備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.4空間距離(精練)(原卷版+解析)

7.4空間距離（精練）（提升版）題組一題組一點(diǎn)線距1.（2022·福建）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則到直線的距離為___．2（2022·北京·二模）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為3．（2022·廣東）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Р到直線的距離的最小值為_______.題組二題組二點(diǎn)面距1．（2022·江蘇）將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則點(diǎn)到平面的距離為___．2．（2022·福建福州）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點(diǎn)B到平面ACF的距離．3．（2022·河北邯鄲）在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，，，求點(diǎn)到平面的距離.4．（2022·四川成都）在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面PAB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段CB，AP上，且，．(1)求證：平面PCD；(2)若，，求點(diǎn)D到平面EFP的距離．5．（2022·云南保山）如圖，在四棱錐，四邊形正方形，平面．，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．題組三題組三線線距1．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，多面體是由長(zhǎng)方體一分為二得到的，，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，則異面直線與的距離是______．2．（2022·福建）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線，EN間的距離為______.3．（2022·浙江）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為______．4．（2022·湖北）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中點(diǎn)，M是棱CC1上的點(diǎn)，且CC1=3CM，則直線BM與B1N之間的距離為____.題組四題組四線面距1．（2022·山東濱州）在棱長(zhǎng)為的正方體中，直線BD到平面的距離為（

）A． B． C． D．2．（2022·山西）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面AD1E(2)求直線到平面的距離；3．（2022·云南·會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校）如圖，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，點(diǎn)F在AD上，且．(1)求點(diǎn)A到平面PCF的距離；(2)求AD到平面PBC的距離．題組五題組五面面距1．（2022·江蘇）已知正方體的棱長(zhǎng)為，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．2．（2022·云南）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，則A1B1到平面D1EF的距離是________．3．（2022·上海）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，E、F分別是、的中點(diǎn)．則點(diǎn)A和點(diǎn)的距離為______，點(diǎn)到棱BC的距離為______，點(diǎn)E到平面的距離為______，到平面AEFD的距離為______．4．（2022·廣東）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離．5．（2022·天津河北）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面與平面的距離.6．（2022·哈爾濱）已知正方體的棱長(zhǎng)均為1.(1)求到平面的距離；(2)求平面與平面之間的距離.7.4空間距離（精練）（提升版）題組一題組一點(diǎn)線距1.（2022·福建）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則到直線的距離為___．【答案】【解析】依題意得，則到直線的距離為故答案為：2（2022·北京·二模）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，∴動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為.3．（2022·廣東）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Р到直線的距離的最小值為_______.【答案】【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因點(diǎn)P在線段上，則，，，向量在向量上投影長(zhǎng)為，而，則點(diǎn)Р到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以點(diǎn)Р到直線的距離的最小值為.故答案為：題組二題組二點(diǎn)面距1．（2022·江蘇）將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則點(diǎn)到平面的距離為___．【答案】【解析】記AC與BD的交點(diǎn)為O，圖1中，由正方形性質(zhì)可知，所以在圖2中，，所以，即如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知?jiǎng)t則設(shè)為平面ABC的法向量，則，取，得所以點(diǎn)到平面的距離故答案為：2．（2022·福建福州）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點(diǎn)B到平面ACF的距離．【答案】(1)證明見詳解.(2).【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則,設(shè)面的一個(gè)法向量為，，可得，即，不妨令則,平面.（2），則點(diǎn)到平面的距離為.3．（2022·河北邯鄲）在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，，，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)詳見解析(2)【解析】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，且，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)?，則,,，所以，所以，,因?yàn)?，且，，所以平面，因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為1，，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可知，即，解得：，所以點(diǎn)到平面的距離為.4．（2022·四川成都）在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面PAB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段CB，AP上，且，．(1)求證：平面PCD；(2)若，，求點(diǎn)D到平面EFP的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．在中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴且．在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴且，∴且．∴.四邊形是平行四邊形，∴．又∵平面，平面，∴平面．(2)解：∵四邊形是矩形，∴．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，∵，，，平面.∴平面，即就是點(diǎn)到平面的距離．∵，平面，平面，所以平面，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．又∵，∴．同理可證平面，即，且，，平面，∴平面.∴，即．∴，

∴點(diǎn)到平面的距離為．5．（2022·云南保山）如圖，在四棱錐，四邊形正方形，平面．，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：連接交于點(diǎn)，連接，底面為正方形，為中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面．(2)解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，所以，，，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.題組三題組三線線距1．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，多面體是由長(zhǎng)方體一分為二得到的，，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，則異面直線與的距離是______．【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，,為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,,∴,,設(shè)是，的公垂線方向上的單位向量，則，即①，，即②，易知③，聯(lián)立解得，，或，，；不妨取，又∵,則異面直線與的距離，故答案為：.2．（2022·福建）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線，EN間的距離為______.【答案】【解析】以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，設(shè)同時(shí)垂直于，由，令，得，又，則異面直線，EN間的距離為.故答案為：.3．（2022·浙江）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為______．【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有：，，，，，可得：設(shè)，且則有：，可得：則有：故則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故答案為：4．（2022·湖北）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中點(diǎn)，M是棱CC1上的點(diǎn)，且CC1=3CM，則直線BM與B1N之間的距離為____.【答案】【解析】正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，.設(shè)直線BM與B1N的公垂線方向上的向量，由，，得，令x=2，則z=6，y=-7，∴，設(shè)直線BM與B1N之間的距離為d，則d===.故答案為：.題組四題組四線面距1．（2022·山東濱州）在棱長(zhǎng)為的正方體中，直線BD到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?平面,平面,因此平面,故直線BD到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離；為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，故，,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可得,即,故選:B2．（2022·山西）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面AD1E(2)求直線到平面的距離；【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1），，四邊形為平行四邊形，，面，面，平面．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，平面，直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，，直線到平面的距離為.3．（2022·云南·會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校）如圖，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，點(diǎn)F在AD上，且．(1)求點(diǎn)A到平面PCF的距離；(2)求AD到平面PBC的距離．【答案】(1)；(2).【解析】(1)連接AC，因?yàn)槠矫鍭BCD，又平面ABCD，∴PA⊥CF，又，，∴平面PAC，又平面PFC，∴平面PFC⊥平面PAC，平面PFC⊥平面PAC=PC，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PC于H，則AH⊥平面PFC，故AH即為所求，∵在梯形ABCD中，，，，，∴，∴在中，，∴，即點(diǎn)A到平面PCF的距離為；(2)∵，平面PBC，平面PBC，∴平面PBC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PB于E，又因?yàn)槠矫鍭BCD，則BC，又AB⊥BC，，∴BC⊥平面PBA，則BC⊥AE，又∴AE⊥平面PBC，即AE的長(zhǎng)為AD到平面PBC的距離，在等腰直角三角形PAB中，，∴，故AD到平面PBC的距離為.題組五題組五面面距1．（2022·江蘇）已知正方體的棱長(zhǎng)為，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正方體的性質(zhì)，∥,∥，，，易得平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，．連接，由，，且，可知平面，得平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離．故選：C2．（2022·云南）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，則A1B1到平面D1EF的距離是________．【答案】【解析】因?yàn)?，且面，所以，面，則A1B1到平面D1EF的距離為到面的距離，且明顯可見，面，對(duì)于三棱錐，有，設(shè)到面的距離為，由題意得，，，，在中，得到，，所以，，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而可得，故答案為：3．（2022·上海）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，E、F分別是、的中點(diǎn)．則點(diǎn)A和點(diǎn)的距離為______，點(diǎn)到棱BC的距離為______，點(diǎn)E到平面的距離為______，到平面AEFD的距離為______．【答案】

a

【解析】連接,連接，在正方體中，平面，又平面所以，即為點(diǎn)到棱BC的距離取的中點(diǎn)，連接，則平面所以為點(diǎn)E到平面的距離E、F分別是、的中點(diǎn)，則又，則又平面AEFD,平面AEFD，所以平面AEFD，則點(diǎn)到平面AEFD的距離等于直線到平面AEFD的距離.由平面,則平面,又平面，所以平面平面，且平面平面則過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，則平面即為直線到平面AEFD的距離.由,則故答案為：；；；4．（2022·廣東）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)?，，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以，平面．又因?yàn)椋云矫嫫矫妫?2)解：連接分別交、于點(diǎn)、，則為的中點(diǎn)，且，因?yàn)槠矫?，平面，，又因?yàn)?，，平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，平面，所以線段的長(zhǎng)度等于平面與平面之間的距離，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，且有，則，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，即平面與平面之間的距離為．5．（2022·天津河北）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面與平面的距離.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【解析】(1)證明：在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，故，因?yàn)椋?，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面?2)證明：取的中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，且，