2025屆新教材高中數(shù)學第3章圓錐曲線的方程3.3拋物線3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第2課時直線與拋物線的位置關系題型探究新人教A屆選擇性必修第一冊

3.3拋物線3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第2課時直線與拋物線的位置關系題型探究題型一和拋物線有關的軌跡問題1．設點P(x，y)(y≥0)為平面直角坐標系xOy內(nèi)的一個動點(其中O為坐標原點)，點P到定點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距離比點P到x軸的距離大eq\f(1,2).(1)求點P的軌跡方程；(2)若直線l：y＝kx＋1與點P的軌跡相交于A，B兩點，且|AB|＝2eq\r(6)，求實數(shù)k的值．[解析](1)方法一：(直接法)過點P作x軸的垂線且垂足為點N，則|PN|＝y(tǒng)，由題意知|PM|－|PN|＝eq\f(1,2)，∴eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)＝y(tǒng)＋eq\f(1,2)，化簡得x2＝2y.故點P的軌跡方程為x2＝2y.方法二：(定義法)由題意知，點P到定點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))與直線y＝－eq\f(1,2)的距離相等，則點P的軌跡是以點M為焦點，以直線y＝－eq\f(1,2)為準線的拋物線，且p＝1.∴點P的軌跡方程為x2＝2y.(2)由題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化簡得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4k2＋8)＝2eq\r(6)，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.[規(guī)律方法]求軌跡問題的兩種方法(1)直接法：按照動點適合條件直接代入求方程．(2)定義法：若動點滿足某種曲線定義，可按待定系數(shù)法列方程(組)求解曲線方程．對點訓練?若動圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動圓圓心的軌跡方程．[解析]設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，由已知可得定圓圓心為C(2,0)，半徑r＝1.因為兩圓外切，所以|MC|＝R＋1.又動圓M與已知直線x＋1＝0相切，所以圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.所以|MC|＝d＋1.即動點M到定點C(2,0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離．由拋物線的定義可知，點M的軌跡是以C為焦點，x＋2＝0為準線的拋物線，且eq\f(p,2)＝2，p＝4，故其方程為y2＝8x.題型二中點弦問題2．過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，求AB所在直線的方程．[解析]方法一：(點差法)設以Q為中點的弦AB的端點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝4，∴kAB＝4.∴AB所在直線的方程為y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.方法二：(傳統(tǒng)法)由題意知AB所在直線斜率存在，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直線的方程為y＝k(x－4)＋1.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－4＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的兩根就是線段端點A，B兩點的縱坐標．由根與系數(shù)的關系得y1＋y2＝eq\f(8,k).又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴AB所在直線的方程為4x－y－15＝0.[規(guī)律方法]涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系運用“設而不求”“整體代入”等解法．注意：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解．對點訓練?已知A、B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求拋物線E的標準方程；(2)求直線AB的方程．[解析](1)由于拋物線的焦點為(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，所求拋物線方程為y2＝4x.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝4x1①，yeq\o\al(2,2)＝4x2②，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以eq\f(y2－y1,x2－x1)＝2，所以所求直線AB的方程為y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.題型三拋物線性質(zhì)的綜合應用3．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)，求證：直線AB過定點．[解析](1)因為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標為(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.所以拋物線C的方程為y2＝4x.(2)①當直線AB的斜率不存在時，設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，t))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，－t))，因為直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)，所以eq\f(t,\f(t2,4))·eq\f(－t,\f(t2,4))＝－eq\f(1,2)，化簡得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此時直線AB的方程為x＝8.②當直線AB的斜率存在時，設其方程為y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋b，))化簡得ky2－4y＋4b＝0.根據(jù)根與系數(shù)的關系得yAyB＝eq\f(4b,k)，因為直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)，所以eq\f(yA,xA)·eq\f(yB,xB)＝－eq\f(1,2)，即xAxB＋2yAyB＝0，即eq\f(y\o\al(2,A),4)·eq\f(y\o\al(2,B),4)＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，所以yAyB＝eq\f(4b,k)＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)，綜上所述，直線AB過x軸上一定點(8,0)．[規(guī)律方法]1.在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題．解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等．解決這些問題的關鍵是代換和轉(zhuǎn)化．2．圓錐曲線中的定點、定值問題，常選擇一參數(shù)來表示要研究問題中的幾何量，通過運算找到定點、定值，說明與參數(shù)無關，也常用特值探路法找定點、定值．對點訓練?已知動圓經(jīng)過定點D(1,0)，且與直線x＝－1相切，設動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設過點P(1,2)的直線l1，l2分別與曲線C交于A，B兩點，直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補．證明：直線AB的斜率為定值．[解析](1)∵動圓經(jīng)過定點D(1,0)，且與直線x＝－1相切，∴E到點D(1,0)的距離等于E到直線x＝－1的距離，∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點，以直線x＝－1為準線的拋物線．∴曲線C的方程為y2＝4x.(2)證明：設直線l1的方程為y＝k(x－1)＋2.∵直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補，∴l(xiāng)2的方程為y＝－k(x－1)＋2.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1＋2，,y2＝4x，))消元得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0.設A(x1，y1)，則x1＝eq\f(k－22,k2)＝eq\f(k2－4k＋4,k2).同理，設B(x2，y2)，可得x2＝eq\f(k2＋4k＋4,