高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (八)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（8）

一、單項選擇題（本大題共11小題，共55.（）分）

1.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱

（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”.如圖，三棱柱ABC-

為B1G為一個“塹堵”，底面回ABC是以AB為斜邊的直角三角形且

AB=5,4c=3,點(diǎn)P在棱上，且PC1PC1，當(dāng)回4PG的面積

取最小值時，三棱錐P-4BC的外接球表面積為（）

.457r

A

-2

B45巡亓

?2

C.二

D.I”

2.已知球。是正四面體4—BCD的外接球，BC=2,點(diǎn)E在線段3。上，月.BD=3BE,過點(diǎn)E作

球。的截面，則所得截面圓面積的最小值是（）

A8D也cC.-5n

A.~n18D.v

3.如圖為正方體4BCD-4B1C1D1，動點(diǎn)M從當(dāng)點(diǎn)出發(fā)，在正方體表5

面上沿逆時針方向運(yùn)動一周后，再回到當(dāng)，運(yùn)動過程中，點(diǎn)M與平A\

面40C1的距離保持不變，運(yùn)動的路程x與，=MA1+Mg+MD之

間滿足函數(shù)關(guān)系，=/（X）,則此函數(shù)圖象大致是j'D

A.B.

O

D.

O

4.如圖，正方體AG的棱長為小作平面a（與底面不平行）與棱44B1B,

A,

GC,。1。分別交于E,F,G,H,［己￡>1,FB,GC,”。分別為九「h2,

h3,h4,若比+電=2殳，E+E=3厄，則多面體EPGHA38的體積E

A.版生

B.滑％

5.如圖所示，正方形ABCD的邊長為2,切去陰影部分圍成一個正

四棱錐，則當(dāng)正四棱錐體積最大時，該正四棱錐外接球的表面積

為（）

A2

6.體積為竽的三棱錐4一BC。中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2近，AB<2VL則該三棱

錐外接球的表面積為（）

A.207r

7.在三棱錐P-中，底面A8C是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PC=a,

PB與底面ABC所成的角的余弦值為苧，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為（）

口89J897T

C.97r

8.如圖，在直三棱柱中，4BAC=90°,AB=AC=2,AAr=傷,

則與平面力BiG所成的角為（）

C.?

D-

9.已知在正四棱錐P-ABCD中（底面為正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影為底面中心的四棱錐），AB=

2,PA=3,側(cè)棱與底面所成角為a,側(cè)面與底面所成角為￡,側(cè)面等腰三角形的底角為y,相鄰

兩側(cè)面的二面角為。，則下列說法正確的有（）

A.p<a<Y<9B,a<p<9<y

C.cos。+cos2/?=0D.cos0+cos2a=0

10.已知三棱錐P-ABC中，AC1BBC,且4c=6,BC=2夕，PC=PB=2舊，當(dāng)三棱錐P-ABC

的體積最大時，其外接球的表面積等于（）.

A.757rB.507rC.IOOTTD.967r

11.長方體4BCD—4B1GD1中，AB=2,BC=1,44=2,P為該長方體側(cè)面內(nèi)（含邊界

）的動點(diǎn)，且滿足tan/PAO+tanz.PBC=2v^廁四棱錐P—ABCD體積的取值范圍是

兒停用B.（0用C.（詞D.陽］

二、多項選擇題（本大題共6小題，共24.0分）

12.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一.香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的功效.因

地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目.圖I的平行四邊

形48C。由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成.將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的

香囊.那么在圖2這個六面體中（）

圖1圖2

A.A8與CO是異面直線B.A8與CO是相交直線

C.存在內(nèi)切球，其表面積為白兀D.存在外接球，其體積為隨

2727

13.如圖，點(diǎn)M是正方體4BC0-4B1GD1的側(cè)面4。。送1上的一個動點(diǎn)，

則下列結(jié)論正確的是（）

存在無數(shù)個點(diǎn)滿足

A.MCM1ADr

B.若正方體的棱長為1,則三棱錐B-GMD體積的最大值為9

C.在線段上存在點(diǎn)M,使異面直線勺”與C￡＞所成的角是30。

D.存在無數(shù)個點(diǎn)M滿足BM〃平面

14.如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，點(diǎn)M是邊C。的中點(diǎn)，將△4DM沿AM翻折到APAM,

連結(jié)P8,PC,在△ADM翻折到△PAM的過程中，下列說法正確的是（）

A.四棱錐P-ABCM的體積的最大值為學(xué)

B.當(dāng)面PAM1平面ABCM時，二面角P-AB-C的正切值為立

4

C.存在某一翻折位置，使得AM1PB

D.棱PB的中點(diǎn)為N,則CN的長為定值

15.在棱長為2的正方體ABCD-ABiGDi中，點(diǎn)P是棱8C的中點(diǎn)，點(diǎn)。是底面48傳道1上的動

點(diǎn)，且4P1D1Q,則下列說法正確的有（）

A.DP與QQ所成角的最大值為3

B.四面體ABPQ的體積不變

C.△A&Q的面積有最小值學(xué)

D.平面DiPQ截正方體所得截面面積不變

16.在三棱錐P-ABC中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AB=2,PA=PC=V5.

二面角P-AC-B的余弦值為-立，則下列說法正確的是

3

A.AC1PB

B.點(diǎn)P到平面ABC的距離為1

C.三棱錐P-ABC的體積為2

D.三棱錐P-48C的外接球的體積為9兀

17.已知點(diǎn)例是正方體ABC。-4B1GD1中的側(cè)面ADD1力i上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的

有（）

A.點(diǎn)M存在無數(shù)個位置滿足CM1ADV

B.若正方體的棱長為1,三棱錐B-QM。的體積最大值為??；

C.在線段上存在點(diǎn)M,使異面直線BiM與C。所成的角是30。；

D.點(diǎn)M存在無數(shù)個位置滿足到直線AO和直線GA的距離相等.

三、填空題（本大題共12小題，共60.0分）

18.已知正方體的棱長為1,以頂點(diǎn)A為球心，等為半徑作一個球，則球面與正

方體的表面相交所得到的曲線的長等于

19.如圖，在一個底面邊長為2,側(cè)棱長為aU的正四棱錐P-ABC'。中，

大球01內(nèi)切于該四棱錐，小球。2與大球。1及四棱錐的四個側(cè)面相切,

則小球。2的體積為.

20.在直角梯形48。￡>中,48//。。,4。_148,48=2DC=2,E為AD的中點(diǎn)。將△E4B和△ECD

分別沿EB,EC折起，使得點(diǎn)A,。重合于點(diǎn)F,構(gòu)成四面體F-BCE.若四面體EBCE的四個面

均為直角三角形，則其外接球的表面積為.

21.設(shè)P為多面體M的一個頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為

1-^-（ZQ1PQ2+ZQ2PQ3+-+ZQh_1PQk+ZQkPQ1）>其中Q<=1,2,k,k>3）

為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2-平面Q2PQ3，…，平面Qk-PQk和平面QkPQi

遍歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面.

圖1圖2

(1)如圖1,已知長方體A1B1GD1—ABCD,AB=BC=1,AA[■，點(diǎn)尸為底面4B1GD1內(nèi)

的一個動點(diǎn)，則求四棱錐P-ABC。在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值；

(2)圖2為對某個女孩面部識別過程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采

樣點(diǎn)，然后用短小的直線段連接相鄰三個采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格.區(qū)域a和區(qū)域夕中點(diǎn)的離散曲

率的平均值更大的是哪個區(qū)域？(確定“區(qū)域a”還是“區(qū)域0”)

22.已知正方體4BCD-&B1C15的棱長為2,直線4cl_L平面a.平面a截此正方體所得截面有如下

四個結(jié)論：

①截面形狀可能為正三角形；②截面形狀可能為正方形；

③截面形狀不可能是正五邊形；④截面面積最大值為3b.

其中所有正確結(jié)論的編號是.

23.在四面體4-BCD中，AB=AC=AD=BC=BD=2,若四面體A-BCD的外接球的體積卜=

隨兀，則CD=.

3

24.已知點(diǎn)P,A,B,C均在表面積為817r的球面上，其中P4，平面ABC,NR.AC-3()ML^AB,

則三棱鏈P-ABC的體積的最大值為.

25.正方體4BCD-&B1GD1的棱長為2,M,N,E,尸分別是AD,G。1的中點(diǎn)，則

過E尸且與平行的平面截正方體所得截面的面積為,CE和該截面所成角的正弦值為

26.己知直四棱柱48。。-48道1。1的棱長均為4,/BAD=60。,以5為球心，2而為半徑的球面與側(cè)

面BCG/的交線長為

27.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上,SC是球。的直徑.若平面SC4_L平面SCB,

SA=AC,SB=BC,三棱錐S-4BC的體積為9,則球。的表面積為.

28.已知正三棱錐4-BCO的外接球是球。,BC=1,48=苧，點(diǎn)E為皿中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球。

的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是

29.在三棱錐P-ABC中，P41?平面ABC,AB1BC,PA=AB=1,4c=VI三棱錐P-ABC的所

有頂點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的半徑為；若點(diǎn)M,N分別是AABC與△PAC的重

心，直線MN與球。的表面相交于。，￡兩點(diǎn)，則線段DE的長度為

四、解答題（本大題共1小題，共12.0分）

30.如圖，求圖中陰影部分繞A8旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和

體積.

5

【答案與解析】

1.答案：D

解析:

本題考查幾何體外接球的表面積計算，注意根據(jù)幾何體的特征，合理確定球心的位置，屬于較難題.

則GP=熹，CP=熹，AP=[9+（急）2=小+潦?

令乙PCB=0=乙3PB1，

2

可得SMPC=-C1P-AP=（164+^-+64tan0,當(dāng)且僅當(dāng)=64taM。時,

22

△”5217tan0tan0

S“pq取最小值，42=36.可得4。為外接球直徑，即可求解；

解：令乙PCB=8=LC、PB\,

則GP=CP=——r,AP-）9+（—~z）2=1^

sin。cos。7'cos6,7cos23

又因為AC_L平面CBBiG，GPu平面CBBiG

所以AC1GP,

又CPICiP,ACCtCP=C,AC,CPu平面ACP

所以CiP_L平面ACP,-：APu平面ACP,

所以々GPA=90°.

=產(chǎn)黯迫MY；c廣'）=J（4+康）（25+16taM9）=J164+端+64taM。

當(dāng)且僅當(dāng)熱=64tan2。時，S-pq取最小值，

此時tan。=匹，

2

AP=9+=<25+16tan20=3通.

yjcos20

在三棱錐P-ABC中，因為NACP=Z71BP=9O。，取AP中點(diǎn)為。,

則OC=OB=^AP=OA=OP,

故。為三棱錐P-ABC的外接球的球心，

所以AP為外接球直徑，

S球=4兀/?2—jiAP2=457r.

故選D.

2.答案：A

解析：

本題考查正方體的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球的截面圓性質(zhì)等知識，屬于較難題，先求出球的半徑,

當(dāng)截面與。￡垂直時，截面面積最小，即可求解，

解：作A0垂直于面3CZ）于設(shè)球心為O,球的半徑為R,

因為BC=2,

22

易知，OiB=管，A0y=yjAB-OrB=j4-1=j|

（4。1-R）2+80/=R2,即q|_R）2+g=R2,解得R=J|

故00i

邛3yJ2

因為BD=3BE,所以EOJ/BC,EO1=^BC=j,

2

所以0E=00x+E。/=

由題意知，當(dāng)截面與0E垂直時，截面面積最小，設(shè)截面的半徑為

1

則r=y/R2-0E2

則截面面積的最小值為等,

故選A.

3.答案：C

解析：

本題考查面面平行的判定，由運(yùn)動過程中，點(diǎn)M與平面&DC1的距離保持不變，得點(diǎn)M沿ABiZC邊

運(yùn)動，根據(jù)條件結(jié)合適當(dāng)運(yùn)算即可得到答案，屬于中檔題，

解：由題意，得點(diǎn)“沿ABiaC邊運(yùn)動.設(shè)正方體邊長為1,取線段中點(diǎn)為N,

lN=NA]+NG+ND=y/6+曰<2+V3=lBi=lA>

同理，當(dāng)N為線段AC或CBi的中點(diǎn)時，

計算得a=N&+NG+ND=①+學(xué)<2+遍=&.

故選C.

4.答案：C

解析：

本題考查多面體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

由正方體的對面平行及面面平行的性質(zhì)定理得四邊形EFGH是平行四邊形，連結(jié)AC,BQ交于點(diǎn)。，

連結(jié)EG,FH,交于點(diǎn)。1，連結(jié)0。「則/11+色=電+無4=2。。1，由兩個多面體EFGHABC。可

以拼成一個長方體，即可求多面體EFGHABC。的體積.

解：由正方體的對面平行及面面平行的性質(zhì)定理得：

EF//GH,EH//FH,

四邊形EFGH是平行四邊形，

連結(jié)AC,8。交于點(diǎn)0,連結(jié)EG,FH,交于點(diǎn)?！?/p>

連結(jié)。。1，則砥+九3=h2+九4=200],

,**九]+九2=2九3，〃1+h4=3無3，

425

二八1=3壇，h2=-h3,h4--h3,

???兩個多面體EFGHABC?？梢云闯梢粋€長方體，

???多面體EFGHABCD的體積為：

V=a2?%+的=-a2/i=ZQ2九=-a2h=-a2h.

26d3814z210^4

故選：c.

5.答案:D

解析：

本題考查多面體外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

正方形ABCD的邊長為2,可得對角線的一半為魚,設(shè)正四棱錐邊長為高為力,可得層=2-遮a,

正四棱錐體積V=ga2.八最大時，求解。的值，可得正四棱錐邊長a和高人的值，即可求解正四棱

錐外接球的表面積.

解：由題意，正方形A8C力的邊長為2,

可得對角線的一半為我，折成正四棱錐后，

設(shè)正四棱錐邊長為a,高為兒

可得：j(ja)2+/i2+|a=V2,

即無2=2-y[2a,(0<a<V2).

正四棱錐體積U標(biāo)?八最大時，

即U=^2a4—V2a5.

由y=2a4-y/2a5,則y'=8a3-5V2a4.

令y，=0,可得￡1=矗，

即當(dāng)a5V2體積取得最大值；

仁漢

5

正四棱錐底面正方形外接圓半徑r=，

正四棱錐外接球的半徑R，可得(卑一R)2+(52=R2,

解得：R2嘴，

正四棱錐外接球的表面積s=4nR2=咨7T.

故選D

6.答案：B

解析：

本題考查三棱錐與外接球的半徑之間的關(guān)系，及球的表面積公式，屬于較難題.

由題意取AB的中點(diǎn)E,連接QE,CE,因為BC=AC=BD=4。=3,所以CE1AB,DE1AB,

DEnCE=E,

所以4面COE,且DE=CE,取C力的中點(diǎn)，連接EP,則EPIC。，再由體積可得AB的值，進(jìn)

而求出底面外接圓的半徑，及。到底面的高，由題意求出外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.

解：取AB的中點(diǎn)E,連接?！?CE,

因為BC=AC=BD=AD=3,

所以CE1AB,DELAB,DEnCE=E,

所以AB1面CDE,且DE=CE,取CD的中點(diǎn)，連接EP,則EP1CD,

所以Vhse=；AB.S,DE=\'AB\cDEP

?5J/

1「、DC、

=7?AB.2通,DE2-(—)2

6、2

=^.AB.14-處,

3\4

因為以-BCD=

所以*=%_絲因為4BV2a，

3374

所以解得48=2；AE=1,

DE=CE=JAC2-()2=\/32-1=2V/2，

所以sin乙4CE=^=J,

所以sinNACB2sinZACcosLACE

12V2_4V2

33-9'

由題意可得。在底面的投影在中線CE所在的直線上,

設(shè)為設(shè)設(shè)DF=h,

設(shè)底面4BC的外接圓的半徑為

nAB2

設(shè)圓心為O,,2廠=目方=逵，

9

所以「=芋

O'E=CET=2方一增=竿

V4-BCD=苧=刀

=r>2-sin〃CB/=”,2曰九,

解得九=相，

2

所以EF=\Df2-Df2=j8-,=',

所以O(shè)'FEF+O'E=—+^-=

288

過。'作（）01面ABC的垂線，作。HLDF于”，則四邊形HFO'。為矩形,

設(shè)外接球的半徑為R,取CM=0B=0D=R,

在三角形0H￡>中，OD2=O“2+（DF-FH）2,

即R2=O'F2+（粵-00'）2=（42產(chǎn)+（粵一OO）2，①

在三角形。0'中，。。2=。。，2+。。,2=產(chǎn)+。。，2即尸（竽/+O。"，②,

由①②可得辟=||,

所以外接球的表面積S=47TR2=4TT-=y7T,

故選8.

7.答案：A

解析:

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、球的體積計算公式、余弦定理、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理，

考查了推理能力與計算能力，屬于較難題.

如圖所示，取AC的中點(diǎn)。，連接BO,PD.由BC=4C,PA=PC,利用等腰三角形的性質(zhì)，線面垂

直的判定定理即可得出：力平面PBD,進(jìn)而得出：平面PBDL平面A8C,可得"BD為PB與底

面ABC所成的角，其余弦值為座.在APB。中，設(shè)PB=x,利用余弦定理可得：%.由PB=3,取P8

3

的中點(diǎn)。，連接0。，利用余弦定理可得。力，可得點(diǎn)。為三棱錐P-4BC的外接球的球心，即可得

出外接球的體積V.

解：如圖所示，取AC的中點(diǎn)。，連接80,PD.

BC=AC,PA=PC,

AC1BD,AC1PD.BDHPD=D,BD,PDu平面PBD,

■.AC_L平面PBD,又ACu平面ABC,

平面PB。L平面ABC,

」PBD為P8與底面ABC所成的角，其余弦值為尊

AC=V2AB=2V2?

PD=y/PA2-AD2=V3>

在APB。中，設(shè)PB=x,由余弦定理可得：COSNPB。=越=立維*立，

32V2x

解得x=3,即PB=3,取PB的中點(diǎn)。，連接0。，則。。2=（或）2+（|）2-2x或x|x誓=；,

解得。。=

0D2+DB2=0B2,0D1DB.

可得點(diǎn)。為三棱錐P—4BC的外接球的球心，其外接球的半徑r=|,體積昨早x（|）3=^.

故選A.

8.答案：A

解析:

本題考查了直線與平面所成角，考查棱柱及其結(jié)構(gòu)，涉及空間中直線與平面垂直的判定，屬于中檔

題.

取B1G的中點(diǎn)連結(jié)AM,作公。14M,由題得到力1。平面利用線面角定義可知4遇

平面ZBiCi所成角為，結(jié)合三角函數(shù)求出線面角即可.

解：如圖，

取&Ci的中點(diǎn)M,連結(jié)AM,作A01AM,

vBiG-L1AtA,AXMnAtA=Alt

A^.A^u平面

BG_L平面441M,

又4。u平面441"，:.B?1Ar0,Ar01AM,

又???BiGCMM=AMu平面ABiG，

A1。1?平面4BiC]

4A與平面所成角為乙4遇M,

在RtAA&M中，tan441AM=詈=崇=?,

7T

Z-A^AM=—'.

6

故選A.

9.答案：C

解析:

本題考查了正四棱錐的性質(zhì)，空間角的定義及度量.三角函數(shù)的單調(diào)性.考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)

化、計算能力，屬于難題.

在正四棱錐P-4BCD,找出空間角的平面角，考慮通過三角函數(shù)的值大小關(guān)系得出角的大小關(guān)系.

解：作出正四棱錐P-4BCD的示意圖，如圖所示：

由圖，連接AC,BD交于0,取BC的中點(diǎn)M,連接PM,0M,過C作CNLPD于N,連接AN,

(7)???P0，底面ABCD,側(cè)棱與底面所成角a即為NP40,

在三角形PAO中，PA=3,A03,P0="cosa=*=普

(2)vOMLBC,PM_LBC,???側(cè)面與底面所成角口即為"MO,

在三角形PWO中，OM=1,PO=巾，PM=2V2>co?J

(3)側(cè)面等腰三角形的底角y即為NPBA,

?>2?n2_?>2

在三角形PAB中，PA=PB=3,AB=2,-

2-2-3

(4)???CN1.PD,力N_LPO,.?.相鄰兩側(cè)面的二面角。即為乙4NC,

在三角形機(jī)中，NA=NC4C._(乎))(乎卜G可1

8

綜上，cotiO<<<>?*<a?y3<cosn,則a<￡<y<。，c<z〃+（川切=0,

故選C.

10.答案：c

解析：

本題重點(diǎn)考查棱錐的外接球問題，屬于較難題.

取BC的中點(diǎn)H,連接P”，利用當(dāng)PHJ?平面A8C時，三棱錐的體積最大，連接OP,MH,過O作

ON1PH于點(diǎn)M則四邊形為矩形，從而求出外接球半徑，進(jìn)一步可得其表面積.

解：如圖，取BC的中點(diǎn)，，連接P”，則PH1BC,因為44BC的面積為定值,

所以當(dāng)PHJ■平面ABC時，三棱錐的體積最大，

因為/ABC為直角三角形，

故其外接圓圓心為AB的中點(diǎn)M,

則?！?平面ABC,又PH1平面ABC,

所以。M〃P”，連接。P,MH,過。作。NJ.PH于點(diǎn)M則四邊形。為矩形,

ON=MH,在ZL4BC中，MH=^AC=3,AB=AC2+CB2=8.所以MB=4,

連接。2，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R,OM=d,

則在40MB中，R2=d2+16,①，

在4P0N中，OP2=ON2+NP2,g|J/?2=32+(7-d)2,②，

聯(lián)立①②并求解得d=3,所以R2=32+16=25,

所以三棱錐的外接球的表面積為：47T-/?2=1007T.

故選：C.

11.答案：A

解析：本題主要考查了動點(diǎn)軌跡，以及四棱錐的體積公式，考查了分析和轉(zhuǎn)化能力，屬于較難題，

由題意可知：PD+PC=2^2>2,得到點(diǎn)尸的軌跡為在側(cè)面CCiDi。內(nèi)（含邊界），以。，C為焦點(diǎn)

的橢圓，橢圓方程為：-+y2=1.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上頂點(diǎn)時，點(diǎn)P到底面ABC。的距離九最大，此

時hmax=1，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓與棱DD1或棱CG交點(diǎn)時，點(diǎn)P到底面ABCQ的距離/?最小，令X=1得，

y=+立，即/imin=立，從而求出四棱錐P-4BC。體積的取值范圍.

?—2Ulin2

解：由題意，如圖所示：

P為該長方體側(cè)面CQDi。內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn),

AD1PD,BC1PC,

■：tan/.PAD+tan2PBe=2\/2，

P0+PC=2近>2,

???點(diǎn)P的軌跡為在側(cè)面CGDi。內(nèi)（含邊界），以。，C為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=2夜，c=1,

???a=V2?b=yJa2—c2=1>

2

，橢圓方程為：--f-y2=1,

2J

設(shè)點(diǎn)P到底面ABCD的距離為h,

???當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上頂點(diǎn)時，點(diǎn)P到底面ABCD的距離h最大，即/ax=1.

當(dāng)點(diǎn)P在橢圓與棱CD1或棱CQ交點(diǎn)時，點(diǎn)尸到底面ABCZ）的距離〃最小,

令X=1得,y=土爭即.一冬

???四棱錐P-4BCD體積P=^SABCD?h,

??.Knax=|x2xl=|,l/min=[x2x曰=乎，

四棱錐P-4BCD體積的取值范圍為

故選A.

12.答案：BC

解析：

本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查球的表面積，題目較難.

折起后，根據(jù)各點(diǎn)的位置，即可判斷選項A、8；點(diǎn)。到六個面的距離相等，因此。即為六面體的

內(nèi)切球的球心，根據(jù)條件求出球半徑，即可判斷C；△ABD的中心為。，點(diǎn)。到頂點(diǎn)M、。的距離

與點(diǎn)。到點(diǎn)A、B、。的距離不等，可判斷。.

解：如圖所示：

折起后，AC重合，BP重合，NC重合，因此AB與CO相交，A錯誤，8正確；

折起后，設(shè)等邊三角形ABO的中心為O,取A8中點(diǎn)T,連接QT,OT,^Rt^OTQ<^,作。E_LTQ于

點(diǎn)E.

由4B107,AB10Q,且。。、。7為平面。7。中的兩條相交直線，所以AB1平面。70.

又OEu平面OTQ,所以4B10E.又T。、AB為平面A8Q中的兩條相交直線，所以0E1平面4BQ.所

以0E即為六面體的內(nèi)切球的半徑.

因為平行四邊形ABC。由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成,所以。A=OB=0C=當(dāng)。7=*QT=與

因此。Q=J(剪-甯若

在RMOTQ中，可求得。后=善=彳.所以內(nèi)切球的表面積為：4k><(3=9.故C正確；

若該六面體有外接球.根據(jù)04=。8=。。=更，0Q=由可知，點(diǎn)。不是六面體的外接球的球心.

3y3

所以不存在點(diǎn)到頂點(diǎn)M、Q的距離與到點(diǎn)A、氏。的距離相等，因此，該六面體沒有外接球.故。

錯誤.

故選BC.

13.答案:ABD

解析：略

14.答案：ABD

解析：

本題考查棱錐的體積計算，線面垂直的判定，二面角，幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查邏輯推理能力和空

間想象能力，屬于較難題.

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線線，線面，面面的位置關(guān)系及棱錐的體積公式判斷選項可得結(jié)論.

解:

對于A,當(dāng)面平面ABCM時，點(diǎn)尸到平面ABCM的距離最大，

而梯形A8cM的面積不變，故此時四棱錐P-4BCM的體積的最大，

(1+)x2

在RtAAP.U中，AP=2,PM=1,易知四棱錐P-4BCM的高八=誓，SABCM=^=3,

???四棱錐P-的體積的最大值為工x3x2=2，故A正確；

355

對于8,?.?面平面A8CM,過點(diǎn)尸作P01/M,P。u平面PAM,

平面P4Mn平面Z8CM=AM,

二P。_L平面ABCM,再過點(diǎn)。作0E14B,連接PE,貝!|易知PE_LAB,

”E。為二面角P-AB-C的平面角，

在RtAPOE中，P0=—,又AO=適,OE=l，

555

2V5r

tanZ.PEO=—=-j-=—，故B正確；

OE24

5

對于C,?.?在△力DM翻折到△PAM的過程中，POA.AM,

若ZMJLPB,POCPB=P,PO、PBu平面POB,

則4M_L平面FOB,OBu平面PO8,二AMJ.OB,

而事實(shí)上，AM與08不垂直（可證得OB=4B,則AB不可能為直角三角形斜邊），故矛盾，

???不存在某一翻折位置，使得4M_LPB,故C錯誤；

對于。，取PA的中點(diǎn)凡連接M凡FN,?:F,N分別是PA,PB的中點(diǎn)，

FN=又MC匕三AB，：.FN“MC,故四邊形尸NCM是平行四邊形，

...CN=MF'而在RtAAPM中，MF=Vl2+I2=V2.故CN的長為定值企，故。正確.

故選ABD.

15.答案：BCD

解析:

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查四面體體積，平面與多面體截面積等有關(guān)知

識，屬于較難題，解題時取AB中點(diǎn)W,必當(dāng)中點(diǎn)S,可先根據(jù)4PJ.D1Q,確定。位置就在。石上,

然后根據(jù)體積，面積等公式逐項檢驗即可.

解：如圖，

取AB中點(diǎn)W,41當(dāng)中點(diǎn)S,連接WS,￡)W,DiS,

在正方形ABC。中，易得4PJ.DVV,又API.。。1，

DWClDD1=D,。。1U平面。l「SDi，

所以.4PJ.平面。H'S",

因為點(diǎn)。是底面48道1。1上的動點(diǎn)，且4P1D1Q,

故點(diǎn)Q在上運(yùn)動，D^f/DW,

所以O(shè)P與。1Q所成角就是DP與。卬所成的角，即NODP,

易得OD=延,OP=延，

55

直角三角形。OP不是等腰直角三角形，故A錯誤；

由于三角形ABP面積固定，。在上底面，Q到面ABP距離為2不變，故四面體A3P。體積不變，B

正確；

因為。點(diǎn)在上，過4向DA作垂線，垂足為“，即是符合條件的。點(diǎn)，

△44Q的面積有最小值就是△441”的面積，

44］和上底面垂直，4441”是直角，

所以面積為3/UIX&H=：X2X,=笫,C正確；

平面QPQ就是過點(diǎn)P與QS確定的平面，不因。變化而變化，故平面截正方體的截面面積不會改變，

。正確，

故選BCD.

16.答案：AB

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，二面角的應(yīng)用，考查幾何體的體積求法，空間距離求法及球的體

積公式的應(yīng)用，屬較難題.

依題意，根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合條件，根據(jù)棱錐及球的體積公式逐項判斷即可.

解：如圖所示，取AC的中點(diǎn)0,連接尸。，0B,

因為PA=PC,AB=BC,所以。P_L4C,OBLAC,

可知NPOB為二面角P-4C-B的平面角，故cos4POB=—它.

3

在平面PBO內(nèi)過點(diǎn)P作B0的垂線交B0的延長線于點(diǎn)D,coszPOD=

3

由OPJ.AC,OB1.AC,OPClOS=0,OPu平面PBO,OBu平面PBO,

可得4c，平面PBO,因為PBu平面PBO,所以AC1PB,A正確；

因為4c_L平面尸80,POu平面P80,所以力C_LP。，

又因為PD1.B。，ACnBO=。，ACu平面ABC,B。u平面ABC,

所以PDJL平面ABC,

OP=y/AP2-OA2=y/5^2=V3.

所以。。=OPcos乙POD=V3Xy=V2,

DP=>JOP2-OD2=1,即點(diǎn)P到平面ABC的距離為1,B正確；

三棱錐P-ABC的體積U=[x：xABxBCxPC=I，C錯誤；

所以CM=0C=0D=0B=6，則四邊形ABC。為正方形，

從而易聯(lián)想到將此三棱錐補(bǔ)形成長方體4BCD-EFGP,

所以三棱錐P-4BC的外接球即為長方體4BCD-EFGP的外接球，且PB為該外接球的一條直徑,

又PB=y/AD2+CD2+PD2=3，所以該外接球的半徑R=

所以該三棱錐的外接球的體積為U=:兀R3=:兀X?=故。錯誤.

o3oZ

故選AB.

17.答案：ABD

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積，異面直線所成的角，點(diǎn)到直線

的距離，屬中檔題，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)可以證明&D上的任意一點(diǎn)M都滿足CM14久，從

而判定4當(dāng)M與公重合時，三棱錐B-C1”。的體積最大，計算可判定8;根據(jù)異面直線所成角的定義

得到乙4i/M即為所求角，即可判定C;根據(jù)拋物線的定義可判定D.

解：⑴如圖，連接4Di，&D,C4,設(shè)M在線段4D上任意一點(diǎn)，CD_L平面4。。送1,二CD1AD1，

又??????也14D,&OnCO=D,二也1平面40C,二也_L直線CM,故A正確；

如圖所示，當(dāng)M與4重合時，三棱錐B-CiMD的體積最大,/_c遇山=l-4xixixlxlxl=i,

故B正確；

由于CD〃4B〃&據(jù)異面直線所成角的定義得到乙4卷iM即為所求角,

設(shè)4D與4D1交于點(diǎn)。，若例在線段AS上,

近LL

上絲>五=立,

**?tan乙—22=W>

A1B1，A出一1-23

???ZTl/iM>30。，故C錯誤;

設(shè)M在AO上的射影為N,連接MMCi%JL平面4。。14[,時。1u平面400送1,加。]1MD\,

??.MN,MD1分別是〃到直線AD和直線65的距離，使兩者相等的M的軌跡是以劣為焦點(diǎn)，以A。

為準(zhǔn)線的拋物線在側(cè)面力DD14上的部分曲線，有無窮多個點(diǎn)，故￡＞正確.

解析:

本題為空間幾何體交線問題，找到球面與正方體的表面相交所得到的曲

線是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題，球面與正方體的六個面都相交，所得

的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個面上；另一類在不過頂點(diǎn)4

的三個面上，且均為圓弧，分別求其長度可得結(jié)果.

解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類

在頂點(diǎn)A所在的三個面上，

即面面ABC。和面44山1。上；另一類在不過頂點(diǎn)A的三個面上，

即面BBiGC、面CGDiD和面上.在面44道避上，交線為弧EF且在過球心4的大圓上,

因為赫=等，AA.=1,則=..同理4BAF=a

所以4以尸=三故弧EF的長為也上=3位

6369

而這樣的弧共有三條，在面BBiGC上，

交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，

此時，小圓的圓心為3,半徑為更，乙FBG=三

32

所以弧FG的長為隹?=逅m這樣的弧也有三條，

326

于是，所得的曲線長為3X更7T+3X逅兀=皿紅.

966

故答案為也兀.

6

19.答案：&

24

解析：

本題考查球的體積公式，考查兩圓相切性質(zhì)，正四棱錐性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔偏難題.設(shè)。為正方形

ABCD的中心,的中點(diǎn)為M,連接PM,OM,PO,則0川=i.PA/=\/PA2-AM2==3，

POGT2v/2,分別可求得大球Oi與小球Q半徑分別為它和立，進(jìn)而可得小球的體積.

24

解：設(shè)。為正方形A8CC的中心，A8的中點(diǎn)為M,連接PM,OM,PO,

則OA/—1,

PM=，PA2-4Af2=v/I^I=3，PO=v/9zT=2v/2，

如圖，在截面PM。中，設(shè)N為球。i與平面PA8的切點(diǎn)，

則N在上，且gNUPA/,設(shè)球。［的半徑為R,則ONR,

1Nd1

因為sinNA/PO=<3=；,所以五石17,則PO|=3/?,

?>rU\J

PO=POfi-OOi=AB=2\/2f所以，

2

設(shè)球。1與球。2相切于點(diǎn)。，則PQ-PO-2R=2/?,設(shè)球。2的半徑為小

同理可得PQ=4r,所以r=曰=乎，

故小球。2的體積V

故答案為遮7r.

24

20.答案：胃

解析：

本題以由直角梯形折疊形成的四面體為載體，考查線、面間的位置關(guān)系，四面體的外接球，屬于較

難題目.

根據(jù)條件判斷出四面體F-BCE外接球的球心為8E的中點(diǎn)，半徑為［BE,結(jié)合題目所給數(shù)據(jù)求出外

接球半徑，即可得到其表面積.

解：如圖.由題意可知，折疊后所構(gòu)成的四面體F-BCE中，

LEFC=90°,LEFB=90°,NBFC不可能為直角.

在RtAFBC中，由FB>FC可知，"CB為直角，即BC1FC,

因為FE_LFB,FE1FC,FBCFC=F,FB,FCu平面尸BC,

所以FE1平面FBC,

又BCu平面FBC,則有FE_LBC,

又因為BCJ.FC,FECFC=F,FE,FCu平面EfC,

所以BC1平面FEC,

又ECu平面EFC,則有BC1EC,

所以四面體F-BCE外接球的球心為BE的中點(diǎn)，半徑為：BE,

在直角梯形ABC。中，

設(shè)DE=EA=a,

22222

則有EC?=a+l,BE=a+4,BC=4a+1,

由EC?+BC2=BE2,

解得a=當(dāng)（負(fù)值已舍去），則BE=乎，

21.答案：/?

解析：

本題考