損傷力學-第五章

損傷與斷裂理論授課老師：榮傳新教授Telmail:chxrong@【教材】：1.損傷力學余壽文，馮西橋編著清華大學出版社。2.斷裂力學程靳，趙樹山編著科學出版社。3.斷裂、損傷理論及應用尹雙增清華大學出版社。4.損傷力學基礎(chǔ)樓志文編著西安交通大學出版社【相關(guān)國內(nèi)外文獻資料】：Coldregionsscienceandtechnology，TunnellingAndUndergroundSpaceTechnology，RockMechanicsAndRockEngineering，InternationalJournalOfRockMechanicsAndMiningSciences，巖土力學，巖石力學與工程學報，巖土工程學報，土木工程學報，工程力學，煤炭學報，冰川凍土，建筑學報，建筑類大學學報，礦業(yè)類大學學報，建筑類大學和礦業(yè)類大學碩士、博士論文等第五章?lián)p傷力學的應用5.2多孔彈塑性材料的韌脆轉(zhuǎn)變5.3混凝土結(jié)構(gòu)破壞的損傷力學分析方法

5.4材料強韌化的力學分析

5.1蠕變和疲勞問題的壽命預測

5.1蠕變和疲勞問題的壽命預測

連續(xù)損傷理論，是伴隨著蠕變損傷的研究而發(fā)展的。最早的連續(xù)損傷理論——Kachanov-Rabotnov損傷理論就是在研究金屬材料的蠕變問題時提出的。損傷力學的一個重要應用便是預計蠕變結(jié)構(gòu)的壽命以及蠕變裂紋擴展的速率，以確定存在蠕變的工程材料與結(jié)構(gòu)物的安全性。如第2章所述，分析結(jié)構(gòu)的蠕變問題有三種方法：一種是全耦合的方法，即同時考慮蠕變應變與蠕變損傷之間的相互影響，用有限元模擬的方法同時計算應變場和損傷場，然后根據(jù)蠕變斷裂準則（如）預測結(jié)構(gòu)壽命或蠕變裂紋擴展速率；第二種方法是全解耦方法，即首先采用無損傷的應力應變關(guān)系計算應力應變場，然后代入損傷演化方程，預測結(jié)構(gòu)的壽命，例如Kachanov【5.1】利用這種方法分析了多種典型結(jié)構(gòu)的蠕變問題；第三種方法是半解耦方法，它的計算量和精度介于前兩種方法之間。

5.1.1

蠕變壽命觀測和蠕變裂紋擴展

Riedel【5.2】在小范圍損傷的條件下，得到了蠕變裂紋尖端的自相似解，關(guān)于Riedel等人對蠕變裂紋問題的研究，在節(jié)3.6中已經(jīng)作了介紹，其中得到的蠕變裂紋擴展速率可表示為式（3.6.76），對此式積分即可得到含裂紋構(gòu)件的壽命，其中忽略了小范圍損傷假設(shè)的局限性（無論這將導致多大范圍的誤差）。Hayhurst等人【7.3】曾經(jīng)用有限元方法計算了蠕變裂紋的問題，他們沒有采用小范圍損傷的假設(shè)。在其算例中構(gòu)件的壽命tf大于特征時間t1，但還不至于大到初始彈性階段的影響可以完全忽略的程度。因此需要將小范圍損傷的擴展速率即式（3.6.76）和大范圍損傷的結(jié)果即式（3.6.66）進行內(nèi)插修正。這種修正可以通過將式（3.6.66）中C*用如下公式代替來實現(xiàn)一維損傷狀態(tài)的描述顯然，連續(xù)度是一個無量綱的標量場，=1對應于完全沒有缺陷的理想材料，=0對應于完全破壞的沒有任何承載能力的材料狀態(tài)。

將外加何載F與有效承載面積之比定義為有效應力

（1-2）式中為Cauchy應力，連續(xù)度單調(diào)減小，假設(shè)當達到某一臨界值時，材料發(fā)生斷裂，于是材料的破壞條件表示為（1-3）

Kachonov取=0，但實驗表明對于大部分金屬材料，0.2≤≤0.8。一維損傷狀態(tài)的描述1963年，著名力學家Rabotnow同樣在研究金屬的蠕變本構(gòu)方程問題時建議用損傷因子（1.4）描述損傷。對于完全無損狀態(tài)，w=0；對于完全喪失承載能力的狀態(tài)，w=1。由式(1.1)和(1.4)，可得（1.5）于是，有效應力與損傷因子的關(guān)系為（1.6）一維損傷狀態(tài)的描述我們還可以將損傷變量定義為此時，有效應力表示為Broberg將損傷變量定義為（1.7）（1.8）（1.9）當與A比較接近時，由式(1.9)得到的損傷變量與式(1.5)近似相等。Broberg定義的優(yōu)點在于加載過程中的損傷是可以疊加的。例如，假設(shè)面積是分兩步減縮的，首先有效承載面積從A減縮為然后再縮減為，在這兩步中的損傷分別為一維損傷狀態(tài)的描述于是，總的損傷為（1.10）（1.11）利用式（1.2）和（1.9），得（1.12）對于不可壓縮材料，直桿的拉伸應變?yōu)椋?.13）式中Ao和Lo為加載前的橫截面面積和長度，A和L為變形后的橫截面面積和長度。于是名義應力為一維損傷狀態(tài)的描述（1.14）由（1.12）和（1.14），得有效應力為（1.15）1.2損傷對材料強度的影響

Janson和Hult.最早提出將奇異缺陷方法與分布缺陷方法相結(jié)合，即將線彈性斷裂力學與連續(xù)損傷力學相結(jié)合，并討論了一個簡單的問題——損傷對材料的理論拉伸強度的影響。

設(shè)材料為無損傷的線彈性晶體材料，其理論拉伸斷裂強度以的表達式為1.2.1無損傷且表面能密度有限的情況(2.1)式中E為楊氏模量，b為晶格間距，y為表面能密度。

該公式推導過程如下：假設(shè)一直桿兩端承受均勻的拉伸應力（如圖2.1所示），在斷裂前的應變能密度為(2.2)損傷對材料強度的影響圖2.1受拉中直桿的斷裂在材料斷裂時，所需的表面能由兩個斷裂面附近所儲藏的應變能提供。由于原子間力的作用范圍是晶格間距b的數(shù)量級，提供此能量的區(qū)域深度也應是b的量級。往往假設(shè)在斷裂表面兩側(cè)提供表面能的深度各為2b即提供應變能的整個區(qū)域深度為4b，它所提供的應變能為(2.3)損傷對材料強度的影響式中A為桿的橫截面面積。沿橫截面出現(xiàn)一對斷裂表面所需的能量為(2.4)能量條件U=W得理論斷裂強度的式(2.1)。這個問題早在1920年就由著名力學家Griffith研究過。式(2.1)考慮了表面能密度，但假設(shè)材料不存在任何缺陷或損傷，而實際上這是不可能的，實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)實際的材料強度與相差甚遠，一般只達到的幾十分之一。1.2.2有損傷但表面能密度為無窮大的情況這是材料的另一種極端情況。有效應力表示為（2.5）式中損傷變量w定義為式(1·5)，o≤w≤1。設(shè)應變

和損傷變量w依賴于有效應力的關(guān)系為（2.6）損傷對材料強度的影響為簡單起見，假設(shè)（2.6）均為線性函數(shù)，即（2.7）式中D稱為損傷模量，如圖2.3(a)和(b)所示。式(2.6)中第二式對單調(diào)加載成立，卸載時w保持不變。對于無損材料，D=∞。由式(2.5)和(2.7)，可得應力應變關(guān)系如下（2.8）圖2.2應力與應變、損傷的關(guān)系如圖2.2(c)所示。當應力達到時材料發(fā)生斷裂。由，可得損傷對材料強度的影響（2.9）因此，損傷模量D是材料斷裂強度的4倍。若不考慮材料的損傷即D=∞，則=∞如果采用Broberg定義的對數(shù)損傷，即（2.10）則式（2.5）和（2.8）變?yōu)椋?.12）（2.11）對數(shù)損傷的變化范圍為0≤w≤∞。仍然采用（2.7），類似于式（2.9），得到斷裂應力和損傷模量的關(guān)系為（2.13）損傷對材料強度的影響如果既采用對數(shù)損傷，又采用對數(shù)應變，即（2.14）對于不可壓縮的材料，有（2.15）式中是名義應力，此時名義斷裂應力為（2.16）

以上討論的是兩種極端情況下材料的斷裂應力。實際上，材料既具有有限的表面能密度，同時又有損傷。損傷對材料強度的影響應變和損傷變量依賴于有效應力的關(guān)系仍采用式(2.7)，且假定變形是完全可逆的，而損傷是完全不可逆的，如圖2.2所示。圖中表示斷裂時的應變值，表示臨界損傷因子，表示斷裂時的有效應力。斤斤計較與之間的關(guān)系為（2.17）（2.18）因此，為斷裂所提供的應變能為（2.19）將（2.4）和（2.19）代入斷裂時的能量條件，得斷裂應力為（2.20）損傷對材料強度的影響

由式(2.18)和(2.20)聯(lián)立求解，可得到斷裂應力與損傷變量。這樣求出的數(shù)值。然低于式(2．1)中的計算值，也應該低于式(2.16)中的計算值，否則應采用式(2.16)中的作為斷裂直力值。1.3一維蠕變損傷理論

Kachanov損傷模型最初是在分析金屬材料受單向拉伸的蠕變脆性斷裂問題時提出的，這一模型很快得到人們的重視，并得以發(fā)展和應用。對于高溫下的金屬，在載荷較大和較小的情況下，其斷裂行為是不同的。當載荷較大時，試件伸長，橫截面面積減小，從而引起應力單調(diào)增長，直至材料發(fā)生延性斷裂，對應的細觀機制為金屬晶粒中微孔洞長大引起的穿晶斷裂。當載荷較小時，試件的伸長很小，橫截面面積基本上保持常數(shù)，但材料內(nèi)部的晶界上仍然產(chǎn)生微裂紋和微孔洞，其尺寸隨時間長大，最終匯合成宏觀裂紋，導致材料的晶間脆性斷裂。

設(shè)試件在加載之前的初始橫截面面積為，加載后外觀橫截面面積減小為A，有效的承載面積為，則名義應力、Cauchy應力σ

、有效應力分別定義為(3.1)(3.2)(3.3)一維蠕變損傷理論忽略彈性變形，在考慮損傷情況下蠕變律假設(shè)為（3.4）式中為總應變，B和n為材料常數(shù)。在無損情況下，