備考2025屆高考數(shù)學一輪復習好題精練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點定值定線問題命題點1定點問題

突破3圓錐曲線中的定點、定值、定線問題命題點1定點問題例1[2024全國卷乙]已知橢圓C：y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的離心率為53，點A（－（1）求C的方程；（2）過點（－2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.解析（1）因為點A（－2，0）在C上，所以b＝2.因為橢圓的離心率e＝ca＝1－b2a2＝53，所以a2＝9，故橢圓（2）由題意知，直線PQ的斜率存在且不為0，設lPQ：y－3＝k（x＋2），P（x1，y1），Q（x2，y2），由y－3=k（x+2),y29＋x24=1，得（4k2＋9）x2＋（16k2＋24k）x＋16k2＋48k＝0，則Δ＝（16k2＋24k）2－4（4k2＋9）（故x1＋x2＝－16k2+24k4k2+9直線AP：y＝y(tǒng)1x1+2（x＋2），令x＝0，解得yM＝2y1則yM＋yN＝2×y＝2×（＝2×2＝2×2＝2×108＝6.所以MN的中點的縱坐標為yM＋yN2＝3，所以MN的中點為定點（方法技巧求解直線或曲線過定點問題的基本思路1.把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對隨意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點.2.由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y(tǒng)－y0＝k（x－x0），則直線必過定點（x0，y0）；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線必過定點（0，m）.3.從特別狀況入手，先探究定點，再證明該定點與變量無關.訓練1[2024全國卷乙]已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，－2），B（32，－1）兩點（1）求E的方程；（2）設過點P（1，－2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿意MT＝TH.證明：直線HN過定點.解析（1）∵橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，－2），∴可設橢圓E的方程為x2a2＋y24＝1，又橢圓E過B（∴94a2＋14＝1，得a∴E的方程為x23＋y（2）當直線MN的斜率不存在時，lMN：x＝1，由x=1，x23＋y24=1，得結合題意可知M（1，－223），N（1，∴過M且平行于x軸的直線的方程為y＝－22易知點T的橫坐標xT∈[0，32]，直線AB的方程為y－（－2）＝-1-(-2)32－0×（由y＝－223，y＝23x－2，得xT＝3∵MT＝TH，∴H（5－26，－22lHN：y－223＝42326－4（x－易知直線HN過定點（0，－2）.當直線MN的斜率存在時，如圖，設M（x1，y1），N（x2，y2），lMN：y＝kx＋m（k＋m＝－2）.由y＝kx＋m，x23＋y24=1，得（3k2＋4）x2＋6∴x1＋x2＝－6km3k2+4，x1過M且平行于x軸的直線的方程為y＝y(tǒng)1，與直線AB的方程聯(lián)立，得y＝y(tǒng)1，y＝∴T（3（y1+2）∵MT＝TH，∴H（3y1＋6－x1，y1），lHN：y－y2＝y(tǒng)1－y23y即y＝y(tǒng)1－y23y1+6－x令x＝0，得y＝y(tǒng)2－（y1－y2∵y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋mk（x1＋x2）＋m2＝－12k2+4m23k2+4，y1＋y2＝（kx1＋m）＋（kx2＋m）＝k（x1＋x2）＋2m＝8m3k2+4，x1y2＋x2y1＝x1（kx2＋m）＋x2（kx1＋m）＝2kx∴－（x1y2＋x2y1）＋3y1y2＝24k3k