高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重點突破(人教A版必修第一冊)02確定集合間的關(guān)系(原卷版+解析)

常考題型02確定集合間的關(guān)系子集如果集合A的元素都是集合B的元素，那么稱集合A為集合B的子集，記為A?B。真子集如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A為集合B的真子集?？占占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。常用結(jié)論：含n個元素的集合的子集個數(shù)為2?，真子集個數(shù)為2n-1，非空子集個數(shù)為2n-1，非空真子集個數(shù)為2n-2?？挤ㄒ唬号袛嗉祥g的關(guān)系1.列舉觀察法：當集合中元素較少時，可分別列出兩個集合中的全部元素，根據(jù)定義，通過比較兩個集合中的元素即可判斷兩集合之間的關(guān)系.2.元素特征法：當兩集合的代表元素一樣（集合屬性相同，同為數(shù)集、同為點集或同為其他集合）時，可利用集合元素的特征判斷關(guān)系.一般地，設(shè)A={x|p(x)}，B={x|q(x)}.(1)若p(x)?q(x)，則A?B；(2)若q(x)?p(x)，則B?A；(3)若p(x)?q(x)，則A=B；(4)若p(x)不能推出q(x)，且q(x)不能推出p(x)，則集合A，B無包含關(guān)系。3.數(shù)形結(jié)合法利用數(shù)軸或Venn圖.不等式解集之間的關(guān)系，適合用數(shù)軸法.若A?B和A真包含于B同時成立，則A真包含于B更能準確表達集合A，B之間的關(guān)系?？挤ǘ捍_定集合的子集1.列舉法：當一個集合的元素個數(shù)較少時，可列出其全部子集.用列舉法確定集合的子集時，要注意(1)合理分類，按照子集所含元素的個數(shù)依次寫出，一般按元素從少到多的順序逐個寫出滿足條件的集合；(2)注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身.2.公式法：已知集合中的元素有n(n∈N)個，那么這個集合的子集有2?個，它的真子集有(2?-1)個。探究一：判斷兩個集合的包含關(guān)系給出下列關(guān)系式：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4思路分析：思路分析：①空集中不含任何元素，由此可判斷①；②是整數(shù)，故可判斷②正確；③通過解方程，可得出，故可判斷③；④根據(jù)為正整數(shù)集可判斷④；⑤通過解方程，得，從而可判斷⑤.【變式練習(xí)】1．已知集合則的關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．已知集合，，，則A，B，C之間的關(guān)系是（

）A．A=BC B．AB=CC．ABC D．BC=A探究二：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)已知，，若且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．或思路分析：思路分析：集合A的的取值范圍是確定的，集合B中，二次函數(shù)開口向上，要先考慮恒成立的情況；若不恒成立，再結(jié)合的條件進行討論，從而得到的取值范圍?！咀兪骄毩?xí)】1．若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（

）A． B． C． D．2．已知集合，，若，則實數(shù)的取值集合是（

）A． B． C． D．探究三：判斷兩個集合是否相等及根據(jù)集合相等求參數(shù)已知集合，若，則的值為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)集合，分，，依次討論兩個集合是否相等，即可?！咀兪骄毩?xí)】1．若集合，，則集合之間的關(guān)系為（

）A．AB B．BAC． D．2．已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．探究四：判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)已知集合．若，且，則滿足條件的C的個數(shù)為（

）A．479 B．480 C．511 D．512思路分析：思路分析：先求出集合A的所有子集，再求出A中含有，B中不含有的元素為5，6，7，8，9，求出對應(yīng)集合的子集，從而可求出滿足條件的集合C的個數(shù)?！咀兪骄毩?xí)】1．已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．82．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則集合B的真子集的個數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8探究五：求集合的子集（真子集）若,則就稱是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為（）A．15 B．16 C．32 D．256思路分析：思路分析：按具有伙伴關(guān)系的集合中的元素的性質(zhì)依次寫出來再統(tǒng)計即可?！咀兪骄毩?xí)】1．若，則，就稱是和美集合，集合的所有非空子集中是和美集合的個數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則滿足的集合C的個數(shù)為（）A．4 B．7 C．8 D．15一、單選題1．已知集合，，，則集合P的真子集的個數(shù)是（

）A．4 B．64 C．15 D．632．已知集合，，非空集合滿足：，，則符合條件的集合的個數(shù)為（

）A． B． C． D．3．已知集合，，，則集合，，的關(guān)系為（

）A． B． C． D．，4．已知集合菱形，正方形，則有（

）A． B． C． D．5．設(shè)集合，集合，若集合是集合的真子集，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．①，②，③，④，其中正確的個數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．47．設(shè)集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，則實數(shù)x的值組成的集合為（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}8．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x?A}，則下列關(guān)于集合A與B的關(guān)系正確的是（

）A．A?B B．ABC．BA D．A∈B二、多選題9．下列表述正確的是（

）．A． B．C． D．10．設(shè)，．若，則實數(shù)的值可以為（

）A．1 B．2 C．0 D．11．下列說法正確的是（

）A．由所有實數(shù)組成集合，由立德中學(xué)某班會運動的所有學(xué)生組成的集合.均不存在.B．，由5個2組成的集合.則C．，F(xiàn)E，則可能有4個.D．，用列舉法表示集合E為.12．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B．C． D．集合的真子集個數(shù)為8三、填空題13．已知，.若，則______.14．已知集合M滿足，則滿足條件的集合有________個.15．設(shè)均為實數(shù)，若集合的所有非空真子集的元素之和為，則__________16．下列說法中，正確的有________（1）空集是任何集合的真子集（2）若，，則（3）任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集（4）若不屬于的元素一定不屬于，則四、解答題17．已知集合．（1）若，且中至少有一個偶數(shù)，則這樣的集合有多少個？（2）若，且，求實數(shù)的取值集合．18．設(shè)集合，．(1)當時，求A的非空真子集個數(shù)；(2)當時，求m的取值范圍．19．已知集合.(1)判斷是否屬于集合A；(2)若正整數(shù)能表示為某個整數(shù)的平方，，證明：；(3)若集合，證明：.20．已知.(1)若是的子集，求實數(shù)的值；(2)若是的子集，求實數(shù)的取值范圍.?？碱}型02確定集合間的關(guān)系子集如果集合A的元素都是集合B的元素，那么稱集合A為集合B的子集，記為A?B。真子集如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A為集合B的真子集。空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。常用結(jié)論：含n個元素的集合的子集個數(shù)為2?，真子集個數(shù)為2n-1，非空子集個數(shù)為2n-1，非空真子集個數(shù)為2n-2?？挤ㄒ唬号袛嗉祥g的關(guān)系1.列舉觀察法：當集合中元素較少時，可分別列出兩個集合中的全部元素，根據(jù)定義，通過比較兩個集合中的元素即可判斷兩集合之間的關(guān)系.2.元素特征法：當兩集合的代表元素一樣（集合屬性相同，同為數(shù)集、同為點集或同為其他集合）時，可利用集合元素的特征判斷關(guān)系.一般地，設(shè)A={x|p(x)}，B={x|q(x)}.(1)若p(x)?q(x)，則A?B；(2)若q(x)?p(x)，則B?A；(3)若p(x)?q(x)，則A=B；(4)若p(x)不能推出q(x)，且q(x)不能推出p(x)，則集合A，B無包含關(guān)系。3.數(shù)形結(jié)合法利用數(shù)軸或Venn圖.不等式解集之間的關(guān)系，適合用數(shù)軸法.若A?B和A真包含于B同時成立，則A真包含于B更能準確表達集合A，B之間的關(guān)系?？挤ǘ捍_定集合的子集1.列舉法：當一個集合的元素個數(shù)較少時，可列出其全部子集.用列舉法確定集合的子集時，要注意(1)合理分類，按照子集所含元素的個數(shù)依次寫出，一般按元素從少到多的順序逐個寫出滿足條件的集合；(2)注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身.2.公式法：已知集合中的元素有n(n∈N)個，那么這個集合的子集有2?個，它的真子集有(2?-1)個。探究一：判斷兩個集合的包含關(guān)系給出下列關(guān)系式：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4思路分析：思路分析：①空集中不含任何元素，由此可判斷①；②是整數(shù)，故可判斷②正確；③通過解方程，可得出，故可判斷③；④根據(jù)為正整數(shù)集可判斷④；⑤通過解方程，得，從而可判斷⑤.【解析】①，故①錯誤；②是整數(shù)，所以，故②正確；③由，得或，所以，所以正確；④為正整數(shù)集，所以錯誤；⑤由，得，所以，所以錯誤.所以正確的個數(shù)有2個.故選：B.答案：B【變式練習(xí)】1．已知集合則的關(guān)系為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：因為，，所以.故選：C．2．已知集合，，，則A，B，C之間的關(guān)系是（

）A．A=BC B．AB=CC．ABC D．BC=A答案：B【解析】解：集合，，，集合，，，集合，，，時，表示被6除余1的數(shù)；時，表示被3除余1的數(shù)；時，表示被3除余1的數(shù)；所以，故選：B．探究二：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)已知，，若且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．或思路分析：思路分析：集合A的的取值范圍是確定的，集合B中，二次函數(shù)開口向上，要先考慮恒成立的情況；若不恒成立，再結(jié)合的條件進行討論，從而得到的取值范圍?！窘馕觥考螦中，由得，當時，，（舍）；當時，，，所以集合；集合B中，若，，則，符合要求；若，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸為，若，則，，綜上可得：故選：B答案：B【變式練習(xí)】1．若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】當時，即，時成立；當時，滿足，解得；綜上所述：.故選：C.2．已知集合，，若，則實數(shù)的取值集合是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題得，因為，所以當時，當時，；當時，；故實數(shù)的取值集合是.故選：C探究三：判斷兩個集合是否相等及根據(jù)集合相等求參數(shù)已知集合，若，則的值為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)集合，分，，依次討論兩個集合是否相等，即可。【解析】由題意，集合，即（1）若，則，此時，成立；故（2）若，則，此時兩個集合不可能相等，不成立；（3）若，即或當時，，此時兩個集合不可能相等，不成立；當時，，集合A中有兩個相同的元素，不成立綜上：，，故選：A答案：A【變式練習(xí)】1．若集合，，則集合之間的關(guān)系為（

）A．AB B．BAC． D．答案：C【解析】設(shè)任意，則，當時，所以；當時，，所以．所以又設(shè)任意，則因為，，且表示所有的偶數(shù)，表示所有的奇數(shù)．所以與都表示所有的奇數(shù)．所以．所以故．故選：C.2．已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．答案：C【解析】因為，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C.探究四：判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)已知集合．若，且，則滿足條件的C的個數(shù)為（

）A．479 B．480 C．511 D．512思路分析：思路分析：先求出集合A的所有子集，再求出A中含有，B中不含有的元素為5，6，7，8，9，求出對應(yīng)集合的子集，從而可求出滿足條件的集合C的個數(shù)?！窘馕觥恳驗椋?，因為，，，所以此條件的集合C有，因為A中含有，B中不含有的元素為5，6，7，8，9，而的非空子集有，所以滿足，且的集合的個數(shù)有,故選：B答案：B【變式練習(xí)】1．已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8答案：C【解析】因為，,且所以集合C的個數(shù)為故選：C2．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則集合B的真子集的個數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8答案：C【解析】由題得B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}.所以集合的真子集如下：∴集合的真子集個數(shù)7個.故選：C探究五：求集合的子集（真子集）若,則就稱是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為（）A．15 B．16 C．32 D．256思路分析：思路分析：按具有伙伴關(guān)系的集合中的元素的性質(zhì)依次寫出來再統(tǒng)計即可?！窘馕觥烤哂谢锇殛P(guān)系的集合中有1個元素時：、共2個具有伙伴關(guān)系的集合中有2個元素時：、、共3個具有伙伴關(guān)系的集合中有3個元素時：、、共4個具有伙伴關(guān)系的集合中有4個元素時：、、共3個具有伙伴關(guān)系的集合中有5個元素時：、共2個具有伙伴關(guān)系的集合中有6個元素時：共1個則共有個故選A答案：A【變式練習(xí)】1．若，則，就稱是和美集合，集合的所有非空子集中是和美集合的個數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】先考慮含一個元素的子集，并且其倒數(shù)是其本身，有再考慮含有兩個元素的和美集合，有，含有三個元素的子集且為和美集合的是含有四個元素的子集且為和美集合的是.2．已知集合，，則滿足的集合C的個數(shù)為（）A．4 B．7 C．8 D．15答案：B【解析】解：由題知，,所以滿足的集合有，故集合C的個數(shù)為7個.故選：B一、單選題1．已知集合，，，則集合P的真子集的個數(shù)是（

）A．4 B．64 C．15 D．63答案：D【解析】由已知得，所以集合P的真子集的個數(shù)為．故選：D2．已知集合，，非空集合滿足：，，則符合條件的集合的個數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意可知，滿足條件的非空集合有：、、，共個.故選：A.3．已知集合，，，則集合，，的關(guān)系為（

）A． B． C． D．，答案：B【解析】因為，，，其中均表示全體整數(shù)，表示全體奇數(shù)，所以．故選：B．4．已知集合菱形，正方形，則有（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因為正方形是特殊的菱形，集合菱形，正方形，所以，故選：C5．設(shè)集合，集合，若集合是集合的真子集，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】解：因為集合，集合，且，所以；故選：A6．①，②，③，④，其中正確的個數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】正確；正確；不正確，左邊是數(shù)集，右邊是點集；不正確，左邊是點集，右邊是點集，但點不相同.故正確的有①②，共2個.故選：B.7．設(shè)集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，則實數(shù)x的值組成的集合為（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}答案：C【解析】解：因為，所以，解得或，的取值集合為，故選：C8．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x?A}，則下列關(guān)于集合A與B的關(guān)系正確的是（

）A．A?B B．ABC．BA D．A∈B答案：D【解析】因為x?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0，1}}，則集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故選：D.二、多選題9．下列表述正確的是（

）．A． B．C． D．答案：BC【解析】A中，兩個集合之間是包含關(guān)系，故A錯誤；B中，，是相等的集合，所以，故B正確；C中，空集是任何集合的子集，故C正確；D中，空集與一個非空集合不相等，故D錯誤．故選：BC．10．設(shè)，．若，則實數(shù)的值可以為（

）A．1 B．2 C．0 D．答案：ACD【解析】由得：,當時，,符合題意；當時，，若，則；若，則；由于B中至多有一個元素，故,所以實數(shù)的值可以為，故選：ACD11．下列說法正確的是（

）A．由所有實數(shù)組成集合，由立德中學(xué)某班會運動的所有學(xué)生組成的集合.均不存在.B．，由5個2組成的集合.則C．，F(xiàn)E，則可能有4個.D．，用列舉法表示集合E為.答案：BC【解析】對A：由所有實數(shù)組成的集合是空集，由立德中學(xué)某班會運動的所有學(xué)生組成的集合是，都存在，故錯誤；對：，由5個2組成的集合，根據(jù)集合中元素的互異性，故，故正確；對：，因為FE，故為含有且是的子集，共有4個，故正確；對：，故錯誤.故選：.12．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B．C． D．集合的真子集個數(shù)為8答案：AC【解析】因為全集，集合，，所以，，，因此選項A、C正確，選項B不正確，因為集合的元素共有3個，所以它的真子集個數(shù)為：，因此選項D不正確，故選：AC。三、填空題13．已知，.若，則______.答案：【解析】因為所以解之得：故答案為：14．已知集合M滿足，則滿足條件的集合有________個.答案：15【解析】因為，所以中含有元素1，2，且M是真子集，所以M可以是集合與集合的子集的并集，且不能為，所以M共有個，故答案為：15.15．設(shè)均為實數(shù)，若集合的所有非空真子集的元素之和為，則__________答案：【解析】集合的所有非空真子集為：、、、、、，由題意可得，解得.故答案為：.16．下列說法中，正確的有________（1）空集是任何集合的真子集（2）若，，則（3）任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集（4）若不屬于的元素一定不屬于，則答案：（2）（4）【解析】對于（1）：空集是任何集合的子集