高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案 空間向量

2013版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案：第七章立體幾何

7.3空間向量

【高考新動(dòng)向】

一、直線的方向向量與直線的向量方程、平面的法向量與平面的向量表示

1、考綱點(diǎn)擊

(1)理解直線的方向向量與平面的法向量；

(2)能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；

(3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)

2、熱點(diǎn)提示

(1)用直線的方向向量和平面的法向量證明線線、線面的平行關(guān)系及垂直關(guān)系是本節(jié)的重點(diǎn)；

(2)多以解答題的形式出現(xiàn)，綜合考查空間想象能力、運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想。

二、空間直角坐標(biāo)系

1、考綱點(diǎn)擊

(1)了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置：

(2)會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式。

2、熱點(diǎn)提示

(1)通過(guò)求點(diǎn)的坐標(biāo)考查空間想象能力；

(2)通過(guò)求兩點(diǎn)距離考查計(jì)算能力；

(3)滲透在空間向量的坐標(biāo)法應(yīng)用中位進(jìn)行考查；

(4)多以選擇、填空的形式考查。

三、空間向量用其運(yùn)算

1、考綱點(diǎn)擊

(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)

表示；

(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；

(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。

2、熱點(diǎn)提示

1、利用向量法證明點(diǎn)共線、線共面、平行、垂直等；

2、數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用是考查熱點(diǎn)；

3、多以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中。

四、立體幾何中的向量方法

1、考綱點(diǎn)擊

（1）理解直線的方向向量與平面的法向量；

（2）能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系：

（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）；

（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在

研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。

2、熱點(diǎn)提示

（1）考查向量法判定線面位置關(guān)系；

（2）利用向量法求空間角與距離；

（3）在解答題中綜合考查空間想象能力，計(jì)算能力及數(shù)形結(jié)合思想。

【考綱全景透析】

一、直線的方向向量與直線的向量方程、平面的法向量與平面的向量表示

1、直線的方向向量與直線的參數(shù)方程

空間內(nèi)線的向材參數(shù)

圖形方向向情

方程

AP=la（t為參數(shù)）

a//Ali.A

叫ft：線IOP=OA^-taU為參數(shù)）

南方向

向情op（1DOA+lOB

Oa為參數(shù)）

2、用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行

設(shè)直線lx和A的方向向/]〃“2（或/】與k幣i合）

fit分別為幼和a0。//5

已知兩個(gè)不共線向垃/〃a（或/在a內(nèi)）㈡存在

必與平面a共面.一條直兩個(gè)實(shí)數(shù)

線1的一個(gè)方向向址為：使+_y心

點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)㈡存

在一對(duì)實(shí)數(shù)八小使向量

如果A、B、C三點(diǎn)不共線

表達(dá)式A”。.rA3+

yA(,成立

已知兩個(gè)不共線的向量a〃似或。與P重合)=￡

vi.vz與平面a共面〃S且二〃P

3、用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角

設(shè)直線4和4所成的角為。，方向向量分別為匕,修，則有4o匕,匕，cos0=|cos<v,,v2>|?

4、平面的法向量與平面的向量表示

(1)平面的法向量

已知平面a,如果向量〃的基線與平面a垂直，則向量”叫做平面a的法向量或說(shuō)向量〃與平面a正

交。

(2)平面的向量表示

設(shè)A是空間任一點(diǎn)，〃為空間內(nèi)任一非零向量，任取兩點(diǎn)Mi、M：和A:點(diǎn)不共線)，且

A應(yīng)?,；=().,\\!?,；=0,則適合條件AA)?，；=0①的點(diǎn)M都在平面AMIMZ內(nèi)。①式通常

稱(chēng)為一個(gè)平面的向量表示式。

(3)平面的平行或垂直

設(shè)”；?孫分別是平面a,B的法向量，

a〃B或a與B重合=Mi/in,

aJ_S?。。

(4)三垂線定理與逆定理

①三垂線定理

如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。

②三垂線定理的逆定理

如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。

方法提示：

平面的法向量的求法

設(shè)出平面的一個(gè)法向量；—(/?1'，：)，利用其與該平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量垂直，即數(shù)量積為0,列

出方程組，兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，此時(shí)給其中一個(gè)變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一個(gè)非零解，即得到

這個(gè)法向量的坐標(biāo)。注意，賦值不同得到法向量的坐標(biāo)也不同，法向量的坐標(biāo)不唯一。

二、空間直角坐標(biāo)系

1、空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

(1)空間直角坐標(biāo)系：以空間一點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：X軸，y軸，z軸。這時(shí)建

立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz,其中點(diǎn)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。X軸，y軸，z軸統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸。由坐標(biāo)軸確定的平面

叫做坐標(biāo)平面；

(2)右手直角坐標(biāo)系的含義是：當(dāng)右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸方向時(shí)，中指一定指向z

軸的正方向；

(3)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)為有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，記作M(x,y,z),其中x叫做M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)

M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。

2、空間兩點(diǎn)間的距離公式

222

設(shè)A(x1(yi,zi),B(x2,y2>z2),貝AB\=y1(xl-x2)+(yt-y2)+(z,-z2)

注：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)滿(mǎn)足x、y2+z2=l,則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以原點(diǎn)為球心，

以1為半徑的球面。

三、空間向量及其運(yùn)算

1、空間向量的概念及運(yùn)算

空間向量的概念及運(yùn)算同平面向量基本相同。加減運(yùn)算遵循三角形或平行四邊形法則；數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)

量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算相同；坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類(lèi)似，僅多出了一個(gè)

豎坐標(biāo)。

2、空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b^O),a〃匕的充要條件是存在實(shí)數(shù)入，使得a=

xb；

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,。不共線，那么向量c與向量a,b共面的充要條件是存在唯

一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使。=工〃+了江

注：若a與〃確定平面為a,則表示c的有向線段與a的關(guān)系是可能與a平行，也可能在a內(nèi)。

(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,。不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)

組｛x,y,z｝,使得p=xa+y8+zc。其中，｛。也c｝叫做空間的一個(gè)基底。

3、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

(1)數(shù)量積及相關(guān)概念

①兩向量的夾角

己知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)0,作04=a,06=匕，則NA0B叫做向量a與人的夾角，

記作,6>,其范圍是0W<a,b>Wn,若,6>=口/2,則稱(chēng)。與?；ハ啻怪?記為a±b.

②兩向量的數(shù)量積

已知空間兩個(gè)非零向量a,b,則MMcos<a，》叫做a,b的數(shù)量積，記作。?力，即

a?Z?=pj||z?|cos<a,b>

(2)數(shù)量積的運(yùn)算律

①結(jié)合落2七食儲(chǔ)?)

②交換律8=5

③分配律：a?(b+c)=a?a?c.

四、立體幾何中的向量方法

1、直線的方向向量與平面的法向量的確定

(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量；

(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)4,〃是平面a內(nèi)兩不共線向量，〃為平面a的法向量，則

na=0

求法向量的方程組為4?

nb-0

注：所列方程組中有三個(gè)變量，但只有兩個(gè)方程，如何求法向量？(給其中一個(gè)變量恰當(dāng)賦值，求出

該方程組的一組非零解，即可作為法向量的坐標(biāo)。)

2、空間向量與空間角的關(guān)系

0

(1)設(shè)異面直線4,4的方向向量分別為犯,g,則4與4所成的角滿(mǎn)足cos0=\cos<m],m2>|；

(2)設(shè)直線/的方向向量和平面a的法向量分別為加，〃，則直線/與平面a所成角0滿(mǎn)足sinG

|cos<w,n>\;

(3)求二面角的大小

①如圖①，AB,CD是二面角a-/-B的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小0=<A8,CD>

②如圖②，方I,而分別是二面角a-/-B的兩個(gè)半平面a,B的法向量，則二面角的大小。滿(mǎn)足cos

布方減-cos〈氤定>

0=cos<

3、點(diǎn)面距的求法

d=AB?n

如圖，設(shè)AB為平面a的一條斜線段,n為平面a的法向量,則B到平面a的距離n

【熱點(diǎn)難點(diǎn)全析】

一、直線的方向向量與直線的向量方程、平面的法向量與平面的向量表示

(-)用向量法證明平行、垂直

※相關(guān)鏈接※

1.用向量證明線面平行的方法有：

(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；

(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；

(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.

2.用向量法證垂直問(wèn)題

(1)證明線線垂直，只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為0;

(2)證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為

證明線線垂直；

(3)證明面面垂直，只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為0,或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線

面垂直.

3.利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行和垂

直.

（1）設(shè)直線/的方向向量為%=（4，々,。1）直線’的方向向量為4=（生為2，。2）則

/"/go%///0（4舌，0）=4（4,62,。2）；

（2）設(shè)直線1的方向向量為%=平面a的法向量為n=（4也,c\）則

L7a。/J_〃=axa2+bxb2+c,c2=0;

/J_a=u/n=(%，4，C1)=k(a2,b2,c2)(ke/?).

(3)設(shè)平面a的法向量為n[=(qcj平面B的法向量化=(外,4,。2)則

aII^<=>th〃/Q(5?仇?q)。"?q)(A€R):a_L^=>?i+仇加+ac-0.

※例題解析※

K例》如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC_L平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中，ZB=Z

C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.

⑴求證:CM〃平面PAD;

（2）求證:平面PABJ_平面PAD.

思路解析：題目中存在從點(diǎn)C出發(fā)的三條兩兩垂直的直線，故可建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)

運(yùn)算證明線面平行,線線垂直,面面垂直.

解答：以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的

???PC_L平面ABCD,

ZPBC為PB與平面ABCD所成的角,

，NPBC=30°.

；PC=2,，BC=26,PB=4.

，D(0,l,0),B(260,0),

A(2V3,4,0),P(0,0,2),M(——,0,-),

22

DP=(0,-l,2),DA=(2百,3,0),CM=(當(dāng)，當(dāng)，

22

DP?，；=()?

(1)令，；=(]???：)為平面PAD的一個(gè)法向量，則=

1

工=5”

j—y+2w=O?:

即(2岳+3y=O?卜=FC

令y=2,得；=(_"?2.D.

Vn?CM=-V3Xy4-2XO4-lX-1-=O.

；.7_1加.又CMC平面PAD.

.'.CM〃平面PAD.

⑵取AP的中點(diǎn)E,則E(—?2.1)?HE(-73.2.1).

PH=AIi.：.HELPA.

又，；B電?DA=(-V3.2.1)

?(273.3.0)=0.

BE±DA.：.HE±DA.又PAflDA=A.

.,.BE_L平面PAD.

又TBEU平面PAB.

平面PAB_L平面PAI).

(二)異面直線所成的角

※相關(guān)鏈接※

高考中對(duì)異面直線所成的角的考查,一般出現(xiàn)在綜合題的某一步,一般步驟為：

(1)平移：要充分挖掘圖形的性質(zhì)，尋找平行關(guān)系,如利用“中點(diǎn)”特征等.

(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

(4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成的角0的取值范圍是0°<0^90°,所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的

補(bǔ)角作為異面直線所成的角.

若用向量法，則轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角.

※例題解析※

1例》如圖，矩形/靦和梯形麻尸C所在平面互相垂直，BE//CF,BCLCF,AD=g,E行2,B及3,

華4.

(I)求證："平面DCE；

(H)當(dāng)4?的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角/-￡尸七的大小為60°.

解析：(I)證明：在△%中，BCLCF,BC=AF6B拄3,二EC=?四,

:在中，C戶(hù)=后戶(hù)+密,J.EFLCE'...........3分

由已知條件知，%_L平面EFCB,ADClfiP,

又DC與星相交于C,............................5分

,:阮1平面仇召...............6分

(II)如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB,)和切分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

C-xyz,7分

設(shè)四=a(a>0),則C(0,0,0),4(6,0,a),8(百，0,0),￡(JL3,0),F(0,4,0).

從而EF=(-73,1,0),AE=(0,3,—a),............9分

設(shè)平面46F的法向量為幾=(x,y,z),由七7九〃=0,AE?拉=0得，

—6x+y=0而,R36

?,取產(chǎn)1,則丁=。3*=----，

3y-〃z=0a

即〃=(1,6,空)，....................11分

a

不妨設(shè)平面EFCB的法向量為BA=(0,0,6/),

n-BA3y/3a_1

由條件，得|cos<〃,BA>|=

\n\\BA\ad4/+272

解得a=2.所以當(dāng)AB=2時(shí)，二面角力-跖-C的大小為60°.

22

(三)利用向量法解決開(kāi)放性問(wèn)題

※相關(guān)鏈接※

1.開(kāi)放性問(wèn)題是近幾年高考的一種常見(jiàn)題型，這類(lèi)問(wèn)題具有一定的思維深度，用向量法較容易解決.

2.對(duì)于探索性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若有

解且滿(mǎn)足題意則存在，若有解但不滿(mǎn)足題意或無(wú)解則不存在.

※例題解析※

K例1如圖，已知正方形0BCD所在平面與等腰直角三角形A0I)所在平面互相垂直，0A=0D=4,點(diǎn)E、

F分別為CD、0A的中點(diǎn).

⑴求證：DF〃平面AEB；

(2)線段AD上是否存在一點(diǎn)M,使BM與平面AEB所成角的正弦值為逅？若存在，請(qǐng)求出四的值;

18MA

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路解析：第(D問(wèn)用傳統(tǒng)方法證明，即利用中位線定理在平面AEB內(nèi)找一條直線與DF平行；第(2)

問(wèn)用向量法解答比較容易入手.

解答：⑴如圖，取AB中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG；

VFG//OB,

，F(xiàn)G〃DE,

又FG=』OB,I

DE=-OB,

22

；.FG=DE,

...四邊形EDFG為平行四邊形,

；.DF〃EG,

又EGu平面AEB,DFtZ平面AEB,

；.DF〃平面AEB.

(2)依題意知平面OBCD_L平面AOD,OB±OD,

；.OB_L平面AOD,得OB_LOA,

又AOJ_OD,0B10D.

如圖，以0為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

VAO=OD=4,可得A(0,4,0)、E(4,0,2)、B(0,0,4),

AE=(4,-4,2),AB=(0,-4,4).

設(shè)平面AEB的一個(gè)法向量為n=(1,b,c),

,n-AE=O_f2-2b+c=0

由《得z《

n-AB=Ol-b+c=O

解得b=2,c=2,

n=(l,2,2).

設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)M(t,4-t,0),

其中0WtW4,則BM=(t,4-t,-4).

NB-t

cos〈〃.BM〉=-----*---M--=------,

|n|.|BM|3X4+(4一萬(wàn)+16

________22______

3X72/2-8/+32*

依題意：|cos〈萬(wàn).而5〉|=媒?

lo

即——'/=旦.

3X5/27一&+3218

可得t2+2t-8=0,解得t=2或t=-4(舍去).

所以AD上存在一點(diǎn)M(2,2,0),它是AD的中點(diǎn),

所以需4

二、空間直角坐標(biāo)系

(一)求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)

※相關(guān)鏈接※

1、通過(guò)分析幾何體的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，可以方便的寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，“恰當(dāng)”的原則是：①充

分利用幾何體的垂直關(guān)系；②盡可能的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上。

注：不同的建系方法，求出的點(diǎn)的坐標(biāo)也不同。

2、求空間點(diǎn)P坐標(biāo)的方法

方法一：(1)過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面yOz,這個(gè)平面與x軸的交點(diǎn)記為《，它在x軸上的

坐標(biāo)為X,這個(gè)數(shù)x叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面xOz,這個(gè)平面與y軸的交點(diǎn)記為匕，它在y軸上的坐標(biāo)為y,

這個(gè)數(shù)y叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo);

(3)過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)平面平行于坐標(biāo)平面xOy,這個(gè)平面與z軸的交點(diǎn)記為，，它在z軸上的坐標(biāo)為z,

這個(gè)數(shù)z叫做點(diǎn)P的豎坐標(biāo)。顯然x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)形如(x,0,0),x0y平面上點(diǎn)的坐標(biāo)形如(x,y,0).

方法二：從點(diǎn)P向三個(gè)坐標(biāo)平面作垂線，所得點(diǎn)P到三個(gè)平面的距離等于點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的絕對(duì)值，

進(jìn)而可求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

※例題解析※

K例?己知正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為2,M為AC中點(diǎn)，N為AB1中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出

M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

思路解析：利用正方體的共頂點(diǎn)的三棱兩兩垂直建系，然后用求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的方法來(lái)求。

解答：如圖，

AY____

以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA1分別為x,y,z軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系。從M點(diǎn)分別向平面yAz,平面xAz,

平面xAy作垂線。?.?正方體的棱長(zhǎng)為2,.?小點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,2).同理，N點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,1).

(-)空間中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

※相關(guān)鏈接※

1、常見(jiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律

在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x,y,z),則點(diǎn)P

(1)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Qx,-y,-z);

(2)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(x,-y,-z);

(3)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(-x,y,-z);

(4)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(-x,-y,z);

(5)關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(x,y,-z);

(6)關(guān)于yOz坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(-x,y,z);

(7)關(guān)于zOx坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(x,-y,z).

2、中點(diǎn)坐標(biāo)公式

若A(xi,y,.Z1),B(X2,y2,z。，則線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(土衛(wèi).，上土&，紅衛(wèi))

222

3、利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式也可求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。

※例題解析※

K例』已知矩形ABCD中，A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)

思路解析：AC的中點(diǎn)即為BD中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求

7

解答：?.?矩形的對(duì)角線互相平分，，AC的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn)。由已知，AC中點(diǎn)M為(一，4,-1)?

2

1z+27y—5z+1

設(shè)D(x,y,z),則2—2'2'2一?，x=5,y=13,z=-3.；.D(5,13,-3).

(三)空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

K例》已知直三棱柱ABC-ABG中，ZBAC=90o,AB=AC=AA,=2,M為BG的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，求|MN|

思路解析：建立空間直角坐標(biāo)系—確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)—求|MN|。

解答：如圖，

以A為原點(diǎn)，AB,AC,AA1為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0),C)(0,

222

2,2),A.(0,0,2),B,(2,0,2),ANCl,0,2),M(l,1,1)。|MN|=^(l-l)+(0-1)+(2-1)=72o

注：利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式，可以求兩點(diǎn)間的距離或某線段的長(zhǎng)，只要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通

過(guò)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)運(yùn)算即可解決。

三、空間向量及其運(yùn)算

(-)空間向量的線性運(yùn)算

※相關(guān)鏈接※

用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形?？蓮囊韵陆嵌热胧帧?/p>

(1)要有基向量意識(shí)，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來(lái)；

(2)把要表示感謝向量標(biāo)在封閉圖形中，表示為其他向量的和差的形式，進(jìn)而尋找這些向量與基向

量的關(guān)系。

(3)用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮用加法，否

則考慮用減法，如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘。

(4)注意應(yīng)用以下結(jié)論，

OB+OC

①A為BC中點(diǎn)，0為空間任一點(diǎn)，則。4=

2

②A、B、C三點(diǎn)共線，。為空間任一點(diǎn)，則。4=九。8+（1-X）OC等。

※例題解析※

K例1如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AB=b,AD^c,M、N、P分別

是AAi、BC、CD的中點(diǎn)，試用a,b,c表示以下各向量:

(1)AP；(2)AN；⑶MP+NC.

思路解析：結(jié)合圖形，利用空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算法則和運(yùn)算律即可。

解答：（1）；P是GDi的中點(diǎn),

A.P——AA|+AD]+Z)|P—aADH—01G=a+cd—A5=a+cd—b

(2)：N是BC的中點(diǎn)，：.MP^MA+AP^-AiA+AP^-a+(a+c+-b)^-a+-b+c,

又NG=NC+CG」3。+的=-AD+AA1=-c+a,

111313

MP+NC]=(—aH—/?+<?)+(aH-c)=一aH—bH—c

（二）共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用

※相關(guān)鏈接※

應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理，可以證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線共面。

1、證明空間任意三點(diǎn)共線的方法

對(duì)空間三點(diǎn)P,A,B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明三點(diǎn)共線：

（1）PA=APB；

⑵對(duì)空間任-點(diǎn)o,OP=OA4-1AB；

（3）對(duì)空間任一點(diǎn)o,O1="C仄+丫。畝工+廣口

2、證明空間四點(diǎn)共面的方法

對(duì)空間四點(diǎn)P,M,A,B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明四點(diǎn)共面

小MP=xMA-yMB；

()P=()M+aMA4-3rMB；

（2）對(duì)空間任一點(diǎn)0,

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)0,°PJ°V,-VjV2=1)；

（4）。\4〃八口（或「八〃％他或。3〃八》

1

T=V=N=---

注：在（3）中，若32,則點(diǎn)P即為AMAB的重心。

_%(+x2+x3

3

X+%+%

若M（X],y,Z1）,A（X2，y2，Z2），6（X3，y3，Z3），P（x，y，z）,則若p為AMAB的重心，則＜y=

3

4+Z2+Z3

Z=

3

此即為三角形重心坐標(biāo)公式。

※例題解析※

R例』設(shè)A,B,C及卜,B.,C分別是異面直線（A上的三點(diǎn)，而M,N,P,Q分別是線段AAi,BA”

BBi,CG的中點(diǎn)，求證：M,N,P,Q四點(diǎn)共面。

思路解析：

A、B、C及Ai、11、C分別共線）Bd=;uM.B,d=/Ai1）|P、Q為中E_

P。用為4和B。表示If|P@用HA、AIB；表示|.|p。用Ni\；f、^＞市表示_

P、Q、M、\共面

解答：由題意得，NM=*A,NP=gABi，：.BA=2NM，ABi=2NP.又A,B,C及卜,B,,G

分別共線，，BC=尢BA,B?=fAB「又PQ=g(BC+Bg)，

PQ=；(ABA+fA4)=；(2ANM+2tNP)=入NM+tNP.

PQ,NM,NP共面.

.?.M,N,P，。四點(diǎn)共面

（三）空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

K例》如圖，直三棱柱ABC-AB3中,BC-AB”BC」A￡,求證：ABFA.C,

思路解析：利用直棱柱的性質(zhì)，可證明AB=AC,則ABi=A￡。

解答：BC]=BC+CC],A[C=AG+C]C。

________2

=(Bc+cc,)(AC,+GO=BC4G-CG=o

CCj=BCAG

同理：AB]=AB+BBi，BC}=BB]+Bg,

__22

+8及)+4G+8與=0.BB}=-ABfi.C,.

CC,=BBX,：.BCAG+ABBg=0.

又AG=AC,B1G=8C,.?.BC(AC+A3)=0.

取8耶中點(diǎn)O,連接AO,則BC2AD=0,.\BC1AD,：.AB=AC,

又A*B|B,

A?=AB1

注：(1)利用向量的數(shù)量積，可以求異面直線所成的角，兩點(diǎn)間的距離，證明垂直等問(wèn)題。當(dāng)題目條

件中有垂直關(guān)系時(shí)，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用，非常方便。

(2)利用向量解決幾何體中的長(zhǎng)度、夾角、垂直等問(wèn)題的基本思路是先根據(jù)已知條件選擇基向量，

并求出其長(zhǎng)度和數(shù)量積，再用基向量表示出有關(guān)的向量，并進(jìn)行向量運(yùn)算，從而得出相關(guān)結(jié)論。

(四)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

※相關(guān)鏈接※

空間向量的有關(guān)運(yùn)算

設(shè)a=(q,),人=(4，打也)

(1)坐標(biāo)運(yùn)算

ab=(ai±b],a2+b2,a3±b3)

則a±b=(aii6i?ai6?ai6)?

Aa=(Aai,Xa,Xa).

(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示

a//u=X㈡cii=入bi.a=Xb?a,=Xb(入GR),

a?6=0<=?ai61-abab=Q(a"均為非零向量)。

(3)模和距離公式

aI=Va?a=Va-a+a,

CIAB=!AB

若八(a,5.G),B(a,b,c)測(cè)=y(aai)+(bb\)4"(c-Q).

※例題解析※

(例》設(shè)向量a=(3.5'D,3=(2.1.8).計(jì)算:la3/人3a以及

??-A,?

a與卜所成角的余弦值，并確定入，口應(yīng)滿(mǎn)足的條件，使人61.與z軸垂直。

思路解析：代入向量坐標(biāo)運(yùn)算的公式求：?"36,3a2b,a*b,利用數(shù)量積求a與'的夾

角余弦值，利用1確定入，口的關(guān)系。

解答：2。+39=2*(3,5，—4)+3><(2,1,8)=(6>10(_8)+⑹3,24)=(12,13,16),

3a2東=3義(3,5,-4)-2X(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28)。

a?6=(3,5,-4)?(2,l,8)=6+5-32=-21.

4)=甌"|=72H+8=麻

「八入?b-217

...a，a\\b\~x/50.V69---230―

AA

由(4a?p6).((J.0.1)=(3入+2u,5入+u,-4入+8u)?(0,0,l)=-4入+8u=0,即入=2u,

...當(dāng)A,u滿(mǎn)足X=2u時(shí),可使入a.〃從與z軸垂直

四、立體幾何中的向量方法

(-)利用空間向量證明平行和垂直

※相關(guān)鏈接※

利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行和垂直。

(I)設(shè)直線4的方向向量為風(fēng)=(a'8'G),直線4的方向向量為"=(6?、?c),則4〃

/匕ti〃/㈡(4山，G)=Ka?加?c)(R)；

’2

ZiJ_ZJ_u<=>aia4~b\I)-cic=0.

(2)設(shè)直線/的方向向量為"=(出?'"°),平面a的法向量為n=(a.b.c),則

/〃a<z>"_H->U|a??/)卜6C=0；G_g/涓(q?，?「)=k(。J,，>(R).

(3)設(shè)平面a的法向量為m=(a,.61,C,),平面B的法向量為〃=(a,/)，C),則a〃B

0油〃沱，㈡(a,G)=-a?c)(ASR)；a_L的獨(dú)_1_”a+b,b-。c=o.

※例題解析※

K例》如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB±AD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC

的中點(diǎn)。

(1)證明AE±CD；

(2)證明：PD_L平面ABE。

?A

思路解析：①建立空間直角坐標(biāo)系一確定八、的坐標(biāo).計(jì)算/帝.

ECD(：rj_>AE±CD;

?—?-*-*-*

②求面ABE的法向量〃—判斷滿(mǎn)足PD=k〃(feeR)fPDL平面ABE或確定PD、AB、AE坐

PD±AE

標(biāo)一計(jì)算PI‘.Al),PI)?AEFPD_ABFPD,平面ABE

解答：(1)VAB,AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PA=AB=BC=L則P(0,0,Do

VZABC=60%

.'.△ABC為正三角形.'

LL44Z

設(shè)D(0,y,0),由AC_LCD,得AC*C6=O,

即y=厚，則D(0,*,0)，

?Jo

CD=(

vv_z1口1、

又AAE一(丁，丁,二7),

44Z

AAE?cb=-+x}+gxg=0,

，464,

AAE±CD.PpAE±CD.?

(2)方法一：1P(0,0,D,；.PD=(O,^?-1).

又AE*PD=^X^+yX(-l)=0?

APD±AE^PPD±AE.

IAB=(1,0,0),；.PD?AB=0,

[jPD±AB,又ABDAE=A^,.\PD_L平面AEB.

方法二：:AJB=（1?0?0）*AE=（：,坐',（），

442

；?設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為J=（￡,y,z）,

x=0

令>=2,則z=一々,????；=（0,2,一舊）.

?.?P6=（O,空,一1）,顯然P5=￡

OO

:.PD//n,

Pf5_L平面ABE,即PD-L平面ABE.

（二）利用空間向量求點(diǎn)面距

※相關(guān)鏈接※

利用向量法求點(diǎn)面距，其步驟如下：

（1）求出該平面的一個(gè)法向量；

（2）找出過(guò)該點(diǎn)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量;

（3）求出法向量與斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)面平面的距

離，如圖:

,PA?n

d=---------

點(diǎn)P到平面a的距離

=n

由于可以視為平面的單位法向量，所以點(diǎn)到平面的距離實(shí)質(zhì)就是平面的單位法向量與從該

d=AP,n

點(diǎn)出發(fā)的斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，即

※例題解析※

K例1（北京卷16）如圖，在三棱錐P—ABC中，AC=8C=2,ZACB=90,AP=BP=AB,

PCVAC.

(I)求證：PCLAB；

(ID求二面角5-AP-C的大小;

(III)求點(diǎn)C到平面APB的距離.

思路解析：題中⑴利用PAC'^P8C證明；題中(II)(III)可利用題中⑴的結(jié)論:

PC,AC,BC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系求解。

解法一：

(I)取AB中點(diǎn)。，連結(jié)PD,CD.

AP=BP,

PD1AB.

AC=BC,

CDLAB.

PDCD=D,

AB±平面PCD.

PCu平面PCD,

PCrAB.

(II)AC=BC,AP=BP,

:.△APC9XBPC.

又PCJ.AC,

PC±BC.

又ZACB=90,即AC，8C,且ACPC=C,

BCd.平面PAC.

取AP中點(diǎn)E.連結(jié)BE,CE.

AB=BP,BEYAP.

EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影,

CE1.AP.

：.N8EC是二面角8-AP—C的平面角.

在△BCE中，NBCE=90,BC=2,BE=-AB^^6,

2

sinZBEC=—=—.

BE3

二二面角B-AP-C的大小為arcsin45

3

(Ill)由(I)知AB_L平面PC。,

平面APB，平面PCD.

過(guò)C作垂足為

平面APB平面PCD=PD,

.?.CHJ■平面APB.

：.CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面APB的距離.

由(I)知PCLA5,又PCLAC,且ABAC=A,

PCmABC.

CDu平面ABC,

PCICD.

在RtZ\PCO中，CD=LAB=4I,PD=@PB=R,

22

:.PC=4PDr-Of=2.

“PCxCD2V3

Ctd-------------=-------

PD3

.?.點(diǎn)C到平面APB的距離為2回.

3

解法二:

(I)AC=BC,AP^BP,

.,△APC當(dāng)ABPC.

又PCJ.AC,

PCA.BC.

ACBC=C,

PCmABC.

AZ?u平面ABC,

PCLAB.

(H)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-型.

則C(0,0,0),A(0,2,0),8(2,0,0).

Z

P

EH

y

設(shè)尸(0,0,r).

|PB|=|A8|=20，

:.t=2,尸(0,0,2).

取AP中點(diǎn)E,連結(jié)CE.

|AC]=|PC|.|AB|=|BP|,

CEYAP,BE1AP.

N8EC是二面角5-AP—C的平面角.

E(O,L1),￡C=(0,-L-l),￡6=(2,—1,一1),

EC?EB2

cos/BEC=

ECIEBV2xV63

.,.二面角3-AP-C的大小為arccos

3

(HI)AC=BC=PC,

.?.C在平面APB內(nèi)的射影為正AAPB的中心“，且C”的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面APB的距離.

如（II）建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

BH=2HE,

.?.點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2,2,21.

（333）

半昨孚

.?.點(diǎn)C到平面APB的距離為—.

3

（三）利用空間向量求空間角

K例H湖北卷18.（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，平面ABC_L側(cè)面4AB凸.

（I）求證：ABLBC；

（H）若直線AC與平面ABC所成的角為。，二面角A,—BC-A的大小為夕，試判斷。與夕的大小關(guān)系,

并予以證明.

思路解析：(I)利用面面垂直的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為線面垂直，再證線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直;

(II)建立空間直角坐標(biāo)系，求出。與夕的某個(gè)三角函數(shù)值，然后比較兩角的大小。

解答：本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能

力和推理能力.

(I)證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)4在平面內(nèi)作于。，則

由平面4aL側(cè)面4月微,且平面AyBC側(cè)面得

AD_L平面ABC,又BCu平面A{BC,

所以AD