高中必修一數(shù)學(xué)教案

中學(xué)必修一數(shù)學(xué)教案

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中學(xué)必修一數(shù)學(xué)教案1

一、教材分析

1.教材所處的地位和作用

在學(xué)習(xí)了隨機(jī)事務(wù)、頻率、概率的意義和性質(zhì)及用概率解決實(shí)際問(wèn)題

和古典概型的概念后，進(jìn)一步體會(huì)用頻率估量概率思想。它是對(duì)古典概型

問(wèn)題的一種模擬，也是對(duì)古典概型學(xué)問(wèn)的深化，同時(shí)它也是為了更廣泛、

高效地解決一些實(shí)際問(wèn)題、體現(xiàn)信息技術(shù)的優(yōu)越性而新增的內(nèi)容。

2.教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：正確理解隨機(jī)數(shù)的概念，并能應(yīng)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。

難點(diǎn)：建立概率模型，應(yīng)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)來(lái)模擬試驗(yàn)的方法近似計(jì)

算概率，解決一些較簡(jiǎn)潔的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

1、學(xué)問(wèn)與技能：

(1)了解隨機(jī)數(shù)的概念；

(2)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，并能干脆統(tǒng)計(jì)出頻數(shù)與頻率。

2、過(guò)程與方法：

(1)通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中詳細(xì)的概率問(wèn)題的探究，感知應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題

的方法，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，培育邏輯推理實(shí)力;

⑵通過(guò)模擬試驗(yàn)，感知應(yīng)用數(shù)字解決問(wèn)題的方法，自覺養(yǎng)成動(dòng)手、動(dòng)

腦的良好習(xí)慣

3、情感看法與價(jià)值觀：

通過(guò)數(shù)學(xué)與探究活動(dòng)，體會(huì)理論來(lái)源于實(shí)踐并應(yīng)用于實(shí)踐的辯證唯物

主義觀點(diǎn).

三、教學(xué)方法與手段分析

1、教學(xué)方法：本節(jié)課我主要接受啟發(fā)探究式的教學(xué)模式。

2、教學(xué)手段：利用多媒體技術(shù)優(yōu)化課堂教學(xué)

四、教學(xué)過(guò)程分析

㈠創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

情境1：假設(shè)你作為一名食品衛(wèi)生工作人員，要對(duì)某超市內(nèi)的80袋小

包裝餅干中抽取10袋進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗(yàn)，你準(zhǔn)備如何操作？

預(yù)設(shè)學(xué)生回答：

團(tuán)接受簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣方法（抽簽法）

團(tuán)接受簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣方法（隨機(jī)數(shù)表法）

老師總結(jié)得出：隨機(jī)數(shù)就是在肯定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這

個(gè)范圍內(nèi)每一數(shù)的機(jī)會(huì)一樣。（引入課題）

「設(shè)計(jì)意圖」（1）回憶統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)中利用隨機(jī)抽樣方法如抽簽法、隨機(jī)數(shù)

表法等進(jìn)行抽樣的步驟和特征;（2）從詳細(xì)試驗(yàn)中了解隨機(jī)數(shù)的含義。

情境2：在拋硬幣和擲骰子的試驗(yàn)中，是用頻率估量概率。假如現(xiàn)在

要作10000次試驗(yàn)，你準(zhǔn)備怎么辦?大家可能覺得這樣做試驗(yàn)花費(fèi)時(shí)間太

多了，有沒有其他方法可以代替試驗(yàn)?zāi)兀?/p>

I'設(shè)計(jì)意圖」當(dāng)須要隨機(jī)數(shù)的量很大時(shí)，用手工試驗(yàn)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)速度

太慢，從而說(shuō)明利用現(xiàn)代信息技術(shù)的重要性，體現(xiàn)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)

生隨機(jī)數(shù)的必要性。

㈡操作實(shí)踐、了解新知

老師：向?qū)W生介紹計(jì)算器的操作，讓他們了解隨機(jī)函數(shù)的原理?？墒?/p>

先編制幾個(gè)小問(wèn)題，在課堂上帶著學(xué)生用計(jì)算器(科學(xué)計(jì)算器或圖形計(jì)算

器)操作一遍，讓學(xué)生熟識(shí)如何用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。

「設(shè)計(jì)意圖」通過(guò)操作熟識(shí)計(jì)算器操作流程，在明白原理后，通過(guò)讓學(xué)

生自己依據(jù)規(guī)則操作，熟識(shí)計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的操作流程，了解隨機(jī)數(shù)。

問(wèn)題1：拋一枚質(zhì)地勻稱的硬幣出現(xiàn)正面對(duì)上的概率是50,你能設(shè)計(jì)

一種利用計(jì)算器模擬擲硬幣的試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎？

思索：隨著模擬次數(shù)的不同，結(jié)果是否有區(qū)分，為什么？

「設(shè)計(jì)意圖」團(tuán)設(shè)計(jì)概率模型是解決概率問(wèn)題的難點(diǎn)，也是能解決概

率問(wèn)題的關(guān)鍵，是數(shù)學(xué)建模的第一步?；貟佊矌攀亲钍熳R(shí)、最簡(jiǎn)潔的問(wèn)題，

很自然會(huì)想到把正面對(duì)上、反面對(duì)上這兩個(gè)基本領(lǐng)件用兩個(gè)隨機(jī)數(shù)來(lái)代替。

(題目讓學(xué)生通過(guò)熟識(shí)50想到用隨機(jī)數(shù)0,1來(lái)模擬，為后面問(wèn)題4每天

下雨的概率為40的概率建模作第一次小鋪墊。)團(tuán)熟識(shí)利用計(jì)算器模擬試

驗(yàn)的操作流程，為解決后面例題模擬下雨作好鋪墊。

問(wèn)題2：(1)剛才我們利用了計(jì)算器來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，我們知道計(jì)算機(jī)有

很多軟件有統(tǒng)計(jì)功能，你知道哪些軟件具有隨機(jī)函數(shù)這個(gè)功能？

(2)你會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件Excel來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)0,1嗎?你能設(shè)計(jì)一種利用

計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣的試驗(yàn)嗎？

「設(shè)計(jì)意圖」團(tuán)了解有很多統(tǒng)計(jì)軟件都有隨機(jī)函數(shù)這個(gè)功能，并與前

面第一章所學(xué)的用程序語(yǔ)言編寫程序相聯(lián)系;ElExcel是學(xué)生比較熟識(shí)的統(tǒng)

計(jì)軟件，也可讓學(xué)生回顧初中用Excel畫統(tǒng)計(jì)圖的一些功能和學(xué)問(wèn)，其次

讓學(xué)生駕馭多種隨機(jī)模擬試驗(yàn)方法。

問(wèn)題3：(1)你能在Excel軟件中畫試驗(yàn)次數(shù)從1到100次的頻率分布

折線圖嗎？

(2)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為1000,1500時(shí)，你能說(shuō)說(shuō)出現(xiàn)正面對(duì)上的頻率有些

什么變更？

「設(shè)計(jì)意圖」團(tuán)應(yīng)用隨機(jī)模擬方法估量古典概型中隨機(jī)事務(wù)的概率值;

團(tuán)體會(huì)頻率的隨機(jī)性與相對(duì)穩(wěn)定性，經(jīng)驗(yàn)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生數(shù)據(jù)，整理數(shù)

據(jù)，分析數(shù)據(jù)，畫統(tǒng)計(jì)圖的全過(guò)程，使學(xué)生信任統(tǒng)計(jì)結(jié)果的真實(shí)性、隨機(jī)

性及規(guī)律性。

㈢講練結(jié)合、鞏固新知

問(wèn)題4：天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40,

這三天中恰有兩天下雨的概率是多少？

問(wèn)1：能用古典概型的計(jì)算公式求解嗎？

你能說(shuō)明一下這為什么不是古典概型嗎？

問(wèn)2：你如何模擬每一天下雨的概率為40?

「設(shè)計(jì)意圖」團(tuán)問(wèn)題分層提出，降低本題難度。如何模擬每一天下雨

的概率40是解決這道題的關(guān)鍵，是隨機(jī)模擬方法應(yīng)用的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)

之一。

團(tuán)鞏固用隨機(jī)模擬方法估量未知量的基本思想，明確利用隨機(jī)模擬方

法也可解決不是古典概型而比較困難的概率應(yīng)用題。

歸納步驟：第一步，設(shè)計(jì)概率模型;

其次步，進(jìn)行模擬試驗(yàn)；

方法一：(隨機(jī)模擬方法-計(jì)算器模擬)利用計(jì)算器隨機(jī)函數(shù)；

方法二：(隨機(jī)模擬方法-計(jì)算機(jī)模擬)

第三步，統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果。

課堂檢測(cè)將一枚質(zhì)地勻稱的硬幣連擲三次，出現(xiàn)2個(gè)正面朝上、1個(gè)

反面朝上和1個(gè)正面朝上、2個(gè)反面朝上的概率各是多少?并用隨機(jī)模擬的

方法做100次試驗(yàn)，計(jì)算各自的頻數(shù)。

「設(shè)計(jì)意圖」通過(guò)練習(xí)，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)問(wèn)的駕馭。

㈣歸納小結(jié)

(1)你能歸納利用隨機(jī)模擬方法估量概率的步驟嗎？

(2)你能體會(huì)到隨機(jī)模擬的優(yōu)勢(shì)嗎?請(qǐng)舉例說(shuō)說(shuō)。

「設(shè)計(jì)意圖」團(tuán)通過(guò)問(wèn)題的思索和解決，使學(xué)生理解模擬方法的優(yōu)點(diǎn)，

并充分利用信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)煙是對(duì)學(xué)問(wèn)的進(jìn)一步理解與思索，又是對(duì)本節(jié)

內(nèi)容的回顧與總結(jié)。

㈤布置練習(xí)：

課本練習(xí)3、4

「設(shè)計(jì)意圖」課后作業(yè)的布置是為了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的理解和

運(yùn)用程度，并促使學(xué)生進(jìn)一步鞏固和駕馭所學(xué)內(nèi)容。

［內(nèi)容結(jié)束］

中學(xué)必修一數(shù)學(xué)教案2

一教材分析

本節(jié)學(xué)問(wèn)是必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的

三角形的邊和角的基本關(guān)系有親密的聯(lián)系與判定三角形的全等也有親密

聯(lián)系，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也時(shí)常有解三角形的問(wèn)題，而且解三角形

和三角函數(shù)聯(lián)系在高考當(dāng)中也時(shí)?？家恍┙獯痤}。因此，正弦定理和余弦

定理的學(xué)問(wèn)特別重要。

依據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有

學(xué)問(wèn)水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

認(rèn)知目標(biāo)：在創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺正弦定理的內(nèi)容，推

證正弦定理及簡(jiǎn)潔運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩

類問(wèn)題。

實(shí)力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)視察，推導(dǎo)，比較，由特別到一般歸納出正

弦定理，培育學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和視察與邏輯思維實(shí)力，能體會(huì)用向量作為

數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。

情感目標(biāo)：面對(duì)全體學(xué)生，制造同等的教學(xué)氛圍，通過(guò)學(xué)生之間、師

生之間的溝通、合作和評(píng)價(jià)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和樂觀性，給學(xué)生勝利的

體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愛好。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探究及證明，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三

角形時(shí)推斷解的個(gè)數(shù)。

二教法

依據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點(diǎn)，為是更有效地突出重點(diǎn)，空破難點(diǎn)，

以學(xué)業(yè)生的進(jìn)展為本，遵照學(xué)生的相識(shí)規(guī)律，本講遵照以老師為主導(dǎo)，以

學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的指導(dǎo)思想，接受探究式課堂教學(xué)模式，即在

教學(xué)過(guò)程中，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作溝通為前提,

以"正弦定理的發(fā)覺”為基本探究?jī)?nèi)容，以生活實(shí)際為參照對(duì)象，讓學(xué)生的

思維由問(wèn)題起先，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到

深化。突破重點(diǎn)的手段：抓住學(xué)生情感的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的愛好，鼓舞

學(xué)生大膽猜想，樂觀探究，以及剛好地鼓舞，使他們知難而進(jìn)。另外，抓

學(xué)問(wèn)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的學(xué)問(wèn)特點(diǎn)入手，老師

在學(xué)生主體下給以適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。突破難點(diǎn)的方法：抓住學(xué)生的實(shí)力

線聯(lián)系方法與技能使學(xué)生較易證明正弦定理，另外通過(guò)例題和練習(xí)來(lái)突破

難點(diǎn)

三學(xué)法：

指導(dǎo)學(xué)生駕馭"視察一一猜想一一證明一一應(yīng)用"這一思維方法,實(shí)行個(gè)

人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)學(xué)問(wèn)應(yīng)用于對(duì)隨

意三角形性質(zhì)的探究。讓學(xué)生在問(wèn)題情景中學(xué)習(xí)，視察，類比，思索，探

究，概括，動(dòng)手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，增加學(xué)生由特別到一

般的數(shù)學(xué)思維實(shí)力，形成了實(shí)事求是的科學(xué)看法，增加了鍥而不舍的求學(xué)

精神。

四教學(xué)過(guò)程

第一：創(chuàng)設(shè)情景，也許用2分鐘

其次：實(shí)踐探究，形成概念，大約用25分鐘

第三：應(yīng)用概念，拓展反思，大約用13分鐘

（一）創(chuàng)設(shè)情境，布疑激趣

"愛好是的老師”，假如一節(jié)課有個(gè)好的開頭，那就意味著勝利了一半,

本節(jié)課由一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入，"工人師傅的一個(gè)三角形的模型壞了，只剩

下如右圖所示的部分，OO長(zhǎng)為想修好這個(gè)零件，但他

0A=47,0B=53/AB1m,

不知道AC和BC的長(zhǎng)度是多少好去截料，你能幫師傅這個(gè)忙嗎?”激發(fā)學(xué)生

幫助別人的熱忱和學(xué)習(xí)的愛好，從而進(jìn)入今日的學(xué)習(xí)課題。

（二）探尋特例，提出猜想

1.激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟識(shí)的特例（直角三角形）入手進(jìn)行探討，發(fā)

覺正弦定理。

2.那結(jié)論對(duì)隨意三角形都適用嗎?指導(dǎo)學(xué)生分小組用刻度尺、量角器、

計(jì)算器等工具對(duì)一般三角形進(jìn)行驗(yàn)證。

3.讓學(xué)生總結(jié)試驗(yàn)結(jié)果，得出猜想：

在三角形中，角與所對(duì)的邊滿意關(guān)系

這為下一步證明樹立信念，不斷的使學(xué)生對(duì)結(jié)論的相識(shí)從感性逐步上

升到理性。

（三）邏輯推理，證明猜想

1.強(qiáng)調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，須要嚴(yán)格的理論證明。

2.鼓舞學(xué)生通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟識(shí)的直角三角形進(jìn)行證明。

3.提示學(xué)生思索哪些學(xué)問(wèn)能把長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，繼而思索向

量分析層面，用數(shù)量積作為工具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

4.思索是否還有其他的方法來(lái)證明正弦定理，布置課后練習(xí)，提示，

做三角形的外接圓構(gòu)造直角三角形，或用坐標(biāo)法來(lái)證明

（四）歸納總結(jié)，簡(jiǎn)潔應(yīng)用

1.讓學(xué)生用文字?jǐn)⑹稣叶ɡ?，引?dǎo)學(xué)生發(fā)覺定理具有對(duì)稱和諧美，

提升對(duì)數(shù)學(xué)美的享受。

2.正弦定理的內(nèi)容，探討可以解決哪幾類有關(guān)三角形的問(wèn)題。

3.運(yùn)用正弦定理求解本節(jié)課引入的三角形零件邊長(zhǎng)的問(wèn)題。自己參與

實(shí)際問(wèn)題的解決，能激發(fā)學(xué)生學(xué)問(wèn)后用于實(shí)際的價(jià)值觀。

（五）講解例題，鞏固定理

1.例1。在團(tuán)ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

例1簡(jiǎn)潔，結(jié)果為解，假如已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知

兩角和其中一角的對(duì)邊，都可利用正弦定理來(lái)解三角形。

2.例2.在13ABe中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2較難，使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學(xué)生熟

識(shí)駕馭已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形。完了把時(shí)間交

給學(xué)生。

（六）課堂練習(xí)，提高鞏固

1.在團(tuán)ABC中,已知下列條件，解三角形.

（）

lA=45°,C=30°/c=10cm

（2）A=60°,B=45°,c=20cm

2.在團(tuán)ABC中,已知下列條件，解三角形.

（l）a=20cm,b=llcm,B=30°

⑵c=54cm,b=39cm,C=115°

學(xué)生板演，老師巡察，剛好發(fā)覺問(wèn)題，并解答。

（七）小結(jié)反思，提高相識(shí)

通過(guò)以上的探討過(guò)程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些學(xué)問(wèn)和方法?你對(duì)此有

何體會(huì)？

1.用向量證明白正弦定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

2.它表述了三角形的邊與對(duì)角的正弦值的關(guān)系。

3.定理證明分別從直角、銳角、鈍角動(dòng)身，運(yùn)用分類探討的思想。

（從實(shí)際問(wèn)題動(dòng)身，通過(guò)猜想、試驗(yàn)、歸納等思維方法，最終得到了

推導(dǎo)出正弦定理。我們探討問(wèn)題的突出特點(diǎn)是從特別到一般，我們不僅收

獲著結(jié)論，而且整個(gè)探究過(guò)程我們也駕馭了探討問(wèn)題的一般方法。在強(qiáng)調(diào)

探討性學(xué)習(xí)方法，留意學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生樂觀性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成

為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。)

(八)任務(wù)后延，自主探究

假如已知一個(gè)三角形的兩邊及其夾角，要求第三邊，怎么辦?發(fā)覺正

弦定理不適用了，那么自然過(guò)渡到下一節(jié)內(nèi)容，余弦定理。布置作業(yè)，預(yù)

習(xí)下一節(jié)內(nèi)容。

五板書設(shè)計(jì)

板書設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生一目了然本節(jié)課所學(xué)的學(xué)問(wèn)，證明正弦定理的方

法以及正弦定理可以解決的兩類問(wèn)題。

中學(xué)必修一數(shù)學(xué)教案3

教學(xué)目標(biāo)

(1)使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問(wèn)題；

(2)使學(xué)生駕馭組合數(shù)的計(jì)算公式、組合數(shù)的性質(zhì)用組合數(shù)與排列數(shù)之

間的關(guān)系；

⑶通過(guò)學(xué)習(xí)組合學(xué)問(wèn)，讓學(xué)生駕馭類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析

問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力；

⑷通過(guò)對(duì)排列、組合問(wèn)題求解與剖析，培育學(xué)生學(xué)習(xí)愛好和思維深刻

性，學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)看法。

教學(xué)建議

一、學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本小節(jié)的重點(diǎn)是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式，組合數(shù)的性質(zhì)。

難點(diǎn)是解組合的應(yīng)用題。突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)加法原理與乘法原理

的駕馭和應(yīng)用，并將這兩個(gè)原理的基本思想貫穿在解決組合應(yīng)用題當(dāng)中。

組合與組合數(shù)，也有上面類似的關(guān)系。從n個(gè)不同元素中任取m（m<n）

個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合。全

部這些不同的組合的個(gè)數(shù)叫做組合數(shù)。從集合的角度看，從n個(gè)元素的有

限集中取出m個(gè)組成的一個(gè)集合（無(wú)序集），相當(dāng)于一個(gè)組合，而這種集合

的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的組合數(shù)。

解排列組合應(yīng)用題時(shí)主要應(yīng)抓住是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，其次要搞

清須要分類，還是須要分步.切記：排組分清（有序排列、無(wú)序組合），加乘

明確（分類為加、分步為乘）.

三、教法設(shè)計(jì)

1.對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，建議把排列與組合的概念進(jìn)行對(duì)比的進(jìn)行學(xué)

習(xí)，這樣有利于搞請(qǐng)這兩組概念的區(qū)分與聯(lián)系.

2.學(xué)生與老師可以合編一些排列組合問(wèn)題，如"45人中選出5人當(dāng)班

干部有多少種選法?"與"45人中選出5人分別擔(dān)當(dāng)班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、體委、

學(xué)委、生委有多少種選法?”這是兩個(gè)相近問(wèn)題，同學(xué)們會(huì)依據(jù)自己身邊的

實(shí)際可以編出各種各樣的具有特色的問(wèn)題，老師要引導(dǎo)學(xué)生分辨哪個(gè)是排

列問(wèn)題，哪個(gè)是組合問(wèn)題.這樣既調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的樂觀性，又在編題辨題

中澄清了概念.

為了理解排列與組合的概念，建議大家學(xué)會(huì)畫排列與組合的樹圖.如,

從a,b,c,d4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列樹圖與組合樹圖分別為：

排列樹圖

由排列樹圖得到，從a,b,c,d取出3個(gè)元素的全部排列有24個(gè)，它們

分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc......dca,dcb.

組合樹圖

由組合樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個(gè)元素的組合有4個(gè)，它們是

(abc),(abd);(acd),(bcd).

從以上兩組樹圖清晰的告知我們，排列樹圖是對(duì)稱的，組合圖式不是

對(duì)稱的，之所以排列樹圖具有對(duì)稱性，是因?yàn)閷?duì)于a,b,c,d四個(gè)字母哪一個(gè)

都有在第一位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在其次位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在第三位

的機(jī)會(huì)，而組合只考慮字母不考慮依次，為實(shí)現(xiàn)無(wú)依次的要求，我們可以

限定a,b,c,d的依次是從前至后，固定了死依次等于無(wú)依次，這樣組合就有

了自己的樹圖.

學(xué)會(huì)畫組合樹圖，不僅有利于理解排列與組合的概念，還有助于推導(dǎo)

組合數(shù)的計(jì)算公式.

3.排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，老師應(yīng)從簡(jiǎn)潔問(wèn)題問(wèn)題入手，逐步到有一個(gè)

附加條件的單純排列問(wèn)題或組合問(wèn)題，最終在設(shè)及排列與組合的綜合問(wèn)題.

對(duì)于每一道題目，老師必需先讓學(xué)生獨(dú)立思索，在進(jìn)行全班探討，對(duì)

于學(xué)生的每一種解法，老師要先讓學(xué)生推斷正誤，在賜予點(diǎn)播.對(duì)于排列、

組合應(yīng)用問(wèn)題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培育學(xué)生的分析問(wèn)題

解決問(wèn)題的實(shí)力，在學(xué)生的多種解法基礎(chǔ)上老師要引導(dǎo)學(xué)生選擇方案，總

結(jié)解題規(guī)律.對(duì)于學(xué)生解題中的常見錯(cuò)誤，老師肯定要講明道理，細(xì)致分析

錯(cuò)誤緣由，使學(xué)生在是非的推斷得以提高.

4.兩特性質(zhì)定理教學(xué)時(shí)，對(duì)定理1,可以用下例來(lái)說(shuō)明：從4個(gè)不同

的元素a,b,c,d里每次取出3個(gè)元素的組合及每次取出1個(gè)元素的組

合分別是

這就說(shuō)明從4個(gè)不同的元素里每次取出3個(gè)元素的組合與從4個(gè)元素

里每次取出1個(gè)元素的組合是一一對(duì)應(yīng)的.

對(duì)定理2,可啟發(fā)學(xué)生從下面問(wèn)題的探討得出.從n個(gè)不同元素，，...,

里每次取出m個(gè)不同的元素()，問(wèn)：(1)可以組成多少個(gè)組合;⑵在這些組

合里，有多少個(gè)是不含有的；⑶在這些組合里，有多少個(gè)是含有的;⑷

從上面的結(jié)果，可以得出一個(gè)怎樣的公式.在此基礎(chǔ)上引出定理2.

對(duì)于，和一樣，是一種規(guī)定.而學(xué)生常常誤以為是推算出來(lái)的，因此，

教學(xué)時(shí)要講清晰.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)目標(biāo)

(1)使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問(wèn)題；

(2)使學(xué)生駕馭組合數(shù)的計(jì)算公式；

(3)通過(guò)學(xué)習(xí)組合學(xué)問(wèn)，讓學(xué)生駕馭類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析

問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力；

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式；

難點(diǎn)是解組合的應(yīng)用題.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(-)導(dǎo)入新課

(老師活動(dòng))提出下列思索問(wèn)題，打出字幕.

［字幕］一條鐵路途上有6個(gè)火車站，⑴需準(zhǔn)備多少種不同的一般客車

票?(2)有多少種不同票價(jià)的一般客車票?上面問(wèn)題中，哪一問(wèn)是排列問(wèn)題?

哪一問(wèn)是組合問(wèn)題？

（學(xué)生活動(dòng)）探討并回答.

答案提示：⑴排列;⑵組合.

［評(píng)述］問(wèn)題⑴是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)，并按肯定的依次排列，要

求出排法的種數(shù)，屬于排列問(wèn)題;（2）是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)并成一組，

兩站無(wú)依次關(guān)系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問(wèn)題.這節(jié)課著重探討組合

問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：組合與排列所探討的問(wèn)題幾乎是平行的.上面設(shè)計(jì)的問(wèn)題目

的是從排列學(xué)問(wèn)中發(fā)覺并提出新的問(wèn)題.

（二）新課講授

I提出問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境］

（老師活動(dòng)）指導(dǎo)學(xué)生帶著問(wèn)題閱讀課文.

［字幕］1.排列的定義是什么？

2.舉例說(shuō)明一個(gè)組合是什么？

3.一個(gè)組合與一個(gè)排列有何區(qū)分？

（學(xué)生活動(dòng)）閱讀回答.

（老師活動(dòng)）對(duì)比課文，逐一評(píng)析.

設(shè)計(jì)意圖：激活學(xué)生的思維，使其將所學(xué)的學(xué)問(wèn)遷移過(guò)渡，并盡快適

應(yīng)新的環(huán)境.

【歸納概括建立新知】

（老師活動(dòng)）承接上述問(wèn)題的回答，展示下面學(xué)問(wèn).

［字幕］模型：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同

元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合.如前面思索題：6個(gè)火車站中甲站^乙站

和乙站＞＞甲站是票價(jià)相同的車票，是從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的一個(gè)組

合.

組合數(shù)：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的全部組合的個(gè)數(shù)，稱之，用

符號(hào)表示，如從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)為.

［評(píng)述］區(qū)分一個(gè)排列與一個(gè)組合的關(guān)鍵是：該問(wèn)題是否與依次有關(guān)，

當(dāng)取出元素后，若變更一下依次，就得到一種新的取法，則是排列問(wèn)題;

若變更依次，仍得原來(lái)的取法，就是組合問(wèn)題.

（學(xué)生活動(dòng)）傾聽、思索、記錄.

（老師活動(dòng)）提出思索問(wèn)題.

［投影］與的關(guān)系如何？

（師生活動(dòng)）共同探討.求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可

分為以下兩步：

第1步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)為；

第2步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)為.

依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到

［字幕］公式1：

公式2：

（學(xué)生活動(dòng)）驗(yàn)算，即一條鐵路上6個(gè)火車站有15種不同的票價(jià)的一

般客車票.

設(shè)計(jì)意圖：本著以相識(shí)概念為起點(diǎn)，以問(wèn)題為主線，以培育實(shí)力為核

心的宗旨，逐步展示學(xué)問(wèn)的形成過(guò)程，使學(xué)生思維層層被激活、漸漸深化

到問(wèn)題當(dāng)中去.

【例題示范探求方法】

（老師活動(dòng)）打出字幕，給出示范，指導(dǎo)訓(xùn)練.

［字幕］例1列舉從4個(gè)元素中任取2個(gè)元素的全部組合.

例2計(jì)算：⑴;⑵.

（學(xué)生活動(dòng)）板演、示范.

（老師活動(dòng)）講評(píng)并指出用兩種方法計(jì)算例2的第2小題.

［字幕］例3已知，求的全部值.

（學(xué)生活動(dòng)）思索分析.

解首先，依據(jù)組合的定義，有

?

其次，由原不等式轉(zhuǎn)化為

即

解得②

綜合①、②，得，即

I點(diǎn)評(píng)］這是組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的選擇.

設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)按部就班，讓學(xué)生鞏固學(xué)問(wèn)，強(qiáng)化公式的應(yīng)用,

從而培育學(xué)生的綜合分析實(shí)力.

【反饋練習(xí)學(xué)會(huì)應(yīng)用】

（老師活動(dòng)）給出練習(xí)，學(xué)生解答，老師點(diǎn)評(píng).

［課堂練習(xí)］課本P99練習(xí)第2,5,6題.

［補(bǔ)充練習(xí)］

［字幕］1.計(jì)算:

2,已知,求.

（學(xué)生活動(dòng)）板演、解答.

設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)體現(xiàn)以學(xué)生為本，讓全體學(xué)生參與訓(xùn)練，深刻揭

示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用.

【點(diǎn)評(píng)矯正溝通提高】

（老師活動(dòng)）依照學(xué)生的板演，賜予指正并總結(jié).

補(bǔ)充練習(xí)答案：

1.解：原式：

2.解：由題設(shè)得

整理化簡(jiǎn)得，

解之，得或（因，舍去），

所以，所求

［字幕］小結(jié):

1.前一個(gè)公式主要用于計(jì)算詳細(xì)的組合數(shù)，而后一個(gè)公式則主要用于

對(duì)含有字母的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)和論證.

2.在解含組合數(shù)的方程或不等式時(shí)，肯定要留意組合數(shù)的上、下標(biāo)的

限制條件.

（學(xué)生活動(dòng)）溝通探討，總結(jié)記錄.

設(shè)計(jì)意圖：由“實(shí)踐一一相識(shí)一一一實(shí)踐”的相識(shí)論，教學(xué)時(shí)抓住“學(xué)習(xí)

一一練習(xí)一一反饋——小結(jié)”這些環(huán)節(jié)，使教學(xué)目標(biāo)得以強(qiáng)化和落實(shí).

（三）小結(jié)

（師生活動(dòng)）共同小結(jié).

本節(jié)主要內(nèi)容有

1.組合概念.

2.組合數(shù)計(jì)算的兩個(gè)公式.

（四）布置作業(yè)

1.課本作業(yè)：習(xí)題103第1（1）、（4）,3題.

2.思索題：某學(xué)習(xí)小組有8個(gè)同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人

參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種學(xué)科競(jìng)賽，要求每科均有1人參與，共有180

種不同的選法，那么該小組中，男、女同學(xué)各有多少人？

3.探討性題：

在的邊上除頂點(diǎn)外有5個(gè)點(diǎn)，在邊上有4個(gè)點(diǎn)，由這些點(diǎn)（包括）

能組成多少個(gè)四邊形?能組成多少個(gè)三角形？

（五）課后點(diǎn)評(píng)

在學(xué)習(xí)了排列學(xué)問(wèn)的基礎(chǔ)上，本節(jié)課引進(jìn)了組合概念，并推導(dǎo)出組合

數(shù)公式，同時(shí)調(diào)控進(jìn)行訓(xùn)練，從而培育學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)力.

作業(yè)參考答案

2.解;設(shè)有男同學(xué)人，則有女同學(xué)人，依題意有，由此解得或或

2.即男同學(xué)有5人或6人，女同學(xué)相應(yīng)為3人或2人.

3.能組成（留意不能用點(diǎn)為頂點(diǎn)）個(gè)四邊形，個(gè)三角形.

探究活動(dòng)

同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送

出的賀年卡，那么四張不同的安排萬(wàn)式可有多少種？

解設(shè)四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來(lái)解.

解法一可將拿賀卡的狀況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情

形分為三類，即：

甲拿乙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種安排方法.

甲拿丙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種安排方法.

甲拿丁制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種安排方法.

由加法原理得，賀卡安排方法有3+3+3=9種.

解法二可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來(lái)考慮.這時(shí)還存在正向與

逆向兩種思索途徑.

正向思索，即從滿意題設(shè)條件動(dòng)身，分步完成安排.先可由甲從乙、丙、

丁制作的賀卡中選取1張，有種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡

被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有種，最終剩下2人可

選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對(duì)方制作賀卡1種

取法.依據(jù)乘法原理，賀卡的安排方法有（種）.

逆向思索，即從4人取4張不同賀卡的全部取法中解除不滿意題設(shè)條

件的取法.不滿意題設(shè)條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其

中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡（此時(shí)即為4

人均拿自己制作的賀卡）.其取法分別為1.故符合題設(shè)要求的取法共有

（種）.

說(shuō)明⑴對(duì)一類元素不太多而利用排列或組合計(jì)算公式計(jì)算比較困難，

且簡(jiǎn)潔重復(fù)遺漏計(jì)算的排列組合問(wèn)題，?？山邮芨纱喾诸惡笥眉臃ㄔ磉M(jìn)

行計(jì)算，如本例接受解法一的做法.

（2）設(shè)集合，假如S中元素的一個(gè)排列滿意

中學(xué)必修一數(shù)學(xué)教案4

教學(xué)分析

本節(jié)課的探討是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的持續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)

一步進(jìn)展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用

實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的詳細(xì)問(wèn)題情境中，感受到在

現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分相識(shí)不等關(guān)系的存

在與應(yīng)用.對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行視察、歸納、抽象，完

成量與量的比較過(guò)程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái).

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還支配了一些簡(jiǎn)潔的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用

意在于讓學(xué)生留意對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛

好，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具探討不等關(guān)系的愿望.依據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,

應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)

代數(shù)式的大小.

在本節(jié)教學(xué)中，老師可讓學(xué)生閱讀書中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)潔

的數(shù)形結(jié)合工具，干脆用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩

方面建立實(shí)數(shù)的依次關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的相

識(shí).

三維目標(biāo)

1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理

論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系.

2.會(huì)用作差法推斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法推斷二次式的大

小和范圍.

3.通過(guò)溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的相識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好，

體會(huì)數(shù)學(xué)的神奇與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，推斷二次式的大小和范圍.

教學(xué)難點(diǎn)：精確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

課時(shí)支配

1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.（章頭圖導(dǎo)入）通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏

的壯麗畫面，它將學(xué)生帶入"橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近凹凸各不同”的大自然

和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在詳細(xì)情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常

生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)探討不等關(guān)系的劇烈愿望，自然地

引入新課.

思路2.（情境導(dǎo)入）列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路

程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成果的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟識(shí)

的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣

在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地綻開聯(lián)想，老師組織不等關(guān)系的相關(guān)

素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行視察、歸納，使學(xué)生在詳細(xì)情境中感受

到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)

生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具探討不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究

學(xué)習(xí)，由此引入新課.

推動(dòng)新課

新知探究

提出問(wèn)題

機(jī)團(tuán)回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出"不等關(guān)系"與"不等式”的異同.

怎樣利用不等式探討及表示不等關(guān)系？

m2B在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等

關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎?

加［3數(shù)軸上的隨意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？

叱明隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系？

活動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等

關(guān)系"與“不等式”的異同.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)

表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用"ab""a

老師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分

合作探討,使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了

一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.

實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，氣溫32回，最低氣溫26團(tuán).

實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上隨意不同的兩點(diǎn)A、B,若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則

xA

實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零.

實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短.

實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

實(shí)例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車

的速度v不超過(guò)40km/h.

實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于

2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

老師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)覺身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已

經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們探討數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光、

數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行視察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我

們每個(gè)探討數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所探討過(guò)的什么

學(xué)問(wèn)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很簡(jiǎn)潔想到，用不等式或不等式組來(lái)表

示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)所成的

式子.如-7-5,3+41+4,2xS6,a+220,3H4,0S5等.

老師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái).實(shí)例1,若用t表

示某天的氣溫,則260<t<32固實(shí)例3,若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x>0.

實(shí)例5,|AC|+|BC||AB|,如下圖.

|AB|+|BC||ACh|AC|+|BC||AB|>|AB|+|AC||BC|.

|AB|-|BC||AC|>|AC|-|BC||ABh|AB|-|AC||BC|,交換被減數(shù)與減數(shù)

的位置也可以.

實(shí)例6,若用v表示速度，則v40km/h.實(shí)例7,f>2.5%,p22.3%.對(duì)

于實(shí)例7,老師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生留意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿

意,避開寫成也2.5%或p22.3%,這是不對(duì)的.但可表示為f22.5%且p22.3%.

對(duì)以上問(wèn)題，老師讓學(xué)生輪番回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)

論.

探討結(jié)果：

⑴(2)略;⑶數(shù)軸上隨意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)

數(shù)大.

(4)對(duì)于隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b,在a=b,ab,a應(yīng)用示例

例1(教材本節(jié)例1和例2)

活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟識(shí)兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差,

配方法.

點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩

種方法是代數(shù)式變形時(shí)常常運(yùn)用的方法，應(yīng)讓學(xué)生嫻熟駕馭.

變式訓(xùn)練

1.若f(x)=3x2-x+l,g(x)=2x2+x-l,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()

A.f(x)g(x)B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-l)2+l>10,0f(x)g(x).

2.已知XHO,比較(x2+l)2與x4+x2+l的大小.

解：由(x2+l)2-(x4+x2+l)=x4+2x2+l-x4-x2-l=x2.

取HO,得x20.從而(x2+l)2x4+x2+l.

例2比較下列各組數(shù)的大小(arb).

⑴a+b2與21a+lb(a0,bO);

(2)a4-b4與4a3(a-b).

活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常依據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小依次的關(guān)

系，歸結(jié)為推斷它們的差的符號(hào)來(lái)確定.本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥

學(xué)生在最終的符號(hào)推斷說(shuō)理中，要理由充分，不行忽視這點(diǎn).

解:(I)a+b2-21a+lb=a+b2-2aba+b=2|a+b02-4ab2aa+b0=[3a-bB22Ba+b[a.

0aO,bO且awb,0a+bO,(a-b)2O.0[?!a-b[?|22?ia+b[?jO,即a+b221a+lb.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2],

132a2+(a+b)220(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=O時(shí)取等號(hào))，

又awb,0(a-b)2O,2a2+(a+b)2O.0-(a-b)2[2a2+(a+b)2]O.

0a4-b44a3(a-b).

點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差一一變形一一推斷符號(hào).

變形常用的手段是分解因式和配方，前者將"差"變?yōu)?積"，后者將“差”化

為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的"和"，也可兩者并用.

變式訓(xùn)練

已知xy,且ywO,比較xy與1的大小.

活動(dòng)：要比較隨意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的

大小關(guān)系.

解：xy-l=x-yy.

0xy,0x-yO.

當(dāng)yO時(shí)，x-yyO,即xy-10.0xyl;

當(dāng)yO時(shí)，x-yyO,即xy-lO.0xyl.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負(fù)狀況不同，所以需

對(duì)y分類探討.

例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必需小于地板面積.但按采光

標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個(gè)比值越大，住宅

的采光條件越好.試問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采

光條件是變好了，還是變壞了？請(qǐng)說(shuō)明理由.

活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后比較前后

比值的大小，接受作差法.

解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時(shí)增加的面積為m,

依據(jù)問(wèn)題的要求a

由于a+mb+m-ab=mL,：b-a?jbl?lb+m[?]O,于是a+mb+mab..又ab>10%,

因此a+mb+mab>10%.

所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.

點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a

變式訓(xùn)練

已知al,a2,???為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q/1,則()

A.al+a8a4+a5B.al+a8

C.al+a8=a4+a5D,al+a8與a4+a5大小不確定

答案：A

解析：(al+a8)-(a4+a5)=al+alq7-alq3-alq4

=al[(l-q3)-q4(l-q3)]=al(l-q)2(l+q+q2)(l+q)(l+q2).

團(tuán)｛an｝各項(xiàng)都大于零，HqO,即1+qO.

又ElqHl,0(al+a8)-(a4+a5)O,即al+a8a4+a5.

課堂小結(jié)

1.老師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到

兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng)，到緊跟著的變式訓(xùn)練,

讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的學(xué)問(wèn)體系中.

2.老師畫龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易

錯(cuò)的地方.鼓舞學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思索與探討在課后作進(jìn)一步的探

究.

作業(yè)

習(xí)題3-1A組3;習(xí)題3-1B組2.

設(shè)計(jì)感想

1.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化.閱歷告知我們：課堂上應(yīng)依據(jù)詳

細(xì)狀況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過(guò)程，不宜長(zhǎng)期運(yùn)用一種

固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種試驗(yàn)?zāi)Ｊ?各種教學(xué)方法中，沒有

一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng).也就是說(shuō)，世上沒有萬(wàn)能的教學(xué)方法.針

對(duì)特性，敏捷變更，因材施教才是勝利的施教靈藥.

2.本節(jié)設(shè)計(jì)留意了難度限制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說(shuō)與其他全部

內(nèi)容都有交匯，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).作為本章起先，可以適當(dāng)開闊

一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過(guò)多向外

拓展，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響.

3.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維實(shí)力的訓(xùn)練.訓(xùn)練學(xué)生的思維實(shí)力，提升思

維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)老師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教化的主線.接受一

題多解有助于思維的發(fā)散性及敏捷性，克服思維的僵化.變式訓(xùn)練教學(xué)又可

以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品

質(zhì)的提升.

中學(xué)必修一數(shù)學(xué)教案5

一、教學(xué)內(nèi)容分析

二面角是我們?nèi)粘Ｉ钪谐３Ｒ姷降囊粋€(gè)圖形，它是在學(xué)生學(xué)過(guò)空間

異面直線所成的角、直線和平面所成角之后，探討的一種空間的角，二面

角進(jìn)一步完善了空間角的概念.駕馭好本節(jié)課的學(xué)問(wèn)，對(duì)學(xué)生系統(tǒng)地理解直

線和平面的學(xué)問(wèn)、空間想象實(shí)力的培育，乃至創(chuàng)新實(shí)力的培育都具有特別

重要的意義.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

理解二面角及其平面角的概念;能確認(rèn)圖形中的已知角是否為二面角

的平面角;能作出二面角的平面角，并能初步運(yùn)用它們解決相關(guān)問(wèn)題.

三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.

四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、新課引入

1.復(fù)習(xí)和回顧平面角的有關(guān)學(xué)問(wèn).

平面中的