2025屆高三一輪復習數學試題(人教版新高考新教材)考點規(guī)范練13　初等函數模型的應用

考點規(guī)范練13初等函數模型的應用一、基礎鞏固1.某新產品投放市場后第一個月銷售100臺,第二個月銷售200臺,第三個月銷售400臺,第四個月銷售790臺,則下列函數模型中能較好地反映銷量y(單位:臺)與投放市場的月數x之間函數關系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100答案:C解析:根據函數模型的增長差異和題目中的數據可知,應為指數型函數模型.2.用長度為24的材料圍一矩形場地,中間加兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長度為()A.3 B.4C.6 D.12答案:A解析:設隔墻的長為x(0<x<6),矩形面積為y,則y=x·24-4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故當x=3時3.一股民購進某只股票,在接下來的交易時間內,他的這只股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%),又經歷了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A.略有盈利B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況答案:B解析:設該股民購買這只股票的價格為a元,則經歷n次漲停后的價格為a(1+10%)n=a×1.1n元,經歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故該股民這只股票略有虧損.4.某市盛產楊梅,楊梅果味酸甜適中,有開胃健脾、生津止渴、消暑除煩、抑菌止瀉、降血脂血壓等功效.楊梅的保鮮時間很短,當地技術人員采用某種保鮮方法后可使得楊梅采摘之后的時間t(單位:小時)與失去的新鮮度y滿足函數關系y=11000t2,0≤t<10,mat,10≤t≤100A.20小時 B.25小時 C.28小時 D.35小時答案:C解析:當10≤t≤100時,y=mat,由題意可得10%=為使新鮮度不低于85%,即不能失去超過15%的新鮮度,則有15%≥110×2-13×2因此log22t30≤log23×2-23=log23-23,即t30≤log23-23,則t≤30log23-20≈48-205.設某公司原有員工100人從事產品A的生產,平均每人每年創(chuàng)造產值t萬元(t為正常數).公司決定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去進行新開發(fā)的產品B的生產.分流后,繼續(xù)從事產品A生產的員工平均每人每年創(chuàng)造產值在原有的基礎上增長了1.2x%.若要保證產品A的年產值不減少,則最多能分流的人數是.

答案:16解析:由題意,分流前每年創(chuàng)造的產值為100t萬元,分流x人后,每年創(chuàng)造的產值為(100-x)(1+1.2x%)t,則0<x<100,x∈N因為x∈N*,所以x的最大值為16.6.某科研團隊在某水域放入一定量水葫蘆進行研究,發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快,經過2個月其覆蓋面積為18m2,經過3個月其覆蓋面積為27m2.現(xiàn)水葫蘆覆蓋面積y(單位:m2)與經過時間x(x∈N)個月的關系有兩個函數模型y=kax(k>0,a>1)與y=px12+q(p>(參考數據:2≈1.414,3≈1.732,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(1)試判斷哪個函數模型更合適,并求出該模型的解析式;(2)求原先投放的水葫蘆的面積并求約經過幾個月該水域中水葫蘆面積是當初投放的1000倍.解(1)由于y=kax(k>0,a>1)的增長速度越來越快,y=px12+q(p>0)故依據題意應選函數y=kax(k>0,a>1),則有ka2=18,ka3=27,解得a=3(2)由(1)知,當x=0時,y=8.由經過x個月該水域中水葫蘆面積是當初投放的1000倍,得8×32x=8×1000,解得x=log321000=lg1故原先投放的水葫蘆的面積為8m2,約經過17個月該水域中水葫蘆面積是當初投放的1000倍.二、綜合應用7.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R=aA(a為常數),廣告效應為D=R-A.那么商人為了取得最大廣告效應,投入的廣告費應為.(用常數a表示)

答案:14a解析:令t=A(t≥0),則A=t2,則D=aA-A=at-t2=-t-12a2+14a2,當t=12a,即8.某商家推行親子款十二生肖紀念章.通過市場調查,得到該紀念章每枚的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的數據如下:上市時間x/天41036市場價y/元905190(1)根據上表數據,為描述親子款十二生肖紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系,從下列函數中選取一個最佳的函數模型是.

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.(2)利用你選取的函數,求親子款十二生肖紀念章的市場價最低時的上市時間及最低價格.(3)設你選取的函數為y=f(x),若對任意實數k,方程f(x)=kx+2m+120恒有兩個相異實數根,求m的取值范圍.解:(1)由于市場價y隨上市時間x的增大而先減小后增大,而模型①③均為單調函數,不符合題意,故選擇二次函數模型②.(2)由題表中數據可知16a+4得函數模型為y=14x2-10x+126=14(x-20)2+故當市場價最低時的上市時間為20天,最低價格為26元.(3)由于f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+120,則14x2-(10+k)x+6-2m=0恒有兩個相異實數根,即Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,即-2m<k2+20k+由于k2+20k+94=(k+10)2-6≥-6,得-2m<-6,m>3.故m的取值范圍是(3,+∞).三、探究創(chuàng)新9.某企業(yè)開發(fā)出了一種新產品,預計能獲得50萬元到1500萬元的經濟收益.企業(yè)財務部門研究對開發(fā)該新產品的團隊進行獎勵,并討論了一個獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨經濟收益x(單位:萬元)的增加而增加,且y>0,獎金金額不超過20萬元.(1)請你為該企業(yè)構建一個y關于x的函數模型,并說明你的函數模型符合企業(yè)獎勵要求的理由;(答案不唯一)(2)若該企業(yè)采用函數y=150x+1,解:(1)答案不唯一.構造出一個函數,說明是單調遞增函數,函數的取值滿足要求.如,y=1100x+1,x∈[50,1500],就是符合企業(yè)獎勵的一個函數模型理由:根據一次函數的性質,易知y隨x的增大而增大,當x=50時,y=1100×50+1=32當x=1500時,y=1100×1500+1=16<20,即獎金金額y>0且不超過20萬元故該函數是符合企業(yè)獎勵要求的一個函數模型.(2)當50≤x≤500時,易知y=150x+1單調遞增,且當x=50時,y=150×50+1=2當x=500時,y=150×500+1=11<20,即滿足獎金y>0且不超過20萬的要求故當50≤x≤500時,y=150x+1符合企業(yè)獎勵要求當500<x≤1500時,函數f(x)=19+1-a即對任意x1,x2∈(500,1500],且x1<x2時,f(x1)-f(x2)=(1-a)x2-x1故當且僅當1-a<0,即a>1時,此時函數在區(qū)間(500,15