6-6三要素法(部編)課件

§6-6三要素法三要素法---輸入（激勵(lì)）的一階動(dòng)態(tài)電路中，任一電壓或電流響應(yīng)[y(t)]，可依據(jù)它的初始值[y(0+)]、直流穩(wěn)態(tài)值[y(∞)]和時(shí)間常數(shù)τ這三個(gè)要素直接寫出注意：三要素法應(yīng)用的前提條件是電路的輸入（激勵(lì)）為直流輸入（激勵(lì)）要點(diǎn)：求直流穩(wěn)態(tài)值y(∞)]時(shí)，充分運(yùn)用直流穩(wěn)態(tài)時(shí)電容視同開路，電感視同短路初始值即穩(wěn)態(tài)值時(shí)間常數(shù)τ任一電壓或電流響應(yīng)y(t)y(∞)τtO(a)零狀態(tài)響應(yīng)y(t)τtO(c)零輸入響應(yīng)y(0+)y(t)y(∞)τtO(b)全響應(yīng)y(0+)y(t)y(∞)τtO(d)全響應(yīng)y(0+)例題.

電路如圖（a）所示，設(shè)開關(guān)S合在1時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，

t=0時(shí)開關(guān)S由1合向2，求t≥0時(shí)的

iL和

uL。解：題意是求解全響應(yīng)，運(yùn)用三要素法求解圖(b)t<0穩(wěn)態(tài)8v+－2Ω+－iL(0-)uL(0-)=0電感如同短路換路前（1）求初始值

iL(0+)

和

uL(0+)t<0時(shí)，電路為穩(wěn)態(tài)，電感的電壓

uL(0-)=0，電感如同短路，電路如圖（b）所示8V+－SiL20.1H1－

+2i12AuL2Ω4Ω4Ωi1+－圖(a)依據(jù)電感的換路定律得

t=0時(shí)換路，依據(jù)置換定理，用

iS=iL(0+)=－4A的電流源替代電感支路，如圖（c）所示（2）求直流穩(wěn)態(tài)值

iL(∞)

和

uL(∞)t=∞時(shí)，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，電感的電壓為零，電感視如短路。此時(shí)，電感電流

iL(∞)也就是電感支路的短路電流，即端口的短路電流

iSC

，如圖（d）所示

2A+－－

4A4Ω2i1(0+)4Ω+－uL(0+)i1(0+)圖(c)

t=0+時(shí)的

uL(0+)解得

2A+－4Ω2

i14Ωi1圖(d)

t=∞時(shí)的穩(wěn)態(tài)iL(∞)=iSC+－uL(∞)=0（端口短路電流）解得（3）求電路的時(shí)間常數(shù)首先，由端口開路電壓和短路電流求電路的等效電阻。由圖（e）所示電路得圖（e）t≥0，求換路后的端口開路電壓uOC－

+2i12A4Ω4Ωi1+－uOC則，換路后電路的等效電阻為求得電路的時(shí)間常數(shù)為（4）依據(jù)三要素公式寫出

iL(t)

和uL(t)t≥0原電路t≥0畫出

iL(t)

和uL(t)的響應(yīng)曲線如下

iL(t)/A1t/s-1-2-3-40iL(t)

的響應(yīng)曲線uL(t)/V52t/s0uL(t)的響應(yīng)曲線1.2iL(∞)例題.

圖（1）所示電路中，開關(guān)S打開前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。在t=0時(shí)開關(guān)

S打開，求

t≥0時(shí)的

i1和

u1。10v+－SiL0.2H+－u12AuL2Ω5Ω3Ω+－i1圖（1）

10v+－+－u12AuL2Ω5Ω3Ω+－i1圖（2）t<0時(shí)

uL(0-)=0電感如同短路

iL(0-)在

t=0時(shí)電路發(fā)生換路，依據(jù)換路定律，得解（1）求初始值

i1(0+)和

u1(0+)換路前（t<0

），電路處于穩(wěn)態(tài)，電感的電壓為零，電感視同短路，電路如圖（2）所示。由于

t=0+

時(shí)，電感的電流為零，故在

t=0+

時(shí)，電感支路可看成開路，如圖（3）所示。10v+－+－u12AuL(0+)2Ω5Ω3Ω+－i1圖（3）t=0+時(shí)，電感如同開路iL(0+)=0當(dāng)

t=0時(shí)，由圖（3）得（2）求穩(wěn)態(tài)值

i1(∞)和

u1(∞)t→∞，電路經(jīng)動(dòng)態(tài)又重新達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，電感的電壓為零，電感又如同短路，電路如圖（4）所示。由圖（4）電路運(yùn)用疊加定理求得10v+－+－u12AuL(∞)=02Ω5Ω3Ω+－i1圖(4)t=∞穩(wěn)態(tài)，電感如同短路iL(∞)（3）求電路的時(shí)間常數(shù)用除源法求從電感兩端向電路看過(guò)去的等效電阻u12Ω5Ω3Ω+－i1t≥0除源求電路的等效電阻R0求得電路的時(shí)間常數(shù)為（4）依據(jù)三要素公式寫出i1(t)和

u1(t)的表達(dá)式t≥0t≥0原電路例題.

在一個(gè)線性一階RC電路中，已知電容的電壓波形如圖所示，求

t≥0時(shí)

uC(t)的表達(dá)式。2460246t/suC(t)/v解：由波形可知依據(jù)三要素公式，寫出t≥0時(shí)

uC(t)的表達(dá)式如下t≥0[例]題圖所示電路，已知

t=0-

時(shí)電路已處于直流穩(wěn)態(tài)，求

u(t)和

i(t)。題圖100mH3kΩ1.5kΩ100kΩ3kΩ+－90V1μFt=0+－u(t)i(t)解：

u(t)和

i(t)分別是電感的電壓和電容的電流，由于電路的輸入是直流輸入，因此可運(yùn)用三要素法求解。（1）求初始值和u(0+)和

i(0+)

t<0時(shí)，電路處于穩(wěn)態(tài)，電感的電壓為零，電感視同短路；電容的電流為零，電容視同開路。電路如圖（a）所示。90V+－+－uC(0-)3kΩi(0-)u(0-)+－3kΩ1.5kΩ100kΩ圖(a)t=0－（換路前穩(wěn)態(tài)）iL(0-)t=0時(shí)，電路發(fā)生換路。依據(jù)換路定律得當(dāng)t=0+

時(shí)，依據(jù)置換定理，電路中的電容可用45V的電壓源替代，電感可用（－15mA）的電流源替代。替代后的電路如圖（b）所示。由圖（b）電路求得求初始電壓u(0+)

：90V電壓源單獨(dú)作用時(shí)90V+－+－3kΩi(0+)u(0+)+－1.5kΩ100kΩ－15mA45V圖(b)t=0+時(shí)的電路－15mA電流源單獨(dú)作用時(shí)（2）求

t≥0時(shí)的直流穩(wěn)態(tài)值u(∞)和

i(∞)圖(c)t≥0時(shí)的電路100mH3kΩ1.5kΩ100kΩ3kΩ+－90V1μF+－u(t)i(t)iLu(t)+－100mH1.5kΩ3kΩ圖(e)t≥0+－90V電感對(duì)電路的作用可等效為電容對(duì)電路的作用可等效為+－uC(t)i(t)100kΩ圖(d)t≥01μFt≥0，開關(guān)處于閉合狀態(tài)，電路如圖(c)所示。這時(shí)，電容和電感對(duì)電路的作用可等效為圖(d)和圖(e)。當(dāng)電路達(dá)到直流穩(wěn)態(tài)時(shí)電容的電流為零，電感的電壓為零，即（3）求

t≥0電路的時(shí)間常數(shù)由圖（d）求得RC電路的時(shí)間常數(shù)為由圖（e）求得RL電路的時(shí)間常數(shù)為（4）依據(jù)三要素公式寫出

u(t)和

i(t)的表達(dá)式t≥0t≥0圖d圖e上述解題分析方法是直接運(yùn)用三要素法求解支路電壓u(t)和

i(t)，本題的另一種解題方法是先運(yùn)用三要素法求解出電路的狀態(tài)變量，即電容的電壓uC(t)和電感的電流iL(t)，再由uC(t)和iL(t)解出支路電壓u(t)和

i(t)。其解題步驟如下：（1）求電容的初始電壓uC(t)和電感的初始電流iL(t)同前，依據(jù)圖（a）求得u(t)/Vt/s－450u(t)響應(yīng)波形t≥0i(t)×10－4/At/s－4.50i(t)響應(yīng)波形t≥0（2）求

t≥0時(shí)的直流穩(wěn)態(tài)值uC(∞)和

iL(∞)

電路達(dá)直流穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容的電流為零，視電容為開路；電感的電壓為零，視電感為短路，電路可簡(jiǎn)化為圖（f）所示。90V+－+－uC(∞)3kΩi(0-)u(∞)+－3kΩ1.5kΩ100kΩ圖(f)

t=∞

（達(dá)直流穩(wěn)態(tài)）iL(∞)由電路得：（3）求

t≥0時(shí)的時(shí)間常數(shù)同前，由圖（d）和圖（e）求得RC電路和RL電路的時(shí)間常數(shù)分別為（4）依據(jù)三要素公式寫出

uC(t)和

iL(t)的表達(dá)式t≥0t≥0原電路中，i(t)是流過(guò)電容的電流，u(t)是電感兩端的電壓。依據(jù)電壓與電流的約束關(guān)系求解得t≥0t≥0原電路[例題]如圖所示電路，開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t=0時(shí)開關(guān)S閉合。試用三要素法求t≥0時(shí)的uL

和

u。解：換路前（t<0）電路處于穩(wěn)態(tài)，電感的電壓為零，電感視同于短路，電路如圖（a）所示3Ω9V+－SiL(t)1H2Ω3Ω3Ω+－4AuL(t)+－u3Ω9V+－iL(0-)2Ω3Ω3Ω+－4AuL(0-)+－u(0-)圖(a)

t<0（換路前）（1）求初始值依據(jù)電感的換路定律可知：由圖(a)電路可得：有必要指出：u(0+)≠u(0-)，uL(0+)≠uL(0-)！發(fā)生換路后，在t=0+時(shí)電感的電流是

2.5A，依據(jù)置換定理可用

2.5A的電流源替換電感，電路如圖（b）所示。運(yùn)用節(jié)點(diǎn)分析法列出電路的節(jié)點(diǎn)方程為補(bǔ)充解得3Ω9V+－2Ω3Ω3Ω+－4AuL(0+)+－u(0+)圖(b)

t=0+

2.5A①②③（2）求直流穩(wěn)態(tài)值電路達(dá)直流穩(wěn)態(tài)時(shí)，電感的電壓，電感視同于短路，電路如圖（c）所示。應(yīng)用網(wǎng)孔分析法分析：3Ω9V+－2Ω3Ω3Ω+－4AuL(∞)+－u(∞)圖(c)t=∞穩(wěn)態(tài)

uL(∞)=0iL(∞)Im1Im2Im3+－ux增補(bǔ)方程解得（3）求電路的時(shí)間常數(shù)采用除原法（9V電壓源視為短路，4A電流源視為開路）求電路等效電阻R0的電路如圖（e）所示3Ω2Ω3Ω3ΩR0圖(e)求等效電阻

R0

求得時(shí)間常數(shù)（4）由三要素公式寫出響應(yīng)的表達(dá)式t≥0t≥03Ω9V+－SiL(t)1H2Ω3Ω3Ω+－4AuL(t)+－u解法二.

先求狀態(tài)變量iL(t)，再求響應(yīng)uL(t)和u(t)。（1）求初始值iL(0+)同于解法一，求出狀態(tài)變量iL(t)的初始值iL(0+)（2）求電路的時(shí)間常數(shù)同于解法一，求得（3）求直流穩(wěn)態(tài)值iL(∞)3Ω9V2Ω3Ω3Ω+－4A圖(f)

t=∞穩(wěn)態(tài)iL(∞)電路達(dá)直流穩(wěn)態(tài)時(shí)，電感的電壓為零，電感視同于短路，電路如圖（f）所示運(yùn)用網(wǎng)孔分析法可求得（4）由三要素公式寫出iL(t)的表達(dá)式t≥0（5）由iL(t)求解響應(yīng)uL(t)和u(t)t≥03Ω9V+－iL(t)2Ω3Ω3Ω+－4AuL+－u(t)圖(g)t≥0

求響應(yīng)u(t)如圖(g)所示，以電流源置換電感，由電路得t≥0[例題]圖（a）所示電路為RC補(bǔ)償分壓器電路，設(shè)電容的初始電壓為零，C2=2F，R1=R2=2Ω，求C1=1F、2F、4F，t≥0時(shí)的電壓u2

，并畫出波形。解：電路的RC電路（電壓源用短路替代后的電路）如圖（b）所示，電容C1和C2并聯(lián)等效為一個(gè)電容，電路為一階電路。求電路的時(shí)間常數(shù)如下：－－++u1u2C2C1圖（b）R1R2(t)6εV－－－+++u1u2C2C1R1R2圖（a）這里，要充分注意到：換