高中數(shù)學(xué)-橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)二教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）

本節(jié)課選自人教A版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課本第三章第一節(jié)的第

二課時(shí)，在學(xué)了橢圓的概念以及范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率四方面的簡(jiǎn)單幾何

教性質(zhì)后的進(jìn)一步探究。引導(dǎo)學(xué)生探究可以生成橢圓的另一種方法，進(jìn)而得到橢圓

材

的第二定義，在此過程中使學(xué)生理解通徑、準(zhǔn)線的概念以及相關(guān)公式，除此之外，

分

析類比前面所學(xué)習(xí)的點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系來探究點(diǎn)、直線與橢圓的位置關(guān)系，

并針對(duì)相交這一種位置關(guān)系，進(jìn)一步探究弦長(zhǎng)公式，并嘗試應(yīng)用。

1.了解橢圓的第二定義；

教

2.理解通徑、準(zhǔn)線的概念、含義；

學(xué)

3.掌握通徑長(zhǎng)公式、弦長(zhǎng)公式的內(nèi)容；

目

.運(yùn)用橢圓的定義以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.

標(biāo)4

教

學(xué)

重

占重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)；

小

、難點(diǎn)：橢圓性質(zhì)的理解和應(yīng)用.

難

點(diǎn)

教

學(xué)

方

法

和導(dǎo)、思、議、展、評(píng)、檢循環(huán)過程，應(yīng)用多媒體課件和顯示儀

手

段

教學(xué)過程活動(dòng)

［導(dǎo)］

通過復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)過的橢圓的性質(zhì)和范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率四方面

的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的內(nèi)容使學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，并提出問題：除了第一節(jié)課

學(xué)習(xí)的橢圓的定義之外，是否還有其他的方法能夠生成橢圓呢？橢圓還有

其他性質(zhì)嗎？引出主題-橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(2),同時(shí)，學(xué)生齊讀學(xué)習(xí)教師板書課題：

目標(biāo)，了解重難點(diǎn)。3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾

［學(xué)］何性質(zhì)(2)

二分鐘時(shí)間，學(xué)生研讀例1,并且思考解題思路是什么。學(xué)生研讀例1,填寫

［展+評(píng)］導(dǎo)綱。

展：學(xué)生大膽展示解題思路.

評(píng)：此題的解題思路很關(guān)鍵，通過橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，再

運(yùn)用橢圓的定義，到兩焦點(diǎn)的距離之和為2”，利用勾股定理求得a,進(jìn)而

求出b,得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.在此題中，從實(shí)際生活的背景中，抽取出數(shù)

學(xué)模型-橢圓，會(huì)發(fā)現(xiàn)有一條線段很特殊，線段BC經(jīng)過焦點(diǎn)人并且垂直

與焦點(diǎn)所在的直線，引出通徑的概念。

［思］學(xué)生在思考后，同

如何求出通徑的長(zhǎng)？思考時(shí)間：2分鐘.桌合作討論。

［議］

對(duì)議：通徑的長(zhǎng)的推導(dǎo)方法.1分鐘教師巡視并了解討

［展+評(píng)］論的情況與信息，

學(xué)生展示討論內(nèi)容，我展示！我補(bǔ)充！我回答！鼓勵(lì)學(xué)生大膽展示，大膽對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行解

提問，大膽質(zhì)疑。答。

展：學(xué)生1大膽展示：類比例1的解題方法，構(gòu)成直角三角形，先求通徑

長(zhǎng)的一半，最后乘以2即可得到通徑長(zhǎng)；

學(xué)生2大膽展示：因?yàn)榫€段BC經(jīng)過焦點(diǎn)Q,因此三者的橫坐標(biāo)是相同的，

直接代入焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，求得y有兩個(gè)值，分別是8,C

的縱坐標(biāo)，它們的距離即為通徑長(zhǎng).

評(píng)：推導(dǎo)通徑長(zhǎng)的方法有多種，同學(xué)們要勤于動(dòng)腦.這是焦點(diǎn)在X軸上的橢

圓通徑長(zhǎng)，如累:是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓通徑長(zhǎng)又是多少呢？是同樣的.

［導(dǎo)+練］

學(xué)生研讀例2,并且獨(dú)二工完成解題過程.時(shí)間：5分鐘.

［展］

學(xué)生通過實(shí)物技影儀來進(jìn)行講解.

曲教師啟發(fā)詢問學(xué)

思考：生：題目中的定值

4254

1.題目中的定彳直一實(shí)樂上是所求橢圓的什么？直線%=—又可以用一實(shí)際上是所求橢

545

a,h,c怎樣表示呢？圓的什么？直線

?+2

2.對(duì)于橢圓的原始方程，+,X-C。,變形后得到25

+?=2%=——又可以用

4

Q_C)2+>2_

222

a-cx=aJ(x-c)+v.再變形為q怎樣表不

ayh,c

a

X-呢？

C

如果將它一般化

程的幾何意義如何？

呢？

［展］

學(xué)生大膽展示思考成果.

［評(píng)］

教師帶領(lǐng)同學(xué)一起

此過程就是動(dòng)點(diǎn)生成橢圓的其中一種方法，于是:我們可以得到橢圓的第二

完成導(dǎo)綱，填寫基

定義.著重注意等=*=e(O＜e＜1).

本概念.

［思+議］

思考：由橢圓的第二定義可得到橢圓的幾何性質(zhì)有哪些?

-y2

①橢圓)+—=1(。＞〃＞。)的準(zhǔn)線方程是什，么？

ah

22

②橢圓與+*=1(4＞。＞())的準(zhǔn)線方程是什,么？

ab1

③兩準(zhǔn)線間距離是多少？焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的建:離是多少？

［議］1分鐘

22

組議：①橢圓5+4=13＞人＞0）的準(zhǔn)線方程是什么？

ab

22

②橢圓5+，=1（。＞6＞0）的準(zhǔn)線方程是什么？

ab

③兩準(zhǔn)線間距離是多少？焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離是多少？

展：小組展示討論內(nèi)容，我展示！我補(bǔ)充！我回答！鼓勵(lì)學(xué)生大膽展示，

大膽提問，大膽質(zhì)疑.學(xué)生自己完成例3,

［學(xué)］點(diǎn)、直線與橢圓的位置關(guān)系教師巡查學(xué)生完成

［思+展］情況，并規(guī)范解題

思考：類比點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)、直線與桶圓的位置關(guān)系有幾種？步驟。

分別是什么？

展：學(xué)生展示思考成果.

［練］

學(xué)生獨(dú)立完成例3.

［展］

學(xué)生通過實(shí)物投影儀來進(jìn)行講解.

［思+議］

fV2學(xué)生自己完成問

思考：設(shè)直線y=kx+b交橢圓-方+一=1（?！等恕?）于點(diǎn)Pi

ah題，學(xué)生在黑板上

（Xl,yi）/2（X202）兩點(diǎn),則弦長(zhǎng)IP1P2I是多少?演示解題步驟。

組議：針對(duì)弦長(zhǎng)公式推導(dǎo)過程進(jìn)行討論.1分鐘

［練］

［例4］己知橢圓5。+9/45,橢圓的右焦點(diǎn)為F,求過點(diǎn)尸且斜率為1的

直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).

［評(píng)］

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求弦長(zhǎng)的過程，期間重要的方法是設(shè)而不求，要靈活運(yùn)用韋

達(dá)定理.

［小結(jié)］

學(xué)生討論本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)的完成情況。

作［布置作業(yè)］

業(yè)3.1.2的限時(shí)訓(xùn)練.

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(2)

2b2

1、通徑，通徑長(zhǎng)：——;

板a

\ME\\MF\小八

2、第二定義：d=d2=e(()<e<D.

書

3、準(zhǔn)線

設(shè)

4、點(diǎn)、直線與橢圓的位置關(guān)系

計(jì)5、弦長(zhǎng)公式：d=++%2)2

1[1+?）（兇+為）2-4%為］

教

學(xué)

后

記

學(xué)情分析

首先，本人所任教這個(gè)班級(jí)，學(xué)生基礎(chǔ)較好，成績(jī)較好，主動(dòng)性較強(qiáng)。其次，以前面學(xué)

習(xí)的直線與圓的方程為鋪墊，類比直線與圓的研究，學(xué)生對(duì)用代數(shù)方法研究?jī)汉螁栴}的方法

和思路有了一定的了解。并且，前幾節(jié)課學(xué)習(xí)橢圓的概念以及范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率

時(shí)強(qiáng)調(diào)了重難點(diǎn)，夯實(shí)了基礎(chǔ)，通過做限時(shí)訓(xùn)練來看，學(xué)生掌握的還是不錯(cuò)的。因此，進(jìn)一

步學(xué)習(xí)橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)對(duì)于這個(gè)班的學(xué)生來說難度不是很大，可以考慮把更多的主動(dòng)權(quán)

交到學(xué)生手里。

這個(gè)班的學(xué)生也存在一定的不足之處：計(jì)算能力有待加強(qiáng)，尤其遇到計(jì)算量大的題目，

容易產(chǎn)生浮躁心理，這是一個(gè)必須要改正的缺點(diǎn)。

效果分析

本節(jié)課實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)目標(biāo)，重難點(diǎn)得到突破，完成了教學(xué)任務(wù)。學(xué)生參與度高，課堂氛圍

比較活躍。學(xué)生能夠通過自主思考以及合作學(xué)習(xí)將通徑長(zhǎng)度、橢圓第二定義、準(zhǔn)線方程、點(diǎn)

以及直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式獨(dú)立推導(dǎo)出來，達(dá)到了深度思考、自我突破的目的。

在整堂課中都是采用問題引領(lǐng)的方式，啟發(fā)學(xué)生一步一步思考，以及如何用所學(xué)知識(shí)解

決相關(guān)問題。尤其在練習(xí)題方面，采用了教師點(diǎn)出需要注意的地方，學(xué)生獨(dú)立想思路，自主

完成解題步驟，最后學(xué)生自己上黑板將整道題完成清晰地講出來，其他學(xué)生在聽的過程中提

出需要改進(jìn)或者需要糾正的的地方，達(dá)到全部學(xué)生能夠動(dòng)腦思考，全部參與。

從整體上來說，學(xué)生能夠在輕松活躍的氛圍里達(dá)到學(xué)會(huì)新知識(shí)并且可以運(yùn)用知識(shí)解決相

關(guān)問題的目的。

教材分析

本節(jié)課選自人教A版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課本第三章第一節(jié)的第二課時(shí)，在

學(xué)了橢圓的概念以及范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率四方面的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)后的進(jìn)一步探究。

在課本中，只是給出了三個(gè)例題：例5、例6、例7,例5是一道應(yīng)用題，反映了橢圓

在實(shí)際生活中的應(yīng)用。由于實(shí)際生活的背景與數(shù)據(jù)往往較為復(fù)雜，因此培養(yǎng)學(xué)生提取數(shù)學(xué)模

型和計(jì)算的能力。在此題中，從生活背景中抽取出數(shù)學(xué)模型-已知橢圓通徑一半的長(zhǎng)度，再

結(jié)合2c求出a,進(jìn)而求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程。通過例5的解題過程，可以提煉出通徑的

定義以及通徑長(zhǎng)的公式。

例6是求動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，其目的是引導(dǎo)學(xué)生探究可以生成橢圓的另一種方法，感

受橢圓的另外一種定義方式，進(jìn)而得到橢圓的第二定義。

例7是以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景，其目的有三個(gè)：第一，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到直線與橢

圓有幾種位置關(guān)系：第二，通過次題的解題過程，讓學(xué)生進(jìn)一步感受直線與橢圓相交、相切、

相離的三種位置關(guān)系；第三，在解題過程中歸納總結(jié)判斷直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法和

思路，更好地掌握運(yùn)用方程研究曲線問題的基本思路和方法。

附加上的例題是針對(duì)直線與橢圓相交的這一種位置關(guān)系產(chǎn)生的弦設(shè)計(jì)的，如何求弦長(zhǎng)是

一個(gè)重要的問題。因此在解決此題時(shí)要注意引導(dǎo)求弦長(zhǎng)的方法，通過例題最后總結(jié)出求弦長(zhǎng)

的步驟，讓學(xué)生親自體會(huì)設(shè)而不求的魅力，進(jìn)一步體會(huì)用代數(shù)方程解決幾何問題的思路和方

法。

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）

班級(jí)姓名小組號(hào)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.知道橢圓的第二定義；

2.知道通徑、準(zhǔn)線的概念、含義；

3.熟記通徑長(zhǎng)公式、弦長(zhǎng)公式的內(nèi)容；

4.會(huì)運(yùn)用橢圓的定義以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)；

難點(diǎn)：橢圓性質(zhì)的理解和應(yīng)用.

【授課過程】

一、基礎(chǔ)感知

研讀課本113頁(yè)到114頁(yè)的內(nèi)容，思考并完成以下問題。時(shí)間5/〃山。

1.通徑

【例11如圖,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成反

的曲面）的一部分.過對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)Bg

上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)E上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)Q發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后中

集中到另一個(gè)焦點(diǎn)人.已知BCLRFzjF出=2.8cm,|1=4.55/.試建立適當(dāng)?shù)钠矫?

直角坐標(biāo)系，求截口BAC所在橢圓的方程（精確到0.Ic/w）.

橢圓的通徑

（1）過橢圓的焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓相交所得的線段叫做橢圓的____,如圖,

線段—即為通徑；

思考：通徑長(zhǎng)是多少？如何推導(dǎo)？/

X

通徑長(zhǎng)公式為.

2,準(zhǔn)線

例2:點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)尸(4,0面距離和它到直線，：x=竺的距離的比是常數(shù)上求點(diǎn)M的

—軌跡F45

思考：對(duì)于橢圓的原始方程，J(%+c)2+y2+J(無_c)2+y2=2Q,變形后得

到a2-cx=a\(x-c)2+y，再變用為、(x_c、)-+y2=c這個(gè)方程的幾何意

a'

x——

義如何？

橢圓的第二定義

(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線I的距離之比為常數(shù)e(0<e<l)

的點(diǎn)的軌跡為橢圓.定點(diǎn)/為橢圓的.定直線I叫做橢圓的,常數(shù)

e是橢圓的.如圖

思考：由橢圓的第二定義可得到橢圓的幾何性質(zhì)有哪些？

①橢圓.+

=1(“>6>0)的準(zhǔn)線方程是什么？

②橢圓^2+=1(?>&>0)的準(zhǔn)線方程是什么？

③兩準(zhǔn)線間距離是多少？焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離是多少？

3.直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式

思考：類比點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)、直線與橢圓的位置關(guān)系有幾種？分別

是什么？

直線與橢圓的相交弦：

思考：設(shè)直線y=kx+b交橢圓=1(a>b>0)于點(diǎn)Z(X],必),P(x,y),兩

a2b1222

點(diǎn),那么，弦長(zhǎng)|P1P2|等于多少?

90

【例3】已知橢圓5x+9），=45,橢圓的右焦點(diǎn)為F,求過點(diǎn)尸且斜率為1的直線被橢圓截得

的弦長(zhǎng).

二'小結(jié)

獨(dú)立思考并小組討論本節(jié)課目標(biāo)的達(dá)成情況.

請(qǐng)寫出本節(jié)課自己的收獲：

課后反思

本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)完成的比較好，重難點(diǎn)得到突破。學(xué)生能夠通過自主思考以及合作學(xué)

習(xí)將通徑長(zhǎng)度、橢圓第二定義、準(zhǔn)線方程、點(diǎn)以及直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式獨(dú)立推

導(dǎo)出來，達(dá)到了深度思考、自我突破的目的。

在整堂課中都是采用問題引領(lǐng)的方式，啟發(fā)學(xué)生一步一步思考，以及如何用所學(xué)知識(shí)解

決相關(guān)問題。尤其在練習(xí)題方面，采用了教師點(diǎn)出需要注意的地方，學(xué)生獨(dú)立想思路，自主

完成解題步驟，最后學(xué)生自己上黑板將整道題完成清晰地講出來，其他學(xué)生在聽的過程中提

出需要改進(jìn)或者需要糾正的的地方，達(dá)到全部學(xué)生能夠動(dòng)腦思考，全部參與。

還有需要改進(jìn)的地方，最一道題最好的解決方案應(yīng)該是教師點(diǎn)明需要注意的點(diǎn)，學(xué)生完

成解題步驟，小組