新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)訓(xùn)練：雙曲線綜合大題 分層練習(xí)題含答案解析

12.雙曲線綜合大題

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練................................................................1

能力提升練...............................................................6

培優(yōu)拔尖練...............................................................12

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.求滿(mǎn)足下列條件的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:

（1）兩焦點(diǎn)分別為耳卜四，0）,乙（&,0）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)21,的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵與雙曲線有相同漸近線，且焦距為動(dòng)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（吟+），』（2）與一q=1或十5=1

【分析】（1）利用橢圓的定義以及點(diǎn)在橢圓上求解；（2）根據(jù)雙曲線及漸近線方程的定義求解.

22

⑴設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為7+5一"">"°）兩焦點(diǎn)分別為片（一乙（8°）,

C=>/2

19

乂.橢圓過(guò)點(diǎn)尸1，’.?.吃+東=1,又/="卡?...":?’",所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2

為二+丁=1.

3

（2）方法一：

⑴，若焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)所求雙曲線方程為5-4=1（皿〃>0）,

因?yàn)榕c-5=1（見(jiàn)〃>。）與雙曲線上-t=1有相同漸近線，

mn46

所以K=Y5,設(shè)該雙曲線的焦距為2q,

m2

又因?yàn)榻咕?q=2石，所以q=石，所以〃，+“2=]=5,

n_y/622

聯(lián)立^=T，解得加=2,/=3,則雙曲線方程為土-E=l,

，2<23

m~+n~=5

22

(ii),若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線方程為鼻-鼻=l(m,〃>0),

mn

>>222

因?yàn)榕c-二=1(見(jiàn)〃>0)與雙曲線二-匕=1有相同漸近線,

m~nr46

所以'=漁，設(shè)該雙曲線的焦距為2q,

n2

又因?yàn)榻咕?q=2石，所以c產(chǎn)行，所以/+〃2=C；=5,

m_\[6

聯(lián)立一了解得病=3,〃2=2,則雙曲線方程為工=1,

32

m2+/=5

???雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/—片=1或爐—右=1

2332

方法二：

設(shè)與雙曲線《=1有相同漸近線的雙曲線方程為：—-^=2(2^0)

4646

焦距為2石，.?"=?

.?.|4A|+|6A|=5,.-./1=±1

，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：二_￡=1或t_《=l

2332

2.己知A(-2,0),8(2,0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足直線總和直線P8的斜率之積為1,求動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡方程，并指出其軌跡的圖形.

【答案】軌跡方程為f-V=4(XH±2),軌跡圖形為雙曲線(除去兩個(gè)頂點(diǎn)(±2,0))

【分析】設(shè)p(x,y),根據(jù)斜率的乘積可得軌跡方程及圖形.

【詳解】設(shè)p(x,y),則上；，其中xwi2.

x+2x-2

故二^=1即d—y2=4(x#±2),軌跡圖形為雙曲線(除去兩個(gè)頂點(diǎn)(±2,0)).

x-4

r2v2

3.雙曲線C:%-』=l(“>0,b>0),右焦點(diǎn)為尸(c,0).

ab

(1)若雙曲線C為等軸雙曲線，且過(guò)點(diǎn)P(2,石)，求雙曲線C的方程；

(2)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。傾斜角為45的直線/與雙曲線C的右支交于點(diǎn)尸是以線段。尸為底邊

的等腰三角形，求雙曲線C的離心率.

【答案】(l)Y-y2=i⑵麗+&

2

【分析】(1)設(shè)出雙曲線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解即可；

(2)法一：表達(dá)出利用雙曲線定義求出；.2a=畫(huà)二四八從而求出離心率;

M1(2K21),2

法二：表達(dá)出M將其代入雙曲線方程，得到關(guān)于e的齊次方程，求出離心率.

(1)

雙曲線C為等軸雙曲線，

???雙曲線過(guò)點(diǎn)網(wǎng)2,6)，將其代入得：1=1="=1

:.C:x2-y2

(2)

法一：是以線段OF為底邊的等腰三角形，ZMOF=45，

OMF是等腰直角三角形，\OF\=c,

過(guò)M作M4_Lx軸于點(diǎn)A,則4(],0),知6，'|),

設(shè)左焦點(diǎn)耳(-c,0),由雙曲線定義知|M4|—|MF|=2a,

于是e=麗+夜.

2

法二：前同法一得加修|),點(diǎn)M在C:「T=l("0,〃>0)上,

整理得:e4-6e2+4=0>解得:e2=3±>/5,

16+2布_石+1V10+V2

e>l,.\e2=3+石ne=J3+石

2

于是e-+丘

2

22

4.已知雙曲線c「-與=1（?>0,6>0）,第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在C上，雙曲線的左、

ab-

右焦點(diǎn)分別記為"，B，且「耳|=2|尸聞，P耳.尸鳥(niǎo)=0,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求雙曲線C的離心率；

⑵若△。與尸的面積為2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴G⑵p（亭，竽.

\）

【分析】（1）利用雙曲線定義及勾股定理即可得到雙曲線C的離心率；

（2）利用點(diǎn)在曲線上及三角形面積公式可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）

V|P^|=2|P^|,\PF\-\PF^=2a,：.\PF,\=4a,\PF^=2a,

2*42222

■：PFtlPF2,.-.（2￡-）=（4?）+（2?）,化為：c=5a,

e?=5,e=45,即雙曲線C的離心率為逐.

（2）

由題意可得：S防心=gx2ax4a=2x2,S89=gc，|y/=2,

又c2=5a，,解彳'Ja=l,c=>/5.y=,

pP5

2

所以〃=4,雙曲線方程為r-2_=i,

4

把％=竽代入雙曲線方程，得：%2_7=1，4>0,解得/=苧.

.J3舊4石）

??y~~5~，-5~,

F\]O\\F2*

5.過(guò)雙曲線三-±=1的右焦點(diǎn)后，傾斜角為30。的直線交雙曲線于4,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)

36

原點(diǎn)，月為左焦點(diǎn).

⑴求I期;

⑵求MOB的面積；

(3)求證:|4用+忸閭=|明|+忸用.

【答案】(1)苧(2)竿(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長(zhǎng)

公式求出答案；

(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，求出原點(diǎn)。到直線AB的距離,從而求出三角形的面積;

(3)利用雙曲線定義進(jìn)行證明即可.

(1)

由雙曲線的方程得a=JJ,b=y/6,

221

??c=\/a+b=3尸i(-3,0),F2(3,0).

直線AB的方程為〉=乎。-3).

設(shè)A(5,yJ,8(%,%)，由，22得5Y+6X—27=0,

工-匕=1

136

.627

??X]+X2=-彳，XyX-f——1.

.?/叫=后|…M+YH+*噂.

(2)

直線AB的方程變形為V3x-3y-3>/3=0,

?c_1116?3_12相

??SAOB=5Il4ARBI卜1=]X—^―X-=-y-?

(3)

證明：由雙曲線的定義得|A圖一|A凰=26，|班忸段=26,

.?JMITMRmIT鳴I，整理得:|你|+|明|=|前|+怛￡].

能力提升練

22

1.已知圓錐曲線C的方程為工+工=1.

9-k4-k

(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；

(2)若雙曲線C與直線y=x+i有公共點(diǎn)且實(shí)軸長(zhǎng)最長(zhǎng)，求此雙曲線的方程.

-V-------/--=1.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)32

【分析】(1)根據(jù)橢圓與雙曲線的性質(zhì)即可求解：

(2)根據(jù)直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分兩類(lèi)討論，可求出左的范圍，從而得出實(shí)軸取最大值時(shí)

的％值.

(1)

,9-&>0,

當(dāng)且僅當(dāng)，4-&>0,=/<4時(shí)，方程表示橢圓；

9-k#4-k

當(dāng)且僅當(dāng)(9一外(4一&)<0n4<&<9時(shí)，方程表示雙曲線.

(2)

y=x+l,

聯(lián)立｛fy2_得：(13-2A)/+2(9-&)x+(9-切(&-3)=0

[4<jfc<9iQ/73、

①當(dāng)sc,:即％=1時(shí)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為Hr，-：，符合題意；

[13-2k=0,2<44J

4<%<9,

②當(dāng)《13—2々工0,解得或13U13<&<9.

22

A>0,

由①②得k的取值范圍為:6<k<9.實(shí)軸長(zhǎng)2a=2M7,

所以0<2^/^二I426，當(dāng)且僅當(dāng)％=6時(shí)，等號(hào)成立.

因此當(dāng)&=6時(shí)，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)最長(zhǎng)，

此時(shí)雙曲線的方程為=1.

32

丫2V212

2.已知橢圓C:^+2=l（a＞匕＞0）的離心率為橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線、v-』=1的

焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)P（4,0）且不垂直于x軸的直線/與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)、.

⑴求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E,證明：直線AE與x軸交于定點(diǎn).

【答案】⑴《+丫=1（2）證明見(jiàn)解析

43

【分析】（1）由雙曲線方程可得橢圓中的6=依，再根據(jù)離心率及a,b,c的關(guān)系列式求解；（2）

根據(jù)題意設(shè)直線方程，把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到個(gè)一元二次

方程，根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合韋達(dá)定理求解問(wèn)題中結(jié)論.

（1）

由雙曲線:*=[得焦點(diǎn)（o,±@,得°=6

b=6

由題意可得a2=b2+c2,解得a=2,c=l,

c1

e=—=—

a2

故橢圓。的方程為；＜4=1-

設(shè)直線/：y=%（%-4）,點(diǎn)4（西,%）,3（孫力），則點(diǎn)￡（孫-%）-

y=^（x-4）

由，f/_，得（4公+3b2-32產(chǎn)》+64&2-12=0,A=（32火2）2-4（4二+3）（64標(biāo)-12）>0,

--+---1

43

解得

32k264k212

從而x+x=

}24k2+3'入"，一止+3

直線AE的方程為y-Ji=上土星（X-xj,令y=Q得X=

X]-X271十丁2

又；x=M%-4）,%=%（蒼一4）,

c64公-12.32k2

=二J-4)+-(x「4)=2平2-4&+，2)=2,止+3=

女(%一4)+后(々一4)(X[+x.)-8'32k2.

4標(biāo)+3-8

故直線AE與x軸交于定點(diǎn)(1,0).

3.已知雙曲線「：xJy2=4,雙曲線「的右焦點(diǎn)為F,圓C的圓心在y軸正半軸上，且經(jīng)過(guò)

坐標(biāo)原點(diǎn)。，圓C與雙曲線「的右支交于A、B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)」OE4是以尸為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求OE4的面積；

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(石,1),求直線A8的方程；

⑶求證：直線AB與圓W+y2=2相切.

【一答案】(1)SA*=2及(2)―廠'「=y-1⑶證明見(jiàn)解析

2\/2—y/5

【分析】(1)根據(jù)題意求得42拒,2),由三角形面積公式即可求得答案；

(2)設(shè)圓C的方程為/+(〉-匕)2="，由點(diǎn)4的坐標(biāo)求得"聯(lián)立「：/-丁=4求得8點(diǎn)坐標(biāo)，

可得答案；

(3)設(shè)直線AB的方程為，="+機(jī)，A(石,%),8(々,%)，聯(lián)立「：V-y2=4,可得根與系數(shù)的

關(guān)系式，再聯(lián)立)".可得X%=2,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)，可得d+),2=2的

x-y=4

圓心到直線A8的距離等于半徑，可證明結(jié)論.

(1)

由題意二OE4是以尸為直角頂點(diǎn)的直角三角形，F(xiàn)(2應(yīng),0),

所以A(2&,2),所以O(shè)E4的面積&g,=；x2應(yīng)x2=2&;

(2)

設(shè)圓C的方程為Y+(y-力2=/，由題意，5+俗-1)2=凡所以〃=3,

故圓C的方程為》2+(了-3)2=9

Y+(v—3)2=9

由1~22,，得：/—3丫+2=0,所以必=1,必=2,

x-y=4

故4、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(行,1),(2712),

所以直線AB的方程為：與鳥(niǎo)=廠1；

2V2-V5

(3)

證明：設(shè)直線A3的方程為丫=履+機(jī)，4(再,)，1),8(々,必)，

圓C的方程為犬+()，-6)2=〃3>0),

Iy=kx+m,,,,

由<2，,，得：0-k2)x2-2bnx-2-2=0,

[x-y=4m

小旦百育陽(yáng)Jl—k口,2機(jī)病+2

由題意，得：<A八，且%+%2=；一萬(wàn)，玉工2="^~7，

[A>01-&2k-i

由,x+(y))二b,得：,2_切+2=0,所以y%=2,

x-y=4

2

所以("1+m)(kx2+〃z)=lcx[x2+hn(x]+x2)+m=2,

2+2

gpkx'"^+k,nx-^^+m=2,所以加2=2r+2,

k--11-fc-

因?yàn)樵c(diǎn)O到直線AB的距離"=瑞?=&,所以直線AB與圓f+y'2相切.

4.已知雙曲線「：會(huì)-丁=[,Ft凡是其左、右兩個(gè)焦點(diǎn).尸是位于雙曲線「右支上一點(diǎn)，平

面內(nèi)還存在Q滿(mǎn)足尸6=/1g。(/1>0).

(1)若Q的坐標(biāo)為(26,-6)，求2的值；

⑵若%>0,幾=3,且P6.pQ=g,試判斷。是否位于雙曲線上，并說(shuō)明理由；

(3)若。位于雙曲線上，試用4表示267。，并求出;1=7時(shí)的值.

【答案】(1)%=；(2)Q在雙曲線上；理由見(jiàn)解析⑶尸/w=縈萬(wàn)+11/1-：+3)"€(0,+8)；

16

【分析】(1)根據(jù)雙曲線方程求出工的坐標(biāo)，由及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出點(diǎn)尸的

坐標(biāo)，再利用點(diǎn)尸在雙曲線上即可求解；

(2)根據(jù)尸耳?尸。=華及向量的線性運(yùn)算，得出兩?尸鳥(niǎo)=4及點(diǎn)?在雙曲線上，求出點(diǎn)尸的

坐標(biāo)，根據(jù)尸鳥(niǎo)=38。，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系即可求解；

(3)根據(jù)尸及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用點(diǎn)Q在雙曲線上及向量的

數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

(1)

a2=2,Z?2=\=>c2=a2-{-b2=3=/^(>/3,0),

設(shè)P(七,yj，則尸鳥(niǎo)=(g一4,-4儲(chǔ)。=(石，-司,

因?yàn)椤?26。(/1>0),

上-Xp=&Xp=6-上入

所以<解得<所以「(百-血，信卜

-yP=-后%=必

2

將尸代入雙曲線方程、-y2=1中，化筒得7萬(wàn)+6/1_1=0,

解得2=；或2=7（舍去）.

所以4的值為;.

(2)

由(1)知,耳(6,0),6(6,0)，

PFtPQ=PF^PF2+F2Q^=PF^PF2+^PF^=^PFcPF2=y^>PFCPF2=4,

設(shè)尸(不，幾)，則尸片=(-^-x0-y0),PF2=(^-x0,-y0),

因?yàn)辄c(diǎn)P(x。，幾)在雙曲線上，所以予-為2=1①，

P/P-3+y—+￡-1考-4=4②,

得加=口,%=半,所以尸竽,平］,

聯(lián)立①②,

設(shè)Q(q,%),所以PE=(半］KQ=(4一6團(tuán),

因?yàn)镻&=3&Q,所以■

將點(diǎn)Q呼

所以。在雙曲線上

(3)

由(1)知，耳(6,0),凡(6,0),

設(shè)戶(hù)(％兒)，。(々,%),則用=(-G-%-%),PF；=(6-%,-%),&=(xe-y/3,yej

因?yàn)樵?402(4>()),

（r-r-x_出+?f

所以日久y融解得二屋，所以川

因?yàn)辄c(diǎn)。在雙曲線上，所以今-為2=即=2,

[2JIA)

化簡(jiǎn)得3(2+1)2-2百(2+1)^0=2(2+1)(2-1),A>0,

3(/l+l)-2>/3x()=2(A-l),解得2=26/_5,

班.也=班("+心0=尸不也+；尸鳥(niǎo))=竽W?利

2+1<3x^2+1<3萬(wàn)+114+25-4^=^22+11/1-J+3^

,AG(0,+OO)

~~T\2_一)~T\212

代入a=7,解得P4.PQ=16.

所以班PQ的值為16.

5.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩定點(diǎn)41,0)、8(0,-1),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足:

OP=mOA+(m-\^OB(meR).

⑴求點(diǎn)尸的軌跡方程；

22

⑵設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線C：5-卓=1(“>0,6>0)交于相異兩點(diǎn)用、N.若以MN為直徑

的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的正倍，求雙曲線C的方程.

【答案】(l)y=-x+l;(2)4X2-2/=1.

【分析】(1)利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及相等向量，列式消去參數(shù)，〃作答.

(2)由給定條件，將雙曲線方程化簡(jiǎn)為2--/=2/,再與點(diǎn)尸的軌跡方程聯(lián)立求出/作

答.

(1)

uiu[x=m

依題意，OP=(m,T〃+l),而0P=(x,y),則，m+\,消去m得：y=-x+l,

所以點(diǎn)P的軌跡方程是y=-x+l.

(2)

-)2

因雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的灰倍，即匕=缶，雙曲線C的方程為5-當(dāng)=1,

a-2a~

fy=-x+1

由士，2c2消去y并整理得：x2+2x-\-2a2=0,設(shè)〃a，x),N(&,%),

12x—y=Za

則玉+X?=-2,王.&=-1-2/,又以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即OM,ON,有“七+必必=0,

22

而y?%=(f+1)(-A2+1)=T項(xiàng)+x,)+l=-1-2?+2+1=-2a+2,

因此，-1-2〃一2片+2=0，4/=1,解得/=!，

42

所以雙曲線方程為4/-2產(chǎn)=1.

培優(yōu)拔尖練

1.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（—2,0）,N（2,0）.點(diǎn)A滿(mǎn)足|AM|—|AN|=26,記點(diǎn)A的

軌跡C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)T與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，N用77V的角平分線為直線/,過(guò)點(diǎn)A作/的垂線，垂足為

AH

H,交。于另一點(diǎn)8,求-的最大值.

DH

【答案】（1）3-/=1（工>0）；⑵：

【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義得到點(diǎn)A的軌跡為以屈（-2,0）,雙（2,0）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

求出。=造功=1,得到軌跡方程：

（2）設(shè)出4（%,%）,°=（1歡），根據(jù)角平分線的條件，結(jié)合向量投影

模長(zhǎng)相等得到%=3物,，從而求出A,T點(diǎn)坐標(biāo)，確定直線/的方程，由點(diǎn)到直線距離

公式求出|AH|,再求出直線AB的方程為*=-6+笠^,與雙曲線方程聯(lián)立，利用

,,AB\\AH\

弦長(zhǎng)公式求出|4可，結(jié)合基本不等式求出喇之3,最后求出扁的最大值.

（1）

由題意得：|MV|=4,4V|=

所以點(diǎn)A的軌跡為以M（-2,0）,N（2,0）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

即c=2,a=石，尸=02-/=4-3=1,

所以C的方程為1—V=l（x>0）；

由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)A在第一象限，設(shè)4（%,%）,則7（一七,—%）,

設(shè)直線/的斜率為A,記由/為NM7N的角平分線，

TM?a_TN-a

其中1-城=1,%)2石,

則I網(wǎng)網(wǎng),

2

所以17Mb++=^(-2+Xo)+^-1’

同理得：|TN卜半天+石，

7M=5-2,%),77V=(Xo+2,%),

TMaTNa(/-2,%)，(1,左)_(%)+2,%).(1?)

代入=E■中，"-L

\?\|邛方/+力

化簡(jiǎn)得：x0=3僅，

23/c_,1

將與一3注)代入手-%2=],毛2石中，解得：x=^—

0-J"&2_]'

的、一(3k11/3k11

1，3二_1W1yj3k2-\y13k2-l)

設(shè)直線/的方程為y=^+〃，將Jk1]

代入，解得：〃=)3產(chǎn)-1，

IV3)t2-1W

所以直線/的方程為產(chǎn)履+J3k2-1,后＞/，

由點(diǎn)到直線距離公式得：以句5^^+質(zhì)％2/

3k2-1,

|訓(xùn)=環(huán)一J

t2+l

由直線AB的斜率為設(shè)直線A8的方程為x=-O+，〃

k

(3k\y4k

將A一點(diǎn)代入，解得：m=-^

(，3公一1。3k2-1)3k--1，

4*v

所以直線A5的方程為了=-勿+*\,將其與二~=l(x>0)聯(lián)立得:

3k—1

/.八28公7s+3

k2-3]y2--,y+——=A0,

<)'gU3公-1

設(shè)4(*“1),3(工2，%)>

8k27k2+3

則i21f屈才書(shū)一儼_3)秋_[

，

由乂必<0可知：々〈石，又，所以上f

3

二+邛

226(

\AB\=yll+k\y]-y2\=\l\+k?J(y+必丫Tyy?

(3次)凡2T

AB3件+1丫3（公+1『

由均值不等式，而二避茂/添天=3’當(dāng)且僅當(dāng)3-八女一

即公=1時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)樯?巨,6],故々=1,

MM=1/

所以忸叫|AB|-4,當(dāng)且僅當(dāng)&=1時(shí)，等號(hào)成立，

由

1

島\AH的最大值為：.

\BH4

2'）

2.已知雙曲線「：〉白=1（〃>0,%>0）過(guò)點(diǎn)。（氐與，且r的漸近線方程為、=±四.

⑴求r的方程；

（2）如圖，過(guò)原點(diǎn)。作互相垂直的直線4，4分別交雙曲線于A,B兩點(diǎn)和C,D兩點(diǎn)，A,

。在x軸同側(cè).

①求四邊形AC5D面積的取值范圍；

②設(shè)直線A。與兩漸近線分別交于“，N兩點(diǎn)，是否存在直線AO使M,N為線段AO的三

等分點(diǎn)，若存在，求出直線AD的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴x2一《=l⑵①[6,+8）；②不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意求得片,從，即可得解;

（2）①易知直線/1,，2的斜率均存在旦不為0，設(shè)A（X|,y1）,8（X2）2）,C（X3，y3），D（X4,y4），4的

卜=區(qū)

方程為丫=丘，則4的方程為y=-Jx，聯(lián)立，y2，消元，貝!IA>O,利用韋達(dá)定理求

k---=\

x3

得玉+天,4馬，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得|AB|,同理可求得公的范圍及ca,再根據(jù)

Sg”=；|人如|8|整理即可得出答案;

y=tx+m

②設(shè)直線A￡>的方程為丫="+相，A(xs,ys),D(xft,yft),聯(lián)立，/，消元，根據(jù)A〉0求

X--=1

3

得，，加的關(guān)系，利用韋達(dá)定理求得三+%，入5%，再利用弦長(zhǎng)公式求得|A￡)|,易求得〃,N的坐

標(biāo),即可求出|MN|,再根據(jù)M,N為線段AD的三等分點(diǎn)，可得|AO|=3|MN|.結(jié)合AB±CD,

可得兩個(gè)等量關(guān)系，從而可得出結(jié)論.

(1)

解：由題意有=6,則6=島①，

a

將點(diǎn)尸(百,回代入雙曲線方程得*-'=1②，

聯(lián)立①②解得

b=3

故「的方程為/=1;

3

(2)

解：①，易知直線4，&的斜率均存在且不為0,

設(shè)4aB(xiy2),C(x3,y3),D(x4,y4),

《的方程為丫=6，則4的方程為'=-?》，

k

y=kx

聯(lián)立《，9消y整理得(3-&2b2_3=0,

X...-1

3

直線4與雙曲線「交于兩點(diǎn),

故3—^工0且A=12(3—公)>0,貝1味2<3,

3

則X+W=0,玉W=一^^，

則網(wǎng)=Jl+%2[%+々)-4中2=2檔]?,

1

y=-x

聯(lián)立《\,消y整理得。公一川/一二二。,

》21=1

3

直線4與雙曲線「交于兩點(diǎn)，

故3〃一1#。且A=12/(3公解得公>g,

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知四邊形AC8O為菱形,

16A:216

?3,4]

16k2

-3€（0,1],

（1+尸）2

S.CBDe[6,+8）；

②，假設(shè)滿(mǎn)足題意的直線A。存在，

易知直線AZ）斜率存在，設(shè)直線A￡＞的方程為丫=氏+加,

A（x5,y5）,D（x6,y6）,

y=tx^m

聯(lián)立｛2/,整理得（3-/卜2-2切a-加一3=0,

X-----=1

3

則（3—r）工0且A=4產(chǎn)加2+4（〃「+3）（3—」）＞0,

解得產(chǎn)工3且產(chǎn)〈加+3,

2km

毛+%=3-k2

由韋達(dá)定理有，

-tn2-3

不工6=

3-k2

4t2m24（-蘇-3）

則|4O|=+馬）2-4/a=J1+產(chǎn)

（3"）2

(l+r)(12w2-12z2+36)

7(3^

不妨設(shè)M為直線AO與漸近線y=氐的交點(diǎn),

m

x=

y=tx+my/3-t

聯(lián)立《解得，

y=6xy[3m

y=y/3-t

(m也tn、

'-m

同理可得N點(diǎn)的坐標(biāo)為

+

2

Im-m2/y/3m2112^1+rj/n

中行一京7(3-嚀’

因?yàn)镸,N為線段AD的三等分點(diǎn)，|AD|=3|M/V|,

|(1+*)(12,"2T2/+36)

'V

整理得*+8/-3=0,①

ABLCD,：.AO±DO,

則A0-00=0，即才5%+%”=0，

大5%+%%=毛毛+(a5+加)(a6+m)

=(1+/2)%毛+f機(jī)(%+%)+機(jī)2=(1+/)^7^+‘機(jī)+機(jī)2=0'

整理得_3/+2〃*3=()e

聯(lián)立①②得『=-5,無(wú)解，

故沒(méi)有滿(mǎn)足條件的直線AO.

3.己知雙曲線C的離心率e=6,左焦點(diǎn)片(-c，0)到其漸近線的距離為6.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)T是y軸上的點(diǎn)，過(guò)T作兩直線分別交雙曲線C的左支于P、。兩點(diǎn)和A、B兩點(diǎn)，若

TATP

,P、。兩點(diǎn)的中點(diǎn)為M,A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)為M0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求兩直線0M和

TBTQ

ON的斜率之和.

【答案】(1)二一二=1(2)0

【分析】（1）由點(diǎn)到線的距離公式及離心率，結(jié)合+從即可求解；

（2）直線AB：y=klx+m,4（占,乂），8（天,%）,外電,%），。（%,”），

22

結(jié)合韋達(dá)定理可得?+*+2=4m^

聯(lián)立直線與雙曲線方程,

42Al化2—2乂"八6]

X,X4.4m2公

由已知得化簡(jiǎn)得匕+七=。，進(jìn)而得解.

同理可得寸十2=（抬_2）"+6）X2X4

(1)

依題意，焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為a,h,則漸近線為y=±2x,

a

左焦點(diǎn)耳（-c,0）到其漸近線的距離d=

,*,—=fc2=3ci2=a2+b2?解得"=3,

a

22

所以雙曲線方程是'-X=1.

36

(2)

設(shè)T(O,m),直線AB：y=ktx+m,A(X1,yJ,B(x2,j2),

直線尸Q：y=k2x+m,「(￡,%),(?(x4,y4),

y=kxx+m

聯(lián)立“fy2=>(2--2加A/-—6=0,

-------1

36

’2-#HO

A=4m/；+4(2-%：)0/+6)>O

4/匕2

2mk,,n(3+xj=++三+2=

依題意,口+々=嚏/

X(X2X2Xj（好—2）（加+6）

in2+6八

x.x.=-^：--->0

〔6-2

x,xdc4m2k；

同理可得，,+5+2=代_2）（艱+6）,

..回一回.工=2

"國(guó)一網(wǎng)’??石一千

4機(jī)2%：4機(jī)%;

,,,（6-2）（m2+6）=（后_2）荷+6）'化筒得4="3

;仁工占，*,?。+&2=0.

k

?,?KkON?k=&/一1?oMK=e

**?k°M+kON=0.

22

4.已知雙曲線c："方=Q>o,b>0）的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,漸近線方程為y=土瓜，

F到漸近線的距離為G.

⑴求C的方程；

⑵若直線/過(guò)R且與C交于尸，。兩點(diǎn)（異于C的兩個(gè)頂點(diǎn)），直線x=f與直線AP,AQ

的交點(diǎn)分別為M,N.是否存在實(shí)數(shù)/,使得|F7W+FN卜卜若存在，求出，的值；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（l）f一5=1（2）存在，，=-1

【分析】（1）根據(jù)/到漸近線的距離為G，可求得力，再根據(jù)漸近線方程可求得〃,，即得雙

曲線方程；

（2）假設(shè)存在，設(shè)直線的方程，并和雙曲線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后表示出

點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量的坐標(biāo)，利用其數(shù)量積為零，將根與系數(shù)的關(guān)系式

代入，看能否解出參數(shù)，的值，即可得答案.

⑴

雙曲線C：鼻一斗=l（a>0,6>0）一條漸近線方程為y=，x

\bc\

焦點(diǎn)尸（-c,o）,則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離”=b

\la2+b2

由尸到漸近線的距離為G可知：6=石，

由漸近線方程為》=±b》知：§=&,故。=1,

所以雙曲線方程為：x2-^-=l;

3

（2）

設(shè)直線/的方程為》=沖-2,

x=my-2

聯(lián)立《2V2，整理得：(3/_1)y2_i2沖+9=0,

x--=1

3

設(shè)P。,y),。5，%)，而A(l,0),F(-2,0),

［川\2m9

則M+%==-：，》%=丁］，

3m-13m-1

4-—3/72^—4

所以x,+x=m(y,+y)-4=—~=〃廣y%-2m(y+y,)+4=,?:4一,

223"7~-1t-3m-1

假設(shè)存在實(shí)數(shù)Z，使得|五M+硒卜卜M-尸M，則FM-FN=O,

故由原方程：y=^7(xT),令x=t得,

同理AQ方程：y=上;(x-1)，令x=f得Na,』："-。)，

x2-\x2-1

所以尸fNuQ+Z-^Q-DXf+Z-^Q-lAuO,

Xj-1x2-\

即(^+2)2+-~a-i)2=o,

(3一1)(4-1)

9

則(f+2/+,翌T-----(一1-=0,

一3療一4