高中數(shù)學(xué)人教A版必修二 章末綜合測評2 含答案

章末綜合測評（二）點、直線、平面之間的

位置關(guān)系

（時間120分鐘，滿分150分）

一'選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題

給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.若a,。是異面直線，直線c〃a,則c與8的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.異面或相交

【解析】根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系和公理4可知c與人異

面或相交，但不可能平行.

【答案】D

2.下列說法不正確的是（）

A.空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形

B.同一平面的兩條垂線一定共面

C.過直線上一點可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線

都在同一個平面內(nèi)

D.過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直

【解析】A、B、C顯然正確.易知過一條直線有無數(shù)個平面與

已知平面垂直.選D.

【答案】D

3.（2015?太原高二檢測油，12,/3是空間三條不同的直線，則下列

命題正確的是（）

A.ZI_L/2,l21h=l\〃h

B.I山2,

C.l\//b//g/\,h,一共面

D.h,I2,，3共點=/1，I2,b共面

【解析】對于A,通過常見的圖形正方體判斷，從同一個頂點

出發(fā)的三條棱兩兩垂直，故A錯；對于B,因為所以/1,b所

成的角是90°,又因為/2〃瓦所以/1,/3所成的角是90。，所以/I_L/3,

故B對；對于C,例如三棱柱中的三側(cè)棱平行，但不共面，故C錯；

對于D,例如三棱錐的三側(cè)棱共點，但不共面，故D錯.故選B.

【答案】B

4.設(shè)a、為兩條直線，a、￡為兩個平面，則正確的命題是（）

【導(dǎo)學(xué)號：09960089]

A.若a、。與a所成的角相等，則

B.若a//a,b〃1a〃￡,則

C.若aUa,bup,a//h,則a〃￡

D.若b工B，a_L￡,貝!Ja_l_b

【解析】A中，a、匕可以平行、相交或異面；B中，a、》可以

平行或異面；C中，a、￡可以平行或相交.

【答案】D

5.（2016?山西山大附中高二檢測）如圖1,在正方體4BCD-431GQ1

中，E、F、G、H分別為A3、BBi、BC的中點，則異面直線

與G”所成的角等于（）

圖1

A.45°B.60°

C.90°D.120°

【解析】如圖，連接Ai&BCuA\C\,則AI3=8G=AIG,

JLEF//A\B.GH//BC\,

所以異面直線EF與G"所成的角等于60°.

【答案】B

6.設(shè)I為直線,a］是兩個不同的平面.下列命題中正確的是（）

A.若/〃a,1〃B，則a〃夕

B.若1邛,貝lja〃￡

C.若1〃B，則a〃4

D.若l//a,則以夕

【解析】選項A,平行于同一條直線的兩個平面也可能相交，

故選項A錯誤；選項B,垂直于同一直線的兩個平面互相平行，選項

B正確；選項C,由條件應(yīng)得a_L夕，故選項C錯誤；選項D,/與￡

的位置不確定，故選項D錯誤.故選B.

【答案】B

7.（2015?洛陽高一檢測）如圖2,△AD3和△AQC都是以。為直角

頂點的等腰直角三角形，且NR4C=60。，下列說法中錯誤的是（）

A.AD±￥?BDC

B.8。，平面40。

C.QC_L平面48。

D.BCL平面ABD

【解析】由題可知，ADLBD,ADLDC,所以ADJ_平面8DC,

又△48D與△AQC均為以D為直角頂點的等腰直角三角形，所以AB

=AC,BD=DC=^AB.

又NBAC=60°,所以△ABC為等邊三角形，故BC=AB=@BD,

所以NBQC=90°,即3DJ_QC.

所以30J_平面ADC,同理DCA,平面ABD.

所以A、B、C項均正確.選D.

【答案】D

8.正四棱錐（頂點在底面的射影是底面正方形的中心）的體積為12,

底面對角線的長為2加，則側(cè)面與底面所成的二面角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【解析】由棱錐體積公式可得底面邊長為2小，高為3,在底面

正方形的任一邊上，取其中點，連接棱錐的頂點及其在底面的射影，

根據(jù)二面角定義即可判定其平面角，在直角三角形中，因為tan8=小

（設(shè)。為所求平面角），所以二面角為60。，選C.

【答案】C

9.將正方形ABCD沿3。折成直二面角，M為CQ的中點，則ZAMD

的大小是（）

A.45°B.30°

C.60°D.90°

【解析】如圖，設(shè)正方形邊長為a,作AOA,BD,則AM=

yjAO2+OM2=yl(孚J+(5>=2a,

又AD=a,DM=j,：.AD2=D1^+AM2,：.ZAMD=90°.

【答案】D

10.在矩形A8CD中，若AB=3,BC=4,B4_L平面AC,且用

=1,則點尸到對角線8。的距離為（）

A夸

WD呼

【解析】如圖，過點A作AE_L8D于點已連接PE

?.?附，平面ABC。，BDU平面ABCQ,

：.PA±BD,.?.8D，平面出E,

：.BD工PE.

.…A3A。12?,

,AE=~BD~=~5,抬=1，

：.PE=

【答案】B

11.（2016?大連高一檢測）已知三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱與底面垂

直，體積為本9底面是邊長為小r~的正三角形.若P為底面4SG的中

心，則山與平面ABC所成角的大小為（）

【導(dǎo)學(xué)號：09960090]

A.75°B.60°

C.45°D.30°

【解析】如圖所示，。為正三角形AiBC的中心，設(shè)O為△ABC

的中心，由題意知：PO_L平面ABC,連接OA,則NB4O即為"與平

面ABC所成的角.

在正三角形ABC中，AB=BC=AC=小,

則S=乎義響2=^,

VABC-A\B\Ci=SXPO=^,：.PO=^3.

又AO=￥><W=1,

P0

.'.tanZPAO=^=y[3,：.ZPAO=60°.

A。

【答案】B

12.正方體A3CQ-A1BGU中，過點A作平面43。的垂線，垂

足為點”.以下結(jié)論中，錯誤的是（）

A.點”是△AiBD的垂心

B.平面CBDi

C.A”的延長線經(jīng)過點G

D.直線A”和381所成的角為45。

ClBx

D

【解析】因為A〃_L平面AiBD,

8DU平面A\BD,

所以又8O_LA4i,且4“nA4i=A

所以80,平面441”.又47/U平面AAiH.

所以A]"_L3￡）,

同理可證

所以點”是△48。的垂心，A正確.

因為平面4山?！ㄆ矫鍯BxDx,

所以AHJ_平面CBDi,B正確.

易證AG_L平面A山。.因為過一點有且只有一條直線與已知平面垂

直，所以AG和A”重合.故C正確.

因為44i〃8Bi,所以N4A”為直線AH和3囪所成的角.

因為NAAi”W45°,所以N4A"W45°,故D錯誤.

【答案】D

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在

題中的橫線上）

13.設(shè)平面a〃平面4、Cea,B、D",直線AB與CD交于

點S,且點S位于平面a,夕之間，AS=8,BS=6,CS=12,則50=

【解析】由面面平行的性質(zhì)得AC〃3。，京=而，解得SQ=9.

DOOU

【答案】9

14.如圖3,四棱錐S-ABCD中，底面A8CD為平行四邊形，E是

SA上一點，當(dāng)點E滿足條件：_______時，SC〃平面EBD

【解析】當(dāng)E是SA的中點時,

連接￡8,ED,AC.

設(shè)AC與BD的交點為0,連接EO.

,：四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.點0是AC的中點.

又E是SA的中點，

，0E是△SAC的中位線.

0E//SC.

,：SCQ平面EBD,0EU平面EBD,

...SC〃平面EBD.

【答案】E是SA的中點

15.如圖4所示，在正方體ABCQ-A1SGO1中，M,N分別是棱

A4i和43上的點，若是直角，則NGMN等于.

【解析】平面A/3B1,

MNU平面AiABBi,

：.B\C\LMN,又N81MN為直角，

ABiMlW,而8iMG3]G=3i.

.?.MNd_平面MBG,又A/GU平面MBCi,

：.MN±MCi,：,ZCiMN=90°.

【答案】90°

16.已知四棱錐尸-A3CZ）的底面A3CQ是矩形，朋，底面43CQ,

點、E、尸分別是棱尸C、PO的中點，則

①棱AB與PD所在直線垂直；

②平面PBC與平面ABCD垂直；

③△PCQ的面積大于的面積；

④直線AE與直線BF是異面直線.

以上結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【解析】由條件可得平面PAD,

J.ABVPD,故①正確；

若平面P3CL平面ABCD,由PB±BC,

得尸8,平面ABC。，從而出〃P3,這是不可能的，故②錯；&PC。

=^CDPD,S^PAB=^ABPA,

由A3=CO,PD＞必知③正確;

由從尸分別是棱PC、尸力的中點，

可得E尸〃C。，又AB〃CD,

：.EF//AB,故AE與8尸共面，④錯.

【答案】①③

三'解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證

明過程或演算步驟）

17.體小題滿分10分）如圖5所示，已知△ABC中，NACB=90。,

SAL平面A8C,ADLSC,求證：平面S3C.

【證明】VZACB=90°,

：.BC±AC.

又「SA，平面ABC,

：.SA±BC,'：SADAC=A,

平面SAC,：.BC±AD.

又門。，4。，SC^BC=C,

.?.AD_L平面SBC.

18.（本小題滿分12分）如圖6,三棱柱ABC481G的側(cè)棱與底面

垂直，AC=9,BC=12,AB=15,A4i=12,點。是AS的中點.

圖6

⑴求證：AC±BiC；

(2)求證：AG〃平面CQBi.

【證明】(1)：GCJ_平面A3C,ACiC±AC.

VAC=9,BC=n,AB=15,

：.AC2+BC2=AB2,

：.AC±BC.

又8CGGC=C,平面BCGBi,

而BiCU平面BCC\B\,

：.AC±B\C,

(2)連接3G交囪C于。點，連接OD如圖，VO,。分別為BG,

A3的中點，，。?！ㄈ搿＃?又。力u平面CDB,ACg平面CDBi.，AG〃

平面CDBi.

19.(本小題滿分12分X2016德州高一檢測)某幾何體的三視圖如

圖7所示，P是正方形A8CO對角線的交點，G是PB的中點.

(1)根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；

(2)在直觀圖中，①證明：尸。〃面AGC；

②證明：面03。_1面46。.

圖7

【解】(1)該幾何體的直觀圖如圖所示:

p

c

(2)證明：①連接AC,80交于點O,連接OG,因為G為的

中點，。為3。的中點，所以O(shè)G〃PD.

②連接尸0,由三視圖知，平面A3CQ,所以AO_LPO.

又AO_LBO,所以AO,平面PBD

因為40U平面AGC,

所以平面PBD上平面AGC.

20.(本小題滿分12分)(2016?濟寧高一檢測)如圖8,正方形A8CQ

和四邊形ACEE所在的平面互相垂直，EF//AC,AB=y[2,CE=EF=

(1)求證：A/〃平面3QE；

(2)求證：。凡L平面3QE

【導(dǎo)學(xué)號：099600911

【證明】(1)如圖，設(shè)AC與8D交于點G.

E,

因為EF〃AG,且E尸=1,

AG=^AC=1,

所以四邊形AGEF為平行四邊形.

所以4尸〃EG.

因為EGU平面BDE,AFQ平面BDE,

所以4尸〃平面BDE.

（2）連接FG,

,CEF//CG,EF=CG=1,

四邊形CE/G為平行四邊形，

又?；CE=EF=1,口CEFG為菱形，

：.EG.LCF.

在正方形ABCD中，AC1BD.

,：正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，

J_平面CEFG.：.BD±CF.

又EGCBD=G,：.CF1平面BDE.

21.（本小題滿分12分）（2015?山東高考）如圖9,三棱臺DEF-ABC

中，AB=2DE,G,”分別為AC,的中點.

圖9

(1)求證：80〃平面/GH；

(2)若CF_L3C,AB±BC,求證：平面BCO_L平面EG”.

【解】(1)證法一：連接QG,CD,設(shè)CDnGF=M,連接

在三棱臺。ERABC中，AB=2DE,G為AC的中點，可得。尸〃GC,

DF=GC,所以四邊形。尸CG為平行四邊形，則M為CQ的中點.又

”為8C的中點，所以M//〃3D又平面/G”，BD。平面FGH,

所以平面FG".

證法二：在三棱臺DEF-ABC中，由BC=2EF,”為BC的中點,

可得3H〃EF,BH=EF,所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得8E〃”?

在△A3C中，G為AC的中點，”為BC的中點，所以GH〃AB.又GHCHF

=H,所以平面尸G"〃平面A3ED因為BQU平面ABED,所以BD//

平面FGH.

(2)連接HE.

因為G,"分別為AC,8C的中點，

所以GH//AB.

由A8_LBC,得GHLBC.