備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層練習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第6講離散型隨機(jī)變量及其分布列數(shù)字特征

第6講離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征1.[2024福建福州聯(lián)考]已知隨機(jī)變量X的分布列為P（X＝i）＝ia（i＝1，2，3，4，5），則P（2≤X＜5）＝（CA.13 B.12 C.35 解析由分布列的性質(zhì)，知∑i=15ia＝1，解得a＝15，故P（2≤X＜5）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝215＋315＋42.[2024江蘇鎮(zhèn)江模擬]已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E（X）＝13，則DX=（X－201Pa1bA.4981 B.89 C.2327 解析因?yàn)镋（X）＝13，且各概率之和為1，所以－2所以D（X）＝19×（－2－13）2＋13×（0－13）2＋59×（1－13）3.設(shè)0＜a≤b，隨機(jī)變量X的分布列是X012Paba＋b則E（X）的取值范圍是（D）A.（12，1） B.（1，54] C.（1，32） D.[5解析由分布列的性質(zhì)可得0<a<1，0<b<1，0<a＋b<1，且a＋b＋（a＋b）＝2a＋2b＝1，即a＋b＝12，可得a＝12－b，結(jié)合0＜a≤b，得14≤b＜12.因?yàn)镋（X）＝0×a＋1×b＋2×（a＋b4.[浙江高考]設(shè)0＜a＜1.隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（D）A.D（X）增大B.D（X）減小C.D（X）先增大后減小 D.D（X）先減小后增大解析由分布列得E（X）＝1+a解法一D（X）＝（1+a3－0）2×13＋（1+a3－a）2×13＋（1+a3－1）2×13＝2所以當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，D（X）先減小后增大.故選D.解法二D（X）＝E（X2）－E2（X）＝0＋a23＋13－（a+1）29＝2a2－2a+29＝29[（a－12）25.[多選]已知14＜p＜1，隨機(jī)變量X的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（BDX012Pp－p21－pp2A.P（X＝2）的值最大B.P（X＝0）＜P（X＝1）C.E（X）隨p的增大而減小D.E（X）隨p的增大而增大解析當(dāng)p＝12時(shí)，P（X＝2）＝14，P（X＝1）＝1－12＝12＞因?yàn)?4＜p＜1，所以p－p2＝p（1－p）＜1－p，即P（X＝0）＜P（X＝1），BE（X）＝1－p＋2p2＝2（p－14）2＋78，因?yàn)?4＜p＜1，所以E（X）隨p的增大而增大，C錯(cuò)誤，6.[多選]已知A＝B＝{1，2，3}，分別從集合A，B中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a，b，得到平面上一個(gè)點(diǎn)P（a，b），設(shè)事務(wù)“點(diǎn)P恰好落在直線x＋y＝n上”對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量為X，PX=n＝Pn，X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E（X），D（A.P4＝2P2 B.P（3≤X≤5）＝7C.E（X）＝4 D.D（X）＝4解析因?yàn)锳＝B＝{1，2，3}，點(diǎn)P（a，b）恰好落在直線x＋y＝n上，所以X的值可以為2，3，4，5，6.又從A，B中分別任取一個(gè)數(shù)，共有9種狀況，所以P（X＝2）＝19，P（X＝3）＝29，P（X＝4）＝39＝13，P（X＝5）＝29，P（X＝6）＝19.對(duì)于A，P4＝3P2，故A不正確；對(duì)于B，P（3≤X≤5）＝29＋1對(duì)于C，E（X）＝2×19＋3×29＋4×13＋5×29＋6×19＝369＝4，故C正確；對(duì)于D，D（X）＝（2－4）2×19＋（3－4）2×29＋（4－4）2×13＋（5－4）2×29＋（6－4）27.若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參與者需從全部的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參與者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.若甲參與活動(dòng)，則甲得分X的均值E（X）＝421解析由題意知，“三位遞增數(shù)”總共有C93＝84（個(gè)），隨機(jī)變量X的取值為0，－1，1，因此，P（X＝0）＝C83C93＝23，P（X＝－1）＝C42C93＝114，P所以X的分布列為X0－11P2111則E（X）＝0×23＋（－1）×114＋1×11428.[2024惠州市一調(diào)]學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)競(jìng)賽.經(jīng)多輪競(jìng)賽后，由老師甲、乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得－5分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目競(jìng)賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知老師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.4，0.5，0.75，各項(xiàng)目競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙獲得冠軍的概率分別記為p1，p2.（1）用X表示老師乙的總得分，求X的分布列與期望.（2）假如｜p1－p2｜≥2｜p12－p22解析（1）依據(jù)題意知，X的全部可能取值為－15，0，15，30.可得P（X＝－15）＝0.4×0.5×0.75＝0.15，P（X＝0）＝0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.425，P（X＝15）＝0.4×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.75＝0.35，P（X＝30）＝0.6×0.5×0.25＝0.075.∴X的分布列為X－1501530P0.150.4250.350.075∴E（X）＝－15×0.15＋0×0.425＋15×0.35＋30×0.075＝5.25.（2）設(shè)老師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事務(wù)依次為A，B，C，由題意知A，B，C相互獨(dú)立，則老師甲獲得冠軍的概率p1＝P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＝0.4×0.5×0.75＋0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.15＋0.225＋0.15＋0.05＝0.575.由對(duì)立事務(wù)的概率公式，可得p2＝1－p1＝0.425，∴2｜p12－p22｜5+0.1＝∵｜p1－p2｜＜2｜∴甲、乙獲得冠軍的實(shí)力沒有明顯差別.9.[2024重慶市三檢]在“五一”節(jié)日期間，某商場(chǎng)打算實(shí)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買超過確定金額的商品后均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：將質(zhì)地勻整的轉(zhuǎn)盤平均分成n（n∈N*，n≥3）個(gè)扇區(qū)，每個(gè)扇區(qū)涂一種顏色，全部扇區(qū)的顏色各不相同，顧客抽獎(jiǎng)時(shí)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤三次，記錄每次轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針?biāo)干葏^(qū)內(nèi)的顏色（若指針指在分界線處，本次轉(zhuǎn)動(dòng)無效，需重轉(zhuǎn)一次），若三次顏色都一樣，則獲得一等獎(jiǎng)；若其中兩次顏色一樣，則獲得二等獎(jiǎng)；若三次顏色均不一樣，則獲得三等獎(jiǎng).（1）若一、二等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)概率之和不大于49，求n（2）規(guī)定一等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金108元，二等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金60元，三等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金18元，在n?。?）中的最小值的狀況下，求顧客在一次抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析（1）設(shè)“獲得三等獎(jiǎng)”為事務(wù)A，由題意得P（A）≥59又P（A）＝An3n∴（n－1)(n－2）n2≥59，整理得解得n≥6或n≤34（舍去）（留意n∈N*∴n的最小值為6.（2）設(shè)顧客在一次抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額為隨機(jī)變量ξ，則ξ的全部可能取值為108，60，18，依據(jù)題意得P（ξ＝108）＝C6163＝136，P（ξ＝60）＝CP（ξ＝18）＝C63A33∴ξ的分布列為ξ1086018P155∴E（ξ）＝108×136＋60×512＋18×510.[2024南昌市模擬]黨建學(xué)問競(jìng)賽有兩關(guān)，某學(xué)校代表隊(duì)有四名隊(duì)員，這四名隊(duì)員通過競(jìng)賽的概率見下表：隊(duì)員第一關(guān)其次關(guān)甲32乙32丙21丁21競(jìng)賽規(guī)則是：從四名隊(duì)員中隨機(jī)選出兩名隊(duì)員分別參與競(jìng)賽，每個(gè)隊(duì)員通過第一關(guān)可以得60分，且有資格參與其次關(guān)競(jìng)賽，若沒有通過，得0分且沒有資格參與其次關(guān)競(jìng)賽，若通過其次關(guān)可以再得40分，若沒有通過，不再加分.兩名參賽隊(duì)員所得總分為該代表隊(duì)的得分，代表隊(duì)得分不低于160分，可以獲得“黨建優(yōu)秀代表隊(duì)”稱號(hào).假設(shè)兩名參賽隊(duì)員的結(jié)果互不影響.（1）求這次競(jìng)賽中，該校獲得“黨建優(yōu)秀代表隊(duì)”稱號(hào)的概率；（2）若這次競(jìng)賽中，選中了甲、乙兩名隊(duì)員參賽，記該代表隊(duì)的得分為X，求隨機(jī)變量X的分布列、期望和方差.解析（1）記“選甲、乙兩名隊(duì)員參賽”為事務(wù)A1，“選甲、乙其中一人，丙、丁其中一人參賽”為事務(wù)A2，“選丙、丁兩名隊(duì)員參賽”為事務(wù)A3，“獲得‘黨建優(yōu)秀代表隊(duì)’稱號(hào)”為事務(wù)B.則P（A1）＝C22C42＝16，P（A2）＝C21C21C4P（B）＝P（A1B＋A2B＋A3B）＝16×（34）2×[（23）2＋2×23×13]＋23×34×23×（23×12＋13×12＋23×12）＋16×（23）2×[（12）（2）X的可能取值為0，60，100，120，160，200.P（X＝0）＝（14）2＝1P（X＝60）＝2×34×13×14P（X＝100）＝2×34×23×14P（X＝120）＝（34）2×（13）2＝P（X＝160）＝（34）2×2×23×13P（X＝200）＝（34）2×（23）2＝所以隨機(jī)變量X的分布列為X060100120160200P111111所以E（X）＝0×116＋60×18＋100×14＋120×116＋160×14＋200D（X）＝（0－130）2×116＋（60－130）2×18＋（100－130）2×14＋（120－130）2×116＋（160－130）2×14＋（200－130）11.某新型雙軸承電動(dòng)機(jī)須要裝配兩個(gè)軸承才能正常工作，且兩個(gè)軸承互不影響.現(xiàn)支配購置甲、乙兩個(gè)品牌的軸承，兩個(gè)品牌軸承的運(yùn)用壽命及價(jià)格狀況如下表：品牌價(jià)格/（元/件）運(yùn)用壽命/月甲10007或8乙4003或4已知甲品牌運(yùn)用7個(gè)月或8個(gè)月的概率均為12，乙品牌運(yùn)用3個(gè)月或4個(gè)月的概率均為1（1）若從4件甲品牌和2件乙品牌共6件軸承中，任選2件裝入電動(dòng)機(jī)內(nèi)，求電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間不少于4個(gè)月的概率.（2）現(xiàn)有兩種購置方案，方案一：購置2件甲品牌；方案二：購置1件甲品牌和2件乙品牌（甲、乙兩品牌軸承搭配運(yùn)用）.試從性價(jià)比（即電動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)間與購置軸承的成本之比）的角度考慮，選擇哪一種方案更實(shí)惠？解析（1）電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間不少于4個(gè)月共有三種狀況：①裝入兩件甲品牌，概率為C42C②裝入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的運(yùn)用壽命為4個(gè)月，概率為C41×C2③裝入兩件乙品牌，且兩件的運(yùn)用壽命均為4個(gè)月，概率為C22C62×1∴電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間不少于4個(gè)月的概率P＝25＋415＋160（2）若接受方案一，設(shè)電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間為X（單位：月），則X的可能取值為7，8，P（X＝8）＝12×12＝14，P（X＝7）＝1－P（X＝8）∴X的分布列為X78P31∴E（X）＝7×34＋8×14＝294，它與購置軸承的成本之比為E若接受方案二，設(shè)兩件乙品牌軸承運(yùn)用壽命之和為Y（單位：月），則Y的可能取值為6，7，8，P（Y＝6）＝12×12＝14，P（Y＝7）＝2×12×12＝12，P（Y＝8）＝設(shè)甲品牌軸承的運(yùn)用壽命為M（單位：月），此時(shí)電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間為Z（單位：月），則Z的可能取值為6，7，8，P（Z＝6）＝P（Y＝6）＝14P（Z＝7）＝P（M＝7，Y≥7）＋P（M＝8，Y＝7）＝12×34＋12×1P（Z＝8）＝P（M＝Y(jié)＝8）＝12×14＝∴Z的分布列為Z678P151∴E（Z）＝6×14＋7×58＋8×18＝558，它與購置軸承的成本之比為∵298000＜112880，∴12.[設(shè)問創(chuàng)新/2024長沙一中等校聯(lián)考]甲、乙兩家公司聘請(qǐng)高級(jí)軟件工程師，應(yīng)聘程序都是應(yīng)聘者先進(jìn)行三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試，專業(yè)技能測(cè)試通過項(xiàng)數(shù)越多，聘用可能性越大，程序員小明打算應(yīng)聘這兩家公司.已知小明應(yīng)聘甲公司，每項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試通過的概率均為23；小明應(yīng)聘乙公司，三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試通過的概率依次為56，23，m，其中0＜m＜（1）若m＝23，分別求小明應(yīng)聘甲、乙兩家公司，三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試恰好通過兩項(xiàng)的概率（2）若甲、乙兩家公司的聘請(qǐng)?jiān)谕粫r(shí)間進(jìn)行，小明只能應(yīng)聘其中一家，則當(dāng)m的取值在什么范圍內(nèi)時(shí)，小明應(yīng)選擇應(yīng)聘乙公司？解析（1）設(shè)A＝“小明應(yīng)聘甲公司恰好通過兩項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試”，B＝“小明應(yīng)聘乙公司恰好通過兩項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試”，依據(jù)題意可得P（A）＝C32×（23）2×（1－23P（B）＝56×C21×23×（1－23）＋（1－56）×（2）設(shè)小明應(yīng)聘甲公司通過測(cè)試的項(xiàng)數(shù)為X，應(yīng)聘乙公司通過測(cè)試的項(xiàng)數(shù)為Y，依據(jù)題意可知，X～B（3，23），則E（X）＝3×23Y的全部可能取