人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第4講 二次函數(shù)(二)基礎(chǔ)、提高、滿(mǎn)分練習(xí)試題（含解析）

第4講二次函數(shù)（二）

1二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系

拋物線y=a*2+〃x+c（aM）中，見(jiàn)仇’的作用：

（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y=0一中的0完全一樣.

（2）b和口共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線了=a—+小x+c的對(duì)稱(chēng)軸是直

b

X=-——

線2a,

->0

故：①力=0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為丁軸；②a（即。、8同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在丁軸左側(cè);

-<0

③a（即a、8異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在丁軸右側(cè).

（3）。的大小決定拋物線丁=a—+占x+c與丁軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x=°時(shí)，丁=°,.?.拋物線1y=a/+沃+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（°,。）：

①c=0,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②c>°,與歹軸交于正半軸；③c<0,與軸交

于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在V軸右側(cè)，則a

【例題精選】

例1（2020?婁星區(qū)一模）已知某二次函數(shù)y=/+6x+c（aWO）的部分圖象如圖所示，下列

結(jié)論中正確的有（）

①a6c<0；②a-b+c<0；@a=--；（4）8a+c>0.

2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷。與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與。的

關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及拋物線與無(wú)軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【解答】解：①函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸在了軸右側(cè)，則ab<0,而c<0,貝I]abc>0,故①錯(cuò)誤,

不符合題意；

②函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=l,函數(shù)和x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3,0）,則另外一個(gè)交點(diǎn)為（-1,

0）,

當(dāng)x=-l時(shí)，y=a-b+c=O,故②錯(cuò)誤，不符合題意；

③函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=l=-2，即。=-2a,故③正確，符合題意；

2a

④由②③得，b=-2a,a-b+c=O,故3a+c=0,而a>0,即5a>0,故8a+c>0正確，

符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱(chēng)軸的范圍求2a與6的關(guān)

系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換等.

例2（2019秋?潛山市期末）二次函數(shù)y=a/+6x+c的圖象如圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為尤=1,有

下列結(jié)論

@abc<0；@b<a+c；③4a+26+c<0；④a+bNm(am+b),

其中正確的結(jié)論有（）

A.①②B.②③C.①④D.②④

【分析】①根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向確定a的符號(hào)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)確定6的符號(hào)，拋

物線與y軸的交點(diǎn)位置確定c的符號(hào)即可；

②根據(jù)x=-1時(shí)y的取值范圍即可判斷；

③根據(jù)x=2時(shí)y的取值范圍即可判斷；

④根據(jù)選擇題的篩選法和①②③的判斷即可知選項(xiàng).

【解答】解：①根據(jù)圖象可知：

a<0,c>0,對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，.二b〉。，

abc<Q.

..?①正確；

②根據(jù)圖象可知：當(dāng)x=-l時(shí)，y<0,

即a-b+c<0,即b>a+c.

.?.②錯(cuò)誤；

③觀察圖象可知：當(dāng)x=2時(shí)，>>0,

即4a+2b+c>0.

.??③錯(cuò)誤.

選項(xiàng)A、B、。都錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是綜合利用二次函

數(shù)的圖象和性質(zhì).

【隨堂練習(xí)】

1.（2020?瀘縣模擬）如圖是二次函數(shù)yuax2+fer+c的圖象，對(duì)于下列說(shuō)法：①ac>0,@2a+b

>0,@4ac<lr,@a+b+c<0,⑤當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小，其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤

【解答】解：①由圖象可知：a>0,c<0,

ac<0,故①錯(cuò)誤；

②由于對(duì)稱(chēng)軸可知：

2a

2a+b>0,故②正確；

③由于拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

/.A=Z>2-4ac>0,故③正確；

④由圖象可知：尤=1時(shí)，y=a+b+c<Q,

故④正確；

⑤當(dāng)尤>_X時(shí)，y隨著x的增大而增大，故⑤錯(cuò)誤；

2a

故選：C.

2.（2019秋?蕪湖期末）二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象如圖所示，以下結(jié)論中正確的是（

A.abc<0B.4ac-b2>0

C.當(dāng)x<l時(shí)，y隨x的增大而減小D.4a-2b+c>Q

【解答】解：??,拋物線的開(kāi)口向上，

???對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè),

：.b<0.

：c=-3,

abc>0,故A錯(cuò)誤;

?.?拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),

...△=啟-4ac>0,

：.4ac-b2<0,故B錯(cuò)誤；

?..拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（-1,0）,（2,0）,

對(duì)稱(chēng)軸方程為直線

2

.?.當(dāng)時(shí)，y隨元的增大而減小，故C錯(cuò)誤；

2

當(dāng)冗=-2時(shí)，y—4a-2Z?+c>0,故。正確；

故選：D.

3.（2020?亳州模擬）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的

C.。+。<0D.a+b+c—Q

【解答】解：（A）由圖象可知：〃V0,c>0,

/.ac<0,故A錯(cuò)誤；

(B)由對(duì)稱(chēng)軸可知：*=上<0,

2a

?,.&<0,故8錯(cuò)誤；

(O由對(duì)稱(chēng)軸可知：x=__L=-1,

2a

??b=2a,

?."=1時(shí)，y=0,

**.G+Z?+C=0,

c--3〃，

：.a+c=a-3a=-2a>0,故。錯(cuò)誤;

故選：D.

2二次函數(shù)與方程的綜合

函數(shù)丁=a/+3x+c（"0）,當(dāng)y=0時(shí)，得到一元二次方程

+bx+C=°（。*°）,那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

因此二次函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.

⑴當(dāng)二次函數(shù)的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)A="-4ac則方程有兩個(gè)不相

等實(shí)根；

（2）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)A="-4ac=0,則方程有兩

個(gè)相等實(shí)根；

（3）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)則方程沒(méi)有實(shí)根.

【例題精選】

例1（2019秋?襄陽(yáng)期末）已知二次函數(shù)y=A?-6x-9的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

求k的取值范圍______________.

【分析】由拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得出一元二次方程/-6x-9=0有兩個(gè)不

相等的解，由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△＞（）,即可得出關(guān)于上的一元一次不等式組，

解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：令y=0，貝。&-6苫-9=0.

?.?二次函數(shù)y=A?-6x-9的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

一元二次方程h?-6x-9=0有兩個(gè)不相等的解，

.jk卉0

"1A=（-6）2-4kX（-9）＞C'

解得：%＞-1且左W0.

故答案是：k＞-1且ZW0.

【點(diǎn)評(píng)】本題拷出來(lái)拋物線與x軸的交點(diǎn)，牢記“△=啟-4幽＞0時(shí)，拋物線與X軸有2

個(gè)交點(diǎn)”是解題的關(guān)鍵.

例2（2019秋?鞍山期末）已知二次函數(shù)y=7-2x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個(gè)點(diǎn)

為（3,0）,則關(guān)于尤的一元二次方程/-2x+機(jī)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是（）

A.xi=-1,X2—3B.%i=l,X2—3C.xi=-X2—1D.xi=3,X2=-5

【分析】利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性確定拋物線與X軸的另一個(gè)點(diǎn)為（-1,0）,然后利用拋物

線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題求解.

【解答】解：..?拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2=1,

2

而拋物線與X軸的一個(gè)點(diǎn)為（3,0）,

...拋物線與x軸的另一個(gè)點(diǎn)為（-1,0）,

關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=Q的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是xi=-1,&=3.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=o?+bx+c（a,兒c是常數(shù)，

aWO）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于尤的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性

質(zhì).

【隨堂練習(xí)】

1.（2019秋?河北區(qū)期末）拋物線-2x-1與x軸有個(gè)交點(diǎn).

【解答】解：令y=0,得至U/-2X-1=0,

,.?△=4+4=8>0,

此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則拋物線y=/-2x-1與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2.

故答案是：2.

2.（2019秋?無(wú)棣縣期末）若二次函數(shù)y=ox2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（7,0）和（3,0）,則

方程cvC+bx+c=Q的解為（）

A.xi=-3,X2=-1B.xi=l,12=3

C.xi=-1,X2=3D.XI=-3,%2=1

【解答】解：???二次函數(shù)y=o?+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,0）和（3,0）,

.?.方程4/+a+°=0的解為Xl=-1,X2=3.

故選：C.

3.（2019秋?北侖區(qū)期末）已知函數(shù)產(chǎn)的圖象與無(wú)軸只有一個(gè)有交點(diǎn)，則上的值

為.

【解答】解：當(dāng)％=0時(shí)，函數(shù)解析式變形為y=-2x+l,此一次函數(shù)與x軸只有一個(gè)交

點(diǎn)；

當(dāng)％W0時(shí)，△=（-2）2-4仁0,解得左=1,此時(shí)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，%的值為。或1.

故答案為0或1.

3二次函數(shù)與不等式的關(guān)系

【例題精選】

例1（2020?武漢模擬）下表時(shí)二次函數(shù)丫=辦2+bx+c的x,y的部分對(duì)應(yīng)值:

X???10_1132§???

F~2-2~2

??????

y2-17m7-1n

7

則對(duì)于該函數(shù)的性質(zhì)的判斷：

①該二次函數(shù)有最大值；

②不等式y(tǒng)>-1的解集是x<0或x>2；

③方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別位于-A<x<0和2Vxe旦之間；

22

④當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；

其中正確的是（）

A.②③B.②④C.①③D.③④

【分析】由圖表可得二次函數(shù)y=o?+?+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,a>Q,即可判斷①④

不正確，由圖表可直接判斷②③正確.

【解答】解：,當(dāng)尤=0時(shí)，y=-1；當(dāng)x=2時(shí)，y=-1；當(dāng)x=A,y=-J_；當(dāng)x=A,

2-42

y=-7.

...二次函數(shù)y=o?+6x+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

x>l時(shí)，y隨x的增大而增大，x<l時(shí)，y隨x的增大而減小.

：.a>0即二次函數(shù)有最小值

則①④錯(cuò)誤

由圖表可得：不等式y(tǒng)>-1的解集是x<0或x>2；

由圖表可得：方程a^+bx+c=Q的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別位于-A<x<0和2cxe5之間；

22

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，理解圖

表中信息是本題的關(guān)鍵.

例2（2019秋?漣源市期末）已知二次函數(shù)y=a?+bx+c（fl^o）的圖象如圖所示，當(dāng)y>0

時(shí)，X的取值范圍是（）

A.-l<x<2B.x>2C.x<-1D.尤或x>2

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以寫(xiě)出當(dāng)y>0時(shí)，尤的取值范圍，

本題得以解決.

【解答】解：由圖象可知，

當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是-1或x>2,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【隨堂練習(xí)】

1.（2020?泉州模擬）二次函數(shù)y=？-6x+m滿(mǎn)足以下條件：當(dāng)-2<x<-1時(shí)，它的圖象

位于x軸的下方；當(dāng)8cx<9時(shí)，它的圖象位于x軸的上方，則機(jī)的值為（）

A.27B.9C.-7D.-16

【解答】解：???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線尤=-*-=3,

2X1

-2和x=8時(shí)，函數(shù)值相等，

?.?當(dāng)-2<尤<-1時(shí)，它的圖象位于x軸的下方；當(dāng)8Vx<9時(shí)，它的圖象位于x軸的上

方，

.?.拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,（8,0）,

把（-2,0）代入y=x2-6x+mW4+12+m—0,解得m=-16.

故選：D.

2.（2019秋?咸安區(qū)期末）如圖，拋物線y=-/+的的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,若關(guān)于x的一

元二次方程-j^+mx-為實(shí)數(shù)）在l<x<3的范圍內(nèi)有解，則f的取值范圍是（）

A.-5<fW4B.3</W4C.-5</<3D.t>-5

【解答】解：；拋物線y=-x1+mx的對(duì)稱(chēng)軸為直線尤=2,

---------.......=2,解得772=4,

2X（-1）

.??拋物線解析式為y=-7+4x,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,

當(dāng)x=l時(shí)，y=-x2+4.r=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=-/+4x=3,

:關(guān)于x的一元二次方程f=0G為實(shí)數(shù)）在l<x<3的范圍內(nèi)有解，

二拋物線y=-W+4x與直線產(chǎn):在1<%<3的范圍內(nèi)有公共點(diǎn)，

；.3<7W4.

故選：B.

3.（2020?河北模擬）已知拋物線>=內(nèi)2+a+。上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如

表:

???-10123???

.?????

y30-1m3

有以下幾個(gè)結(jié)論：

①拋物線y=ax1+bx+c的開(kāi)口向下；

②拋物線y=ax1+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1；

③方程a^+bx+c=0的根為0和2；

④當(dāng)>>0時(shí)，x的取值范圍是x<0或x>2；

其中正確的是（）

A.①④B.②④C.②③D.③④

【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y=a/+bx+c,

將（-1,3）、（0,0）、（3,3）代入得：

a-b+c=3

-c=0，

9a+3b+c=3

'a=l

解得：<b=-2>

,c=0

...拋物線的解析式為-2x=x（尤-2）=（尤-I）?-1,

由a=l>0知拋物線的開(kāi)口向上，故①錯(cuò)誤；

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,故②錯(cuò)誤；

當(dāng)y=0時(shí)，尤（%-2）=0,解得x=0或x=2,

方程a^+bx+c^0的根為0和2,故③正確；

當(dāng)>>0時(shí)，x（%-2）>0,解得尤<0或無(wú)>2,故④正確；

故選：D.

綜合練習(xí)

選擇題（共5小題）

1.已知拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)A（〃，b）,B（a-4,b）,則

的值為（）

A.4B.2C.6D.9

【解答】解：???拋物線產(chǎn)〃與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

A=m2-4X1Xn=m2-4〃=0,

?.ri~~,

4

:拋物線y=~+機(jī)x+〃過(guò)點(diǎn)A（。，b）,B（a-4,Z?）,

?'?b—a^+ma-^-nyb=Qa-4）2+m（〃-4）+〃，

c^+ma+n—（〃-4）2+m（Q-4）+〃，

化簡(jiǎn)，得

a.,

2

.\b=a2+ma-^n=（土&）2+mXAz2Il+=4,

224

故選：A.

2.拋物線丁=〃/+灰+。（a>0）,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-5.若|4/+加;+。|=加有且只有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

A.0<m<5B.，w>5或比<0C.m>5或；〃=0D.或機(jī)=0

【解答】解：由圖象可知：將此拋物線在x軸下方的部分沿x軸往上翻折，得到一個(gè)新

的函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5,

'：\aj?+bx+c\=m的圖象是x軸上方部分(包含與無(wú)軸的兩個(gè)交點(diǎn))，

(1)當(dāng)“2=0時(shí)，|辦2+bx+c|=7〃有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

(2)在x軸上方時(shí)，只有機(jī)>5時(shí)，作平行于x軸的直線才會(huì)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

.\m=0或m>5.

故選：C.

3.關(guān)于拋物線y=7-(a+l)x+a-2,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.開(kāi)口向上

B.當(dāng)a=2時(shí)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O

C.拋物線與x軸無(wú)公共點(diǎn)

D.不論。為何值，都過(guò)定點(diǎn)

【解答】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1>0,所以拋物線開(kāi)口向上，故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)尤=2時(shí)，y=f-3x=x(x-3),由于拋物線與x軸交于(0,0)和(3,0),故選項(xiàng)B

正確；

?；△=[-(a+1)]2-4(A-2)=cT-2a+9=(a-1)2+8>0,所以拋物線與x軸總有

兩個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)x=l時(shí)，y=\-a-\-2=-2,此時(shí)拋物線不再含有a,即不論a為何值，都過(guò)定點(diǎn)

(1,-2),故選項(xiàng)D正確.

故選：C.

4.若m、n(m<n)是關(guān)于尤的一元二次方程3-(x-a)(x-b)=0的兩個(gè)根，且a<b,

則m,n,b,a的大小關(guān)系是()

A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.b〈n<m<aD.n<b<a<m

【解答】解:

如圖拋物線>2=(x-〃)(x-Z?)與入軸交點(diǎn)(a,0),(b,0),拋物線與直線yi=3的交

點(diǎn)為(m,3)(n,3)由圖象可知mVa〈bV〃，

故選：A.

5.已知二次函數(shù)y=/+Z?x+l的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則6=()

A.2B.±2C.4D.±4

【解答】解：??,二次函數(shù)y=f+法+1的圖象與入軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

.,?△=廿一4=0,

解得5=±2,

故選：B.

二.解答題(共4小題)

6.已知拋物線)=〃/+云+。(〃、b、c是常數(shù)，的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2.

(1)/?==；(用含〃的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)〃=-1時(shí)，若關(guān)于X的方程“W+bx+kO在-3V%V1的范圍內(nèi)有解，求c的取

值范圍；

【解答】解：(1)由題意得：

拋物線的x=_X=-2解得6=4a,

2a

故答案為：4a；

(2)當(dāng)a——1時(shí)，b--4；

二?拋物線y=-7-4x+c；

???關(guān)于］的方程蘇+fcc+c=O在-3VxVl的范圍內(nèi)有解，即關(guān)于％的方程W+4x-。=0

在-3VxVl的范圍內(nèi)有解

?,.△=廿-4〃。，0即：(-4)2-4X(-1)?C=16+4C20,解得。2-4

???拋物線y=f+4x=(x+2)2-4與直線y=c在-3V%<1的范圍內(nèi)有交點(diǎn)

當(dāng)x=-2時(shí)y=-4；當(dāng)x=1時(shí)，y=5

故可得：-4VcV5

7.如圖，拋物線-3x+左與尤軸交于A、B兩點(diǎn),與〉軸交于點(diǎn)C(0,-4).

(1)求上的值；

(2)求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)設(shè)拋物線y=?-3x+k的頂點(diǎn)為M,求的面積.

【解答】解：

(1)將點(diǎn)C(0,-4)代入>=/-3x+k得-4=k.

故k的值為-4.

(2)由(1)得拋物線為y=/-3x-4,

.,.令y=0,得0=7-3x-4,解得，xi=4,xi=-1.

故拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)A(-l,0)；點(diǎn)8(4,0).

(3)如圖，

:拋物線為尸/-3x-4,化為頂點(diǎn)式得：尸&_於2普.

；?頂點(diǎn)M為(=，—)

AABM的高為空

4

V|AB|=|4-(-1)|=5,

S^ABM=-X5X,

248

故△ABM的面積為坨.

8

8.拋物線Ci：y=7向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，在向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2.

（1）求拋物線C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式以及拋物線C2與無(wú)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，拋物線C2在x軸的下方？

【解答】解：（1）?拋物線G：y=/,

Cl的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）,

根據(jù)題意，得平移后拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,-4）,

拋物線C2的解析式為：y=（x+1）2-4,即y=/+2x-3,

當(dāng)y=0時(shí)，有/+2x-3=0,

解得，XI=-3,X2=l,

拋物線C2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0）和（1,0）；

（2）:拋物線拋物線C2的解析式為：y=x2+2x-3,其中a=l＞0,

.??拋物線開(kāi)口向上，

.?.當(dāng)-3〈尤＜1時(shí)，拋物線C2在x軸的下方.

9.已知拋物線〉二一+法-3的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l.

（1）求證：2a+b=0；

（2）若關(guān)于x的方程aW-fcv+6=0的一個(gè)根是4,求方程的另一個(gè)根.

【解答】（1）證明：：拋物線＞=/+公-3的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l,

一'=1,

2a

??Z?~2Qf

2a+b=0；

(2)解：把b—-2a代入方程cu?-Z?x+6=0得：〃/+2以+6=0,

才巴X—4-代入方程2ax+6=0得：16〃+8。+6=0,

a=-—,貝！Jb=L.

42

即方程為—-x2-L+6=0,

42

解得：％=-6,x=4,

即方程的另一個(gè)根為-6.

第4講二次函數(shù)（二）

1二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系

拋物線y=a*2+〃x+c（aN°）中，見(jiàn)仇’的作用：

（1）&決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與V=a,中的白完全一樣.

（2）力和。共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線V=a—+以+c的對(duì)稱(chēng)軸是直

b

X=-——

線2a,

->0

故：①3=0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為V軸；②a（即。、3同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在丁軸左側(cè);

-<0

③a（即。、小異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在丁軸右側(cè).

（3）c的大小決定拋物線丁=a—+8x+c與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x=0時(shí)，丁=°,.?.拋物線1y=a—+以+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（°,。）：

①。=°,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②c>°,與歹軸交于正半軸；③c<°,與軸交

于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在丁軸右側(cè)，則a

【例題精選】

例1（2020?甘肅模擬）如圖，二次函數(shù)y=a?+辰+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)

為（」，1）,下列結(jié)論：①％<0；@a+b—O；③4ac-4>2=4”；（4）a+b+c<0.其中正

2一一

確的有（）個(gè).

力

]

X

1

-

2

A.1B.2C.3D.4

【分析】①根據(jù)拋物線開(kāi)口向下可得出由拋物線對(duì)稱(chēng)軸為1=工可得出b=~a>

2

0,結(jié)合拋物線圖象可知進(jìn)而可得出abc<0,①正確；②由b--a可得出a+b

22

=0,②正確；③根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-旦，4ac-b"）,由此可得出細(xì)口1=1,

2a4a4a

去分母后即可得出4ac-廿=4°,③正確；④根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得出x=l與x=0

時(shí)y值相等，由此可得出a+b+c=c>0,④錯(cuò)誤.綜上即可得出結(jié)論.

【解答】解：①???拋物線開(kāi)口向下，

.?.QVO,

:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

2a2

:?b=-a>0,

???拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，

Ac>0,

abc<0,①正確；

②,:b=-a,

a+b=O,②正確；

③..?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（工，1）,

2

?4ac-b=j

4a

4ac-b2=4a,③正確；

④?.?拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為尸工，

2

；.x=l與x=0時(shí)y值相等，

,當(dāng)x=0時(shí)，y=c>0,

，當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c>0,④錯(cuò)誤.

綜上所述：正確的結(jié)論為①②③.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的

圖象分析出。、氏c之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

例2（2020?路北區(qū)一模）已知二次函數(shù)y=a?+bx+c的圖象如圖所示,對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1.下

列結(jié)論：①abc>0；②2。+6=0；③/-4oc<0；④4a+26+c>0.其中正確的是（）

A.①③B.②C.②④D.③④

【分析】①根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向、拋物線對(duì)稱(chēng)軸位置、拋物線與y軸交點(diǎn)位置判定。、

b、c的符號(hào);

②根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的尸1來(lái)判斷對(duì)錯(cuò)；

③由拋物線與無(wú)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷對(duì)錯(cuò)；

④根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x=1來(lái)判斷對(duì)錯(cuò).

【解答】解：①拋物線開(kāi)口方向向上，則。>0,b=-2a<0.

拋物線與y軸交于正半軸，則c>0,

所以abc<0,

故①錯(cuò)誤；

②如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸x=-±-=l,則6=-2a,則2a+b=0,故②正確；

③如圖所示，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，則/-4公>0,故③錯(cuò)誤；

④對(duì)稱(chēng)軸x=l,當(dāng)x=0與x=2時(shí)的點(diǎn)是關(guān)于直線x=l的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

所以x=2與尤=0時(shí)的函數(shù)值相等，所以4a+2b+c>0,故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論為②④.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱(chēng)軸的范圍求2a與。的關(guān)

系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用.

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?嘉陵區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖象如圖所示，@a+b+c<Q；②a-

b+c>0；@abc>0；@2a=b.其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【解答】解：：尤=1時(shí)，y<0,

a+b+c<0,所以①正確；

Vx=-1時(shí)，y>0,

：.a-b+c>Q,所以②正確；

...拋物線過(guò)原點(diǎn)，

.??c=0,

Aabc=0,所以③錯(cuò)誤；

..?拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-M=-1

2a

.,.b=2a,所以④正確.

故選：B.

2.（2019秋?平谷區(qū)期末）二次函數(shù)〉=近2+2彳+1的部分圖象如圖所示，則上的取值范圍是

()

A.B.C.k<lD.0<%<1

【解答】解：觀察二次函數(shù)y=fc^+2x+l的部分圖象可知:

k>0,且4-4左>0即左<1,

解得0<左<1.

故選：D.

3.（2019秋?兗州區(qū)期中）二次函數(shù)尸^的圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸是直線尤=7,

有以下結(jié)論：

@abc<G；@2a-Z?=0；③4ac-.<8。；④3a+c<0；⑤a-b<m（am+b）

其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①根據(jù)拋物線可知：

a<0,&<0,。>0,abc>0,

所以①錯(cuò)誤；

②因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸X=-1,即-2=-1,

2a

??Z?=2a,??2〃-Z7—0.

所以②正確；

③從圖象可知，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)高于y=2,

2

所以4ac-b>2解不等式，兩邊同乘以4a,因?yàn)殚_(kāi)口向下，a<0,不等號(hào)方向改變,

4a

4ac-Z?2V8。

所以③正確；

④當(dāng)x=l時(shí)，y<0,

即o+b+cVO,

所以Q+2“+CV0,

所以3a+c<0.

所以④正確；

⑤當(dāng)x=-1時(shí)，y有最大值，

所以當(dāng)x=-1時(shí)，a-b+c的值最大,

當(dāng)時(shí)，y—an^+bm+c,

所以。-b+c>an^+bm+c,

即4-b>m(。加+。).

所以⑤錯(cuò)誤.

所以有②③④正確.

故選：C.

2二次函數(shù)與方程的綜合

函數(shù),,當(dāng)丁=°時(shí)，得到一元二次方程

a'+'x+c=°(。*°),那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)△=/-4加>0,則方程有兩個(gè)不相

等實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)A="-4ac=0,則方程有兩

個(gè)相等實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)△=/-4這<°,則方程沒(méi)有實(shí)根.

【例題精選】

例1(2019秋?阜南縣期末)如圖，已知拋物線yno?+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(1,0),

對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1,則方程以的解是()

A.x\--3,X2—1B.xi—3,X2—1C.x=-3D.%=-2

【分析】直接利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性以及結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸以及拋物線y=a^+bx+c與x軸的一個(gè)

交點(diǎn)是A（1,0）,得出另一個(gè)與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：：拋物線y=ax1+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（1,0）,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

-1,

；?拋物線y=/+6x+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（-3,0）,

...一元二次方程a^+bx+cn。的解是：Xi=-3,X2=l-

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確得出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解

題關(guān)鍵.

例2（2019秋?興安盟期末）拋物線y=-?+2fcc+2與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.以上都不對(duì)

【分析】讓函數(shù)值為0,得到一元二次方程，根據(jù)根的判別式判斷有幾個(gè)解就有與x軸有

幾個(gè)交點(diǎn).

【解答】解：當(dāng)與無(wú)軸相交時(shí)，函數(shù)值為0.

0=-7+2息+2,

△=廿-4ac=4后+8>0,

方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

二拋物線y=-f+2依+2與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)值

為0的一元二次方程的解的個(gè)數(shù)相同.

【隨堂練習(xí)】

1.（2019秋?漢陽(yáng)區(qū)期中）拋物線yuo?+foc+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3,0）,B（4,0）兩點(diǎn)，則關(guān)

于x的一元二次方程a（尤-2）2+法=2匕-c的解是（）

A.x\--1,/=6B.xi--5,X2—2C.x\--3,X2=4D.xi--2,X2~5

【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程a(x-2)2+bx=lb-c變形為。-2)2+Z?(x-2)

+c=0,

把拋物線y=a/+fci+c沿x軸向右平移2個(gè)單位得到(%-2)2+b(x-2)+c,

因?yàn)閽佄锞€>=辦2+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)、B(4,0),

所以拋物線(x-2)2+b(x-2)+c與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(6,0),

所以一元二方程a(x-2)2+b(x-2)+c=0的解為xi=-LX2—6.

故選：A.

2.(2019秋?黔東南州期末)拋物線y=-f+hx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸是直線工=

-1,則關(guān)于x的一元二次方程-/+灰+。=0的解為.

拋物線y=-/+bx+c與％軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),對(duì)稱(chēng)軸是直線％=-1,

則拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-3,0),

即當(dāng)y=0時(shí)，On-f+bx+c,此時(shí)方程的解是xi=l,X2=~3,

故答案為：xi=l,X2=-3.

3.(2020?洛寧縣三模)若二次函數(shù)y=--2QX+C(〃W0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),則方

程ax1-2ax+c=0的解為()

A.xi--3,X2—~1B.xi=-1,X2—3

C.xi—1,X2—3D.xi=-3,X2—1

【解答】解：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=-3=1,

2a

而拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),

所以拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

所以方程ox2-2ax+c=。的解為xi=-1,X2=3.

故選：B.

3二次函數(shù)與不等式的關(guān)系

【例題精選】

例1(2019秋?澧縣期末)已知二次函數(shù)產(chǎn)-/+辰+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),C(0,3)

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)在圖中，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；

(3)根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出當(dāng)了W0時(shí)，x的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)y=-r+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),C(0,3),可以

求得該函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)(1)中求得的函數(shù)解析式可以得到該函數(shù)經(jīng)過(guò)的幾個(gè)點(diǎn)，從而可以畫(huà)出該函

數(shù)的圖象；

(3)根據(jù)(2)中畫(huà)出的函數(shù)圖象，可以寫(xiě)出當(dāng)yWO時(shí)，x的取值范圍.

【解答】解：(1)?.,二次函數(shù)y=-f+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),C(0,3),

../-l-b+c=O,得(b=2,

Ic=3Ic=3

即該函數(shù)的解析式為y=-7+2x+3；

(2)y=-/+2x+3=-(x_1)-+4,

該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4),開(kāi)口向上，過(guò)點(diǎn)(-1,0),(3,0),(0,3),(2,3),

該函數(shù)圖象如右圖所示；

(3)由圖象可得，

當(dāng)yWO時(shí)，x的取值范圍尤W-1或xN3.

VA

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與無(wú)軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

例2（2020?灤州市模擬）二次函數(shù)y=的圖象如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,若關(guān)于x

的一元二次方程-/+皿-f=0。為實(shí)數(shù)）在1＜尤＜5的范圍內(nèi)有解，貝卜的取值范圍是

)

C.3<fW4D.-5<fW4

【分析】如圖，關(guān)于x的一元二次方程-r+mx-t=0的解就是拋物線y=-jr+mx與直

線y=f的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用圖象法即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，關(guān)于x的一元二次方程-^+mx-t=0的解就是拋物線尸-J?+mx

與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

當(dāng)x=5時(shí)，y=-5,

由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程-W+rnx-t=0。為實(shí)數(shù)）在l<x<5的范圍內(nèi)有解,

直線y=f在直線>=-5和直線y=4之間包括直線y=4,

-5<W4.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用

圖象法解決問(wèn)題，畫(huà)出圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考選擇題中的壓軸題.

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?招遠(yuǎn)市一模）函數(shù)"+7〃（a<0）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,0）,則使函數(shù)值y>0

成立的尤的取值范圍是（）

A.》<-4或工>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2

【解答】解：,函數(shù)y=/+20￥+;〃（a<0）,

.?.該函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-2亙=-1,

2a

又?函數(shù)yuox2+Z辦+??（a<0）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,0）,

...該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（-4,0）,

???使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是-4<x<2,

故選：B.

2.（2019秋?中原區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)y=的圖象如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,若

關(guān)于x的一元二次方程7=0。為實(shí)數(shù)）在l<x<6的范圍內(nèi)有解，則/的取值

范圍是（）

A.-12<t<3B.-5<r<3C.-12<tW4D.-5VW4

【解答】解：???對(duì)稱(chēng)軸為直線x=--2L_=2,