D∵AC＝BC，AD＝CD，OB＝OC，∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2，∵∠ACO＝∠DCO＋∠2，∴∠ACO＝∠DCO＋∠1＝∠BCD，又∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠ACO＝90°.∵OC是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；(6分)第12題圖12.(2023黔西南州22題12分)如圖，點(diǎn)A是⊙O直徑BD延長線上的一點(diǎn)，C在⊙O上，AC＝BC，AD＝CD.(1)求證：AC是⊙O的切線；解：(1)如解圖，連接OC，21第12題圖21(2)若⊙O的半徑為2，求△ABC的面積．(2)由題意可知△DCO是等腰三角形，∵∠CDO＝∠A＋∠2，∠DOC＝∠B＋∠1，∴∠CDO＝∠DOC，∴△DCO是等邊三角形．∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2＝30°，CD＝AD＝OC＝2.在Rt△BCD中，BC＝

，又∵AC＝BC，∴AC＝2.如解圖，作頂點(diǎn)C到AB邊上的高，交AB于點(diǎn)E，在Rt△BEC中，∠B＝30°，∴CE＝

BC＝

.∵AB＝AD＋BD＝6，∴S△ABC＝

AB·CE＝

×6×＝3.(12分)第12題圖21∵D是

的中點(diǎn)，∴

.∴∠CAD＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半徑，∴直線DE與⊙O相切；(6分)第13題圖13.(2022黔西南州22題12分)如圖，已知AB為⊙O的直徑，D是

的中點(diǎn)，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線BF交AD的延長線于F.(1)求證：直線DE與⊙O相切；(1)證明：如解圖，連接OD，(2)已知DG⊥AB且DE＝4，⊙O的半徑為5，求tanF的值．第13題圖(2)解：∵BF是⊙O的切線，∴BF⊥AB.∵DG⊥AB，∴DG∥BF.∴∠F＝∠ADG.由(1)知AD是∠CAB的平分線，且DE⊥AC，DG⊥AB，∴DG＝DE＝4.在Rt△ODG中，OD＝5，DG＝4，則OG＝3，∴AG＝8.∴tan∠ADG＝

＝2.∴tanF＝tan∠ADG＝2.(12分)第14題圖14.(2023黔東南州22題12分)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC2＝PE·PO.(1)求證：PC是⊙O的切線；∵PC2＝PE·PO，∴

.∵∠P＝∠P，∴△PCE∽△POC.∴∠PCO＝∠PEC＝90°.又∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；(6分)(1)證明：如解圖，連接OC，(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半徑．第14題圖(2)解：設(shè)OC＝OA＝x，∵OE∶EA＝1∶2，∴OE＝

x.∵∠OCE＋∠PCE＝∠PCE＋∠P＝90°，∴∠OCE＝∠P.∵∠COE＝∠POC，∴△OCE∽△OPC.∴

，即

.解得x＝3或x＝0(舍去)，∴⊙O的半徑為3.(12分)第15題圖15.(2023黔西南州25題12分)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長AB至點(diǎn)C，使BC＝OB，點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn)，DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接CD，PE，PC.(1)求證：CD是⊙O的切線；∵DE垂直平分OB，∴DB＝DO.在⊙O中，OD＝OB，∴DB＝DO＝BO，∴△ODB為等邊三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°.∵BC＝BO＝BD，且∠DBE為△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝

∠DBO，∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°.又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；(6分)(1)證明：如解圖①，連接OD，DB，第15題圖第15題圖(2)小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)

是一個(gè)確定的值，回答這個(gè)確定的值是多少？并對小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明．(2)解：這個(gè)確定的值是

.證明：如解圖②，連接OP，由已知可得OP＝OB＝BC＝2OE，∴

.又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴

.(12分)第16題圖貴州其他地市真題16.(2023畢節(jié)26題14分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O經(jīng)過Rt△ACD的直角邊DC上的點(diǎn)F，交AC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F是弧EB的中點(diǎn)，∠C＝90°，連接AF.(1)求證：直線CD是⊙O切線；(1)證明：如解圖，連接OF，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵點(diǎn)F是

的中點(diǎn)，∴

，∴∠OAF＝∠CAF，∴∠OFA＝∠CAF，∴OF∥AC，∵∠C＝90°，∴∠OFC＝90°，即OF⊥CD，∵OF為⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線；(6分)第16題圖(2)若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．(2)解：由(1)可知AC∥OF，∴△OFD∽△ACD，∴

，∵BD＝2，OF＝OB＝4，∴OD＝6，AD＝10，∴AC＝

，∴CD＝

，第16題圖∵AC∥OF，OA＝4，∴

，即

，解得CF＝

，∴tan∠AFC＝

.(14分)第16題圖第17題圖17.(2022安順25題12分)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H.(1)判斷DH與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∵OD是⊙O的半徑，∴DH與⊙O相切；(4分)(1)解：DH與⊙O相切．理由如下，如解圖①，連接OD，(2)求證：點(diǎn)H為CE的中點(diǎn)；第17題圖∵四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B＋∠AED＝180°，∵∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠DEC＝∠B，∵∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴點(diǎn)H為CE的中點(diǎn)；(8分)(2)證明：如解圖②，連接DE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴DC＝

BC＝

×10＝5，∵在Rt△ADC中，cosC＝

，∴AC＝

，∵在Rt△DHC中，cosC＝

，∴HC＝

，由(2)知點(diǎn)H為CE的中點(diǎn)，∴CE＝2CH＝

，

∴AE＝AC－EC＝.(12分)(3)若BC＝10，cosC＝

，求AE的長．第17題圖(3)解：如解圖③，連接AD，關(guān)系判定切線的性質(zhì)與判定定義定理切線長三角形內(nèi)切圓圓心的名稱性質(zhì)角度關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)圓與圓的位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含確定圓條件直線與圓的位置關(guān)系與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點(diǎn)精講【對接教材】人教：九上第二十四章P92－P104；

北師：九下第三章P89－P96.＞點(diǎn)與圓有關(guān)的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外?d______r，如右圖中點(diǎn)A點(diǎn)在圓上?d________r，如右圖中點(diǎn)B點(diǎn)在圓內(nèi)?d________r，如右圖中點(diǎn)C（設(shè)圓的半徑為r，平面內(nèi),任一點(diǎn)到圓心的距離為d）確定圓條件：不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓＝<直線與圓的位置關(guān)系(設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d)位置關(guān)系示意圖d與r的關(guān)系公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相離d________r沒有公共點(diǎn)________d________r有且只有________個(gè)公共點(diǎn)相交d<r有兩個(gè)公共點(diǎn)相切＝＞一圓與圓的位置關(guān)系(設(shè)⊙O1的半徑為r1，⊙O2的半徑為r2(r1＜r2)，⊙O1與⊙O2的圓心距為d)位置關(guān)系示意圖d與r1和r2之間的關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)外離d>r1＋r2沒有公共點(diǎn)外切d＝r1＋r2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)位置關(guān)系示意圖d與r1和r2之間的關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交r2－r1<d<r1＋r2有兩個(gè)公共點(diǎn)內(nèi)切d＝r2－r1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)內(nèi)含d<r2－r1沒有公共點(diǎn)切線的性質(zhì)與判定數(shù)量關(guān)系：圓心到切線的距離等于半徑位置關(guān)系：切線________于過切點(diǎn)的半徑若已知直線與圓有公共點(diǎn)，連接過這點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可．可簡述為：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直若未知直線與圓的交點(diǎn)，過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于圓的半徑．可簡述為：無切點(diǎn)，作垂直，證半徑判定和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線(定義)經(jīng)過半徑的外端并且________于這條半徑的直線是圓的切線圓心到已知直線的距離________半徑長，則這條直線是圓的切線●滿分技法垂直垂直等于切線長(如右圖)定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的一條切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長度定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，如圖，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，那么PA＝PB，且∠APO＝∠BPO三角形內(nèi)切圓(如右圖)1.圓心的名稱：內(nèi)心(即三角形三個(gè)內(nèi)角的________的交點(diǎn))2．性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形_____________________________3．角度關(guān)系：∠BOC＝90°＋∠A平分線三條邊的距離相等●拓展延伸如圖，△ABC為直角三角形，則外接圓半徑R＝

；內(nèi)切圓半徑

重難點(diǎn)分層練例1題圖例1如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且E為OB的中點(diǎn)，試判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．突破設(shè)問1切線的判定類型一切點(diǎn)不確定，作垂直，證半徑

解：BC與⊙O相切，理由如下：如解圖，過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H.∵∠ACB＝90°，∴OH∥AC，∵∠A＝60°，∴∠HOB＝60°，∴OH＝

OB，∵E為OB的中點(diǎn)，∴OE＝

OB，∴OH＝OE，∴OH是⊙O的半徑，又∵OH⊥BC，∴BC與⊙O相切．例1題圖H∟∵AE⊥BD，∴∠E＝90°，∵∠AOE＝∠BAE，∴∠ABE＝∠OAE.又∵BC為⊙O的切線，∴∠BCO＝90°＝∠E，∵∠BOC＝∠AOE，∴∠OBC＝∠OAE＝∠ABE，又∵OB＝OB，∴△OBC≌△OBF，∴OF＝OC，即OF是⊙O的半徑，又∵OF⊥AB，∴AB為⊙O的切線．重難點(diǎn)分層練例2題圖例2如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊BC相切于點(diǎn)C，連接BO交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)E，且∠AOE＝∠BAE.求證：AB為⊙O的切線．證明：如解圖，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，∟F例3題圖方法1已知角平分線，連半徑構(gòu)造平行，證垂直例3如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長線于點(diǎn)E，求證：ED是⊙O的切線．類型二切點(diǎn)確定，連半徑，證垂直∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半徑，∴ED是⊙O的切線．證明：如解圖，連接OD.例3題圖滿分技法“角平分線”＋兩半徑組成的等腰三角形，利用角平分線性質(zhì)及等邊對等角得到的等角證得平行．例4題圖方法2已知中點(diǎn)，構(gòu)造中位線，證垂直例4如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，延長AD至點(diǎn)C，使AD＝DC，連接BC，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.求證：直線DE是⊙O的切線．∵AD＝DC，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴直線DE是⊙O的切線．證明：如解圖，連接OD，滿分技法若已知中點(diǎn)，則連接已知中點(diǎn)與圓心構(gòu)造中位線，利用中位線的性質(zhì)證得平行．方法3等角轉(zhuǎn)換證垂直例5如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙C經(jīng)過點(diǎn)A，交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接AE并延長交⊙C于點(diǎn)F，連接BF，且BF＝BE.求證：BF是⊙C的切線．例5題圖例5題圖∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF，∵∠BEF

＝∠AEC，∴∠BFE＝∠AEC，∵∠ACB＝90°，∴∠AEC＋∠EAC＝90°，∵CA＝CF，∴∠EAC＝∠CFE，∴∠BFE＋∠CFE＝90°，即∠BFC＝90°，∵CF是⊙C的半徑，∴BF是⊙C的切線．證明：如解圖，連接CF，例6如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，D為

的中點(diǎn)，連接AD交BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，且EF＝AF.求證：AF為⊙O的切線．例6題圖證明：如解圖，連接OD交BC于點(diǎn)G.∵BC為⊙O的弦，D為

的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴∠DEG＋∠ODA＝90°，∵EF＝AF，∴∠FAE＝∠FEA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠FEA＝∠DEG，∴∠FAE＝∠DEG，∴∠FAE＋∠OAD＝90°，即∠FAB＝90°，∵AB為⊙O的直徑，∴AF為⊙O的切線．G方法4三角形全等證垂直例7如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC、BC，過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作⊙O的切線與OD的延長線交于點(diǎn)E，EC、AB的延長線交于點(diǎn)P.求證：EC是⊙O的切線．例7題圖證明：如解圖，連接OC，∵OA＝OC，OD⊥AC，∴OD所在直線是AC的垂直平分線，∴EA＝EC.在△EAO和△ECO中，∴△EAO≌△ECO(SSS)，∴∠EAO＝∠ECO.又∵EA是⊙O的切線，∴∠ECO＝∠EAO＝90°.∵OC為⊙O的半徑，∴EC是⊙O的切線．例7題圖方法1利用勾股定理例8如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，切線DE交AC于點(diǎn)E.若AD＝8，DE＝5，求BC的長．突破設(shè)問2求線段長或線段比值例8題圖∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切線，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，解：如解圖，連接OD、DC，例8題圖在Rt△ADC中，DC＝

，設(shè)BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2＋62，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋8)2－102，∴x2＋62＝(x＋8)2－102，解得x＝

，∴BC＝

.例8題圖例9題圖方法2利用三角函數(shù)例9如圖，OA，OC都是⊙O的半徑，點(diǎn)B在OC的延長線上，BA與⊙O相切于點(diǎn)A，連接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝

，求⊙O的直徑長．解：如解圖，延長AO交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，∵BA與⊙O相切，∴DA⊥AB，∴∠DAC＋∠BAC＝90°.∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠DAC＋∠D＝90°，∴∠D＝∠BAC.∵tan∠BAC＝

，∴tanD＝

，即

.∵AC＝4，∴CD＝12.在Rt△ACD中，由勾股定理得

.D例9題圖例10題圖方法3利用三角形相似例10如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，過點(diǎn)B作BD⊥CD于點(diǎn)D，延長DB交⊙O于點(diǎn)E，連接CE.若BD＝2，BE＝4，求BC的長．解：如解圖，連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°∴∠ACO＋∠OCB＝90°.∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠BCD.∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO，∴∠BCD＝∠CAB.∵∠CAB＝∠CEB，∴∠BCD＝∠CEB.∵∠D＝90°，∴△CDB∽△EDC，∴

.∵BD＝2，BE＝4，∴DE＝6，∴

，解得CD＝2(負(fù)值已舍去)，∴

，∴BC的長為4.例10題圖例11如圖，AB是⊙O的直徑，PB⊥AB，過點(diǎn)B作BC⊥OP交⊙O于點(diǎn)C，垂足為D，連接PC并延長與BA的延長線交于點(diǎn)M.若

，求

的值．例11題圖解：如解圖，連接OC、AC.∵OC＝OB，BC⊥OP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，∴△PBO≌△PCO，∴∠OCP＝∠OBP，∵PB⊥AB，∴∠ABP＝90°，∴∠OCP＝90°，∵∠OCP＝∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠CPO，∴△OCD∽△OPC，∴

，∴OC2＝OD·OP.例11題圖∵

，∴設(shè)OD＝x，則PD＝9x，∴OP＝10x，∴OC＝

x，∴CD＝3x，AB＝2x，∴BC＝6x.∴AC＝