2025屆高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題(人教版新高考新教材)考點(diǎn)規(guī)范練13　初等函數(shù)模型的應(yīng)用

考點(diǎn)規(guī)范練13初等函數(shù)模型的應(yīng)用一、基礎(chǔ)鞏固1.某新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái),第二個(gè)月銷售200臺(tái),第三個(gè)月銷售400臺(tái),第四個(gè)月銷售790臺(tái),則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y(單位:臺(tái))與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間函數(shù)關(guān)系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100答案:C解析:根據(jù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異和題目中的數(shù)據(jù)可知,應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型.2.用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地,中間加兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長(zhǎng)度為()A.3 B.4C.6 D.12答案:A解析:設(shè)隔墻的長(zhǎng)為x(0<x<6),矩形面積為y,則y=x·24-4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故當(dāng)x=3時(shí)3.一股民購進(jìn)某只股票,在接下來的交易時(shí)間內(nèi),他的這只股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%),又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為()A.略有盈利B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況答案:B解析:設(shè)該股民購買這只股票的價(jià)格為a元,則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(1+10%)n=a×1.1n元,經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故該股民這只股票略有虧損.4.某市盛產(chǎn)楊梅,楊梅果味酸甜適中,有開胃健脾、生津止渴、消暑除煩、抑菌止瀉、降血脂血壓等功效.楊梅的保鮮時(shí)間很短,當(dāng)?shù)丶夹g(shù)人員采用某種保鮮方法后可使得楊梅采摘之后的時(shí)間t(單位:小時(shí))與失去的新鮮度y滿足函數(shù)關(guān)系y=11000t2,0≤t<10,mat,10≤t≤100A.20小時(shí) B.25小時(shí) C.28小時(shí) D.35小時(shí)答案:C解析:當(dāng)10≤t≤100時(shí),y=mat,由題意可得10%=為使新鮮度不低于85%,即不能失去超過15%的新鮮度,則有15%≥110×2-13×2因此log22t30≤log23×2-23=log23-23,即t30≤log23-23,則t≤30log23-20≈48-205.設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn),平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(t為正常數(shù)).公司決定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn).分流后,繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流的人數(shù)是.

答案:16解析:由題意,分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t萬元,分流x人后,每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100-x)(1+1.2x%)t,則0<x<100,x∈N因?yàn)閤∈N*,所以x的最大值為16.6.某科研團(tuán)隊(duì)在某水域放入一定量水葫蘆進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快,經(jīng)過2個(gè)月其覆蓋面積為18m2,經(jīng)過3個(gè)月其覆蓋面積為27m2.現(xiàn)水葫蘆覆蓋面積y(單位:m2)與經(jīng)過時(shí)間x(x∈N)個(gè)月的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型y=kax(k>0,a>1)與y=px12+q(p>(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3≈1.732,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適,并求出該模型的解析式;(2)求原先投放的水葫蘆的面積并求約經(jīng)過幾個(gè)月該水域中水葫蘆面積是當(dāng)初投放的1000倍.解(1)由于y=kax(k>0,a>1)的增長(zhǎng)速度越來越快,y=px12+q(p>0)故依據(jù)題意應(yīng)選函數(shù)y=kax(k>0,a>1),則有ka2=18,ka3=27,解得a=3(2)由(1)知,當(dāng)x=0時(shí),y=8.由經(jīng)過x個(gè)月該水域中水葫蘆面積是當(dāng)初投放的1000倍,得8×32x=8×1000,解得x=log321000=lg1故原先投放的水葫蘆的面積為8m2,約經(jīng)過17個(gè)月該水域中水葫蘆面積是當(dāng)初投放的1000倍.二、綜合應(yīng)用7.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R=aA(a為常數(shù)),廣告效應(yīng)為D=R-A.那么商人為了取得最大廣告效應(yīng),投入的廣告費(fèi)應(yīng)為.(用常數(shù)a表示)

答案:14a解析:令t=A(t≥0),則A=t2,則D=aA-A=at-t2=-t-12a2+14a2,當(dāng)t=12a,即8.某商家推行親子款十二生肖紀(jì)念章.通過市場(chǎng)調(diào)查,得到該紀(jì)念章每枚的市場(chǎng)價(jià)y(單位:元)與上市時(shí)間x(單位:天)的數(shù)據(jù)如下:上市時(shí)間x/天41036市場(chǎng)價(jià)y/元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),為描述親子款十二生肖紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系,從下列函數(shù)中選取一個(gè)最佳的函數(shù)模型是.

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.(2)利用你選取的函數(shù),求親子款十二生肖紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市時(shí)間及最低價(jià)格.(3)設(shè)你選取的函數(shù)為y=f(x),若對(duì)任意實(shí)數(shù)k,方程f(x)=kx+2m+120恒有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍.解:(1)由于市場(chǎng)價(jià)y隨上市時(shí)間x的增大而先減小后增大,而模型①③均為單調(diào)函數(shù),不符合題意,故選擇二次函數(shù)模型②.(2)由題表中數(shù)據(jù)可知16a+4得函數(shù)模型為y=14x2-10x+126=14(x-20)2+故當(dāng)市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市時(shí)間為20天,最低價(jià)格為26元.(3)由于f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+120,則14x2-(10+k)x+6-2m=0恒有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,即Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,即-2m<k2+20k+由于k2+20k+94=(k+10)2-6≥-6,得-2m<-6,m>3.故m的取值范圍是(3,+∞).三、探究創(chuàng)新9.某企業(yè)開發(fā)出了一種新產(chǎn)品,預(yù)計(jì)能獲得50萬元到1500萬元的經(jīng)濟(jì)收益.企業(yè)財(cái)務(wù)部門研究對(duì)開發(fā)該新產(chǎn)品的團(tuán)隊(duì)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),并討論了一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金y(單位:萬元)隨經(jīng)濟(jì)收益x(單位:萬元)的增加而增加,且y>0,獎(jiǎng)金金額不超過20萬元.(1)請(qǐng)你為該企業(yè)構(gòu)建一個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)模型,并說明你的函數(shù)模型符合企業(yè)獎(jiǎng)勵(lì)要求的理由;(答案不唯一)(2)若該企業(yè)采用函數(shù)y=150x+1,解:(1)答案不唯一.構(gòu)造出一個(gè)函數(shù),說明是單調(diào)遞增函數(shù),函數(shù)的取值滿足要求.如,y=1100x+1,x∈[50,1500],就是符合企業(yè)獎(jiǎng)勵(lì)的一個(gè)函數(shù)模型理由:根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),易知y隨x的增大而增大,當(dāng)x=50時(shí),y=1100×50+1=32當(dāng)x=1500時(shí),y=1100×1500+1=16<20,即獎(jiǎng)金金額y>0且不超過20萬元故該函數(shù)是符合企業(yè)獎(jiǎng)勵(lì)要求的一個(gè)函數(shù)模型.(2)當(dāng)50≤x≤500時(shí),易知y=150x+1單調(diào)遞增,且當(dāng)x=50時(shí),y=150×50+1=2當(dāng)x=500時(shí),y=150×500+1=11<20,即滿足獎(jiǎng)金y>0且不超過20萬的要求故當(dāng)50≤x≤500時(shí),y=150x+1符合企業(yè)獎(jiǎng)勵(lì)要求當(dāng)500<x≤1500時(shí),函數(shù)f(x)=19+1-a即對(duì)任意x1,x2∈(500,1500],且x1<x2時(shí),f(x1)-f(x2)=(1-a)x2-x1故當(dāng)且僅當(dāng)1-a<0,即a>1時(shí),此時(shí)函數(shù)在區(qū)間(500,15