2024年中考數(shù)學(xué)【高分·突破】壓軸題培優(yōu)專題精練壓軸熱點考點08三角形的相關(guān)概念及性質(zhì)(壓軸突破)(原卷版+解析)

壓軸熱點考點08三角形的相關(guān)概念及性質(zhì)壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點考點好題精編一、單選題1．平面內(nèi)，將長分別為2，4，3的三根木棒按如圖方式連接成折線，其中可以繞點任意旋轉(zhuǎn)，保持，將，兩點用繃直的皮筋連接，設(shè)皮筋長度為，則不可能是（）

A．3 B．5 C．7 D．82．如圖，中，是的平分線，是中線，與交于點F，于點D，連接，且，四邊形的面積是27，則的面積與的面積之差為（

）

A．27 B．18 C．9 D．33．如圖，已知內(nèi)接于，，，點P為的重心，當(dāng)點A到的距離最大時，線段的長為（）

A． B．C． D．4．有一內(nèi)角是的直角三角尺與直尺如圖放置，三角尺的斜邊與直尺交于點F．若的平分線平行于直尺的短邊，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．物理學(xué)光的反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角等于反射角．這就是光的反射定律．如圖，兩平面鏡與的夾角為α，一條光線經(jīng)過兩次反射后，，，仍可以使入射光線與反射光線平行但方向相反，則α的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．某驅(qū)逐艦在海上執(zhí)行任務(wù)后剛返回到港口，接到上級指令，發(fā)現(xiàn)在其北偏東方向上有一艘可疑船只，與此同時在港口處北偏東方向上且距離處有另一艘驅(qū)逐艦也收到了相關(guān)指令，驅(qū)逐艦恰好在可疑船只的南偏東的方向上，則可疑船只距離港口的距離為（）A． B． C． D．7．如圖，在矩形中，，E是邊上的一動點，以為直徑的經(jīng)過邊上的一點F．若使最小，則的值為（

）

A．1 B． C． D．8．在數(shù)學(xué)拓展課上，有兩個全等的含角的直角三角板，重疊在一起．李老師將三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)（保持，延長線段，與線段的延長線交于點（如圖所示），隨著的增大，的值（

）

A．一直變小 B．保持不變 C．先變小，后變大 D．一直變大二、填空題9．如圖，已知的面積為18，點M和點N分別為邊和邊上的中點，分別連接相交于點P．

（1）；（2）的面積為．10．如圖，在中，點在邊上，沿將折疊，使點與邊上的點重合，展開后得到折痕．

（1）折痕是的；（填“角平分線”“中線”或“高”）（2）若，則比的度數(shù)大．11．如圖，已知的面積為12，結(jié)合尺規(guī)作圖痕跡所提供的條件可知，的面積為．12．如圖，雙驕制衣廠在廠房O的周圍租了三幢樓A、B、C作為職工宿舍，每幢宿舍樓之間均有筆直的公路相連，并且廠房O與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，且．已知廠房O到每條公路的距離相等．（1）則點O為三條的交點（填寫：角平分線或中線或高線）；（2）如圖，設(shè)，，，，，，現(xiàn)要用汽車每天接送職工上下班后，返回廠房停放，那么最短路線長是．13．如圖，直線a，b，c在同一平面內(nèi)，直線a，c交于點O，，．

（1）a，b相交所成的銳角為；（2）保持直線b，c固定不動，直線a繞點O最少旋轉(zhuǎn)時，可使直線．14．如圖，在中，，，．若將沿折疊，點A與邊的點恰好重合，點，分別在，上．將沿折疊，點與點恰好重合．將沿折疊，點與點恰好重合，則四邊形的周長為．

15．如圖，在△ABC中，AB＝4，點P為AC邊上一點，PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，將∠A、∠C分別沿PE、PF折疊，使點A、C分別落在邊AB、BC上的點G、H處．（1）當(dāng)∠B＝50°時，則∠GPH＝．（2）當(dāng)四邊形BHPG為平行四邊形時，則PE＋PF的值為．16．如圖，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聰明的小強(qiáng)想求tan2α的值，于是他在AB上取點D，使得CD＝AD，則tan2α的值為．三、解答題17．如圖，城市發(fā)生了小型地震，地震發(fā)生后，城市的甲救援隊與城市的乙救援隊同時接到訊息，同時乘直升機(jī)趕往城市．城市在城市的正東方向，城市位于城市的北偏東方向上，位于城市的北偏東方向上，已知城市之間的距離為．若甲救援隊的飛行速度為，乙救援隊的飛行速度為．問哪支救援隊先到達(dá)城市？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）18．某校數(shù)學(xué)興趣小組模仿七巧板制作了一副如圖所示的五巧板，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形．這副五巧板恰好拼成互不重疊也無縫隙且對角互補(bǔ)的四邊形，直角頂點分別在邊上．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)若，求的值．19．如圖，已知，M為邊上一動點，，D為邊上一動點，，交于點N．(1)【問題提出】三角形的三條中線會相交于一點，這一點就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性質(zhì)，請大家探究以下問題若，則______（直接寫出結(jié)果）(2)【問題探究】若，猜想與n存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論(3)【問題拓展】若，，則______（直接寫出結(jié)果）20．如圖，中，．(1)尺規(guī)作圖：作的高，垂足為H；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)要在空地上種植草皮美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮一共需要多少元？壓軸熱點考點08三角形的相關(guān)概念及性質(zhì)壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點考點好題精編一、單選題1．平面內(nèi)，將長分別為2，4，3的三根木棒按如圖方式連接成折線，其中可以繞點任意旋轉(zhuǎn)，保持，將，兩點用繃直的皮筋連接，設(shè)皮筋長度為，則不可能是（）

A．3 B．5 C．7 D．8【答案】D【分析】連接，根據(jù)勾股定理可得的長，在分兩種情況討論即可；【詳解】連接，則．如圖1，當(dāng)點在線段上時，；

如圖2，當(dāng)點在的延長線上時，，∴的取值范圍為，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出．2．如圖，中，是的平分線，是中線，與交于點F，于點D，連接，且，四邊形的面積是27，則的面積與的面積之差為（

）

A．27 B．18 C．9 D．3【答案】C【分析】延長，交的延長線于點G，證明，可得，，再證明，可得，從而可得，由四邊形的面積是27，可得，再根據(jù)是的中線，可得，從而求得，即可求解．【詳解】解：延長，交的延長線于點G，如圖所示，∵是的角平分線，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵四邊形的面積是27，∴，∵是的中線，∴，∴，∴的面積與的面積之差為9，故選：C．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、角平分線的定義，添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知內(nèi)接于，，，點P為的重心，當(dāng)點A到的距離最大時，線段的長為（）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作出對應(yīng)的圖形，連接，，得，由垂徑定理得，再由，，，，半徑相等，，再由點P為的重心，可知，得，最后列式即可．【詳解】解：如圖所示，連接，過點O作于H，連接，，如圖所示，設(shè)點A到的距離為h：

∵，∴當(dāng)點A到的距離最大時，三點共線，∴，，∵，∴，，，∵在，，，∴，，∵，∴，，∵點P為的重心，∴，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查的是解直角三角形以及三角形的重心，正確掌握三角形的重心是三條中線的交點是解題的關(guān)鍵．4．有一內(nèi)角是的直角三角尺與直尺如圖放置，三角尺的斜邊與直尺交于點F．若的平分線平行于直尺的短邊，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)與交于點M，根據(jù)角平分線的定義和外角的性質(zhì)求得，然后利用直角三角形兩銳角互余計算求解．【詳解】解：設(shè)與交于點M，如圖，∵，且平分，∴，∵，∴，∵，，∴，即，∴，故選：B．5．物理學(xué)光的反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角等于反射角．這就是光的反射定律．如圖，兩平面鏡與的夾角為α，一條光線經(jīng)過兩次反射后，，，仍可以使入射光線與反射光線平行但方向相反，則α的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】分別過點E、G作，，垂線相交于點D，由入射角等于反射角，可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即，再由，，可得，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：分別過點E、G作，，垂線相交于點D，∵入射角等于反射角，∴，，∵，∴，即，∴，又∵，，∴，∴，故選：C

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，理解題意，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．某驅(qū)逐艦在海上執(zhí)行任務(wù)后剛返回到港口，接到上級指令，發(fā)現(xiàn)在其北偏東方向上有一艘可疑船只，與此同時在港口處北偏東方向上且距離處有另一艘驅(qū)逐艦也收到了相關(guān)指令，驅(qū)逐艦恰好在可疑船只的南偏東的方向上，則可疑船只距離港口的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題目條件，，得到是直角三角形，由的正弦定義即可求解．【詳解】解：船只在港口北偏東方向，在港口A處北偏東方向，，驅(qū)逐艦在可疑船只的南偏東的方向上，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形-方位角的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在矩形中，，E是邊上的一動點，以為直徑的經(jīng)過邊上的一點F．若使最小，則的值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最小得到以為直徑的與相切于點F，設(shè)與交于點G，連接，，與交于點H，設(shè)，則，設(shè)，則，，，利用矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理和勾股定理求得值，即可得到答案；【詳解】解：∵最小，∴為直徑的與相切于點F，如圖所示，

設(shè)與交于點G，連接，，與交于點H，∵四邊形是矩形，∴，，，∵為直徑，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵為的切線，∴，∴，∴為梯形的中位線，∴，∵，∴設(shè)，則，設(shè)，則，∴，∴，在中，∵，∴，解得：，∴，∴，∴，故選：B；【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)定理，梯形的中位線定理，勾股定理，利用已知條件確定出符合條件的圖形是解題的關(guān)鍵．8．在數(shù)學(xué)拓展課上，有兩個全等的含角的直角三角板，重疊在一起．李老師將三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)（保持，延長線段，與線段的延長線交于點（如圖所示），隨著的增大，的值（

）

A．一直變小 B．保持不變 C．先變小，后變大 D．一直變大【答案】B【分析】利用證明，得，從而，則可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，，由題意得：，，，在和中，，（），，，的值保持不變．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．如圖，已知的面積為18，點M和點N分別為邊和邊上的中點，分別連接相交于點P．

（1）；（2）的面積為．【答案】6【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)，證明，即可解答；（2）根據(jù)同高的兩個三角形之比等于底邊之比即可解答．【詳解】解：（1）點M和點N分別為邊和邊上的中點，且，，，；（2），，．故答案為：；6．【點睛】本題考查了中位線的判定及性質(zhì)，中線的性質(zhì)，利用等高的三角形的面積之比為底邊之比是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，點在邊上，沿將折疊，使點與邊上的點重合，展開后得到折痕．

（1）折痕是的；（填“角平分線”“中線”或“高”）（2）若，則比的度數(shù)大．【答案】高【分析】（1）由折疊的性質(zhì)結(jié)合三角形角平分線，中線，高的定義即可判斷；（2）由折疊的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可知，，，∴折痕是的高．故答案為：高；（2）∵由折疊的性質(zhì)可知，，∴．故答案為：15．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形角平分線，中線，高的定義，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握上述知識點是解題關(guān)鍵．11．如圖，已知的面積為12，結(jié)合尺規(guī)作圖痕跡所提供的條件可知，的面積為．【答案】4【分析】由作圖知M，N分別為的中點，利用中位線定理得出，再利用等底同高三角形面積相等得，最后利用相似比得出面積比，即可得解；【詳解】連，由作圖知M，N分別為的中點，∴，由等底同高三角形面積相等得又∵∴∴∴∴∴故答案為：4【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，三角形的中位線，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識點，，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．12．如圖，雙驕制衣廠在廠房O的周圍租了三幢樓A、B、C作為職工宿舍，每幢宿舍樓之間均有筆直的公路相連，并且廠房O與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，且．已知廠房O到每條公路的距離相等．（1）則點O為三條的交點（填寫：角平分線或中線或高線）；（2）如圖，設(shè)，，，，，，現(xiàn)要用汽車每天接送職工上下班后，返回廠房停放，那么最短路線長是．【答案】角平分線【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等，進(jìn)行作答即可；（2）根據(jù)題意，得到三條路線，在上截取，連接，證明，利用三角形的三邊關(guān)系，即可得到最短路徑．【詳解】解：（1）∵廠房O到每條公路的距離相等，∴點O為三條角平分線的交點；故答案為：角平分線．（2）如圖：有三條路線可走：，在上截取，連接，∵點O為三條角平分線的交點，∴，在和中，，∴，∴，，在中，，∴，同理，∴最短，即最短路線長為：；故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系．熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．13．如圖，直線a，b，c在同一平面內(nèi)，直線a，c交于點O，，．

（1）a，b相交所成的銳角為；（2）保持直線b，c固定不動，直線a繞點O最少旋轉(zhuǎn)時，可使直線．【答案】【分析】（1）由三角形外角的性質(zhì)得到，即可得到a，b相交所成的銳角；（2）過點O作于點B，垂足為點B，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，即可得到答案．【詳解】解：如圖，直線a，b相交所成的銳角為，

∵，，．∴，即a，b相交所成的銳角為，故答案為：（2）如圖，過點O作于點B，垂足為點B，則，∵，∴，即直線a繞點O最少旋轉(zhuǎn)，可使直線．故答案為：【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，，．若將沿折疊，點A與邊的點恰好重合，點，分別在，上．將沿折疊，點與點恰好重合．將沿折疊，點與點恰好重合，則四邊形的周長為．

【答案】14【分析】將沿折疊，點A與邊的點恰好重合，得是的中位線，可證明四邊形為矩形，根據(jù)，可得，即可解答．【詳解】解：∵將沿折疊，點A與邊的點恰好重合，∴是的中位線，∴，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，∴，，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴，∴四邊形的周長為，故答案為：14．【點睛】本題考查了翻折變換，三角形中位線定理，含角的直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握上述知識點．15．如圖，在△ABC中，AB＝4，點P為AC邊上一點，PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，將∠A、∠C分別沿PE、PF折疊，使點A、C分別落在邊AB、BC上的點G、H處．（1）當(dāng)∠B＝50°時，則∠GPH＝．（2）當(dāng)四邊形BHPG為平行四邊形時，則PE＋PF的值為．【答案】80°2【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和與折疊的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)四邊形BHPG為平行四邊形時得到△ABC是等邊三角形，再根據(jù)解三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）當(dāng)∠B＝50°時，則∠A+∠C=130°，由折疊可得，∠AGP=∠A，∠PHC=∠C，∴∠AGP+∠PHC=130°，∴∠APG+∠CPH=（180°-∠A-∠AGP）+（180°-∠C-∠PHC）=360°-（∠A+∠C）-（∠AGP+∠PHC）=100°，∴∠GPH=180°-（∠APG+∠CPH）=80°，故答案為：80°；（2）當(dāng)四邊形BHPG為平行四邊形時，ABPH，GPBC，∴∠AGP=∠B，∠PHC=∠B，∵∠AGP=∠A，∠PHC=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形，AC=AB=4，∴在Rt△AGP和Rt△PCF中，PE＋PF=APcos60°+PCcos60°=（AP+PC）cos60°=ACcos60°=4×=，故答案為：．【點睛】此題主要考查平行四邊形與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)、解直角三角形的方法．16．如圖，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聰明的小強(qiáng)想求tan2α的值，于是他在AB上取點D，使得CD＝AD，則tan2α的值為．【答案】【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠A＝∠ACD，再利用三角形的外角可知∠CDB＝2α，然后在Rt△CDB中利用勾股定理先求出BD即可解答．【詳解】解：∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，在Rt△CDB中，設(shè)BD為x，則AD＝CD＝5﹣x，∵BC2+BD2＝CD2，∴32+x2＝（5﹣x）2，∴x＝1.6，∴BD＝1.6，∴tan∠CDB＝，∴tan2α＝，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，掌握等腰三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義解題關(guān)鍵．三、解答題17．如圖，城市發(fā)生了小型地震，地震發(fā)生后，城市的甲救援隊與城市的乙救援隊同時接到訊息，同時乘直升機(jī)趕往城市．城市在城市的正東方向，城市位于城市的北偏東方向上，位于城市的北偏東方向上，已知城市之間的距離為．若甲救援隊的飛行速度為，乙救援隊的飛行速度為．問哪支救援隊先到達(dá)城市？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】乙救援隊先到達(dá)城市．理由見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形．解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用題常常需要作垂線段，構(gòu)造直角三角形．法一：如圖1，過點作的延長線于點．則，甲救援隊到達(dá)城市所用的時間為，則乙救援隊到達(dá)城市所用的時間約為，然后比較時間的大小關(guān)系并作答即可；法二：如圖2，過點作，垂足為．設(shè)，則．由三角形內(nèi)角和定理可求，則．由可得，即可求，乙救援隊到達(dá)城市所用的時間約為，然后比較時間的大小關(guān)系并作答即可．【詳解】解：乙救援隊先到達(dá)城市，理由如下：法一：解：如圖1，過點作的延長線于點．由題意得，，∵，∴，甲救援隊到達(dá)城市所用的時間為，∵，∴乙救援隊到達(dá)城市所用的時間約為，∵，∴乙救援隊先到達(dá)城市．法二：解：如圖2，過點作，垂足為．∴甲救援隊到達(dá)城市所用的時間為，設(shè)，由題意得，，∴．，∴．∵，∴，解得，∴乙救援隊到達(dá)城市所用的時間約為，∵，∴乙救援隊先到達(dá)城市．18．某校數(shù)學(xué)興趣小組模仿七巧板制作了一副如圖所示的五巧板，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形．這副五巧板恰好拼成互不重疊也無縫隙且對角互補(bǔ)的四邊形，直角頂點分別在邊上．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意利用等腰三角形性質(zhì)得，再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意利用正方形性質(zhì)得，再利用相似三角形判定得，后利用對應(yīng)邊成比例即可得到本題答案；（3）根據(jù)（2）中相似的結(jié)論利用相似三角形性質(zhì)即可得到本題答案．【詳解】（1）解：證明：和都是等腰直角三角形，，四邊形是對角互補(bǔ)的四邊形，，，即．是直角三角形，．；（2）解：四邊形是正方形，和都是等腰直