暑假作業(yè)01 相交線（知識(shí)梳理+四大題型專練+能力拓展練）-2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)暑假分層作業(yè)（人教版）（解析版）

第第頁試卷第=page22頁，共=sectionpages3333頁限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：作業(yè)01相交線知識(shí)點(diǎn)1．相交線（1）相交線：兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線相交．相對(duì)的，我們稱這兩條直線為相交線．（2）兩條相交線在形成的角中有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的有對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角兩類．知識(shí)點(diǎn)2．對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角（1）對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．（2）鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．（4）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．（5）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．知識(shí)點(diǎn)3．垂線（1）垂線的定義當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．（2）垂線的性質(zhì)在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．知識(shí)點(diǎn)4．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．知識(shí)點(diǎn)5．點(diǎn)到直線的距離（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．（2）點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形．知識(shí)點(diǎn)6．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．（4）在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．題型一：基礎(chǔ)概念辨析1．下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．兩釘子固定木條 B．木板上彈墨線C．測量跳遠(yuǎn)成績 D．彎曲河道改直【答案】C【詳解】解：A、能用兩點(diǎn)確定一條直線進(jìn)行解釋，不符合題意；B、能用兩點(diǎn)確定一條直線進(jìn)行解釋，不符合題意；C、能用垂線段最短進(jìn)行解釋，符合題意；D、能用兩點(diǎn)之間，線段最短進(jìn)行解釋，不符合題意；故選C．2．下列說法不正確的是（）A．與是同位角 B．與是同旁內(nèi)角C．與是內(nèi)錯(cuò)角 D．與是同位角【答案】D【詳解】解：A、與是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意；B、與是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)不符合題意；C、與是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)不符合題意；D、與不是同位角，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．如圖，，對(duì)于：①點(diǎn)C到直線的距離為3；②；③若點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），則線段的長度一定大于4．正確的是（

）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】A【詳解】①∵，點(diǎn)C到直線的距離為3，故①正確；②，，，，，，故②正確；③∵，點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，則線段的長度一定大于4，故③正確；故選：A．4．按下列要求畫圖并填空：如圖，直線和相交于點(diǎn)O，M是上的一點(diǎn)，

(1)過點(diǎn)M畫出直線的垂線，交直線于點(diǎn)N；(2)過點(diǎn)M畫出直線的垂線，垂足為點(diǎn)F；(3)點(diǎn)M到點(diǎn)N之間的距離是線段________的長；(4)點(diǎn)O到直線的距離是線段________的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)(4)【詳解】（1）解：如圖所示：直線即為所求：

（2）解：如上圖所示，直線即為所求：（3）解：點(diǎn)M到點(diǎn)N之間的距離是線段的長故答案為：，（4）解：點(diǎn)O到直線的距離是線段的長，故答案為：題型二：對(duì)頂角的計(jì)算5．如圖，直線，相交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵直線，相交于點(diǎn)，，∴，∵，∴．故選：C．6．如圖，直線相交于點(diǎn)O，，平分，求的度數(shù)．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，，所以．因?yàn)槠椒?，所以．所以．題型三：鄰補(bǔ)角的計(jì)算7．如圖，直線和相交于點(diǎn)O，，那么下列選項(xiàng)中與互為鄰補(bǔ)角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：直線和相交于點(diǎn)O與互為鄰補(bǔ)角的有：，，故選：A8．如圖，直線，相交于點(diǎn)O，把分成兩部分．(1)的對(duì)頂角為__________，的鄰補(bǔ)角為__________；(2)若，且，求的度數(shù)．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：的對(duì)頂角為，的鄰補(bǔ)角為，故答案為：，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴題型四：與直線垂直有關(guān)的角度計(jì)算9．如圖，直線相交于點(diǎn)O，，垂足為點(diǎn)O，若，則．【答案】/【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．10．如圖所示，直線與直線相交于點(diǎn)平分，．(1)若，求的度數(shù)；(2)猜想與之間的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，見解析【詳解】（1），，平分，，；（2）解：，理由如下：設(shè)，，，平分，，，，，，．11．如圖，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，，，平分．(1)試說明；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，∴，∴；（2）∵平分，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．12．（23-24七年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，l是一條水平線，把一頭系著小球的線一端固定在點(diǎn)A，小球從B到C從左向右擺動(dòng)，在這一過程中，系小球的線在水平線下方部分的線段長度的變化是（

）A．變短 B．變長 C．先變短，后變長 D．先變長，后變短【答案】D【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作軸與點(diǎn)E，交弧于點(diǎn)G，由“垂線段最短”可知，，，，即，，系小球的線在水平線下方部分的線段長度的變化是：先變長，后變短，故選D．13．如圖，直線相交于點(diǎn)，，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：A、直線相交于點(diǎn)，（對(duì)頂角相等），故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B、直線相交于點(diǎn)，（對(duì)頂角相等），，，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C、無法判斷與是否相等，故原說法錯(cuò)誤，符合題意；D、三點(diǎn)共線，，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；故選：C．14．如圖，直線，交于點(diǎn)，，，平分．給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）①當(dāng)時(shí)，；

②平分；③與相等的角有3個(gè)；④．A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【詳解】解：①，，∴，，，當(dāng)時(shí)，，∴，∵平分，∴，故①正確；②不能證明，無法證明為的角平分線，故②錯(cuò)誤；③平分，．直線，交于點(diǎn)，．，，與相等的角有三個(gè)，故③正確；④，，，故④正確；所以正確的結(jié)論有①③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線，余角、對(duì)頂角以及角平分線的性質(zhì)，注意結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)角與角之間的關(guān)系，難度適中．15．下圖是投影屏上出現(xiàn)的搶答題，需要回答括號(hào)內(nèi)符號(hào)所代表的內(nèi)容，則回答錯(cuò)誤的是（

）如圖，是直線上一點(diǎn)，，是的平分線，于點(diǎn)．求的度數(shù)．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的解題過程）解：是直線上一點(diǎn)，，§．是的平分線，@．（角平分線的定義）．于點(diǎn)，（已知），（&）__#_．

A．“§”表示130 B．“@”表示C．“&”表示垂直的定義 D．“#”表示35【答案】D【詳解】解：是直線上一點(diǎn)，，．是的平分線，．（角平分線的定義）．于點(diǎn)，（已知），（垂直的定義）．綜上所述，“§”表示130；“@”表示；“&”表示垂直的定義；“#”表示25；故選：D．16．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，，若點(diǎn)E在邊（不與點(diǎn)A，B重合）移動(dòng)，則線段最短為【答案】6【分析】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)，三角形的面積公式，根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)時(shí)，為最短，然后根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【詳解】根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)時(shí)，為最短．∵，∴，∵，，∴．∴的最短為．故答案為：．17．如圖，直線b、c被直線a所截，如果，，那么與其內(nèi)錯(cuò)角的角度之和等于．【答案】/135度【分析】本題考查了三線八角，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)的內(nèi)錯(cuò)角，再根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角性質(zhì)求解，即可解題．【詳解】解：，的內(nèi)錯(cuò)角為，，，與其內(nèi)錯(cuò)角的角度之和為，故答案為：．18．如圖，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線外一定點(diǎn)，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，使直線的點(diǎn)有兩個(gè)；②若，當(dāng)點(diǎn)從出發(fā)，沿射線的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，先變大再變??；③若，則三角形的面積是三角形的面積的倍；④當(dāng)時(shí)，線段的長度就是點(diǎn)到直線的距離．其中正確的是．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))【答案】②④【詳解】解：①點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，使直線的點(diǎn)有兩個(gè)，說法錯(cuò)誤，只有一個(gè)；②若，當(dāng)點(diǎn)從出發(fā)，沿射線的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，先變大再變小，說法正確；③若，則三角形的面積是三角形的面積的倍，說法錯(cuò)誤，因?yàn)辄c(diǎn)在線段點(diǎn)左邊或在點(diǎn)右邊時(shí)，但點(diǎn)不是線段中點(diǎn)，不能使三角形的面積是三角形的面積的倍；④當(dāng)時(shí)，線段的長度就是點(diǎn)到直線的距離，說法正確．綜上，正確的是②④，故答案為：②④．19．如圖，為了探清一口深井的底部情況，在井口放置一面平面鏡可改變光路，此時(shí)，當(dāng)太陽光線與地面所成夾角時(shí)，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角°．

【答案】71【詳解】∵,∴,∵,∴∵,∴,∴.故答案為：.20．一副直角三角尺疊放如圖所示，現(xiàn)將的三角尺固定不動(dòng)，將含的三角尺繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)角不超過180度），使兩塊三角尺至少有一組邊互相垂直．則的度數(shù)為．

【答案】或或或【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∵，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示：

此時(shí)；當(dāng)時(shí)，如圖所示：

此時(shí)；當(dāng)時(shí)，如圖所示：

此時(shí)；綜上分析可知：的度數(shù)為或或或．故答案為：或或或．21．如圖，點(diǎn)都在格點(diǎn)上（小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)），

(1)請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成畫圖（不要求寫畫法）．①過點(diǎn)畫直線的平行線，并標(biāo)出直線所經(jīng)過的格點(diǎn)；②過點(diǎn)畫直線的垂線，并標(biāo)出直線所經(jīng)過的格點(diǎn)及垂足；(2)線段______的長就是點(diǎn)到直線的距離；(3)比較大?。篲_____（填“”“”或“”）【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)；(3)．【詳解】（1）解：①如圖所示，直線即為所求；②如圖所示，直線即為所求；

（2）解：線段的長度是點(diǎn)到直線的距離，故答案為：；（3）解：，故答案為：．22．如圖，直線、相交于點(diǎn)，，．(1)寫出的所有補(bǔ)角，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)是的補(bǔ)角，理由見解析；(2)．【詳解】（1）的補(bǔ)角有和，理由如下：∵，∴是的補(bǔ)角，∵，，∴，∵，，∴，∴是的補(bǔ)角；（2）∵，∴，解得．23．如圖，點(diǎn)在直線上，，射線在內(nèi)部．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，用量角器畫出射線，求度數(shù)：(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，，垂足為點(diǎn)，求度數(shù)．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：如圖1，射線即為所畫的射線，

，，，；（2）解：如圖2，當(dāng)在上方時(shí)，

，，，如圖3，當(dāng)在下方時(shí)，

，，，．綜上所述：或．24．直線、、相交于點(diǎn)O，且，平分．(1)如圖1，①的余角有________________．（填寫所有符合情況的角）②若，求的度數(shù)．(2)如圖2：探究與是否存在數(shù)量關(guān)系，如果存在，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①；②(2)【詳解】（1）解：①，，，，，的余角有，故答案為：；②，，，，，平分，，設(shè)，則，，，；（2）解：，理由如下：，，，即，平分，，，即，，．25．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師給出如下問題：直線、相交于點(diǎn)O，，平分，射線，求的度數(shù)．小麗：以下是我的解答過程（部分空缺）解：如圖1，因?yàn)樯渚€，（已知）所以______°．（_______________________）因?yàn)榕c互補(bǔ)，，（已知）所以______＝______°．（_______________________）因?yàn)槠椒郑ㄒ阎┧訽_____°．（_______________________）因?yàn)槭侵本€下方的一條射線，所以______°．(1)請(qǐng)補(bǔ)全小麗的解答過程；(2)小聰說：“小麗的解答并不完整，符合題意的圖形還有一種情況．”請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出小聰說的另一種情況，并解答．【答案】(1)，平面上一條直線與另一條直線相交并成直角，這兩條直線互相垂直；，在同一平面內(nèi)，如果兩個(gè)角的和等于，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)；，一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線；(2)見解析【詳解】（1）解：∵，∴，（平面上一條直線與另一條直線相交并成直角，這兩條直線互相垂直）∵與互補(bǔ)，，∴，（在同一平面內(nèi)，如果兩個(gè)角的和等于，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)）∵平分，∴，（從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線）∵是直線下方的一條射線，∴．（2）解：當(dāng)射線在直線的上方時(shí)，如圖，∵，∴，∵與互補(bǔ)，，∴，∵是直線上方的一條射線，∴．【點(diǎn)睛】本題考查垂線的定義、補(bǔ)角的定義、角平分線的定義、角的和差運(yùn)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．26．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，在直線同側(cè)任作一個(gè)，使得．(1)如圖1，過點(diǎn)作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，請(qǐng)直接寫出與之間的倍數(shù)關(guān)系，即______（填一個(gè)數(shù)字）；(2)如圖2，過點(diǎn)作射線，使恰好為的角平分線，另作射線，使得平分，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若，作射線，使得，求的度數(shù)．【答案】(1)2(2)，詳見解析(3)或，詳見解析【詳解】（1）；理由如下：∵．∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴；故答案為：2；（2）∵為的角平分線，平分，∴設(shè)，∴，∴，∴；（3）由（2）知，，∵，∴，∴，∴，∴∴，當(dāng)在左側(cè)時(shí)，，，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，．27．問題提出已知一副直角三角尺按如圖方式拼接在一起，其中與直線重合，，．（1）在圖中，的度數(shù)為______．問題探究（2）如圖，三角尺固定不動(dòng)，將三角尺繞著點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角尺均在直線的上方．設(shè)三角尺的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)平分時(shí)，請(qǐng)求出的值．問題解決（3）如圖，若三角尺繞著點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺也繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角尺均在直線的上方，且當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)三角尺的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時(shí)刻？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）秒；（3）秒或秒【詳解】解：（1）∵，，∴,故答案為：；（2）當(dāng)邊平分時(shí)，∵，∴，∴旋轉(zhuǎn)角為：，∴（秒）；（3）存在，理由是：在旋轉(zhuǎn)過程中，，當(dāng)在左側(cè)時(shí)，∵，∴，解得：；當(dāng)在右側(cè)時(shí)，∴綜上：的值為秒或秒．28．張老師將教鞭和直角三角板放在量角器上．如圖①，是量角器的直徑，點(diǎn)是圓心，教鞭與重合，直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊與重合，．如圖②，現(xiàn)將教鞭繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將直角三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，三角板和教鞭同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為何值時(shí)，．(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線，，中的兩條射線組成的角（指大于0°而不超過180°的角）恰好被第三條射線平分，求出此時(shí)的值．【答案】(1)或度或(2)當(dāng)秒時(shí)，(3)當(dāng)秒或秒或秒時(shí)，射線，，中的兩條射線組成的角恰好被第三條射線平分【詳解】（1）解：如圖1，∵，．∴．；（2）如圖2，∵當(dāng)時(shí)，，∴，解得：（秒）．∴當(dāng)秒時(shí)，；（3）分3種情況：①如圖3，當(dāng)平分時(shí)，．∴，解得：（秒）．②如圖4，當(dāng)平分時(shí)，．∴，即解得：（秒）．③如圖5，當(dāng)平分時(shí)，．∴．解得：（秒）∴綜上所述，當(dāng)秒或秒或秒時(shí)，射線，，中的兩條射線組成的角恰好被第三條射線平分．29．（2022·北京·中考真題）如圖，利用工具測量角，則的大小為（

）

A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【詳解】解：量角器測量的度