高中數(shù)學課時跟蹤檢測三十一函數(shù)模型的應用新人教A版必修第一冊

函數(shù)模型的應用

層級(一)“四基”落實練

1.有一組實驗數(shù)據(jù)如表所示：

112345

S1.55.913.424.137

下列所給函數(shù)模型較適合的是()

A.y=log“x(a>l)B.y=ax+6(a>l)

C.y—ax+Z>(a>0)D.y=log”+6(a>l)

解析：選C由表中數(shù)據(jù)可知：s隨t的增大而增大且其增長速度越來越快，A、D中的

函數(shù)增長速度越來越慢，B中的函數(shù)的增長速度保持不變，C中的函數(shù)y隨x的增大而增大,

且增長速度越來越快.故選C.

2.數(shù)學學習的最終目標：讓學習者會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會

用數(shù)學語言表達世界雙11”就要到了，電商的優(yōu)惠活動很多，某同學借助于已學數(shù)學知

識對“雙11”相關(guān)優(yōu)惠活動進行研究.已知2019年“雙11”期間某商品原價為a元，商家

準備在節(jié)前連續(xù)2次對該商品進行提價且每次提價10%,然后在“雙11”活動期間連續(xù)2次

對該商品進行降價且每次降價10%.該同學得到結(jié)論：最后該商品的價格與原來價格a元相比

()

A.相等B,略有提高

C.略有降低D.無法確定

解析：選C設(shè)現(xiàn)價為6,則b=a(l+10%)2(l—10%)2=(l—0.01)、，則6Va,則該商

品的價格與原來價格相比略有降低，故選C.

3.(多選)某雜志以每冊2元的價格發(fā)行時，發(fā)行量為10萬冊.經(jīng)過調(diào)查，若單冊價格

每提高0.2元，則發(fā)行量就減少5000冊.要使該雜志的銷售收入不少于22.4萬元，每冊雜

志可以定價為()

A.2.5元B.3元

C.3.2元D.3.5元

解析：選BC設(shè)雜志的定價為x元，總銷售收入為y元，

根據(jù)題意可得：y=a(100000-yyX5000)

=-250007+150000x,

當銷售收入不少于22.4萬元時，-25000x4-150000x2224000,解得2.8W啟3.2.

結(jié)合選項知選B、C.

4.2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四

子王旗預定區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精

度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，

這與“打水漂”原理類似（如圖所示）.現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次

接觸水面的速率為11.2m/s,這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每

次“打水漂”的速率為上一次的93%,若要使石片的速率低于7.84m/s,則至少需要“打水

漂”的次數(shù)為（）

（參考數(shù)據(jù)：取In0.7=-0.357,In0.93=-0.073）

A.4B.5

C.6D.7

解析：選C設(shè)石片第〃次“打水漂”時的速率為％,則匕,=11.2X0.931.

由11.2X0.93"-'<7.84,得0.931<0.7,

則(〃一l)ln0.93<ln0.7,

In0.7-0.357

即n—!>,??4.89,

In0.93-0.073

則">5.89,故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.

5.某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過原污

染物總量的0.25%.已知在過濾過程中的污染物的殘留含量P（單位:毫克/升）與過濾時間t（單

位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為片其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，4為常數(shù)，R為原污染

物總量.若前4個小時廢氣中的污染物被過濾掉了80%,則％=；要能夠按規(guī)定排放

廢氣，還需要過濾〃小時，則正整數(shù)〃的最小值為.

（參考數(shù)據(jù)：logs2g0.43）

解析：由題意，前4個小時廢氣中的污染物被過濾掉了80%,

kt

'：P=Pa-e,（1-80%）S=R?e",得0.2=e",

In5

由0.25%丹=耳?e”,得0.0025=?一十-方，

:?t=\z-41ogo400—8(121ogs2)14.88.

InD

故整數(shù)〃的最小值為15-4=11.

In5

答案：一二11

6.汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時會緊急剎車，這一過程中，由于人的反應需要時間,

汽車在慣性的作用下有一個剎車距離，設(shè)停車安全距離為S,駕駛員反應時間內(nèi)汽車所行距

離為S,剎車距離為S,則S=S+S.而S與反應時間t有關(guān)，S=101n（t+l）,S與車速V

有關(guān)，$=6日某人剎車反應時間為#一1秒，當車速為60km/h時，緊急剎車后滑行的距

離為20米，若在限速100km/h的高速公路上，則該汽車的安全距離為多少米？（精確到米）

解：因為剎車反應時間為喊一1秒，

所以S=101n（/—1+1）=101n/=5,

當車速為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20米，則S=6?（60/=20,

解得6=4?即$=占/.

ioUloU

若r=100,則S=±X10（）2&56,S=5,

loU

所以該汽車的安全距離S=S+S=5+56=61（米）.

層級（二）能力提升練

1.一種放射性元素，每年的衰減率是8%,那么a千克的這種物質(zhì)的半衰期（剩余量為原

來的一半）t等于（）

.0.5,0.92

A，160,92B.o.5

1g0.5lg0.92

L,1g0.92D，1g0.5

oi

解析：選c由題意知a（l—8%）'=5,即（1—8%）'=5,等式兩邊取對數(shù)得1g0.92'=lg

0.5,即以g0.92=lg0.5,；"=獸黑，故C選項是正確的.

1gu.92

2.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是火。C,空氣的溫度是℃,rmin

后物體的溫度0℃可由公式0=%+（%一心）院02"求得，如果把溫度是100℃的物體放

在10℃的空氣中冷卻tmin后，物體的溫度是40°C,那么t的值約等于.（參考數(shù)

據(jù)：In3取1.099,In2取0.693）

解析：由題意可得40=10+（100—

化簡可得尸"'=9,-0.24t-Inr=—In3,

0O

A0.24r=ln3=1.099,解得1*4.58.

答案：4.58

3.遂寧市為打造最佳的宜居城市，踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開展植樹造

林.假設(shè)西山森林公園原來的面積為勿畝，計劃每年種植一些樹苗，且西山森林公園面積的

年增長率相同，當面積是原來的2倍時，所用時間是10年.

(1)求西山森林公園面積的年增長率；

(2)到今年為止，西山森林公園面積為原來的也倍，則該地已經(jīng)植樹造林多少年？

(3)為使西山森林公園面積至少達到6卬畝，至少需要植樹造林多少年？(參考數(shù)據(jù)：1g2

=0.3010,1g3=0.4771)

解：(D設(shè)增長率為人依題意得：0(l+x)i0=2”

所以(1+入)第=2,從而［(1+力力卡=舄,

即l+x=2焉，解得x=2《-1,故年增長率為*—1.

(2)設(shè)已經(jīng)植樹造林〃年，則+2七一1\=y［2.m,

即2《"=23,解得〃=5,故已經(jīng)植樹造林5年.

(3)設(shè)至少需要植樹造林在年，則1)之6偏

即2—即77421og26=log22+log23,解得A210+10盧彳和25.8,故至少需要

1U10lgz

26年.

層級(三)素養(yǎng)培優(yōu)練

某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研琲_

究中，發(fā)現(xiàn)注意力指數(shù)。與聽課時間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.8悔、

當力c(0,14］時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當te［14,45］時，曲柒黑~第

線是函數(shù)7=log.,(i-5)+83(a>0且aWl)圖象的一部分.根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)p

大于80時聽課效果最佳.

(1)試求0=1(。的函數(shù)關(guān)系式；

(2)老師在什么時段內(nèi)講解核心內(nèi)容能使學生聽課效果最佳？請說明理由.

解：(1)由題意知，當力右(0,14］時