高中數(shù)學人教A版高中必修2第三章直線與方程-直線復習

1.傾斜角的定義：當直線/與X軸相交時，取X軸作為基準，X軸正方包與直線/向上方

向之間所成的角叫做直線/的傾斜角.如圖所示，直線/的傾斜角是NAPX,直線V的傾斜角

是NBPx.

2.傾斜角的范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是（TWaV180。，并規(guī)定與x軸平行或重

合的直線的傾斜角為0。.

3.傾斜角與直線形狀的關(guān)系

傾斜角a=0°0°<a<90°a=90。90°<a<180°

Im/I

直線ZP：1a壯

0]X^P\OXO\PI?o\Ai

1.斜率的定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.常用小寫字母/表示，即仁tana.

2.斜率公式：經(jīng)過兩點PG”力），「2（及，”）（乃力及）的直線的斜率公式為人=￡胃.當乃=及時，直線PP2

沒有斜率.

3.斜率作用：用實數(shù)反映了平面直角坐標系內(nèi)的直線的傾斜程度.

2.斜率公式

々=2a=201

X1-X2X2~X\

[例1]（1）若直線/的向上方向與y軸的正方向成30。角，則直線/的傾斜角為（）

A.30°B.60°

C.30°或150°D.60°或120°

（2）下列說法中，正確的是（）

A.直線的傾斜角為a,則此直線的斜率為tana

B.直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a

C.若直線的傾斜角為a,則sina>0

D.任意直線都有傾斜角a,且aW90。時，斜率為tana

1.直線/經(jīng)過第二、四象限，則直線/的傾斜角范圍是（）

A.[0°,90°）B.[90°,180°）

C.（90°,180°）D.（0°,180°）

解析：選C直線傾斜角的取值范圍是[0。，180°）,又直線/經(jīng)過第二、四象限，所以直線/的傾斜角范圍是

（90°,180°）.

2.設直線/過原點，其傾斜角為a,將直線/繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。，得到直線小則直線/i的

傾斜角為（）

A.a+45°

B.a—135°

C.135。一a

D.當（TWuV135。時為a+45。,當135。在仁〈180。時為。一135。

解析：選D當(TWaV135。時，/i的傾斜角是a+45。.當135oWa<180。時，結(jié)合圖形和傾斜角的概念，即

可得到人的傾斜角為a-135°,故應選D.

圖⑴圖⑵

［例2］(1)已知過兩點A(4,y),BQ,-3)的直線的傾斜角為135。，則y=；

(2)過點P(—2,m)，。(〃?,4)的直線的斜率為1,則，"的值為；

(3)已知過A(3,l),B(m,-2)的直線的斜率為1,則m的值為.

3.(2023?河南平頂山高一調(diào)研)若直線過點(1,2),(4,2+小)，則此直線的傾斜角是()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［例3］已知實數(shù)x,y滿足y=-2%+8,且2&W3,求:的最大值和最小值.

4.點M(x,y)在函數(shù)y=-2x+8的圖象上，當xe［2,5］時，求號|的取值范圍.

［典例］已知兩點A(—3,4),8(3,2),過點尸(1,0)的直線I與線段AB有公共點，則/的傾斜角的取值范圍

;直線/的斜率上的取值范圍.

已知直線/過點尸(3,4),且與以4—1,0),B(2,l)為端點的線段AB有公共點，求直線/的斜率k的取值范圍.

4—0

解：?直線上的斜率如/。=1,直線PB的斜率HB===3,...要使直線/與線段AB有公共點,

3—(—1)

%的取值范圍為［1,3］.

Mi蹴U自主演練，百煉方成鋼

YINGV0NG

［成堂中時窗值］

1.關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列說法正確的是()

A.任一直線都有傾斜角，都存在斜率

B.傾斜角為135。的直線的斜率為1

C.若一條直線的傾斜角為a,則它的斜率為％=tana

D.直線斜率的取值范圍是(一00,+°°)

解析：選D任一直線都有傾斜角，但當傾斜角為90。時，斜率不存在.所以A、C錯誤；傾斜角為135。的

直線的斜率為-1,所以B錯誤；只有D正確.

2.已知經(jīng)過兩點(5,〃。和(北8)的直線的斜率等于1,則機的值是()

A.5B.8

D.7

Q一61o

解析：選C由斜率公式可得一3=1,解之得相=與.

3.直線/經(jīng)過原點和(一1,1),則它的傾斜角為.

1—0

解析：%=:7=1,

-I—0

因此傾斜角為135°.

答案：135。

4.已知三點A3,2),8(3,7),C(—2,-9a)在同一條直線上，實數(shù)a的值為.

解析：B、C三點共線，

?59。+7...2

:-ICAB=kBC,即3—“=~j，?'?a=2或g.

答案：2或5

5.已知A(機，一〃i+3),B(2,m—1),C(~l,4),直線4c的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求折的值.

解：由題意直線4c的斜率存在，即加#一1.

(一加+3)-4(m-1)—4

~^+i-2-(-1)-

.(―zw+3)~4。"-1)—4

,,"+132—(—1)?

整理得：—m—1=(zn_5)(m+1),

即(%+1)(加-4)=0,

Aw=4或,"=-1(舍去).

［福時達標檢測］

一、選擇題

1.給出下列說法，正確的個數(shù)是()

①若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等；

②一條直線的傾斜角為一30。；

③傾斜角為0。的直線只有一條；

④直線的傾斜角a的集合｛詠)。?&〈180。｝與直線集合建立了一一對應關(guān)系.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A若兩直線的傾斜角為90。，則它們的斜率不存在，①錯；直線傾斜角的取值范圍是［0。，180°),

②錯；所有垂直于y軸的直線傾斜角均為0。，③錯：不同的直線可以有相同的傾斜角，④錯.

2.過兩點A(4,y),8(2,-3)的直線的傾斜角為45。，則y=()

A.

2

C.-1D.1

y+3y+3

解析：選Ctan45°=kAB=K，即工=1,所以），=-1.

3.如圖，設直線/i，l2,b的斜率分別為處，k2,依，則公，k2,角的大1L小關(guān)系為（）

A.k\—

B.ki<k3<k2~\i3

C.心<心<&3

D.k3vh<ki

解析：選A根據(jù)“斜率越大，直線的傾斜程度越大”可知選項A正確.

4.經(jīng)過兩點A（2,l）,8（1,機2）的直線/的傾斜角為銳角，則根的取值范圍是（）

A.m<.1B.—1

C.—1<nz<lD.m>1或mV—1

解析：選c???直線/的傾斜角為銳角，

,*rn2-1

?,?A斜率%=-;-->0,

1—2

5.（2023?廣州高一檢測）如果直線/過點（1,2）,且不通過第四象限，那么/的斜率的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]

D.（0,3]

解析：選B過點（1,2）的斜率為非負且最大斜率為此點與原點的連線斜率時，圖象不過第四象限.

二、填空題

6.已知。>0,若平面內(nèi)三點A（l，—〃），5（2,/）,C（3,共線，貝ij〃=.

解析：若平面內(nèi)三點共線，則心B=ksc,即萬二整理得2。-1=0,解得。=1+啦，或。=1

一地（舍去）.

答案：1+啦

7.如果直線6的傾斜角是150。，/2±/i，垂足為，b與x軸分別相交于點C，A,/3平分/B4C,則人的傾斜

解析：因為直線八的傾斜角為150°,所以NBC4=30°,所以/3的傾斜角為3x（90°—30°）=30°.

答案：30°

y—1

8.已知實數(shù)x,y滿足方程x+2y=6,當1WXW3時，匕的取值范圍為.

y——1

解析：匕的幾何意義是過M(X,y),M2,1)兩點的直線的斜率，因為點M在函數(shù)x+2y=6的圖象上，且

，所以可設該線段為A3,且§,5(3,,),由于ZNA=一/，所以的取值范圍是1―8,—|

u[i+8).

答案：(-8,-1J1,+8)

三、解答題

9.已知直線/過點A(l,2),8(加,3),求直線/的斜率和傾斜角的取值范圍.

解：設/的斜率為左，傾斜角為a,

當m=1時，斜率左不存在，0=90°,

3—2]

當mW1時，k=7=7,

m—1m—1

當,”>1時，左=」~7>0,此時a為銳角，0°<a<90°,

加一1

當，“VI時，k=—^—r<0,此時a為鈍角，

m—1

90°<a<180°.

所以ae(0°,180°),kW(—8,o)U(O,+°°).

10.已知4(3,3),8(—4,2),C(0,-2),

(1)求直線A8和AC的斜率.

(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍.

2—31—2—35

解：(1)由斜率公式可得直線AB的斜率二,=亍直線AC的斜率以。=八二；=*故直線A8的斜率為

直線AC的斜率為

(2)如圖所示，當。由8運動到C時，直線AO的斜率由MB增大到kAc,所以直線A。

的斜率的變化范圍是.

對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點

(1)/1〃/2O%l=%2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②/|與，2不重合.

(2)當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與/2的傾斜角都是90。，則

(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：

h〃gkl=k2或11，/2斜率都不存在.

如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于二1;反之，如果它們的斜率之積等于

二1，那么它們互相垂直，即m>k2=-l.

對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點

(l)/l_L/2㈡41飽=—1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②心#0且比￡0.

(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直.

(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：

今鬲生=-1或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零.

［例1］根據(jù)下列給定的條件，判斷直線/!與直線/2是否平行.

(1)/1經(jīng)過點4(2,1),8(—3,5),/2經(jīng)過點C(3,-3),￡)(8,-7)；

(2)/i經(jīng)過點E(O,1),F(—2,-1),/2經(jīng)過點G(3,4),H(2,3)；

(3)/i的傾斜角為60。,6經(jīng)過點M(l,小)，N(—2,-2小)：

(4)/1平行于)，軸，/2經(jīng)過點P(0，-2),2(0,5).

1.試確定〃?的值，使過點4>+1,0),3(—5,〃。的直線與過點C(—4,3),0(0,5)的直線平行.

［例2］已知直線/i經(jīng)過點A(3,a),B(a-2,-3),直線」經(jīng)過點C(2,3),D(-l,a-2),如果求

。的值.

3.已知4(1,0),B(3,2),C(0,4),點。滿足4BJ_C￡>,且AZ)〃BC,試求點。的坐標.

［典例］已知直線(經(jīng)過A(3,m),直線避經(jīng)過點C(l,2),D(-2,m+2).

⑴若l\//h>求m的值；

(2)若求機的值.

已知4(一3,2),8(—2,〃-4,4),C(~m,rri),。(3,3，〃+2),若直線AB_LC￡),求，”的值.

1.下列說法正確的有()

①若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行；

②若h〃h，則眉=%

③若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直；

④若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：選A若%=%2,則這兩條直線平行或重合，所以①錯；當兩條直線垂直于X軸時，兩條直線平行，

但斜率不存在，所以②錯；若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，才有這兩條直線垂

直，所以③錯：④正確.

2.直線/”6的斜率是方程/一3x—1=0的兩根，則人與，2的位置關(guān)系是()

A.平行B.重合

C.相交但不垂直D.垂直

解析：選D設/2的斜率分別為由，心，則心無2=-1.

3.已知AABC中，A(0,3)、BQ,—1),E、尸分別為AC、8c的中點，則直線EF的斜率為.

解析：產(chǎn)分別為AC、8C的中點，

：.EF//AB.

.-1-3、

:.kEF=kAB=-_()=-2.

答案：一2

4.經(jīng)過點(九3)和(2,〃?)的直線/與斜率為一4的直線互相垂直，則〃?的值是

1m-3m—3114

解析：由題意可知心=工，叉因為ki=x一所以;-=7，解得，

42~m2—w43

5.判斷下列各小題中的直線與/2的位置關(guān)系.

(1)/1的斜率為TO,(經(jīng)過點A(10,2),8(20,3)；

(2M過點A(3,4),8(3,100),b過點M(—10,40),M10,40);

(3M過點4(0,1),8(1,0),，2過點M(—1,3),N(2,0)；

(4)/i過點4(-3,2),仇一3,10),b過點M(5,-2),N(5,5).

3—2]

解：(1)攵]=-io,%2=00_1()=75,

?:k2-l,A/1±Z2.

40—40

(2)/i的傾斜角為90°,則/]±x軸.fe=K)_(_10)=0,

則/2〃x軸，A/I±/2.

0—10—3.

(3)攵]=]_0=-1,%2=,_(_[)=-1?k\=ki.

3—1

又kAM=_]_()=_2WZ],/.l\//h.

⑷〈/I與/2都與x軸垂直，

［福時達標檢測］

一、選擇題

1.已知過點尸(3,2⑼和點。(加,2)的直線與過點M(2,—1)和點M—3,4)的直線平行，則加的值是()

B.-1

D.-2

4-(—1)2—2〃?

解析：選B因為MN〃PQ,所以kMN=kpQ,即_：2=肅?，解得加=一1?

2.以4(—1/)，8(2,-1),C(l,4)為頂點的三角形是()

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.以A點為直角頂點的直角三角形

D.以3點為直角頂點的直角三角形

—1—124—13yt

解析：選C如右圖所示，易知kf\B=._/_］、=-7,.C=］］)=5,4￡由kAB'kAC=-1知

三角形是以A點為直角頂點的直角三角形.AA\

3.已知點A(—2,-5),3(6,6),點P在y軸上，且NAPB=90。，則點尸一寸法’的坐標為()

A.(0,-6)B.(0,7)

C.(0,一6)或(0,7)D.(一6,0)或(7,0)

解析：選C由題意可設點尸的坐標為(0,y).因為NAP8=90。，所以APJL8P,且直線AP與直線8P的斜

率都存在.又女”=%—,kRP='_7",kAP'knp=-1,

v+5v-6

即W(一二[)=-1，解得)，=-6或)，=7.所以點P的坐標為(0,-6)或(0,7).

4.若4—4,2),8(6,-4),C(12,6),0(2,12),則下面四個結(jié)論：@AB//CD-,?ABLAD-.@AC//BDx④

ACLB。中正確的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

—4—~2312"-6312~~256—2]

解析：選C由題意得、"=6_(_4)=_予kcD=2—i2=~5,.0=2—(—4)=予^AC=i2—(-4)=4,無。

4,所以AB〃CO,AB_LAO,AC.LBD.

已知點A(2,3),8(—2,6),C(6,6),0(10,3),則以A,B,C,。為頂點的四邊形是(

梯形B.平行四邊形

菱形D.矩形

33

解析：選B如圖所示，易知心s=-4，kBC=0,kcD=—4.kAD=0,kBD——7,kAC

=1，所以kAB=kcD,kBC=kAD,kAB-kAD=0,kAC~knD=~~飛,*2Ig，io：

故AZ)〃BC,AB//CD,A3與AD不垂直，8D與AC不垂直.

所以四邊形ABCD為平行四邊形.

二、填空題

6.K過點A(m,l),8(-3,4),一過點C(0,2),0(1,1),且“一，則，〃=.

解析：/i//121且依=^?=-1,：?ki=7-1,tn=O.

1—0-3―〃？

答案：0

7.已知直線/|的傾斜角為45。，直線/2〃/i，且，2過點A(—2,—1)和8(3,a),則a的值為

解析：'：l2//h,且/1的傾斜角為45°,.,.W2=Wi=tan45°=1,即J=l,所以a=4.

答案:4

8.已知A(2,3),8(1,-1),C(一1,-2),點。在x軸上，則當點。坐標為時，ABLCD.

解析：設點。(x,0),因為幻8=去"=4#0,所以直線CZ)的斜率存在.

-2—0

則由4B_LC。知，k-kD=~1,所以4—:—=一1,解得苫=一9.

ABC-1—X

答案：(—9,0)

三、解答題

9.當“為何值時，過兩點4(1,1),8(2/+1,m一2)的直線：

(D傾斜角為135°；

(2)與過兩點(3,2),(0,一7)的直線垂直；

(3)與過兩點(2,-3),(一4,9)的直線平行？

m-33

解：(1)由kAB=2%/=tan135。=—1,解得加=—],或加=1.

,m—3,—7—2

(2)由kAB=2m2，且0—3=3,

tn—313、

則2〃合=一?解得機=],或〃?=一3.

m—39+3

⑶令2,

2"?一4一2

3、

解得加=不或加=—1.

10.直線■經(jīng)過點A(%1),次一3,4),直線K經(jīng)過點C(Lni)f。(一L加+1),當/“V或時,分別求

實數(shù)機的值.

解：當/]〃6時，

4—1加+1-m

由于直線，2的斜率存在，則直線/|的斜率也存在，則kAB=&D,即-；---=---；—―,解得m=3;

—3-/n—1—1

當/山2時,

由于直線，2的斜率存在且不為0,則直線/1的斜率也存在，則kAnkcD=—1,

4—1機+1-m9

即1,解得機=一東

-3-m―1—1

綜上，當/|〃，2時，〃？的值為3;

9

當/1JL/2時，機的值為一

3.直線的點斜式方程

[提出問題]

斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡約剛毅，力感十足.若以橋面所在直線為x軸，橋塔

所在直線為y軸建立平面直角坐標系，那么斜拉索可看成過橋塔上同一點的直線.

問題1：已知某一斜拉索過橋塔上一點8,那么該斜拉索位置確定嗎？

提示：不確定.從一點可引出多條斜拉索.

問題2：若某條斜拉索過點5(0,b),斜率為4,則該斜拉索所在直線上的點P(x,y)滿足什么條件？

提示：滿足上

問題3：可以寫出問題2中的直線方程嗎？

提示：可以.方程為y—b=kx.

［導入新知］

1.直線的點斜式方程

(1)定義：如圖所示，直線/過定點尸(x(),yo),斜率為左，則把方程y—/lyo=/x—xo)叫做

P(xo,yo)

直線/的點斜式方程，簡稱點斜式.

(2)說明：如圖所示，過定點P(xo,)>o),傾斜角是90。的直線沒有點斜式,其方程為X~Xo=

0,或X=M).

2.直線的斜截式方程

(1)定義：如圖所示，直線/的斜率為出,且與y軸的交點為(0,b),則方程土上叫做直線/的斜截式方

程，簡稱斜截式.

(2)說明：一條直線與y軸的交點(0,一的縱坐標方叫做直線在v軸上的截距.傾斜角是直角的直線沒有斜截

式方程.

［化解疑難］

1.關(guān)于點斜式的幾點說明：

(1)直線的點斜式方程的前提條件是：①已知一點P(xo,加)和斜率心②斜率必須存在.只有這兩個條件都具

備，才可以寫出點斜式方程.

(2)方程y-yo=?x-ro)與方程上=匚效不是等價的，前者是整條直線，后者表示去掉點P(羽，泗)的一條直線.

X-X0

(3)當“取任意實數(shù)時，方程丫一比=%(?一刈)表示恒過定點(xo,把)的無數(shù)條直線.

2.斜截式與一次函數(shù)的解析式相同，都是y=丘+。的形式，但有區(qū)別，當kWO時，)，=履+匕即為一次函

數(shù)；當上=0時，y=b,不是一次函數(shù)，一次函數(shù)丫=履+伙A#0)必是一條直線的斜截式方程.截距不是距離，可

正、可負也可為零.

鎖定高考，考題千變不離其宗

直線的點斜式方程

［例1］(1)經(jīng)過點(-5,2)且平行于y軸的直線方程為.

(2)直線y=x+1繞著其上一點P(3,4)逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得直線/,則直線I的點斜式方程為.

(3)求過點P(l,2)且與直線y=2%+l平行的直線方程為.

［解析］(1)'.?直線平行于y軸，，直線不存在斜率，，方程為x=-5.

(2)直線y=x+l的斜率k=l,所以傾斜角為45。.由題意知，直線/的傾斜角為135。，所以直線/的斜率/

=tan135°=-1,又點P(3,4)在直線/上，由點斜式方程知，直線/的方程為)-4=一(犬一3).

(3)由題意知，所求直線的斜率為2,且過點尸(1,2),；.直線方程為y-2=2(x-l),即2x—y=0.

［答案］(l)x=-5(2)y—4=—(x—3)(3)2%—y=0

［類題通法］

已知直線上一點的坐標以及直線斜率或已知直線上兩點的坐標，均可用直線方程的點斜式表示，直線方程的

點斜式，應在直線斜率存在的條件下使用.當直線的斜率不存在時，直線方程為x=xo.

［活學活用］

1.寫出下列直線的點斜式方程：

⑴經(jīng)過點4(2,5),斜率是4；

(2)經(jīng)過點8(2,3),傾斜角是45。；

(3)經(jīng)過點C(-1,-1),與x軸平行.

解：(1)由點斜式方程可知，所求直線的點斜式方程為丫-5=4。~2).

(2)?.?直線的傾斜角為45°,

二此直線的斜率Jt=tan45°=1.

...直線的點斜式方程為y-3—X—2.

(3),?直線與x軸平行,.?.傾斜角為0。，斜率k=0.

，直線的點斜式方程為y+l=0X(x+l),即)，=一1.

直線的斜截式方程

［例2］(1)傾斜角為150°,在)，軸上的截距是一3的直線的斜截式方程為.

(2)已知直線人的方程為y=-2%+3,/2的方程為y=4x—2,直線/與6平行且與L在y軸上的截距相同，求

直線/的方程.

［解析］(1)；傾斜角a=150°,斜率&=tan150。=一雪，由斜截式可得所求的直線方程為尸一冬一3.

(2)由斜截式方程知直線/i的斜率k\=-2,

又：/〃/i,

???/的斜率％=心=-2.由題意知/2在y軸上的微距為-2,???/在y軸上的截距方=一2,由斜截式可得直線/

的方程為y=—2x~2.

［答案］(1)丁=一堂》一3

［類題通法］

1.斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在.當〃=0時，y="表示過原點的直線；當4=0時，y=b表

示與x軸平行(或重合)的直線.

2.截距不同于日常生活中的距離，截距是一個點的橫(縱)坐標，是一個實數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)

或零，而距離是一個非負數(shù).

［活學活用］

2.求傾斜角是直線產(chǎn)一小x+1的傾斜角的;，且在y軸上的截距是一5的直線方程.

解：?.?直線)，=一于x+1的斜率A=一小，.?.其傾斜角a=120°,由題意，得所求直線的傾斜角ai=；a=30。，

故所求直線的斜率4i=tan30°=雪.

?.?所求直線的斜率是坐，在y軸上的截距為一5,

，所求直線的方程為了=監(jiān)一5.

兩直線平行與垂直的應用

［例3］當。為何值時，

⑴兩直線)，=依-2與y=(a+2)x+l互相垂直？

(2)兩直線y=—x+4a與y=(〃2—2)x+4互相平行？

［解］(1)設兩直線的斜率分別為公，的，則肥=〃，k2=a+2.

,兩直線互相垂直，

工鬲%2=。(。+2)=-1,

解得〃=一1.

故當a=—\時，兩條直線互相垂直.

(2)設兩直線的斜率分別為心，k4,

則依=-1,攵4=/—2.

???兩條直線互相平行，

［i72-2=-1,

］解得〃=—1.

故當a=—\時，兩條直線互相平行.

［類題通法］

判斷兩條直線位置關(guān)系的方法

直線/i：y=k\x-\-b\,直線，2：y=k2x+b2.

(1)若島K?2,則兩直線相交.

(2)若內(nèi)=依，則兩直線平行或重合，

當加#歷時，兩直線平行；

當加=歷時，兩直線重合.

(3)特別地，當所必=一1時,兩直線垂直.

(4)對于斜率不存在的情況，應單獨考慮.

［活學活用］

3.(1)若直線八：y=(2a-l)x+3與直線氏y=4x-3垂直，則。=.

(2)若直線ox+2y+3a=0與直線3x+(a—l)y=—7+a平行，則實數(shù)a的值為.

解析：⑴由題意可知幼=2a—1,kh=4.

3

V/a/2,/.4(2a-l)=-l,解得o

(2)顯然當〃=1時兩直線不平行；當。W1時，2］=號，幻=7^一，因為兩條直線平行，所以41=心，解得。

乙1CI

=3或〃=—2.經(jīng)檢驗，〃=—2時兩直線重合，故4=3.

3

答案⑵3

1)8

修補短板，拉分題一分不丟

系列/

偏懣"/

7.斜截式判斷兩條直線平行的誤區(qū)

［典例］已知直線/i：x+/wy+6=0,，2：(加一2)x+3y+2〃?=0,當/1〃/2時，求〃2的值.

—22

［解］由題設h的方程可化為y=~~―x—^in,

m-22

則其斜率&2=——Q―,在y軸上的截距岳=一了機

???/］〃/2,???/］的斜率一定存在，即加#0.

/./i的方程為y=-4一±

7mm

m~21

3~m

由得'

2,6

_*一啟

解得m=-1.tn的值為-1.

［易錯防范］

1.兩條直線平行時，斜率存在且相等，截距不相等.當兩條直線的斜率相等時，也可能平行，也可能重合.

2.解決此類問題要明確兩直線平行的條件，尤其是在求參數(shù)時要考慮兩直線是否重合.

［成功破障］

當。為何值時，直線/i：y=-2or+2a與直線6：y=(〃2—3)x+2平行？

解：/.a2-3=-2?JL2a^2,

解得a=~3.

自主演練，百煉方成鋼IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

［成堂中時演優(yōu)］

1.直線y=2x—3的斜率和在y軸上的截距分別等于()

A.2,3B.-3,-3

C.-3,2D.2,-3

答案：D

2.直線/經(jīng)過點P(2,-3),且傾斜角a=45。，則直線的點斜式方程是()

A.y+3=x—2B.y—3—x+2

C.y+2=x—3D.y—2=x+3

解析:選A,直線/的斜率左=tan45。=1,

二直線/的方程為y+3=x-2.

3.過點(一2,-4),傾斜角為60。的直線的點斜式方程是.

解析：a=60°,Z=tan60°=小，

由點斜式方程，得)，+4=小。+2).

答案:y+4—y/3(x+2)

4.在y軸上的截距為2,且與直線y=-3x—4平行的直線的斜截式方程為

解析：：直線y=-3x-4的斜率為-3,

所求直線與此直線平行，

.?.斜率為一3,又截距為2,由斜截式方程可得)，=—3x+2.

答案：y=-3x+2

5.(1)求經(jīng)過點(1,1),且與直線y=2x+7平行的直線的方程；

(2)求經(jīng)過點(-2,—2),且與直線y=3x-5垂直的直線的方程.

解：(1)由)，=2x+7得其斜率為2,由兩直線平行知所求直線的斜率是2.

...所求直線方程為)，-1=2(尤一1),

即2x~y~1=0.

⑵由y=3x—5得其斜率為3,由兩直線垂直知，所求直線的斜率是一生

???所求直線方程為y+2=—1(x+2),即x+3y+8=0.

[徐時達根檢測]

一、選擇題

1.已知直線的方程是y+2=-x—l,貝4()

A.直線經(jīng)過點(-1,2),斜率為一1

B.直線經(jīng)過點(2,-1),斜率為一1

C.直線經(jīng)過點(-1,-2),斜率為一1

D.直線經(jīng)過點(一2,-1),斜率為1

解析：選C直線的方程可化為y—(―2)=—[x—(―1)],故直線經(jīng)過點(一1,—2),斜率為-1.

2.直線y=ar—5的圖象可能是()

解析：選B由.y=ax—1可知，斜率和截距必須異號，故B正確.

3.與直線y=2r+l垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是()

A.y=]x+4B.y=2x+4

C.y=~2x+4D.y=一/+4

解析：選D因為所求直線與y=2r+l垂直，所以設直線方程為、=一5+。又因為直線在y軸上的截距為

4,所以直線的方程為y=—1x+4.

4.過點(-1,3)且垂直于直線x—2y+3=0的直線方程為()

A.2x+y—]=0B.2x+y—5=0

C.x+2y—5=0D.x~2y+l=0

解析：選A在斜率存在的條件下，兩條直線垂直的充要條件是斜率互為負倒數(shù)，則所求直線的斜率為一2,

???所求直線的方程為y-3=-2(x+l),即2工+)，-1=0.

5.過點(1,0)且與直線丫=5—1平行的直線方程是()

A.X—2y—1=0B.x—2y+l=0

C.2x+y~2=0D.x+2y-l=0

解析：選A與直線y=$一1平行的直線方程可設為：y=1x+c,將點(1,0)代入得0=g+c,解得。=—g,

故直線方程為y=5一5即x—2y—1=0.

二、填空題

2

6.過點(一3,2)且與直線y-1=京冗+5)平行的直線的點斜式方程是.

222

解析：與直線y—1=](x+5)平行，故斜率為1,所以其點斜式方程是y—2=](五+3).

2

答案：y-2=?(戈+3)

7.直線y=or—3〃+2(?！昙幢剡^定點.

解析：將直線方程變形為y—2=〃(x—3),由直線方程的點斜式可知，直線過定點(3,2).

答案：(3,2)

8.過點(4,—3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線/的方程為.

解析：依題意設/的方程為》+3=小-4).

4k+3

令第=0,得》=一4左一3;令y=0,得x=一^.

小,我+3

因土匕——4%——3=~/一.

3

解得k=—l或攵=一1

3

故所求方程為y=—x+1或)=一不.

3

答案：y=—x+l或y=_]x

三、解答題

9.已知三角形的頂點坐標是A(—5,0),8(3,-3),C(0,2),試求這個三角形的三條邊所在直線的方程.

—3—033

解：直線A3的斜率的?=公/八=一九過點4一5,0),由點斜式得直線A3的方程為)=一式七+5),即3x

_J)OO

2+3s2—02

+8y+15=O;同理，A：BC=T—r=-T,^c=jrT7=7,直線BC,AC的方程分別為5x+3y-6=0,2x-5y+10=

UDDUlJJ

0.

10.已知直線/的斜率與直線3x-2y=6的斜率相等，且直線/在x軸上的截距比在y軸上的截距大1,求直

線/的方程.

解：由題意知，直線/的斜率為|,故設直線/的方程為y=1x+b,/在x軸上的截距為一，在y軸上的截

2333

距為力，所以一孕一6=1,b=-g,直線/的方程為y=/t一1,即15x—10y—6=0.

3.&3.2.3直線的兩點式方程、直線的一般式方程

層析教材，新知無師自通