2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第10講平行四邊形的判定定理核心考點(diǎn)講與練含解析新版浙教版

Page41第10講平行四邊形的判定定理（核心考點(diǎn)講與練）一．平行四邊形的判定（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對(duì)角線(xiàn)相互平分的四邊形是平行四邊形．符號(hào)語(yǔ)言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．二．平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)角線(xiàn)相互平分及它的判定，是我們證明直線(xiàn)的平行、線(xiàn)段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線(xiàn)平行和兩線(xiàn)段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線(xiàn)、線(xiàn)段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．運(yùn)用定義，也可以判定某個(gè)圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要遺忘平行四邊形的定義，有時(shí)用定義判定比用其他判定定理還簡(jiǎn)潔．凡是可以用平行四邊形學(xué)問(wèn)證明的問(wèn)題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)干脆運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問(wèn)題．一．平行四邊形的判定（共6小題）1．（滿(mǎn)洲里市期末）四邊形ABCD中，AD∥BC．要判別四邊形ABCD是平行四邊形，還需滿(mǎn)足條件（）A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠A＝180° C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D【分析】利用平行四邊形的五種判定定理可得出答案；【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，∴A．∠A+∠C＝180°，可得∠B＝∠C，這樣的四邊形是等腰梯形，不是平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．∠A+∠B從題目已知條件即可得出，無(wú)法證明四邊形為平行四邊形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．同理A，這樣的四邊形是等腰梯形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．∠B＝∠D，可得∠A+∠D＝180°，則BA∥CD，故四邊形ABCD是平行四邊形，此選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定定理，得出另一對(duì)邊平行是解題關(guān)鍵．2．（臺(tái)兒莊區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】由平行四邊形的判定定理對(duì)邊對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C符合題意；D、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（蚌埠月考）八年級(jí)（1）班的一個(gè)互助學(xué)習(xí)小組組長(zhǎng)收集并整理了組員們探討如下問(wèn)題時(shí)所需的條件．如圖所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AD上．求證：四邊形AECF是平行四邊形．條件分別是①BE＝DF；②∠B＝∠D；③∠BAE＝∠DCF；④四邊形ABCD是平行四邊形．其中所填的條件符合題目要求的是（）A．①② B．①②③ C．①④ D．④【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD＝BC，AD∥BC，再由BE＝DF得AF＝EC，且AF∥CE，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【解答】解：當(dāng)添加①④時(shí)，可得四邊形AECF是平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，∴AF＝EC，且AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，嫻熟運(yùn)用平行四邊形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．4．（海淀區(qū)校級(jí)期中）四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，能推斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AO＝CO，BO＝DO【分析】依據(jù)平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷即可得到結(jié)論．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD＝BC，不符合“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定，∴四邊形ABCD不愿定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，是兩組臨角相等，不符合“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”的判定，∴四邊形ABCD不愿定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故選項(xiàng)B，不符合題意；C、∵AB＝AD，CB＝CD，是兩組臨邊相等，不符合“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”的判定，∴四邊形ABCD不是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭平行四邊形的判定方法．5．（商河縣期末）在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝DC C．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB D．AO＝CO，BO＝DO【分析】由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、由AD∥BC，AB＝DC，無(wú)法推斷四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B符合題意；C、∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠DAB+∠ADC＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠ABC＝∠ADC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭基本學(xué)問(wèn)，屬于中考?？碱}型．6．（饒平縣校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO【分析】分別利用平行四邊形的判定方法和全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行推斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵AB∥DC，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD，不能判定△AOB≌△COD，∴不能得到∠OAB＝∠OCD，∴不能得到AB∥CD，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝DC，又∵AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，正確把握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．二．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共9小題）7．（越城區(qū)期末）下列四個(gè)條件中，能判定四邊形是平行四邊形的條件是（）A．一組對(duì)角相等 B．一組對(duì)邊相等 C．對(duì)角線(xiàn)相互平分 D．對(duì)角線(xiàn)相互垂直【分析】由平行四邊形的判定定理即可求解．【解答】解：能判定四邊形是平行四邊形的條件是：對(duì)角線(xiàn)相互平分，理由如下：對(duì)角線(xiàn)相互平分的四邊形是平行四邊形，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，熟記“對(duì)角線(xiàn)相互平分的四邊形為平行四邊形”是解題的關(guān)鍵．8．（麗水期末）如圖，在四邊形ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA＝OC，OB＝OD，下列結(jié)論不愿定成立的是（）A．AB∥DC B．AD＝BC C．∠ABC＝∠ADC D．∠DBC＝∠BAC【分析】依據(jù)OA＝OC，OB＝OD先推斷四邊形ABCD是平行四邊形，再依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可進(jìn)行推斷．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，故A，B，C選項(xiàng)成立；∵AD∥CB，∴∠DBC＝∠ADB，故D選項(xiàng)不成立．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)OA＝OC，OB＝OD先推斷四邊形ABCD是平行四邊形．9．（杭州期末）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，G、H是對(duì)角線(xiàn)BD上的兩點(diǎn)，且BG＝DH．有下列結(jié)論：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四邊形EGFH是平行四邊形；④EG＝FH．則正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】證△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，則∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再證出四邊形EGFH是平行四邊形，得EG＝FH，故②③④正確，∠FGH不愿定等于90°，故①不正確，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠GBF＝∠HDE，在△GBF和△HDE中，，∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∴∠FGH＝∠EHG，∴GF∥EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∴EG＝FH，故②③④正確，∵∠FGH不愿定等于90°，∴GF⊥BD不正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△GBF≌△HDE是解題的關(guān)鍵．10．（東陽(yáng)市期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，以O(shè)D，CD為鄰邊作平行四邊形DOEC，OE交BC于點(diǎn)F，連結(jié)BE．（1）求證：四邊形BECO是平行四邊形．（2）若OB⊥AC，OF＝4，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形ABCD得OB＝OD，由平行四邊形DOEC得EC∥OD，EC＝OD，進(jìn)而證明OB∥EC，OB＝EC，即可得出結(jié)論；（2）先證明平行四邊形ABCD是菱形，再證明平行四邊形BECO是矩形，求得BC＝8，即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∵四邊形DOEC為平行四邊形，∴OD∥EC，OD＝EC，∴EC∥OB，EC＝OB，∴四邊形BECO為平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，OB⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形，由（1）得：四邊形BECO為平行四邊形，∴EF＝OF＝4，∵OB⊥AC，∴∠BOC＝90°，∴平行四邊形BECO為矩形，∴BC＝OE＝2OF，∵OF＝4，∴BC＝8，∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝4BC＝32．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形BECO為矩形是解題的關(guān)鍵．11．（椒江區(qū)期末）如圖，在△ABF中，∠A＝90°，AB＝2，AF＝3，點(diǎn)E為是邊BF的中點(diǎn)，點(diǎn)D是邊AF上一點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至C，使得DE＝CE．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若CD⊥BF，求CD長(zhǎng)．【分析】（1）依據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義得到BE＝EF，由DE＝CE，得到四邊形BDFC是平行四邊形；（2）依據(jù)菱形的判定定理得到四邊形BDFC是菱形，設(shè)BD＝DF＝x，依據(jù)勾股定理得到BF＝，依據(jù)菱形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)E為是邊BF的中點(diǎn)，∴BE＝EF，∵DE＝CE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；（2）解：∵CD⊥BF，四邊形BDFC是平行四邊形，∴四邊形BDFC是菱形，設(shè)BD＝DF＝x，在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，∴22+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∵BF＝＝＝，∵S菱形BDFC＝DF?AB＝BF?CD，∴CD＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證得四邊形BDFC是菱形是解題的關(guān)鍵．12．（下城區(qū)期末）在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）證出AB∥CD，再由AD∥BC，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的面積得BC×AE＝CD×AF，再由AF＝2AE，得BC＝2CD＝6，即可求解．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180°，∴AB∥CD，又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，∴平行四邊形的面積＝BC×AE＝CD×AF，∵AF＝2AE，∴BC＝2CD＝6，∴CD＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，證出AB∥CD是解題的關(guān)鍵．13．（拱墅區(qū)期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，連接AE，AF，CE，CF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，OB＝OD，再證OE＝OF，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得AC＝4，則OA＝AC＝2，再由勾股定理求出OB＝，然后由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝4，∴OA＝AC＝2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∵∠BAO＝90°，E是OB的中點(diǎn)，∴AE＝OB＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的平與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)、勾股定理等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，由勾股定理求出OA、OB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．14．（淮安模擬）如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別為AD，BC的中點(diǎn)，連接GH交BD于點(diǎn)O．求證：EF與GH相互平分．【分析】先證△ABE≌△CDF，得BE＝DF，再證四邊形BHDG是平行四邊形，點(diǎn)OB＝OD，OG＝OH，則OE＝OF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：連接BG、DH，如圖所示：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵G，H分別為AD，BC的中點(diǎn)，∴BH＝BC，GD＝AD，且AB＝CD，∴BH＝GD，且BH∥GD，∴四邊形BHDG是平行四邊形，∴OB＝OD，OG＝OH，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴EF與GH相互平分．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（余杭區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝AC，AD⊥AC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接EF．（1）若ED⊥EF．求證：ED＝EF．（2）在（1）的條件下，若DC的延長(zhǎng)線(xiàn)與FB交于點(diǎn)P，試推斷四邊形ACPE是否為平行四邊形，并證明你的結(jié)論（請(qǐng)補(bǔ)全圖形，再解答）（3）若ED＝EF，ED與EF垂直嗎？若垂直，請(qǐng)賜予證明．【分析】（1）連接CE，證△CEF≌△AED（ASA），依據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得CF＝AD，再證CP是△ABF的中位線(xiàn)，得CP＝AB＝AE即可得出結(jié)論；（3）過(guò)E作EM⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，過(guò)E作EN⊥FC交FC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，證Rt△DME≌Rt△FNE（HL），得∠ADE＝∠CFE，進(jìn)而得出∠DAF＝∠DEF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，連接CE，如圖1所示：∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝EC，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED（ASA），∴ED＝EF；（2）解：四邊形ACPE是平行四邊形，理由如下：連接CE，如圖2所示：由（1）得：△CEF≌△AED，∴CF＝AD，∵AD＝AC，∴AC＝CF，∵DP∥AB，∴CP是△ABF的中位線(xiàn)，∴CP＝AB＝AE，∴四邊形ACPE為平行四邊形；（3）解：若ED＝EF，ED與EF垂直，理由如下：過(guò)E作EM⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，過(guò)E作EN⊥FC交FC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，如圖3所示：則∠MAF＝90°，∵∠NAE＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAE，∴EM＝EN，在Rt△DME與Rt△FNE中，，∴Rt△DME≌Rt△FNE（HL），∴∠ADE＝∠CFE，∵∠DAF+∠ADE＝∠DEF+∠CFE，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠DAF＝90°，∴∠DEF＝90°，∴ED⊥EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；正確的作出幫助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一．選擇題（共4小題）1．（婁星區(qū)模擬）下列結(jié)論中，不愿定成立的是（）A．平行四邊形對(duì)邊平行 B．平行四邊形對(duì)角相等 C．平行四邊形對(duì)角線(xiàn)相互平分 D．平行四邊形對(duì)角線(xiàn)相等【分析】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行逐一推斷即可．【解答】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊平行，對(duì)角相等，對(duì)角線(xiàn)相互平分，但是對(duì)角線(xiàn)不愿定相等，矩形的對(duì)角線(xiàn)相等．所以不愿定成立的是D選項(xiàng)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)．2．（廣饒縣一模）如圖，下列四組條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC【分析】依據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、依據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；B、依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題；C、不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；D、依據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是駕馭平行四邊形的判定定理．3．（杭州期末）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，G、H是對(duì)角線(xiàn)BD上的兩點(diǎn)，且BG＝DH．有下列結(jié)論：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四邊形EGFH是平行四邊形；④EG＝FH．則正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】證△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，則∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再證出四邊形EGFH是平行四邊形，得EG＝FH，故②③④正確，∠FGH不愿定等于90°，故①不正確，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠GBF＝∠HDE，在△GBF和△HDE中，，∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∴∠FGH＝∠EHG，∴GF∥EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∴EG＝FH，故②③④正確，∵∠FGH不愿定等于90°，∴GF⊥BD不正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△GBF≌△HDE是解題的關(guān)鍵．4．（海淀區(qū)校級(jí)期中）四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，能推斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AO＝CO，BO＝DO【分析】依據(jù)平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷即可得到結(jié)論．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD＝BC，不符合“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定，∴四邊形ABCD不愿定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，是兩組臨角相等，不符合“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”的判定，∴四邊形ABCD不愿定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故選項(xiàng)B，不符合題意；C、∵AB＝AD，CB＝CD，是兩組臨邊相等，不符合“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”的判定，∴四邊形ABCD不是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭平行四邊形的判定方法．二．填空題（共4小題）5．（西湖區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．若點(diǎn)A在網(wǎng)格所在的坐標(biāo)平面里的坐標(biāo)為（﹣2，0），若在圖中找出點(diǎn)D，使以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，滿(mǎn)足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，﹣2）或（4，﹣2）或（﹣4，2）．【分析】畫(huà)出圖形，利用平行四邊形的性質(zhì)得出D點(diǎn)位置即可求出答案．【解答】解：∵A的坐標(biāo)為（﹣2，0），∴坐標(biāo)系如圖1所示：當(dāng)CD∥AB，CD＝AB＝2時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣2）；如圖2，四邊形ABDC是平行四邊形，∴D（4，﹣2）；如圖3，四邊形ADBC是平行四邊形，∴D（﹣4，2）．故答案為：（0，﹣2）或（4，﹣2）或（﹣4，2）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，留意不要漏解．6．（江干區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，四位同學(xué)想通過(guò)添加一個(gè)條件，使四邊形AECF成為平行四邊形．他們添加的條件分別是：甲，BE＝DF；乙，AE∥CF；丙，AE＝CF；丁，∠EAF＝∠AFC．添加正確的同學(xué)是甲、乙．【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行推斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，甲，∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即CE＝AF，又∵CE∥AF，∴四邊形AECF成為平行四邊形，故甲正確；乙，∵AF∥CE，AE∥CF，∴四邊形AECF成為平行四邊形，故乙正確；丙，由AE＝CF，AF∥CE，不能得出四邊形AECF是平行四邊形，故丙不正確；丁，由AF∥CE，∠EAF＝∠AFC不能得出四邊形AECF是平行四邊形，故丁不正確；故答案為：甲、乙．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，嫻熟駕馭平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．7．（海淀區(qū)二模）如圖，兩條射線(xiàn)AM∥BN，點(diǎn)C，D分別在射線(xiàn)BN，AM上，只需添加一個(gè)條件，即可證明四邊形ABCD是平行四邊形，這個(gè)條件可以是AD＝BC或AB∥CD（答案不唯一）（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【分析】在四邊形ABCD中，AB＝CD，依據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形與一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求解即可求得答案．【解答】解：在四邊形ABCD中，AB＝CD，∴再加條件AB∥CD或AD＝BC，四邊形ABCD是平行四邊形．故答案為：AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定，嫻熟駕馭平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．8．（余姚市校級(jí)期中）在如圖的網(wǎng)格中，以格點(diǎn)A、B、C、D、E、F中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，你能畫(huà)出平行四邊形的個(gè)數(shù)為3個(gè)．【分析】依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)找出平行四邊形即可得解．【解答】解：如圖所示：圖中平行四邊形有?ABEC，?BDEC，?BEFC共3個(gè)．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，嫻熟駕馭網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）9．（西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在?ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是AD，BC的中點(diǎn)，連接BE，DF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形．（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)可得DE＝BF，即可得結(jié)論；（2）由角平分線(xiàn)的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)可證AB＝AE＝3，即可求解．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∴AD＝2AE＝6，∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝2×（3+6）＝18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，駕馭平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．10．（杭州期中）已知如圖，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】利用兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等（SAS），這一判定定理簡(jiǎn)潔證明△AFD≌△CEB．簡(jiǎn)潔證明AD＝BC且AD∥BC，可依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，理由：∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．在△ADF和△CBE中，，∴△AFD≌△CEB（SAS）；∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，嫻熟駕馭全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．11．（臺(tái)州期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．AD與CB有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．【分析】AD＝BC且AD∥BC，通過(guò)證明△ABD≌△CDB推知AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，由平行線(xiàn)的判定定理推知AD∥BC．【解答】解：AD＝BC且AD∥BC．證明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．在△ABD與△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS）．∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD．∴AD∥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，嫻熟駕馭性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．12．（杭州期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線(xiàn)，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BF，DE．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）連結(jié)BD，若BE＝3，BF＝5，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）由在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，易證得△ABE≌△CDF，即可得BE∥DF，BE＝DF，則可證得四邊形BFDE是平行四邊形；（2）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OE＝OF，OB＝OD，依據(jù)勾股定理得到EF＝4，求得OE＝2．再由勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，BE∥DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，∴OE＝OF，OB＝OD．∴BE⊥AC，BE＝3，BF＝5，∴EF＝4，∴OE＝2．在Rt△OBE中，．∴．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，證得四邊形BFDE是平行四邊形．13．（濱江區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接CE，AF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若E是AD中點(diǎn)，且CE⊥AD，當(dāng)CE＝4，AB＝5時(shí)，求?ABCD的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC，再證AE＝CF，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得DE＝3，則AD＝2DE＝6，再由平行四邊形的面積公式求解即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝BF，∴AD﹣DE＝BC﹣BF，即AE＝CF，且AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝5，∵CE⊥AD，∴∠DEC＝90°，∴DE＝＝＝3，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AD＝2DE＝6，∴?ABCD的面積＝AD×CE＝6×4＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，由勾股定理求出DE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．14．（衢州期末）已知：如圖，E，F(xiàn)是?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，且∠AFD＝∠CEB．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【分析】證△ADF≌△CBE（AAS），得DF＝BE，再證DF∥BE，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAF＝∠BCE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴DF＝BE，又∵∠AFD＝∠CEB，∴DF∥BE，∴四邊形BFDE是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．15．（海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、CD上的兩點(diǎn)，且∠CBF＝∠ADE．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）判定四邊形DEBF是否是平行四邊形？并說(shuō)明理由．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得∠A＝∠C，AD＝BC，再由ASA證明△ADE≌△CBF即可；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得DC∥AB，則DF∥EB，再由全等三角形的性質(zhì)得AE＝CF，得DF＝EB，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD＝BC，在△ADE與△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA）；（2）解：四邊形DEBF是平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴DF∥EB，由（1）得：△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝EB，∴四邊形DEBF是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．16．（鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC恰好平分∠DAB，點(diǎn)H、點(diǎn)F分別在AD、BC上，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AE＝AH＝CG＝CF．（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形．（2）寫(xiě)出△HEA和四邊形EFGH的面積之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）證△BFE≌△DHG（SAS），得EF＝GH，同理△EAH≌△GCF（SAS），得EH＝FG，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AC與GH交于點(diǎn)P，連接PE、PF，證EH∥AP，得△AEH的面積＝△PEH的面積，同理△GCF的面積＝△PFG的面積，由（1）得△EAH的面積＝△GCF的面積，即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB，AD＝BC，∠B＝∠D，∵AE＝AH＝CG＝CF，∴AB+AE＝CD+CG，BC﹣CF＝AD﹣AH，即EB＝GD，BF＝DH，在△BFE和△DHG中，，∴△BFE≌△DHG（SAS），∴EF＝GH，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠EAH＝∠FCG，同理△EAH≌△GCF（SAS），∴EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）解：△AEH的面積＝平行四邊形EFGH的面積，理由如下：如圖，設(shè)AC與GH交于點(diǎn)P，連接PE、PF，∵AH＝AE＝CF＝CG，∠BAD＝∠AEH+∠AHE，AC平分∠DAB，∴∠AEH＝∠AHE＝∠DAC＝∠BAC，∴EH∥AP，∴△AEH的面積＝△PEH的面積，同理可得：△GCF的面積＝△PFG的面積，由（1）得：△EAH≌△GCF，∴△EAH的面積＝△GCF的面積，∴△AEH的面積+△PFG的面積＝2△AEH的面積＝平行四邊形EFGH的面積，∴△AEH的面積＝平行四邊形EFGH的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)以及三角形面積等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題組B實(shí)力提升練一．解答題（共11小題）1．（鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC恰好平分∠DAB，點(diǎn)H、點(diǎn)F分別在AD、BC上，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AE＝AH＝CG＝CF．（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形．（2）寫(xiě)出△HEA和四邊形EFGH的面積之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）證△BFE≌△DHG（SAS），得EF＝GH，同理△EAH≌△GCF（SAS），得EH＝FG，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AC與GH交于點(diǎn)P，連接PE、PF，證EH∥AP，得△AEH的面積＝△PEH的面積，同理△GCF的面積＝△PFG的面積，由（1）得△EAH的面積＝△GCF的面積，即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB，AD＝BC，∠B＝∠D，∵AE＝AH＝CG＝CF，∴AB+AE＝CD+CG，BC﹣CF＝AD﹣AH，即EB＝GD，BF＝DH，在△BFE和△DHG中，，∴△BFE≌△DHG（SAS），∴EF＝GH，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠EAH＝∠FCG，同理△EAH≌△GCF（SAS），∴EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）解：△AEH的面積＝平行四邊形EFGH的面積，理由如下：如圖，設(shè)AC與GH交于點(diǎn)P，連接PE、PF，∵AH＝AE＝CF＝CG，∠BAD＝∠AEH+∠AHE，AC平分∠DAB，∴∠AEH＝∠AHE＝∠DAC＝∠BAC，∴EH∥AP，∴△AEH的面積＝△PEH的面積，同理可得：△GCF的面積＝△PFG的面積，由（1）得：△EAH≌△GCF，∴△EAH的面積＝△GCF的面積，∴△AEH的面積+△PFG的面積＝2△AEH的面積＝平行四邊形EFGH的面積，∴△AEH的面積＝平行四邊形EFGH的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)以及三角形面積等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（滕州市期末）已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線(xiàn)AC上，且AE＝CF．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形．（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，若BD＝12，AE＝EF﹣CF，求EG的長(zhǎng)．【分析】（1）證△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，則∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出結(jié)論；（2）先由平行四邊形的性質(zhì)得出OB＝OD＝6，再證出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位線(xiàn)，然后利用中位線(xiàn)定理可得EG的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝12，∴OB＝OD＝6，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE＝EF﹣CF，∴AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴EG是△ABO的中位線(xiàn)，∴EG＝OB＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線(xiàn)定理等學(xué)問(wèn)點(diǎn)，嫻熟駕馭平行四邊形判定與的性質(zhì)及三角形中位線(xiàn)定理是解題的關(guān)鍵．3．（西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AE，CF分別交CD，AB于點(diǎn)M，N．（1）求證：四邊形CMAN是平行四邊形；（2）已知DE＝4，F(xiàn)N＝3，求△BFN的周長(zhǎng)．【分析】（1）證明AM∥CN，CM∥AN即可解決問(wèn)題．（2）證△DME≌△BNF（AAS），推出DE＝BF＝4，再依據(jù)勾股定理求出BN＝5，解決問(wèn)題即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴四邊形CMAN是平行四邊形；（2）解：∵四邊形CMAN是平行四邊形，∴AN＝CM，∵CD＝AB，∴DM＝BN，∵CD∥AB，∴∠MDE＝∠NBF，在△BNF和△DME中，，∴△DME≌△BNF（AAS），∴BF＝DE＝4，在Rt△BFN中，BN＝＝＝5，∴△BFN的周長(zhǎng)＝FN+BF+BN＝3+4+5＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是靈敏運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．4．（衢州期末）如圖，在?ABCD中，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)O，與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：四邊形AECF是平行四邊形．【分析】證△AOE≌△COF（ASA），得AE＝CF，再由AE∥CF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（永嘉縣校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，F(xiàn)在DE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，DE＝EF，連接CF，CF∥AB．（1）如圖1，求證：四邊形DBCF是平行四邊形；（2）如圖2，若AB＝AC，請(qǐng)干脆寫(xiě)出圖中與線(xiàn)段CF相等的全部線(xiàn)段．【分析】（1）先證△ADE≌△CFE（AAS），得AD＝CF，再證BD＝CF，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴BD＝CF，且CF∥BD，∴四邊形DBCF是平行四邊形；（2）解：與線(xiàn)段CF相等的全部線(xiàn)段為AD、BD、AE、CE；理由如下：由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，∵AB＝AC，∴BD＝AD＝AE＝CE＝CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（柳南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)且BE＝AB，連接CE，BD．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）連接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四邊形BECD的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到CD＝AB，CD∥AE，由AB＝BE得到CD＝BE，依據(jù)平行四邊形的判定即可證得結(jié)論；（2）過(guò)D作DH⊥AE于H，依據(jù)勾股定理得到BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，可求得BH，再由勾股定理求得DH，依據(jù)平行四邊形的面積公式即可求得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AE，∵AB＝BE，∴CD＝BE，CD∥BE，∴四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：過(guò)D作DH⊥AE于H，∵AB＝BD＝4，∴BE＝AB＝4，∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，∴BH＝3，∴DH＝＝＝，∴平行四邊形BECD的面積＝BE?DH＝4×＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在?ABCD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE、CD交于點(diǎn)F，連接AF，BD，CE．（1）求證：四邊形ABDF為平行四邊形．（2）若BE為∠ABC的角平分線(xiàn)，AB＝5，CE＝6，求△AEF的面積．【分析】（1）通過(guò)證明△ABE≌△DFE，即可推出AB平行且相等于FD，即得證；（2）通過(guò)幫助線(xiàn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化得S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，再通過(guò)已知條件算出△ECD面積即為△AEF的面積．【解答】解：（1）證明：由題意得，AB∥CF，∴∠ABE＝∠DFE，又∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS）∴AB＝DF，又∵AB∥DF，∴四邊形ABDF為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；（2）過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線(xiàn)交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EC，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD，∵S△AEF＝；，∴S△AEF＝S△EDF，又∵BE為∠ABC的角平分線(xiàn)，∴∠ABE＝∠EBC，又∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠FED，而∠ABE＝∠DFE，∴∠FED＝∠DFE，∴ED＝FD，由（1）可知AB＝DC＝FD＝5，∴ED＝FD＝DC＝5，又∵S△EFD＝，S△EDC＝，∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，在等腰△EDC中，ED＝CD＝5，EC＝6，∵DH⊥EC，∴EH＝＝＝3，在Rt△EHD中，ED＝5，EH＝3，∴DH＝＝＝4，∴S△ECD＝＝12，∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD＝12，故S△AEF＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的性質(zhì)與判定，嫻熟其性質(zhì)與判定