人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題10平行四邊形經(jīng)典折疊問(wèn)題專訓(xùn)(36道)(原卷版+解析)

專題10平行四邊形經(jīng)典折疊問(wèn)題專訓(xùn)（36道）【平行四邊形經(jīng)典折疊問(wèn)題專訓(xùn)】1．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，且，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．2．（2022秋·貴州畢節(jié)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形的邊分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D在邊上，將該長(zhǎng)方形沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)E處．若點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，將沿DE折疊，使得點(diǎn)C恰好落在BA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)F處，連結(jié)AD，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）①；②；③和的面積相等；④和的面積相等A．①② B．①③ C．③ D．①②③4．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在上點(diǎn)處，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則和的面積之比為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形中，是的中點(diǎn)，將沿直線折疊后得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C． D．6．（2022·重慶南岸·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，是邊上的一點(diǎn)，，，將正方形邊沿折疊到，延長(zhǎng)交于，連接現(xiàn)在有如下四個(gè)結(jié)論：；；③；其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，折疊菱形紙片，使得對(duì)應(yīng)邊過(guò)點(diǎn)C，若，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．8．（2022秋·福建漳州·八年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形紙片的邊長(zhǎng)為12，E、G分別是、邊上的點(diǎn)，連接、把正方形紙片沿折疊，使點(diǎn)C落在上的一點(diǎn)F，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在處，連接，若F，G分別為，BC的中點(diǎn)，則FG的最小值為（）A．2 B． C． D．110．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿OP折疊得到△ODP，連接CD、AD．則下列結(jié)論中：①當(dāng)∠BOP=45°時(shí)，四邊形OBPD為正方形；②當(dāng)∠BOP=30°時(shí)，△OAD的面積為15；③當(dāng)OD⊥AD時(shí)，BP=2．其中結(jié)論正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)11．（2021秋·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，將正方形的邊CD沿DE折疊到DF，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，連接現(xiàn)有如下4個(gè)結(jié)論：①；②AG與EC一定不相等；③；④的周長(zhǎng)是一個(gè)定值．其中正確的是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③12．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)F（0＜CF＜4），在線段CB上截取點(diǎn)P，使得CP＝CF，連接BF、DP，再將△DCP沿直線DP折疊得到△DEP．下列結(jié)論：①若延長(zhǎng)DP，則DP⊥FB；②若連接CE，則；③連接PF，當(dāng)E、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，CF＝4﹣4；④連接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，則CF＝4﹣4；其中正確有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)13．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的長(zhǎng)度是___________，的最小值是___________．14．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，小實(shí)同學(xué)先將正方形紙片沿對(duì)折成兩個(gè)完全重合的矩形，再把紙片展平，然后折出上方矩形的對(duì)角線，再把邊沿折疊，使得A點(diǎn)落在上的H點(diǎn)處，若，則________．15．（2022秋·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形紙片中，，；將該紙片沿折疊，使點(diǎn)B恰好落在點(diǎn)D處，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，則折痕的長(zhǎng)為_(kāi)____．16．（2022·山東泰安·?？级＃┮阎诰匦沃?，，，點(diǎn)G、F、H、E是分別邊、、、上的點(diǎn)，分別沿，折疊矩形恰好使、都與重合，則_______．17．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且，將矩形沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)P處，連接交于點(diǎn)Q，對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③；④若P是的中點(diǎn)，則矩形為正方形．其中正確的是_______（填序號(hào)）．18．（2022秋·天津和平·九年級(jí)校考期中）如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊，上，將矩形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接，交于點(diǎn)Q，連接，下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③P，A重合時(shí)，；④的面積S的取值范圍是．其中正確的是_____（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．19．（2022秋·河南鄭州·八年級(jí)鄭州市第七十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小明將一張長(zhǎng)方形紙片翻折的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：如果點(diǎn)E、F分別是OC、OA邊上的點(diǎn)，將沿EF折疊，使得點(diǎn)O正好落在BC邊上的D點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F在OC、OA上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也在邊BC上隨之移動(dòng)，若，那么在這個(gè)過(guò)程中BD長(zhǎng)度的取值范圍是______．20．（2022秋·遼寧本溪·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，把沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在或的角平分線上時(shí)，則點(diǎn)到BC的距離為_(kāi)_____________．21．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若點(diǎn)E在線段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，沿EF折疊C落在處，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，BC=________．22．（2022秋·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在BD邊上的點(diǎn)G處，則BGF的面積為_(kāi)_____．23．（2022春·云南紅河·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，把沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)__________．24．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀┮阎叫蔚倪呴L(zhǎng)為12，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)上，延長(zhǎng)交于E，當(dāng)點(diǎn)E與的中點(diǎn)F的距離為2時(shí)，則此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)_____．25．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把一張長(zhǎng)方形的紙片沿對(duì)角線折疊，折疊后，邊的對(duì)應(yīng)邊交于F．(1)求證：；(2)若，．求點(diǎn)F至的距離．26．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)B落在邊上一點(diǎn)E處，折痕兩端點(diǎn)分別在，上（含端點(diǎn)），且，．設(shè)．(1)當(dāng)?shù)淖钚≈档扔赺_____時(shí)，才能使點(diǎn)B落在上一點(diǎn)E處；(2)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F離點(diǎn)B有多遠(yuǎn)？27．（2022秋·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）長(zhǎng)方形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊使點(diǎn)C落在C?處，BC?交AD于點(diǎn)E．(1)試找出一個(gè)與全等的三角形，并加以證明．(2)求DE的長(zhǎng)．(3)若P為線段BD上的任意一點(diǎn)，，垂足為G，，垂足為H，試求的值，并說(shuō)明理由．28．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖1，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接．獨(dú)立思考：(1)在圖1中，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____；實(shí)踐探究：(2)在圖1中，請(qǐng)你判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：(3)如圖2，在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接．請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．29．（2021秋·福建泉州·八年級(jí)?？计谀┰诰C合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，現(xiàn)有矩形紙片．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)M，若，，則____．(2)如圖3，將圖2中的紙片展平，再次折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為，然后展平，則以點(diǎn)A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？并說(shuō)明理由．(3)實(shí)踐探究：如圖4，將圖3中的EF隱去，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)，且，將紙片沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，則與有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．30．（2022春·黑龍江大慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，AD//BC，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊后得到，且點(diǎn)在四邊形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．且．(1)求證：；(2)求證：；(3)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．31．（2022春·吉林·八年級(jí)期中）（1）【探究】如圖①，在正方形ABCD中，E為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)F．求證：；（2）【應(yīng)用】如圖②，在正方形ABCD中，E為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，直線FG分別交AD、BC、DE于點(diǎn)F、G、O，將正方形ABCD沿FG折疊，使點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為．若，求線段FG的長(zhǎng)．32．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【特例感知】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB，AD的中點(diǎn)，CF交于點(diǎn)G．（1）易證，可知DE、CF的關(guān)系為_(kāi)_____________；（直接填寫(xiě)結(jié)果）（2）連接BG，若，求BG的長(zhǎng)．【初步探究】如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，分別交AD、BC于F、G，垂足為O，求證：．【基本應(yīng)用】如圖3，將邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD的中點(diǎn)M處，折痕為PQ，點(diǎn)P、Q分別在邊AD、BC上，求PQ的長(zhǎng)．33．（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)奮進(jìn)小組用圖1中的矩形紙片，按照如圖2所示的方式，將矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，則與重合部分的三角形的形狀是______．(2)勤學(xué)小組將圖2中的紙片展平，再次折疊（如圖3），使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為，然后展平，則以點(diǎn)A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)創(chuàng)新小組用圖4中的矩形紙片進(jìn)行操作，其中，，先沿對(duì)角線對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置，交于點(diǎn)G，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．34．（2022春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)“折紙中的數(shù)學(xué)”中，有同學(xué)以“矩形紙片的折疊”開(kāi)展探究活動(dòng)．現(xiàn)有矩形紙片，點(diǎn)在線段上，折痕為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，分別按以下操作回答問(wèn)題．(1)如圖，若點(diǎn)落在線段上，則四邊形是哪類特殊四邊形？答：______．(2)如圖，若點(diǎn)落在矩形紙片內(nèi)，滿足CF∥AE，此時(shí)線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖，點(diǎn)落在對(duì)角線上，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心，且，求的度數(shù)．35．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？计谥校?）如圖1，將長(zhǎng)方形折疊，使落在對(duì)角線上，折痕為，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，若，則°；（2）小明手中有一張長(zhǎng)方形紙片，，．【畫(huà)一畫(huà)】如圖2，點(diǎn)E在這張長(zhǎng)方形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在所在直線上，折痕設(shè)為（點(diǎn)M，N分別在邊，上），利用直尺和圓規(guī)畫(huà)出折痕（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（3）【算一算】圖3，點(diǎn)F在這張長(zhǎng)方形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在射線上，折痕為，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)，處，若，求的長(zhǎng)．36．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）【推理】如圖①，在邊長(zhǎng)為10的正方形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．【運(yùn)用】如圖②，在【推理】條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則線段______．【拓展】如圖③，在【推理】條件下，，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則的最小值是______．專題10平行四邊形經(jīng)典折疊問(wèn)題專訓(xùn)（36道）【平行四邊形經(jīng)典折疊問(wèn)題專訓(xùn)】1．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，且，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再由翻折變換的性質(zhì)得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)，再在中利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，∵是翻折而成，∴，是直角三角形，∴，在中，，設(shè)，在中，，即，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022秋·貴州畢節(jié)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形的邊分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D在邊上，將該長(zhǎng)方形沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)E處．若點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可知再利用折疊的性質(zhì)得，由勾股定理求得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理列方程可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵將該長(zhǎng)方形沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E處．∴，由勾股定理得，，∴，設(shè)，則，在中，解得，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，將沿DE折疊，使得點(diǎn)C恰好落在BA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)F處，連結(jié)AD，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）①；②；③和的面積相等；④和的面積相等A．①② B．①③ C．③ D．①②③【答案】A【分析】先判斷出是直角三角形，再利用三角形的外角判斷出①正確，進(jìn)而判斷出，得出是的中位線判斷出②正確，利用等式的性質(zhì)判斷出④正確．【詳解】如圖，連接，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，由折疊知，，，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確，由折疊知，，∴，∵，∴是的中位線，∴，故②正確，∵，∴，由折疊知，，∴，∴，故④正確，無(wú)法判斷和的面積是否相等，∴③不正確，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在上點(diǎn)處，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則和的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由折疊的性質(zhì)可知，，，；根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)可知，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可知，即可證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形面積公式即可求得和的面積之比．【詳解】解：根據(jù)題意，由折疊的性質(zhì)可知，，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∵是的平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，即和的面積之比為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形中，是的中點(diǎn)，將沿直線折疊后得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可證得；設(shè)，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：是的中點(diǎn)，，沿折疊后得到，，，，在矩形中，，，在和中，，，，設(shè)，則，，在中，，即，解得：，即；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折變換的性質(zhì)；熟記矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022·重慶南岸·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，是邊上的一點(diǎn)，，，將正方形邊沿折疊到，延長(zhǎng)交于，連接現(xiàn)在有如下四個(gè)結(jié)論：；；③；其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】①正確．證明,得到，結(jié)合可得結(jié)果．②錯(cuò)誤．可以證明，不是等邊三角形，可得結(jié)論．③正確．證明，即可．④錯(cuò)誤．證明，求出的面積即可．【詳解】解：如圖，連接，四邊形是正方形，，，由翻折可知：，，，，，，，∴，，，，故正確，設(shè)，在中，，，，，，是等腰三角形，易知不是等邊三角形，顯然，故錯(cuò)誤，，，，，，，，故正確，，：：，∴，，故正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．7．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，折疊菱形紙片，使得對(duì)應(yīng)邊過(guò)點(diǎn)C，若，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及等腰三角形的判定，即可得到，設(shè)，則，在中，依據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而得出方程，解方程即可．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，∵四邊形是菱形，，∴，∴由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，依據(jù)勾股定理可得，∴，解得，（負(fù)值已舍去）∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，等腰三角形的判定，菱形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的運(yùn)用；解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，依據(jù)勾股定理列方程求解．8．（2022秋·福建漳州·八年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形紙片的邊長(zhǎng)為12，E、G分別是、邊上的點(diǎn)，連接、把正方形紙片沿折疊，使點(diǎn)C落在上的一點(diǎn)F，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由折疊及性質(zhì)可知，垂直平分，先證，推出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)，最后再中利用面積法可求出的長(zhǎng)，可進(jìn)一步求出的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)與交于H，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，垂直平分，∴，∴，又∵，∴，在與中，∴，∴，在中，，∴，∴∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積法求線段的長(zhǎng)度等，解題關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．9．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在處，連接，若F，G分別為，BC的中點(diǎn)，則FG的最小值為（）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由勾股定理和折疊的性質(zhì)可求，，由三角形的三邊關(guān)系，，則當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值為，由三角形的中位線定理可求解．【詳解】解：如圖，連接，，，，，將沿折疊，，在△中，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值為，，分別為，的中點(diǎn)，，的最小值為1，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理等知識(shí)，求出的最小值是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿OP折疊得到△ODP，連接CD、AD．則下列結(jié)論中：①當(dāng)∠BOP=45°時(shí)，四邊形OBPD為正方形；②當(dāng)∠BOP=30°時(shí)，△OAD的面積為15；③當(dāng)OD⊥AD時(shí)，BP=2．其中結(jié)論正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】①由矩形的性質(zhì)得到∠OBC=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OB=OD，∠PDO=∠OBP=90°，∠BOP=∠DOP，推出四邊形OBPD是矩形，根據(jù)正方形的判定定理即可得到四邊形OBPD為正方形；故①正確；②過(guò)D作DH⊥OA于H，得到OA=10，OB=6，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DH=3，根據(jù)三角形的面積公式得到△OAD的面積為OA?DH=×3×10=15，故②正確；③根據(jù)已知條件推出P，D，A三點(diǎn)共線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OPB=∠POA，等量代換得到∠OPA=∠POA，求得AP=OA=10，根據(jù)勾股定理得到BP=BC-CP=10-8=2，故③正確．【詳解】解：①∵四邊形OACB是矩形，∴∠OBC=90°，∵將△OBP沿OP折疊得到△ODP，∴OB=OD，∠PDO=∠OBP=90°，∠BOP=∠DOP，∵∠BOP=45°，∴∠DOP=∠BOP=45°，∴∠BOD=90°，∴∠BOD=∠OBP=∠ODP=90°，∴四邊形OBPD是矩形，∵OB=OD，∴四邊形OBPD為正方形；故①正確；②過(guò)D作DH⊥OA于H，∵點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)B（0，6），∴OA=10，OB=6，∴OD=OB=6，∠BOP=∠DOP=30°，∴∠DOA=30°，∴DH=OD=3，∴△OAD的面積為OA?DH=×3×10=15，故②正確；③∵OD⊥AD，∴∠ADO=90°，∵∠ODP=∠OBP=90°，∴∠ADP=180°，∴P，D，A三點(diǎn)共線，∵OA∥CB，∴∠OPB=∠POA，∵∠OPB=∠OPD，∴∠OPA=∠POA，∴AP=OA=10，∵AC=6，∴CP==8，∴BP=BC-CP=10-8=2，故③正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，將正方形的邊CD沿DE折疊到DF，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，連接現(xiàn)有如下4個(gè)結(jié)論：①；②AG與EC一定不相等；③；④的周長(zhǎng)是一個(gè)定值．其中正確的是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】A【分析】由翻折的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可得EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE，求出DA＝DF，證明Rt△ADG≌Rt△FDG，可得AG＝FG，∠ADG＝∠FDG，故①正確；根據(jù)∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45°，可知③正確；求出△BGE的周長(zhǎng)＝BG＋BE＋AG＋EC＝AB＋AC，可知④正確；當(dāng)F是GE的中點(diǎn)時(shí)，可得AG＝GF＝FE＝EC，故②錯(cuò)誤．【詳解】解：根據(jù)折疊的意義，得：△DEC≌△DEF，∴EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE，∵DA＝DC，∴DA＝DF，又∵DG＝DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），∴AG＝FG，∠ADG＝∠FDG，故①正確；∴∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45°，故③正確；∵△BGE的周長(zhǎng)＝BG＋BE＋GE，GE＝GF＋EF＝AG＋EC，∴△BGE的周長(zhǎng)＝BG＋BE＋AG＋EC＝AB＋AC，即△BGE的周長(zhǎng)是定值，故④正確，當(dāng)F是GE的中點(diǎn)時(shí)，可得AG＝GF＝FE＝EC，故②錯(cuò)誤；∴正確的結(jié)論是①③④，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解決此題關(guān)鍵．12．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)F（0＜CF＜4），在線段CB上截取點(diǎn)P，使得CP＝CF，連接BF、DP，再將△DCP沿直線DP折疊得到△DEP．下列結(jié)論：①若延長(zhǎng)DP，則DP⊥FB；②若連接CE，則；③連接PF，當(dāng)E、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，CF＝4﹣4；④連接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，則CF＝4﹣4；其中正確有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】證明△DCP≌△BCF，利用全等三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可判斷①，證明DP⊥EC，結(jié)合BF⊥DP，可判斷②，當(dāng)E，P，F(xiàn)共線時(shí)，求解∠DPC＝∠DPE＝．在CD上取一點(diǎn)J，使得CJ＝CP，則∠CJP＝∠CPJ＝，DJ＝JP，設(shè)CJ＝CP＝x，則DJ＝JP＝x，可得x+x＝4，解方程可判斷③，連接CE，BD．由③可知，當(dāng)CF＝4﹣4時(shí)，∠CDP＝∠EDP＝，證明點(diǎn)E在DB上，EA＝EC，可得∠ECF＞∠EFC，EF＞EC，可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：①如圖1中，延長(zhǎng)DP交BF于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCP＝∠BCF＝90°，在△DCP和△BCF中，，∴△DCP≌△BCF（SAS），∴∠CDP＝∠CBF，∵∠CPD＝∠BPH，∴∠DCP＝∠BHP＝90°，∴DP⊥BF，故①正確．②∵C，E關(guān)于DP對(duì)稱，∴DP⊥EC，∵BF⊥DP，∴，故②正確．③如圖2中，當(dāng)E，P，F(xiàn)共線時(shí)，∠DPC＝∠DPE＝．在CD上取一點(diǎn)J，使得CJ＝CP，則∠CJP＝∠CPJ＝，∴∴∠JDP＝∠JPD＝，∴DJ＝JP，設(shè)CJ＝CP＝x，則DJ＝JP＝x，∴x+x＝4，∴x＝4﹣4，∴CF＝4﹣4，故③錯(cuò)誤，④如圖3中，連接CE，BD．由③可知，當(dāng)CF＝4﹣4時(shí)，∠CDP＝∠EDP＝，∴∠CDE＝，∴點(diǎn)E在DB上，∵A，C關(guān)于BD對(duì)稱，∴EA＝EC，∵∠ECF＞∠EFC，∴EF＞EC，∴EF＞EA，∴此時(shí)△AEF不是等腰三角形，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，二次根式的除法運(yùn)算，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練的應(yīng)用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵．13．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的長(zhǎng)度是___________，的最小值是___________．【答案】

【分析】在直角中，根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)；連接，如圖1，則根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，顯然，當(dāng)D、、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵E是邊的中點(diǎn)，∴，在直角中，根據(jù)勾股定理，得：．連接，如圖1，則，顯然，當(dāng)D、、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，如圖2，∵，∴．故答案為：、．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理和三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，小實(shí)同學(xué)先將正方形紙片沿對(duì)折成兩個(gè)完全重合的矩形，再把紙片展平，然后折出上方矩形的對(duì)角線，再把邊沿折疊，使得A點(diǎn)落在上的H點(diǎn)處，若，則________．【答案】##【分析】設(shè)，則可得．連接，即可構(gòu)造和，依據(jù)勾股定理得到，進(jìn)而得出關(guān)于x的方程，通過(guò)解方程即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解∶如圖所示，連接，在中，∴，又∵，∴，設(shè)，則，由折疊可得，，∴，在和中，，即，解得，∴．故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及翻折變換(折疊問(wèn)題)以及勾股定理，折疊的本質(zhì)屬于軸對(duì)稱變換，關(guān)鍵是抓住折疊前后的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．15．（2022秋·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形紙片中，，；將該紙片沿折疊，使點(diǎn)B恰好落在點(diǎn)D處，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，則折痕的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】2【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，由翻折可得，根據(jù)勾股定理求出x的值，然后證明是等邊三角形，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，，設(shè)，則，由翻折可知：，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得，∴，∴，∴，由翻折可知：，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．16．（2022·山東泰安·?？级＃┮阎诰匦沃?，，，點(diǎn)G、F、H、E是分別邊、、、上的點(diǎn)，分別沿，折疊矩形恰好使、都與重合，則_______．【答案】7【分析】設(shè)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出．過(guò)E作于M，則，．在中根據(jù)勾股定理得出，即，解方程即可．【詳解】解：設(shè)，∵分別沿，折疊矩形恰好使都與重合，∴．過(guò)E作于M，則四邊形是矩形，∵，，∴，，，在中，∵，∴，即，解得，則，∴．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且，將矩形沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)P處，連接交于點(diǎn)Q，對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③；④若P是的中點(diǎn)，則矩形為正方形．其中正確的是_______（填序號(hào)）．【答案】①③【分析】先由與的關(guān)系，得出與的關(guān)系為．再由折疊得到,．由于是直角三角形，可知．最后在幾個(gè)直角三角形中，利用的角所對(duì)直角邊是斜邊的一半，求出各線段長(zhǎng)度的關(guān)系，進(jìn)而判斷出結(jié)論正確與否．【詳解】∵四邊形是矩形∴∵，∴．∵是由折疊得到的，∴,，，，∴在中，，∴，∴∴∴∴在中,，∴故①正確,②錯(cuò)誤．∵在中，,∴是等邊三角形∴∴同理可得：∴∴故③正確．∵P是的中點(diǎn)∴又∵∴即矩形不是正方形故④錯(cuò)誤．故正確的是①③．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和直角三角形中，的角所對(duì)直角邊是斜邊的一半．主要利用了轉(zhuǎn)化思想和等量代換．18．（2022秋·天津和平·九年級(jí)校考期中）如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊，上，將矩形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接，交于點(diǎn)Q，連接，下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③P，A重合時(shí)，；④的面積S的取值范圍是．其中正確的是_____（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．【答案】②③##③②【分析】先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出②正確；假設(shè)，得進(jìn)而得，這個(gè)不一定成立，判斷①錯(cuò)誤；點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)，表示出，利用勾股定理列出方程求解得x的值，進(jìn)而用勾股定理求得，判斷出③正確；當(dāng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，求得四邊形的最小面積，進(jìn)而得S的最小值，當(dāng)P與A重合時(shí)，S的值最大，求得最大值即可．【詳解】解：如圖1，∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，故②正確；∴，，∴，∵，若，則，∴，這個(gè)不一定成立，故①錯(cuò)誤；點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2所示：設(shè)，則，在中，，即，解得，∴，，∴，∴，∴．故③正確；當(dāng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，如圖3所示：此時(shí)，最短，四邊形的面積最小，則S最小為，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，最長(zhǎng)，四邊形的面積最大，則S最大為，∴，故④不正確．故答案為：②③．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問(wèn)題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．19．（2022秋·河南鄭州·八年級(jí)鄭州市第七十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小明將一張長(zhǎng)方形紙片翻折的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：如果點(diǎn)E、F分別是OC、OA邊上的點(diǎn)，將沿EF折疊，使得點(diǎn)O正好落在BC邊上的D點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F在OC、OA上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也在邊BC上隨之移動(dòng)，若，那么在這個(gè)過(guò)程中BD長(zhǎng)度的取值范圍是______．【答案】##【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠B=90°，OA=BC=5，OC=AB=4，當(dāng)折痕EF移動(dòng)時(shí)點(diǎn)D在BC邊上也隨之移動(dòng)，由此可以得到，當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)，BD最小，當(dāng)F與A重合時(shí)，BD最大，據(jù)此畫(huà)圖求解即可.【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形∴∠B=90°，OA=BC=5，OC=AB=4，當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)，最小，如圖所示：此時(shí)，∴.當(dāng)F與A重合時(shí)，最大，如圖所示：此時(shí)，∴，∴的取值范圍為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于確定E、F的位置.20．（2022秋·遼寧本溪·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，把沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在或的角平分線上時(shí)，則點(diǎn)到BC的距離為_(kāi)_____________．【答案】2或1或【分析】過(guò)點(diǎn)作于M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，則于點(diǎn)H，則，，分點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的角平分線上和點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的角平分線兩種情況，利用勾股定理列方程，即可求得答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，過(guò)點(diǎn)作于M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，則于點(diǎn)H，則，，①當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的角平分線上時(shí)，連接，∴設(shè)，則，又由折疊的性質(zhì)知，∴在直角中，由勾股定理得到：，即，解得：，則點(diǎn)到的距離為或．②當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的角平分線上時(shí)，∴設(shè)，又由折疊的性質(zhì)知，∴在直角中，由勾股定理得到：，即，解得：（不合題意，舍去），則點(diǎn)到的距離為．故答案為：2或1或．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，掌握翻折變換是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若點(diǎn)E在線段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，沿EF折疊C落在處，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，BC=________．【答案】18或15或21.9【分析】分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可求解．【詳解】解：∵沿EF折疊C落在處，∴，，，∵∠B=90°，AB=CD=12，BE=5，∴，當(dāng)時(shí)，CE=AE=13，∴BC=BE+CE=18；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，則，∵AE⊥EF，∴，∵，∴，∵AE=AE=∠AGE=∠B=90°，∴，∴EG=BE=5，∴，∴CE=10，∴BC=BE+CE=15；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)M，連接交EF于點(diǎn)N，連接AF，則AE=2ME，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴此時(shí)點(diǎn)落在AD上，，∴，設(shè)DF=x，則，∵，∴，解得：，∴，設(shè)CE=a，則AD=BC=5+a，∵，∴，解得：a=16.9，∴BC=21.9；綜上所述，BC=18或15或21.9．故答案為：18或15或21.9【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在BD邊上的點(diǎn)G處，則BGF的面積為_(kāi)_____．【答案】15【分析】連接CG，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，利用等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折疊的性質(zhì)求得CG⊥BD，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，利用面積法求得CG=6，據(jù)此求解即可得到BGF的面積．【詳解】解：連接CG，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵平行四邊形ABCD中，∠A=45°，∴∠DCB=∠A=45°，∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，∴DH=HC，由勾股定理得DH=HC=，∵BC=10，∴BH=10-=，由勾股定理得BD=5，

由折疊的性質(zhì)得EG=EC，F(xiàn)G=FC，∵點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，∴EG=EC=DE，∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，∴∠EGC+∠EGD=90°，∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，∵FG=FC，∴∠FCG=∠FGC，

∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，∴∠FGB=∠FBG，∴FG=FB，∴FG=FB=FC，即點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，∴CG=6，∴BG=2，∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，∴==××2×6=15．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，證明CG⊥BD是解題的關(guān)鍵．23．（2022春·云南紅河·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，把沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】8或【分析】分為兩種情況，當(dāng)∠CFE=90°和∠CEF=90°時(shí)，將圖形畫(huà)出，利用折疊性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC==13，由折疊性質(zhì)可得：AF=AB=5，∠AFE=∠B=90°，∵∠CFE=90°，∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=180°，∴A、F、C三點(diǎn)共線，∴FC=AC-AF=13-5=8，如圖，當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，∴∠BEF=90°，由折疊性質(zhì)可得：∠AFE=∠ABE=90°，EF=BE，∴四邊形ABEF為正方形，∴BE=EF=AB=5，∴CE=BC-BE=12-5=7，在Rt△CEF中，∴CF=綜上，CF=8或，故答案為：8或．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分兩種情況考慮，畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形．24．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀┮阎叫蔚倪呴L(zhǎng)為12，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)上，延長(zhǎng)交于E，當(dāng)點(diǎn)E與的中點(diǎn)F的距離為2時(shí)，則此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2.4或6【分析】分兩種情況討論：E點(diǎn)在線段上和E點(diǎn)在線段上.接，先根據(jù)折疊的性質(zhì)和HL得到，.設(shè)，則，，求出，把用含有x的式子表示出來(lái).中，根據(jù)勾股定理列方程求出x即可.【詳解】解：①如圖1，當(dāng)E點(diǎn)在線段上時(shí)，連接,∵四邊形是正方形，∵折疊后，又(HL)∴

設(shè),則，在Rt中，

解得②如圖2，E點(diǎn)在線段上時(shí)，連接,

設(shè),則，在Rt中解得

故答案為：2.4或6【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)并根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵.25．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把一張長(zhǎng)方形的紙片沿對(duì)角線折疊，折疊后，邊的對(duì)應(yīng)邊交于F．(1)求證：；(2)若，．求點(diǎn)F至的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由翻折的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得到條件證明，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：由折疊的性質(zhì)知，，．∵四邊形是矩形，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，由（1）知，∴，是等腰三角形，∵，∴，∴，過(guò)F作于H，∴，∴，故點(diǎn)F至的距離為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，由翻折的性質(zhì)找出相等的角或邊是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)B落在邊上一點(diǎn)E處，折痕兩端點(diǎn)分別在，上（含端點(diǎn)），且，．設(shè)．(1)當(dāng)?shù)淖钚≈档扔赺_____時(shí)，才能使點(diǎn)B落在上一點(diǎn)E處；(2)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F離點(diǎn)B有多遠(yuǎn)？【答案】(1)6(2)(3)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)四邊形是正方形，從而得到的最小值等于，計(jì)算即可．（2）根據(jù)折疊性質(zhì)，勾股定理得，根據(jù)，引入未知數(shù)，建立等式計(jì)算即可．（3）過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，判定四邊形是矩形，根據(jù)勾股定理，得，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)時(shí)，最小，因?yàn)榫匦渭埰?，所以四邊形是正方形，所以，故答案為?．（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，因?yàn)榫匦渭埰?，，，所以，，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以．?）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，因?yàn)榫匦渭埰?，，所以，所以四邊形是矩形，所以，根?jù)折疊的性質(zhì)，得，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，根?jù)勾股定理，得，所以，解得，所以點(diǎn)F離點(diǎn)B的距離為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定，垂線段最短原理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）長(zhǎng)方形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊使點(diǎn)C落在C?處，BC?交AD于點(diǎn)E．(1)試找出一個(gè)與全等的三角形，并加以證明．(2)求DE的長(zhǎng)．(3)若P為線段BD上的任意一點(diǎn)，，垂足為G，，垂足為H，試求的值，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)和長(zhǎng)方形的性質(zhì)，可推出，，進(jìn)一步可證明；（2）根據(jù)，可得，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理即可解出DE的長(zhǎng)；（3）連接PE，由即可求出．【詳解】（1）解：，證明如下：在矩形ABCD中，由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，，，∵，，∴，，在和中，∴．（2）解：∵，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，，即．（3）解：連接PE，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理等．熟知相應(yīng)的性質(zhì)并靈活進(jìn)行邊和角的等量代換是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖1，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接．獨(dú)立思考：(1)在圖1中，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____；實(shí)踐探究：(2)在圖1中，請(qǐng)你判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：(3)如圖2，在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接．請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及等腰三角形等邊對(duì)等角可得，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，根據(jù)勾股定理可得：，故答案為：．（2）．理由如下：方法一：∵，，∴．∴，．設(shè)，則，．∴．由折疊可得：，，∴，．∴．∴．∴．∴．方法二：∵，，∴．∴．設(shè)，則，．由折疊可得：，，∴，．∴．∴．∴．（3）四邊形CDAE是菱形方法一：∵，，∴．∵，∴是等邊三角形．∴，．∴．由折疊可得：，，∴，．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．方法二：∵，，∴．∴．∵，∴，是等邊三角形．∴，．∴．由折疊可知：，，∴，．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及平行線的判定和菱形的判定；解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，明確折疊前后對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等，等腰三角形等邊對(duì)等角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及平行線的判定定理和菱形的判定定理．29．（2021秋·福建泉州·八年級(jí)校考期末）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，現(xiàn)有矩形紙片．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)M，若，，則____．(2)如圖3，將圖2中的紙片展平，再次折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為，然后展平，則以點(diǎn)A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？并說(shuō)明理由．(3)實(shí)踐探究：如圖4，將圖3中的EF隱去，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)，且，將紙片沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，則與有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】(1)5(2)以點(diǎn)A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)和角平分線定義以及勾股定理解答即可得出結(jié)論；（2）利用四邊相等的四邊形是菱形即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，進(jìn)而判斷出，得出，最后判斷出即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊知，，∴，∴是等腰三角形，∴，由折疊性質(zhì)得出，，，，設(shè)為x，，由勾股定理可得：，即，解得：，∴．故答案為：5．（2）解：菱形，理由：如圖3，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為M，由折疊知，，，∴，，∵四邊形是矩形，∴，∴，，∴（ASA），∴，∴，∴以點(diǎn)A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；（3）解：，理由：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊知，，，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．30．（2022春·黑龍江大慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，AD//BC，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊后得到，且點(diǎn)在四邊形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．且．(1)求證：；(2)求證：；(3)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出∠BGE=∠A，AE=GE，可證明Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；（2）證明四邊形ABCD是矩形，得出AB=CD，則可得出結(jié)論；（3）由全等三角形的性質(zhì)得出GB=2GF，由勾股定理可得出答案．（1）證明：∵將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∠A=∠D=90°，∴△ABE≌△GBE，∴∠BGE=∠A=90°，AE=GE，∵∠A=∠D=90°，∴∠EGF=∠D=90°，∵EA=ED，∴EG=ED，在Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；（2）證明：由折疊性質(zhì)可得，AB=BG，∵ADBC，∠A=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∴BG=DC；（3）解：由折疊可知AB=GB，由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF，又∵∠C=90°，AB=CD，F(xiàn)D=CF，∴GB=2GF，BF+GF=3GF，∵，∴，∴GF=2，∴CD=2GF=4．【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及折疊的性質(zhì)，掌握翻折變換是軸對(duì)稱變換，變換前后圖形互相重合是解題的關(guān)鍵．31．（2022春·吉林·八年級(jí)期中）（1）【探究】如圖①，在正方形ABCD中，E為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)F．求證：；（2）【應(yīng)用】如圖②，在正方形ABCD中，E為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，直線FG分別交AD、BC、DE于點(diǎn)F、G、O，將正方形ABCD沿FG折疊，使點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為．若，求線段FG的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)和可以證得（ASA），得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H．證明△ADE≌△HFG（ASA），得，AB＝3AE＝3,求得，．在中，由勾股定理得＝10，即可求得答案．【詳解】（1）證明：如圖①，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∴，∵，∴∠AOD＝90°，∴，∴，∴（ASA），∴．（2）解：如圖②，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是正方形，∴，，ADBC，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴△ADE≌△HFG（ASA），∴，∵，∴，．在中，，由勾股定理，得＝10，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，尋找條件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．32．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【特例感知】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB，AD的中點(diǎn)，CF交于點(diǎn)G．（1）易證，可知DE、CF的關(guān)系為_(kāi)_____________；（直接填寫(xiě)結(jié)果）（2）連接BG，若，求BG的長(zhǎng)．【初步探究】如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，分別交AD、BC于F、G，垂足為O，求證：．【基本應(yīng)用】如圖3，將邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD的中點(diǎn)M處，折痕為PQ，點(diǎn)P、Q分別在邊AD、BC上，求PQ的長(zhǎng)．【答案】（1），（2）6【初步探究】見(jiàn)解析【基本應(yīng)用】【分析】特例感知：（1）由“SAS”可證△ADE≌△DCF，即可得出結(jié)論；（2）由“AAS”可證△ADE≌△BHE，可得AD=BH，由直角三角形的性質(zhì)可求解；初步探究：由“ASA”可證△ADE≌△DCH，可得DE=CH=FG；基本應(yīng)用：由全等三角形的性質(zhì)可證PQ=AM，由勾股定理可求解．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)是AB，AD的中點(diǎn)，∴AE=AB，DF=AD，∴AE=DF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴DE=CF，∠AED=∠DFC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°，∴DE⊥CF，故答案為：DE=CF，DE⊥CF；；（2）解：延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于H，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，又∵，∴；【初步探究】證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作，交AD于H，交DE于N，∵，，∴四邊形FHCG是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴；【基本應(yīng)用】如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作于H，則四邊形ABQH中，由翻折變換的性質(zhì)得，∵，，∴∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，∴，在中，由勾股定理得，，∴的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)奮進(jìn)小組用圖1中的矩形紙片，按照如圖2所示的方式，將矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，則與重合部分的三角形的形狀是______．(2)勤學(xué)小組將圖