江蘇省南京市某校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)階段性考試數(shù)學(xué)試卷滿分150分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題（下列各題的備選答案中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確答案寫在括號(hào)中．每小題5分，共8小題，共計(jì)40分．）1．下列說法正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若，則 D．2．已知，則的值為（）A． B． C． D．3．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，，則該平面圖形的高為（）A． B．2 C． D．4．已知向量，滿足，，則（）A． B． C． D．5．已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．6．勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為?。ê它c(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的范圍為（）A． B． C． D．7．已知正四棱錐的側(cè)棱長為，且二面角的正切值為，則它的外接球表面積為（）A． B． C． D．8．在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為a，b，c若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題：（在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，本題共3小題，每小題6分，共18分．）9．下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．已知，，則10．下列說法中正確的為（）A．已知，，且與夾角為銳角，則B．中，若，，且有兩解，則的取值范圍為C．若，且，則外接圓半徑D．中，若，則11．已知正方體的棱長為3，在棱上，，，為的中點(diǎn)，則（）A．當(dāng)時(shí)，到平面的距離為B．當(dāng)時(shí)，C．三棱錐的體積不為定值D．與平面所成角的正弦值的取值范圍是三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．已知，，求的值是______．13．在平面四邊形中，，，，，，以直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，該幾何體的體積為______．14．四邊形是正方形，延長至點(diǎn)，使得，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（包含端點(diǎn)），設(shè)，求的取值范圍______．四．解答題：本題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．15．（本題小題13分）如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，．（1）若中點(diǎn)為，求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．16．（本題小題15分）已知向量，．（1）若，且，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，若，求的值．17．（本題小題15分）如圖，在菱形中，分別是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)．（1）用，表示，；（2）求的余弦值．18．（本題小題17分）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，是棱的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）若二面角的余弦值為，求異面直線與所成角的正切值．19．（本題小題17分）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角的大小；（2）若為銳角三角形，點(diǎn)為的垂心，，求的取值范圍．2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)階段性考試數(shù)學(xué)試卷滿分150分考試時(shí)間：120分鐘1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理得，即，所以，所以，即，所以或（舍去），則，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，又，解得，所以．因?yàn)椋缘娜≈捣秶鸀椋蚀鸢笧椋?，故選：D．9．【答案】BD10．【答案】BCD11．【答案】ABD【詳解】當(dāng)時(shí)與重合，則為正三棱錐，，設(shè)在平面內(nèi)的投影為，則為的中心，則，所以，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為，故正確；當(dāng)時(shí)，由正方體的性質(zhì)可得，平面，可得，B正確當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，到平面的距離保持不變?yōu)?，又，所以，所以三棱錐的體積為定值，故錯(cuò)誤；由可知，三棱錐的體積為定值，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，與平面所成角為，所以，顯然當(dāng)時(shí)，的面積最大為，則，此時(shí)與平面所成角正弦值，當(dāng)時(shí)，的面積最小為，則，此時(shí)與平面所成角正弦值，所以與平面所成角正弦值的取值范圍是，故正確．故選：ABD．12【答案】13．【答案】14．【答案】15．【答案】（1）證明見解析（3）【詳解】（1）∵為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面，∵是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，∵，，∵平面，，平面，∴平面，∵，平面，，∴平面平面（2）根據(jù)題意可得，∴，，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，根據(jù)等體積法可得，∴，解得，∴點(diǎn)到平面的距離為16．【詳解】解（1）由，可得因?yàn)?，所以，所以，所?6分（2），∴，所以17．【詳解】（1），，（2）根據(jù)題意，由（1）可得，，在平行四邊形中，，即為等邊三角形，所以，則，即則，因?yàn)?，，所?8．【詳解】（1）在四棱錐中，由底面為矩形，得，由側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，得平面，（少一個(gè)條件減2分，少2個(gè)及以上不得分）又平面，則，又側(cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，則，又，，平面，所以平面．（2）如圖，在正三角形內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為，∴，∵，側(cè)面底面，面面，面，∴底面，底面，則，過作，垂足為，連接，，，平面，則平面，而平面，∴，則即為二面角的平面角，即∴，∴在中，，∴，由，，得四邊形為平行四邊形，∴，由，得（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，由（1）知平面，則為直角三角形，，所以異面直線