體積(部編)課件

1.元素法的步驟:1）作圖，2）在區(qū)間內(nèi)，任取一小區(qū)間則相應(yīng)于該區(qū)間上的微分元素為3）寫出定積分的表達(dá)式：定積分區(qū)間選積分變量復(fù)習(xí)1oyx其面積元素為：則面積為上曲線下曲線xoy2.平面圖形的面積曲邊梯形的面積:2xyocdy+dyyxoycdy+dyy其面積元素為：則面積為右曲線左曲線曲邊梯形的面積:35-4體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這圓柱圓錐圓臺(tái)一、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)軸．平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．該直線叫做特點(diǎn)：垂直于軸的截面是圓.1.旋轉(zhuǎn)體定義：4旋轉(zhuǎn)體的體積為取積分變量x，在上任取小區(qū)間取以為底的窄曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積近似xyoxyo圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.求由連續(xù)曲線直線x=a、x=b(a<b)及x軸所2.方法：于以為底半徑，以為高的扁圓柱的體積，即體積元素5類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.6解例1

求y2＝4x,x[0,4]繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積取積分變量為x,則積分區(qū)間為在[0,4]上任取小區(qū)間則該薄片的體積元素為則所求的體積為7例2所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.oxyy=1由解取積分變量為x,則積分區(qū)間為在[0,1]上任取小區(qū)間則該薄片的體積元素為則所求的體積為8例3

求拋物線與直線所圍的圖形繞x軸解如圖：聯(lián)立方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為取x為積分變量，則于是體積元素為：則所求體積為旋轉(zhuǎn)所得立體的體積.oxy29解上半橢圓的方程為：由公式知：同理得橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：例4求由橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.10例5所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.解體積元素為取積分變量為y,oxyy=1由11求星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積.例6解由公式所求的體積為12解求星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積.例6旋轉(zhuǎn)體的體積為13二、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，立體體積立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.上垂直于一個(gè)定軸的各個(gè)截面面積，這個(gè)表示過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的截面面積.那么，為的已知的連續(xù)函數(shù).但卻知道該立體14解建立如圖的坐標(biāo)系.則底圓方程是：一個(gè)直角三角形.兩直角邊的長(zhǎng)分別為例7一平面經(jīng)過(guò)半徑為的圓柱體的底圓的中心，底圓交成角計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.并與過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的截面是及即及則截面面積為從而得體積元素為x15在閉區(qū)間上作定積分，便得所求立體的體積16解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.例8垂直于x軸的截面為等腰三角形半徑為R的圓面積的四分之一17體積元素為旋轉(zhuǎn)體的體積為體積元素為旋轉(zhuǎn)體的體積為1.繞x