理學相平衡y化工熱力學

研究相平衡的目的、意義純物質的P-V圖物質和能量交換BA相平衡是一切分離技術及分離設備開發(fā)、設計的理論基礎和關鍵。分離技術：精餾、吸收、吸附、萃取、結晶。研究相平衡的目的、意義1.確定不同相間組成關系舉例：（1）50％水＋50％乙醇的液相，沸騰時對應的汽相組成是什么？反之亦然。（2）用于冷凝器，已知汽相組成，求液相組成。以上汽液平衡是化工生產中最重要的相平衡。其它如液液平衡、氣液平衡、固液平衡2.要解決的問題：物系組成（x、y）與T、p間的關系3.重要性：相平衡理論是精餾、吸收、萃取等分離操作的基礎，實際上就是組成與其它物理量的定量關系，也涉及數(shù)據可靠性及估算方法。第七章內容§7.1相平衡判據與相律§7.2汽液平衡的相圖§7.3活度系數(shù)與組成關系式§7.4汽液平衡計算§7.5液液平衡計算§7.1相平衡判據與相律§7.1.1相平衡（PhaseEquilibrium）相平衡講的就是物系組成（x，y）與T、p

間的關系特點體系狀態(tài)變化極限實際過程比較標準動態(tài)平衡可逆過程相平衡時不同相之間的化學位差為零，即化學位相等。汽液平衡（VLE）、液液平衡（LLE）、固液平衡（SLE）§7.1.2相平衡的判據1）兩個相（α，β），N個組分達到平衡liquidvapor如：VLE時T，P一定N個方程式2）π個相，N個組分達到多相平衡（α，β，γ，δ，……π

）§7.1.2相平衡的判據相平衡的判據為：各相的溫度、壓力相等時，各相中組分的分逸度相等！——最實用T，P一定有N（π-1）方程式§7.1.3相律例對于二元汽液平衡，自由度F為

F=2-2+2=2則在T,P,x1,x2,y1,y2諸變量中，僅可指定2個自變量，如T，x1，體系即可確定，其余諸變量需借助相平衡方程求出。F=N-π+2

自由度組分數(shù)相數(shù)

§7.2汽液平衡的相圖對于二組分體系，N=2；F=N-π+2。π至少為1，則F最多為3。這三個變量通常是T，p和組成x。所以要表示二組分體系狀態(tài)圖，需用T,p,x三個坐標的立體圖表示。從立體圖上得到平面截面圖(保持一個變量為常量)（1）保持溫度不變，得p-x圖較常用（3）保持組成不變，得T-p圖不常用。（2）保持壓力不變，得T-x圖常用§7.2汽液平衡的相圖汽液平衡體系的類型——與理想體系的偏差1）一般正偏差2）一般負偏差3）正偏差、最低恒沸點4）負偏差、最高恒沸點1）一般正偏差：溶液中各組分的分壓均大于Raoult定律的計算值溶液的蒸汽壓介于兩純組分的蒸汽壓之間。如甲醇-水體系、呋喃-四氯化碳體系。Raoult定律計算值2）一般負偏差溶液中各組分的分壓均小于Raoult定律的計算值溶液的蒸汽壓介于兩純組分的蒸汽壓之間。如氯仿-苯體系、四氫呋喃-四氯化碳體系。Raoult定律計算值P-ybP-xb3）正偏差、最大壓力恒沸物（最低恒沸點）正偏差較大，溶液的總壓在P-x曲線上出現(xiàn)最高點最高點壓力大于兩純組分的蒸汽壓。在T-x曲線上出現(xiàn)最低點，該點y=x，稱為恒沸點。如乙醇-水體系、乙醇-苯體系。對于這種體系，用一般精餾法是不能將此分離開的，必須要采用特殊分離法。

恒沸點恒沸點Raoult定律計算值P-ybP-xb4）負偏差，最小壓力恒沸物（最高恒沸點）負偏差較大，溶液的總壓在P-x曲線上出現(xiàn)最低點最低點壓力小于兩純組分的蒸汽壓。在T-x曲線上出現(xiàn)最高點，該點y=x，稱為恒沸點。如氯化氫-水體系、氯仿-丙酮體系。對于這種體系，用一般精餾法是不能將此分離開的，必須要采用特殊分離法。

恒沸點恒沸點Raoult定律計算值yBxByBxB正偏差、最低恒沸點負偏差，最高恒沸點xB1正偏差xB1負偏差注意：1、壓力一定，則恒沸點的組成和溫度固定不變2、壓力變化，則恒沸點的組成和溫度隨之相應變化；指出下列物系的自由度數(shù)目(1)水的三相點(2)液體水與水蒸汽處于汽液平衡狀態(tài)(3)甲醇和水的二元汽液平衡狀態(tài)(4)戊醇和水的二元汽-液-液三相平衡狀態(tài)(5)乙醇水在101.3KPa下共沸體系是非題混合物汽液相圖中泡點曲線表示的是飽和汽相，露點曲線表示的是飽和液相在一定壓力下，組成相同的混合物的露點溫度和泡點溫度不可能相同在一定壓力下，純物質的露點溫度和泡點溫度相同，且等于沸點問答題相平衡判據是什么？用化學位或逸度的概念如何表示？思考題液化氣是一種熱值很高的理想民用氣體燃料，主要成分為丙烷、丙烯、丁烷和丁烯。我國境內的氣瓶在-40℃～60℃的環(huán)境溫度下使用，在設計鋼瓶結構時已充分考慮鋼瓶容積的安全性。根據計算，當環(huán)境溫度在15℃、充裝的液化石油氣剛好達到規(guī)定的充裝量時，鋼瓶內尚有15%的氣相空間；在60℃環(huán)境溫度下，瓶內所充裝的液化石油氣應仍保留3%以上的氣相空間。以丙烷為主要物質試分析在火災現(xiàn)場液化氣罐發(fā)生爆炸前丙烷狀態(tài)變化。丙烷Tc：369.8K,Pc:4.25MPa,鋼瓶爆裂壓力11MPa§7.3活度系數(shù)與組成關系式§7.3.0引言§7.3.1正規(guī)溶液和無熱溶液§7.3.2Wohl型方程（經典模型）Margules方程VanLaar方程§7.3.3基于局部組成概念的方程式Wilson方程NRTL方程UNIQUAC方程§7.3活度系數(shù)與組成關系式汽液平衡的準則：兩相的T，P相等時1）狀態(tài)方程法2）活度系數(shù)法1、汽液平衡的兩種計算方法：引言：活度系數(shù)的引入1）狀態(tài)方程法——汽液兩相的逸度均用EOS計算第四章已學過逸度用EOS計算的方法：

狀態(tài)方程法（逸度系數(shù)法）適用高壓/近臨界流體具備熱力學一致性發(fā)展趨勢2）活度系數(shù)法——液相逸度用活度系數(shù)計算；汽相逸度用EOS計算——標準態(tài)逸度。以Lewis-Randall定則為標準態(tài)，即純液體i在體系溫度，壓力下的逸度。1）狀態(tài)方程法2）活度系數(shù)法特點1）適用于任何壓力的VLE，包括高壓2）不適合強極性，締合體系3）選擇既適合汽相又適合液相的EOS和相應的混合規(guī)則特點1）適用于強極性，締合體系2）適用于低、中壓VLE，不適合高壓3）選擇適合的活度系數(shù)γi模型，如Wilson，NRTL，UNIQUAC方程本章重點VLE兩種算法的比較：2.汽液平衡的分類1）完全理想系：汽相—理想氣體，液相—理想液體——汽液平衡常數(shù)——分離因子1

(低中壓時)2）部分理想系：汽—理想氣體，液相—非理想溶液3）非理想系：——中低壓，醛、酮，醇，水——高壓、極性強體系§7.3活度系數(shù)與組成關系式與T,P,x有關,來自理論、半理論、經驗非理想溶液§7.3.1正規(guī)溶液和無熱溶液2.無熱溶液1.正規(guī)溶液溶液理想溶液?1.正規(guī)溶液（RegularSolution）“當極少量的一個組分從理想溶液遷移到有相同組成的真實溶液時,如果沒有熵的變化,并且總的體積不變,此真實溶液被稱為正規(guī)溶液”.正規(guī)溶液是Wohl型方程、Margules方程和VanLaar方程的理論基礎。正規(guī)溶液非理想是混合時產生熱效應HE引起，但它們的分子形狀，大小接近。2.無熱溶液（AthermalSolution）無熱溶液非理想的原因是：分子形狀，大小差異較大，如高分子溶液。

使用最廣泛的Wilson方程和NRTL方程和UNIQUAC方程都是在無熱溶液基礎獲得的?！?.3.2Wohl型方程1.Margules方程：A12和A21是模型參數(shù)，一般由實驗數(shù)據擬合得到。

2.vanLaar方程：3.如何得到模型參數(shù)A12和A21？常用方法為色譜法。無論是Margules方程還是vanLaar方程均有：對Margules方程：對vanLaar方程：共沸點時方法同2），但由于VLE數(shù)據多，因此得到的模型參數(shù)更精確，可靠，是最常用的方法。用最小二乘法，單純形法等數(shù)學方法得到。對二元部分理想系習題1.1atm，58.3℃下測得丙酮(1)和甲醇(2)體系X1=0.28，Y1=0.42，PS1=1.078atm，PS2=0.762atm，由于壓力低，汽相可看作理想氣體，假定純態(tài)為標準態(tài)，求活度系數(shù)γ1，γ2。解：部分理想系：習題2.乙醇(1)和苯(2)的恒沸混合物(X1=0.488)，在常壓下沸點為68.24℃，在此溫度下，乙醇和苯的飽和蒸汽壓PS1=0.660atm，PS2=0.680atm，計算在此溫度下（1）vanLaar方程常數(shù)A12，A21（2）X1=0.1時的活度系數(shù)γ1，γ2。(1)將X1=0.488和此時的γ1，γ2代入(1),(2)聯(lián)立求解得A12=1.6187，A21=1.5844(2)將X1=0.1和A12=1.6187，A21=1.5844代入(1),(2)求得γ1=3.906，γ2=1.015Wohl型方程的評價：a.因無溫度項，僅適用于等溫汽液平衡數(shù)據和沸點區(qū)間為10～15℃等壓數(shù)據。b.適用于非理想不大的體系，不能算極性以及締合體系。c.只能算二元體系?！?.3.3基于局部組成概念的方程式1.局部組成的概念15個組分1（紅球）和15個組分2（藍球）混合—組分1—組分2宏觀微觀局部組成的中心意思是：當以微觀觀察時，液體混合物不是均勻的。也就是在混合物中，某一點的組成與另一點的組成未必相同。若分子1—1和2—2間的吸引力大于1—2間的吸引力，那么在分子1的周圍應該有更多的分子1所包圍，在分子2的周圍也應該有較多的分子2所包圍

若分子1—2間的吸引力大于分子1—1和2—2間的吸引力，那么在分子1的周圍就就會有較多的分子2所包圍，在分子2周圍有較多的分子1所包圍。

對于二元體系，應具有四個局部摩爾分率以分子①為中心出現(xiàn)分子①的幾率x11

出現(xiàn)分子②的幾率x21

x11+x21=1以分子②為中心出現(xiàn)分子①的幾率x12

出現(xiàn)分子②的幾率x22

x12+x22=1局部摩爾分數(shù)和總的摩爾分數(shù)不同是由于分子之間的作用力不同所引起的。

g12=g21

而g11≠g222.局部組成方程----Wilson方程(1964)WilsonEq與Wohl型Eq的基礎不同由于分子間作用力不同提出了局部組成的概念;

利用Boltzmann因子引入描述不同分子間的作用能，將微觀與宏觀聯(lián)系起來;

把局部組成概念引入Flory—Huggins提出的無熱溶液，用微觀組成代替宏觀組成.

WilsonEq主要三點：它的超額自由焓模型是根據無熱溶液作為基礎的;提出了局部摩爾分率的新概念。宏觀組成與局部組成的關系：g11,g22—分子1與1，分子2與2間相互作用力的能量項。g21,g12—分子1與2，分子2與1間相互作用力的能量項。g21=g122.Wilson方程由推導可得：Vli，Vlj為液體摩爾體積對于三元體系，需要三個二元的相關參數(shù)。

ABC（A-B；A-C；B-C）對二元體系：由Wilson模型計算甲醇-甲基乙基酮體系

的相平衡數(shù)據Wilson模型3.Wilson方程的特點：a.引入了溫度對γi的影響，Λ12和Λ21與T有關，但參數(shù)g21-g11，g12-g22不依賴溫度。b.半經驗半理論方程，形式復雜，精度高，適用于極性以及締合體系，如水，醇，碳等。c.用二元體系的參數(shù)可以推算多元系。精度高。d.端值方程e.不適用于液液部分互溶體系f.不適用γi有極值體系Wilson方程是工程設計中應用最廣泛的方程。解：（a）體系的壓力較低，汽相可以作理想氣體（b）液相是非理想溶液，組分逸度可以從活度系數(shù)計算，根據體系的特點，應選用Lewis-Randall定則為標準狀態(tài)。比較汽、液兩相的組分逸度數(shù)據可知，有基本符合汽液平衡條件，故本例題中的汽相和液相基本上互成汽液平衡。。但對于混合物，即使在汽液平衡時，4.NRTL方程（Non-RandomTwoLiquid）（非無序雙液）

5.UNIQUAC方程(UniversalQuasiChemical)

P.96.表4-1

特點：

1.NRTL方程、UNIQUAC方程比Wilson方程更新。

2.可以用二元參數(shù)直接推算多元VLE，LLE。

德國《DECHEMAVapor-LiquidEquilibriumDataCollection》對各種活度系數(shù)模型進行評價

P.97.表4-2（1）基團貢獻法模型原理基團貢獻法是將物質（純物質或混合物）的物性看成由構成該物質的分子中各個基團對物性貢獻的總和。由有限的基團，去推算未知體系的物性。

P.98~99表4-3（2）UNIFAC模型

UNIFAC(UniversalQuasiChemicalFunctionalGroupActivityCofficient)§7.3.4基團貢獻模型課堂思考題1)寫出用活度系數(shù)法表示的部分理想系汽液平衡方程及適用特點。2)試寫出一種二元體系實驗測定Vanlaar方程活度系數(shù)模型參數(shù)的方法及步驟。作業(yè)：P19：2,4Marguleseq.T，P，X，Y1.VLE計算精度的意義平衡曲線上汽相組成平均誤差△y為±1%（mol）引起的理論塔板數(shù)的變化：相對揮發(fā)度α理論塔板數(shù)△N2.53.11.69.21.08660.81.064644.9§7.4汽液平衡計算§7.4.1中壓汽液平衡計算§7.4.2閃蒸計算圖1-2不同Q時，由于VLE數(shù)據的誤差一起理論板數(shù)的變化4644.9660.8318.864.417.99.26.14.53.1分離條件xD=0.99xw=0.01xF=0.50R=1.2Rminq=11.061.081.11.41.82.52.050001000500100501051汽液平衡數(shù)據的誤差引起理論板數(shù)的變化△N如美國一聚乙烯醇工廠能耗大，特別是分離工段的能耗占全廠的65%，應用熱力學相平衡的成果，將進料中乙醛含量由0.7%降至0.4%后，操作費用節(jié)省50%。2.VLE計算的意義醋酸甲酯79%水20%乙醛0-0.7%水蒸氣醋酸甲酯+水乙醛小于0.16%富乙醛的廢料蒸汽趕出乙醛裝置可節(jié)約的范圍100500.10.30.50.7使塔底產物中乙醛含量小于0.16%時的蒸汽最小速率最大操作費用的百分比在進料中的乙醛含量（mol%）§7.4.1中低壓汽液平衡計算三、VLE計算Wilson方程NRTL方程UNIQUACMargules方程VanLaar方程UNIFAC（i=1，2……N）或工程上需解決的VLE計算類型開始輸入已知的P，xi數(shù)據，假設T，令計算PSi，ΦSi，γi是否第一次迭代？計算所有yi計算計算調整T是否變化=1？打印結果T和yi結束否是是否1.已知P，xi求泡點T，yi否例題7-1（P.166)泡點T具體計算方法:2.已知T，xi求泡點壓力P，yi例題7-2（P.167)解:由表的數(shù)據知：兩個純組分的飽和蒸汽壓共沸點數(shù)據開始輸入已知的T，yi等所有參數(shù)，假設P

，令計算PSi，ΦSi第一次迭代計算所有計算計算調整P是否變化=1打印結果

P和xi結束否是是否3.已知T，yi

求露點P，xi否計算所有的xi解：若有共沸點存在，則在等溫泡點曲線上出現(xiàn)極值。共沸點時有解得：方法與前三種差不多。4.已知P，yi，求露點溫度T，xi例題7-3，例題7-4，例題7-5（P.169~172)綜上所述，VLE的計算步驟為：1）由實測的VLE數(shù)據（T,P,xi,yi)求的γi。2）將γi~xi數(shù)據代入γi模型，聯(lián)立求得方程參數(shù)。如A12，A21。3）再按VLE計算的不同類型來計算。例4（P171，例7-5）已知60℃下，2，4-二甲基戊烷（1）和苯（2）形成最大壓力恒沸點，現(xiàn)采用萃取精餾將其分離。已知2-甲基-2，4-戊二醇是適宜的第三組份。試問需要加入多少第三組分才能使原來恒沸物的相對揮發(fā)度永不小于1，也就是說相對揮發(fā)度的極小值出現(xiàn)在x2＝0處。為此也可以這樣提出問題，當x2→0，α12＝1時，2-甲基-2，4-戊二醇的濃度應為多少？二元體系2-3，已知數(shù)據：60℃時，兩組分的飽和蒸氣壓該溫度下體系的無限稀釋活度系數(shù)為二元體系1-2，二元體系1-3，求：x3＝？分析：已知2，4-二甲基戊烷（1）+苯（2）+2-甲基戊醇－2，4（3）60℃時，二元體系：物系1-21-32-31.961.483.5515.12.043.89恒沸點時xi=yi＝1要解決這一問題，必須具備萃取精餾的熱力學基礎。

（一）為何加入第三組分

當體系偏離理想溶液的程度很大時，就會出現(xiàn)恒沸點，在這一點，用簡單的精餾法是無法將其混合物分開的，必須采用特殊的分離方法。萃取精餾就是通過加入第三組分，改變了原溶液組分的相對揮發(fā)度，使在全濃度范圍內不出現(xiàn)相對揮發(fā)度等于1的現(xiàn)象。并不是隨便加入任何物質就能使其分開的，第三組份必須滿足一定條件才能夠起到萃取劑的作用。

環(huán)乙烷－苯的萃取精餾流程

加入糠醛萃取劑后，則使苯由易揮發(fā)組分變?yōu)殡y揮發(fā)組分，且相對揮發(fā)度發(fā)生顯著改變，其值遠離１

糠醛組成x（摩爾分數(shù)）00.20.40.60.7環(huán)乙烷對苯相對揮發(fā)度α0.981.381.3852.352.7糠醛在塔上部加入，進料在塔中部進入，在糠醛作用下，環(huán)乙烷成為易揮發(fā)組分，從塔頂獲得環(huán)乙烷產品?？啡┖捅綇乃着懦?，進入第二塔，從塔頂分離出苯產品，塔底回收萃取劑糠醛，返回前塔循環(huán)使用。為避免糠醛進入環(huán)乙烷中，在糠醛入塔上方，也必須保證適宜塔板數(shù)，以脫出蒸氣中的糠醛

（二）第三組分（萃取劑）應具備的特點當?shù)谌M份滿足以上條件，就可以作為萃取劑加入體系。但加入第三組分的量多少為宜？加入量多了，造成了浪費，加入量少了又不能把原體系組分分開，到底加多少為合適？

∴

（三）熱力學計算若體系為化學體系在60℃下，∵1.溶解度大，能與任何濃度的原溶液完全互溶，以充分發(fā)揮各塊塔板上萃取劑的作用2.選擇性強、即能使被分離組分間的相對揮發(fā)度產生比較顯著的變化3.本身的揮發(fā)性小，使產品中不致混有萃取劑，也易于和另一組分分離考慮兩個極端情況當x1→0時當x2→0時（可視為純組分）（可視為純組分）x1從0→1.0從1.96→0.677＝1這一點，必須加入第三組分（題中為x1的連續(xù)函數(shù)，中間一定經過＝1這一點，要使在x1的整個濃度范圍內不出現(xiàn)已經選好為2-甲基戊醇－2，4），那么加入多少為好？將多元體系WilsonEq(4-105)用到三元體系加入第三組分的量，應該能使x1從0→1.0（x2=0）時，對應的從1.96→1.0即通過加入第三組分，把恒沸點移到端點處，在x2=0處注意：i=1,2,3j=1,2,3k=1,2,3把此式展開，整理，得我們講義P171式（A）和式(B)（C）當x2=0(x1=1.0)時，須使并令問題是求Wilson參數(shù)

由此說明了，當加入第三組份的量為原溶液的39.8％時，對原溶液組分1和組分2的所有可能的組合，都能保證Wilson方程中各參數(shù)由無限稀釋活度系數(shù)求對于i—j體系將已知i—j體系的代入上述兩式，即可求出和和將代入（C）式，試差法，得Z=0.6615§7.4.2閃蒸計算閃蒸：液體混合物的壓力降低至泡點與露點壓力之間，會出現(xiàn)部分氣化的現(xiàn)象。閃蒸是一種單級平衡分離過程。閃蒸計算既要滿足物料平衡，又要滿足相平衡。進料F，zi氣相V，yi液相L，xi氣化分率η=V/Fη=V/F1）組分i的物料平衡2）組分i的相平衡組分歸一(2)代入(1)得——閃蒸方程(3)代入(4)得解：這是一個近似的完全理想體系查附錄二得Antoine方程常數(shù)，計算得各組分的飽和蒸汽壓為：§7.4.3汽液平衡數(shù)據的熱力學一致性檢驗實驗數(shù)據是否可靠，可用Gibbs-Duhem方程來檢驗，若實驗數(shù)據與Gibbs-Duhem方程符合，則稱此汽液平衡數(shù)據具有熱力學一致性。對于敞開、均勻體系的Gibbs-Duhem方程：1.積分檢驗法（面積檢驗法）2.微分檢驗法（點檢驗法）對于低壓下的二元等溫數(shù)據：VE=0；dT=0∴（1）式為1.積分檢驗法（面積檢驗法）對（2）式積分可得：1）恒溫汽液平衡數(shù)據事實上，由于實驗誤差，SA不可能完全等于SB對于中等非理想體系，只要：即可認為等溫汽液平衡數(shù)據符合熱力學一致性。2）等壓汽液平衡數(shù)據對于等壓二元：dP=0∴（1）式為Tmax，Tmin—最高、最低沸點由于缺乏HE數(shù)據，Herington推薦半經驗方法：面積檢驗法的缺點：由于全濃度范圍內，實驗誤差相互抵消，造成虛假現(xiàn)象。

2.微分檢驗法（點檢驗法）x1ba01點檢驗法是以實驗數(shù)據作出GE/RT~x1曲線為基礎，進行的逐點檢驗。精度比面積檢驗法高。對于二元系：經推導可得：由（1）式截距a,b得到的γ1

γ2為熱力學檢驗值，如果實驗數(shù)據與之相符，則稱該VLE實驗數(shù)據符合熱力學一致性。對每一點實驗數(shù)據均要按以上方法檢驗。需要指出的是：熱力學一致性是判斷實驗數(shù)據可靠性的必要條件，但不是充分條件。即符合熱力學一致性的數(shù)據，不一定是正確可靠的但不符合熱力學一致性的數(shù)據，一定是不正確可靠的大作業(yè)1)計算101.3kPa下,乙醇(1)-水(2)體系汽液平衡數(shù)據;2)判斷是否有共沸組成并計算該點組成及溫度;并與文獻數(shù)據對比3)采用何種方法可以實現(xiàn)乙醇(1)-水(2)體系分離?(查閱文獻,寫出2-5篇主要文獻的作者,題目,雜志等,及摘要,按下面格式書寫)朱健,楊祝紅,李偉等.非均相光催化水處理管式反應器的放大設計，現(xiàn)代化工，2005，25(5)，55~58摘要:XXXXXXXXX分組完成,按學號間隔,第一組:1,6,11,16,21,26,第二組:2,7,……..7.5液液平衡

一.

溶液的穩(wěn)定性二元體系形成兩液相的條件應服從熱力學穩(wěn)定性的原理。判斷溶液的穩(wěn)定性，可以先以位能為例來說明物系穩(wěn)定的概念。下圖是具有位能Ep的球處于平衡的三種狀態(tài)。

在可逆平衡（b）時，不論球的位置如何變化，Ep卻不會變化，總保持為一個定值。(b)可逆平衡基準面X

EpEpEp在不穩(wěn)定平衡（a）時，球處于山之巔峰，雖可呈靜止狀態(tài)，若球的位置稍有移動，球所具有的位能將小于Ep值，向更穩(wěn)定的狀態(tài)變化。在穩(wěn)定平衡（c）時，球處于山谷之底，也呈靜止狀態(tài)，當球的位置有所變化，位能有所增加，但最后總是