高二數(shù)學(xué)考點講解練（人教A版2019選擇性必修第一冊）2.3 直線的交點坐標(biāo)與距離公式(附答案)

2.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式【考點梳理】考點一：兩條直線的交點坐標(biāo)1．兩直線的交點已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點A(a，b)．(1)若點A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點A是直線l1與l2的交點，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行考點二：兩點間的距離公式（1）點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)(2)原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).考點三：兩條平行直線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【題型歸納】題型一：直線的交點坐標(biāo)1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））已知直線，，則過和的交點且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇·高二單元測試）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（

）A．無論，，如何，方程組總有解B．無論，，如何，方程組總有唯一解C．存在，，，方程組無解D．存在，，，方程組無窮多解3．（2022·山東濱州·高二期末）直線l經(jīng)過兩條直線和的交點，且平行于直線，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．題型二：由直線交點個數(shù)求參數(shù)4．（2020·安徽·合肥市第六中學(xué)高二期中（理））已知直線l過定點，且與以，為端點的線段（包含端點）沒有交點，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2020·重慶市暨華中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知兩定點，，直線過且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．或6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點，，若直線與線段相交，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三：直線交點系方程及其應(yīng)用7．（2022·全國·高二）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若P(2,3)既是的中點,又是直線與直線的交點,則線段AB的中垂線方程是（

）A． B．C． D．9．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為()A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0題型五：兩點間的距離公式應(yīng)用10．（2021·福建三明·高二期中）已知直線：與直線：的交點為，則點與點間的距離為（

）A． B． C． D．11．（2021·河北唐山·高二期中）已知三頂點為、、，則是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形12．（2021·全國·高二）直線上與點的距離等于的點的坐標(biāo)是（

）A． B．C．或 D．或題型六：兩點間的距離公式求函數(shù)最值問題13．（2021·全國·高二專題練習(xí)）函數(shù)y＝的最小值是（

）A．0 B． C．13 D．不存在14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C．4 D．815．（2021·全國·高二期中）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型七：點到直線的距離問題16．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）點到直線和直線的距離相等，則點P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的是（

）．A．或 B．或C． D．17．（2018·安徽·銅陵一中高二期中）設(shè)m，，若直線l：與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，且坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，則的面積S的最小值為A． B．2 C．3 D．418．（2021·河北·張家口市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．題型七：點、直線的對稱問題19．（2021·安徽省六安中學(xué)高二期中（理））直線分別交軸和于點，為直線上一點，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（2021·江蘇南京·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于直線的對稱點為（

）A． B． C． D．21．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一束光線從點A（1，2）出發(fā)，被直線反射后到達(dá)點B（3，6），則這束光線從A到B所經(jīng)過的距離為（

）A． B． C．4 D．5題型八：兩條平行直線間的距離22．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．23．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（

）A．25或－5 B．25 C．5 D．21或－924．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，過點E作與AB所在直線的平行線l.若AB和CD所在直線的方程分別是與，則直線l與CD所在直線的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型九：直線距離和平行的綜合問題25．（2021·重慶市天星橋中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線和的交點為．（1）若直線經(jīng)過點且與直線平行，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點且與x軸，y軸分別交于A，B兩點，P為線段AB的中點，求的面積（其中O為坐標(biāo)原點）．26．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知的頂點，邊上的高所在的直線方程為，為的中點，且所在的直線方程為.(1)求頂點的坐標(biāo)；(2)求過點且在軸、軸上的截距相等的直線的方程.27．（2022·全國·高二）已知直線方程為.（1）證明：直線恒過定點；（2）為何值時，點到直線的距離最大，最大值為多少?（3）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點，求面積的最小值及此時直線的方程.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題28．（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．29．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于對稱直線，直線的方程是（

）A． B．C． D．30．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點為直線上的動點，，則m的最小值為（

）A．5 B．6 C． D．31．（2021·安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）光線從點射到軸上，經(jīng)軸反射以后過點，光線從A到B經(jīng)過的路程為（

）A． B． C． D．32．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，兩點到直線的距離相等，則實數(shù)a的值為（

）A．－3 B．3 C．－1 D．－3或333．（2022·全國·高二單元測試）的頂點A，B的坐標(biāo)分別為．(1)求線段AB的中垂線在x軸上的截距；(2)若點C的坐標(biāo)為，求△ABC垂心的坐標(biāo)．34．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知兩直線l1與l2，直線l1經(jīng)過點（0，3），直線l2過點（4，0），且l1∥l2．(1)若l1與l2距離為4，求兩直線的方程；(2)若l1與l2之間的距離最大，求最大距離，并求此時兩直線的方程．【高分突破】35．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）若直線與直線之間的距離不大于，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．或36．（2022·全國·高二課時練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．37．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知平面上一點，若直線上存在點這使，則稱該直線為“切割型直線”.給出直線：①；②；③，其中是“切割型直線”的是（

）A．②③ B．① C．①② D．①③38．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知O為坐標(biāo)原點，直線上存在一點P，使得，則k的取值范圍為（

）A． B．C． D．39．（2022·江西撫州·高二期末）已知點，和直線，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點P，使，且點P到直線l的距離為2，則點P的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或40．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A． B． C． D．41．（2022·青海海東·高二期末（理））數(shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的三個頂點分別為，，，則的歐拉線方程是（

）A． B． C． D．42．（2022·山東淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上（不含端點），則FD斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．43．（2022·四川南充·高二期末（理））設(shè)，其中.則的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．二、多選題44．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（

）A．點到直線的距離為B．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為45．（2022·江蘇·高二單元測試）已知頂點坐標(biāo)是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若為直角三角形，則或 B．若為銳角三角形，則C．若為鈍角三角形，則或 D．若為等腰三角形，則46．（2022·江蘇·高二）下列說法中，正確的有（

）A．點斜式可以表示任何直線B．直線在軸上的截距為C．直線關(guān)于對稱的直線方程是D．點到直線的的最大距離為47．（2022·黑龍江雙鴨山·高二期末）下列結(jié)論正確的有（

）A．已知點，，若直線與線段相交，則的取值范圍是B．點關(guān)于的對稱點為C．直線方向向量為，則此直線傾斜角為D．若直線與直線平行，則且兩條直線間距離為48．（2022·江蘇南京·高二期末）下列說法正確的是（

）A．點到直線的距離為B．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8.D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為.49．（2021·重慶市兩江中學(xué)校高二階段練習(xí)）下列說法錯誤的有（

）A．直線的斜率不存在B．直線到直線的距離為C．方程與方程可表示同一條直線D．直線

與y軸交于一點

，其中截距

50．（2022·江蘇·高二單元測試）已知直線，，則（

）A．若，則 B．若，則C．當(dāng)時，與相交，交點為 D．當(dāng)時，不經(jīng)過第三象限三、填空題51．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為______．52．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過兩直線與的交點，且與直線垂直的直線的方程為______．53．（2022·全國·高二課時練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難人微”，事實上，很多代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點之間的距離，結(jié)合．上述觀點，可得的最小值為______．54．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線m經(jīng)過直線與直線的交點，且點到直線m的距離為1，則直線m的方程為________．55．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖已知，若光線從點射出，直線反射后到直線上，在經(jīng)直線反射回原點，則光線所在的直線方程為________．56．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點分別在直線：與直線：上，且，點，則的最小值為____．解答題57．（2022·江蘇·連云港高中高二開學(xué)考試）已知△ABC的頂點A（-1，5），B（-1，-1），C（3，7）.(1)求邊BC上的高AD所在直線的方程；(2)求邊BC上的中線AM所在直線的方程；(3)求△ABC的面積.58．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線，點．(1)求點關(guān)于直線的對稱點；(2)求直線，關(guān)于點的對稱直線的方程．59．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且_____．試從以下兩個條件中任選一個補充在上面的問題中，完成解答，若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．①與直線平行，②直線在軸上的截距為．(1)求直線的方程；(2)求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．60．（2022·江蘇·高二單元測試）直線，相交于點，其中.(1)求證：、分別過定點、，并求點、的坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時，的面積取得最大值，并求出最大值.【答案詳解】1．D【分析】由于所求出直線與直線垂直，所以設(shè)所求直線為，然后求出兩直線的交點坐標(biāo)，代入上式方程可求出，從而可求出直線方程【詳解】由于所求出直線與直線垂直，所以設(shè)所求直線為，由，得，即和的交點為，因為直線過點，所以，得，所以所求直線方程為，故選：D2．B【分析】通過與是直線上，推出的關(guān)系，然后解方程組即可.【詳解】已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，所以,即,并且，.所以得：即,所以方程組有唯一解.故選：B3．B【分析】聯(lián)立已知兩條直線方程求出交點，再根據(jù)兩直線平行則斜率相同求出斜率即可.【詳解】由得兩直線交點為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故選：B.4．A【解析】根據(jù)圖象以及斜率公式確定直線l的斜率k的取值范圍.【詳解】如圖，要使直線l以，為端點的線段（包含端點）沒有交點，則或,因為，所以直線l的斜率k的取值范圍是；故選：A【點睛】本題考查斜率公式以及直線交點，考查基本分析判斷求解能力，屬基礎(chǔ)題.5．D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，求出PM，PN的斜率，再利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：，因為直線過且與線段相交，所以的斜率的取值范圍是或.故選：D【點睛】本題主要考查直線的斜率和直線相交問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.6．D【分析】確定直線過定點，只要求出直線的斜率，由圖形可得結(jié)論．【詳解】直線恒過點，直線斜率，直線斜率，結(jié)合圖象可得k的取值范圍是.故選：D．7．A【分析】求得直線恒過的定點，判斷兩直線位置關(guān)系，找到與的關(guān)系，利用均值不等式求最值.【詳解】直線可整理為，故恒過定點，即為A的坐標(biāo)；直線整理為，故恒過定點，即為B坐標(biāo)；又兩條直線垂直，故可得，即整理得解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值.故選：A.8．A【分析】直線與直線方程相減可得：，把點代入可得：，進(jìn)而得出線段的中垂線方程．【詳解】解：直線與直線方程相減可得：，把點代入可得：，線段的中垂線方程是，化為：．故選．【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9．A【分析】聯(lián)立直線方程求出交點坐標(biāo)，利用兩直線垂直的條件求出斜率，點斜式寫出直線方程.【詳解】解得因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直所以所求直線方程：4x－3y＋9＝0故選A【點睛】本題考查直線方程，確定直線方程一般有兩種途徑：1.確定直線上不同的兩點，通過直線方程的兩點式確定；2.確定直線的斜率和直線上的一點，通過直線方程的點斜式確定.10．D【分析】由題聯(lián)立得，再根據(jù)距離公式求解即可.【詳解】解：聯(lián)立方程，解得，所以，所以故選：D11．B【分析】由向量的坐標(biāo)表示有，，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可判斷三角形的形狀.【詳解】由已知，，，∴，即，∴是直角三角形.故選：B.12．C【分析】設(shè)所求點坐標(biāo)為，根據(jù)已知條件列方程，由此求得正確答案.【詳解】設(shè)所求點的坐標(biāo)為，有，且，兩式聯(lián)立解得或.故選：C13．B【分析】把函數(shù)表達(dá)式化簡為，利用兩點間的距離公式即可求得.【詳解】解析：原函數(shù)可化為，y可看成點到點和的距離之和，如圖，則y＝|PA|＋|PB|，∵P是x軸上的動點，A，B是兩個定點，∴|PA|＋|PB|≥|AB|＝，∴當(dāng)P，A，B三點共線時，ymin＝，故選：B.【點晴】此題關(guān)鍵是整理函數(shù)表達(dá)式，找到它的幾何意義，要注意距離公式的變形應(yīng)用.14．B【解析】函數(shù)表示點到點和的距離之和，畫出圖像，根據(jù)對稱得到最小值.【詳解】表示點到點和的距離之和，如圖所示：點是關(guān)于軸的對稱點，故最小值為此時，取故選：【點睛】本題考查了函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化為兩點間距離是解題的關(guān)鍵.15．C【分析】問題轉(zhuǎn)化為點到點的距離的平方，等價于在直線上找一點，使得它到圖象的距離的平方最小，利用函數(shù)圖象的對稱性即可得解.【詳解】可看成點到點的距離的平方，點在直線的圖象上，點在反比例函數(shù)的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為在圖象上找一點，使得它到直線的距離的平方最小.注意到反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，直線也關(guān)于對稱，觀察圖象知點P到直線的距離最短，，最短距離為，所以的最小值為.故選：C【點睛】本題考查兩點之間的距離，利用化歸與轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為在直線上找一點使得它到圖象的距離的平方最小，借助函數(shù)圖象的對稱性解決問題，屬于中檔題.16．A【分析】利用點到直線的距離求解.【詳解】解：因為點到直線和直線的距離相等，所以，化簡得：或，故選：A17．C【解析】由距離公式可得，面積為，由基本不等式可得答案．【詳解】解：由坐標(biāo)原點到直線的距離為，可得，化簡可得，令，可得，令，可得，故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故選：C．【點睛】本題考查點到直線的距離公式，涉及基本不等式的應(yīng)用和三角形的面積，屬于中檔題．18．C【解析】首先求得直線與直線的交點的坐標(biāo)，利用到直線的距離相等列方程，解方程求得點的坐標(biāo).利用到直線的距離以及的長，求得三角形的面積.【詳解】直線的方程為，即.由解得.設(shè)，直線的方程分別為，即，.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，到直線的距離相等，所以，，由于，所以上式可化為，兩邊平方并化簡得，解得（），所以.所以到直線的距離為，而，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點坐標(biāo)，考查點到直線距離公式、兩點間的距離公式，考查角平分線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19．A【分析】先求得兩點的坐標(biāo)，求得關(guān)于對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)三點共線求得的最大值.【詳解】依題意可知，關(guān)于直線的對稱點為，，即求的最大值，，當(dāng)三點共線，即與原點重合時，取得最大值為，也即的最大值是.故選：A20．B【分析】設(shè)對稱點為，由與點所在的直線垂直于且中點在直線上列方程組即可求解.【詳解】設(shè)對稱點為，由題意可得，解得，即對稱點為，故選：B.21．B【分析】作出點A關(guān)于直線的對稱點，連接，利用光線關(guān)于直線對稱得到即為光線經(jīng)過路程的最小值，再利用兩點間的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】作出點A關(guān)于直線的對稱點，連接，交直線于點，則即為光線經(jīng)過路程的最小值，且，此即光線從A到B所經(jīng)過的距離為.故選：B．22．D【分析】先由平行求出，再由平行線間距離公式求解即可.【詳解】由直線平行可得，解得，則直線方程為，即，則距離是.故選：D.23．A【分析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為直線：與：平行，所以有，因為兩條平行直線：與：間的距離為3，所以，或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故選：A24．B【分析】先求得直線AB和CD之間的距離，再求直線l與CD所在直線的距離即可解決.【詳解】梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，則有△與△相似，相似比為，則，點E到CD所在直線的距離為AB和CD所在直線距離的又AB和CD所在直線的距離為，則直線l與CD所在直線的距離為2故選：B25．（1）；（2）30【分析】（1）先求出交點P的坐標(biāo)和直線的斜率，再用點斜式求直線的方程；（2）先求出A、B兩點的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式，求得的面積．【詳解】解：（1）由，解得：，可得直線和的交點為，由于直線l3的斜率為，故過點P且與直線平行的直線l的方程為，即；（2）由題意知：直線m的斜率存在且不為零，設(shè)直線m的斜率為k，則直線m的方程為，由于直線m與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且為線段AB的中點，故：，，解得，故，故的面積為.26．（1）（2）或【分析】（1）首先確定直線的斜率，從而得到直線的方程；因為點是直線與的交點，聯(lián)立兩條直線可求得點坐標(biāo)；（2）設(shè)，利用中點坐標(biāo)公式表示出；根據(jù)在直線上，在直線上，可構(gòu)造方程組，求得點坐標(biāo)；根據(jù)截距相等，可分為截距為和不為兩種情況來分別求解出直線方程.【詳解】（1）由已知得：直線的方程為：，即：由，解得：的坐標(biāo)為（2）設(shè)，則則，解得：直線在軸、軸上的截距相等當(dāng)直線經(jīng)過原點時，設(shè)直線的方程為把點代入，得：，解得：此時直線的方程為：當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的方程為把點代入，得：，解得：此時直線的方程為直線的方程為：或【點睛】本題考查直線交點、直線方程的求解問題，易錯點是在已知截距相等的情況下，忽略截距為零的情況，造成丟根.27．（1）證明見解析；（2）時，距離最大，最大值為；（3）面積的最小值為，此時直線方程為.【分析】（1）整理直線方程可得方程組，解方程組可求得定點坐標(biāo)；（2）易知當(dāng)定點與連線垂直時，點到直線距離最大；求出方程后，利用直線垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得；利用兩點間距離公式可求得最大值；（3）利用直線方程可坐標(biāo)，并確定的取值范圍，利用表示出，可得一個分式型的函數(shù)，通過換元法可表示出，由二次函數(shù)最值的求解方法可求得所求面積最小值，并求得的值，由此可得直線方程.【詳解】（1）由直線方程整理可得：，由得：，直線恒過定點；（2）由（1）知：直線恒過定點，則當(dāng)與直線垂直時，點到直線距離最大，又所在直線方程為：，即，當(dāng)與直線垂直時，，解得：；則最大值；（3）由題意知：直線斜率存在且不為零，令得：，即；令得：，即；又位于軸的負(fù)半軸，，解得：；，令，則，，，，，則當(dāng)，即時，，，此時直線的方程為：.28．B【分析】聯(lián)立兩直線方程，求出交點坐標(biāo)，由已知條件列出不等式組，求解即可．【詳解】將兩直線方程組成方程組，解得，因為直線與直線的交點在第一象限，所以解得故選：B29．C【分析】根據(jù)題意可知直線與直線交于點，求出原點關(guān)于直線對稱的對稱點B，利用兩點坐標(biāo)求直線斜率公式和直線的點斜式方程即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，直線與直線交于點，直線過原點，因為直線與直線l關(guān)于直線對稱，所以原點關(guān)于直線的對稱點為，且直線l過點A、B，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即.故選：C30．C【分析】根據(jù)兩點之間距離最小結(jié)合點關(guān)于直線的對稱性即可根據(jù)兩點間距離公式求解.【詳解】表示點到點和點的距離之和．因為點關(guān)于直線的對稱點為，所以m的最小值為點與點之間的距離，即．此時點為與的交點.故選：C【點睛】31．C【分析】先求出點關(guān)于軸的對稱點為，再計算即為所求.【詳解】點關(guān)于軸的對稱點為，則光線從A到B經(jīng)過的路程為的長度，即.故選：C.32．D【分析】方法一：根據(jù)點到線的距離公式求解即可，方法二：數(shù)形結(jié)合分析可得直線或AB的中點在直線l上，再分別計算即可.【詳解】方法一

由題意得，即，所以或，解得或．方法二

因為A，B兩點到直線l的距離相等，則直線或AB的中點在直線l上，則或，得或3．故選：D33．(1)-3；(2)【分析】（1）求出AB的中點和直線AB的斜率，再求出線段AB中垂線的斜率，即可得到答案；（2）求出AB邊上的高所在直線的斜率，得到AB邊上的高所在直線的方程，同理可得AC邊上的高所在直線的方程，兩條方程聯(lián)立即可得到答案（1）∵△ABC的頂點A，B的坐標(biāo)分別為，∴AB的中點是，直線AB的斜率是，∵線段AB中垂線與線段AB垂直，∴線段AB中垂線的斜率是，∴線段AB的中垂線方程是，即x－3y＋3＝0，令y＝0，得x＝－3，即線段AB的中垂線在x軸上的截距為-3；（2）∵，∴AB邊上的高所在直線的斜率為，∵，∴AB邊上的高所在直線的方程為，即x－3y=0，∵，∴AC邊上的高所在直線的斜率為，∵，∴AC邊上的高所在直線的方程為，即2x＋3y-19=0，聯(lián)立x－3y=0和2x＋3y-19=0，得，，∴△ABC垂心的坐標(biāo)為34．(1)l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4(2)最大距離為5；l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0【分析】（1）分兩類討論：①若l1，l2的斜率都存在，設(shè)其斜率為k，寫出兩條直線的方程，由點到直線的距離公式求出斜率k即可，②若l1、l2的斜率都不存在，則l1：x＝0，l2：x＝4，然后驗證距離是否等于4即可．（2）當(dāng)直線l1，l2均與兩點的連線垂直時，l1與l2的距離最大，由兩點間距離公式求出最大距離，由兩條直線的垂直關(guān)系求出斜率，再根據(jù)點斜式或斜截式寫直線的方程即可．（1）①若l1，l2的斜率都存在，設(shè)其斜率為k，由斜截式得l1的方程y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，由點斜式得l2的方程y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，在直線l1上取點A（0，3），則點A到直線l2的距離為d4，化簡得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k，∴l(xiāng)1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0．②若l1、l2的斜率都不存在，則l1的方程為x＝0，l2的方程為x＝4，它們之間的距離為4，滿足條件，綜上所述，兩條直線的方程為l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4．（2）當(dāng)直線l1，l2均與兩點的連線垂直時，l1與l2的距離最大，兩點連線的直線的斜率為，∴直線l1與l2的斜率均為，此時，最大距離為5，l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0．35．B【分析】利用平行線之間的距離列出不等式求解即可.【詳解】直線化為，則兩直線之間的距離，即，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.36．A【分析】先找出B關(guān)于直線的對稱點C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.【詳解】如圖所示，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，在直線上取點P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點共線時等號成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．37．A【分析】根據(jù)點到直線的距離判斷各直線.【詳解】設(shè)點到直線的距離為，①，即，，故直線上不存在到點的距離等于的點，不是“切割型直線”；②，所以在直線上可以找到兩個不同的點，使到點的距離等于，是“切割型直線”；③，即，，故直線上存在一個點，使到點的距離等于，是“切割型直線”；故選：A.38．C【分析】根據(jù)題意得坐標(biāo)原點到直線距離，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】點到直線的距離為，由題意得坐標(biāo)原點到直線距離，，所以，解得所以k的取值范圍為.故選：C.39．C【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)，點到直線的距離為，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)點的坐標(biāo)為，線段的中點的坐標(biāo)為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點在直線上，∴，又點到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點的坐標(biāo)為或，故選：C40．D【分析】先求點關(guān)于直線對稱的點，再根據(jù)兩點之間線段最短，即可得解.【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線對稱的點為，則有，可得，可得，依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為，此時，故選：D.41．B【分析】根據(jù)的三個頂點坐標(biāo)，先求解出重心的坐標(biāo)，然后再根據(jù)三個點坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線的方程，聯(lián)立方程，即可算出外心的坐標(biāo)，最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點斜式寫出直線方程.【詳解】由題意可得的重心為．因為，，所以線段的垂直平分線的方程為．因為，，所以直線的斜率，線段的中點坐標(biāo)為，則線段的垂直平分線的方程為．聯(lián)立，解得，則的外心坐標(biāo)為，故的歐拉線方程是，即．故選：B.42．B【分析】根據(jù)光線的入射光線和反射光線之間的規(guī)律，可先求F點關(guān)于直線BC的對稱點P，再求P關(guān)于直線AC的對稱點M,由此可確定動點D在直線BC上的變動范圍，進(jìn)而求的其斜率的取值范圍.【詳解】由題意可知：直線的方程為，直線的方程為，如圖：設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則,解得，故，同理可求關(guān)于直線的對稱點為,連接,交于N，而MN方程為y=2,聯(lián)立得N點坐標(biāo)為，連接，分別交于,方程為：，和直線方程聯(lián)立，解得H點坐標(biāo)為,PN的方程為x=2,和直線方程聯(lián)立解得，連接,則之間即為動點D點的變動范圍，而,故FD斜率的取值范圍是，故選B.43．B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為動點到點距離之和最小求解.【詳解】解：設(shè)，則表示：，又直線AB與y軸相交于點，所以，所以，當(dāng)點P為時，等號成立，故的最小值為9，故選：B44．ACD【分析】對于A，根據(jù)點到直線的距離公式計算可判斷；對于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無斜率，故B正確；對于C，將直線令和令求得，再根據(jù)三角形的面積公式計算可判斷；對于D，分直線過原點和直線不過原點時，分別設(shè)直線的方程，代入已知點求解即可.【詳解】對于A，點到直線的距離為，故A錯誤；對于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無斜率，故B正確；對于C，直線，令得，令得，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故C不正確；對于D，經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線，當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線的方程為，代入點得，此時直線的方程為，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，代入點得，此時方程為，故D不正確；故選：ACD.45．AB【分析】畫出圖像，逐一分析，即可.【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點與D、F重合時，為直角三角形，此時或，故A對，當(dāng)點介于D、F之間時，為銳角三角形，此時，故B對，當(dāng)點于位于D點左側(cè)且不與B點重合時，為鈍角三角形，此時且，故C錯誤，當(dāng)點與E、F、G重合時，為等腰三角形，此時或，故D錯誤，故選：AB.46．BD【分析】點斜式方程不能表示斜率不存在的直線判斷A；直接令求解直線在軸上的截距判斷B；結(jié)合關(guān)于直線對稱的點的關(guān)系求解判斷C；結(jié)合直線過定點求解即可判斷D.【詳解】解：對于A選項，點斜式方程不能表示斜率不存在的直線，故錯誤；對于B選項，令得，所以直線在軸上的截距為，正確；對于C選項，由于點關(guān)于直線對稱的點為，所以直線關(guān)于對稱的直線方程是，故錯誤；對于D選項，由于直線，即直線過定點，所以點到直線的的最大距離為，故正確.故選：BD47．BCD【分析】按照題意，作圖，分析其中的幾何關(guān)系，用代數(shù)式表達(dá)出來即可.【詳解】選項A，作圖如下：直線l過定點，若與線段AB相交，則，，直線l的斜率，故A錯誤；選項B，點與點的中點坐標(biāo)為在直線上，并且兩點連線的斜率，與直線的斜率乘積為-1，故B正確；選項C，因為方向向量為，傾斜角的正切為，又,傾斜角為，故C正確；選項D，由兩直線平行可得，則，此時，即，所以兩平行線的距離，故D正確；故選：BCD.48．AB【分析】對于A，根據(jù)點到直線的距離公式計算可判斷；對于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無斜率，故B正確；對于C，將直線令和令求得，再根據(jù)三角形的面積公式計算可判斷；對于D，分直線過原點和直線不過原點時，分別設(shè)直線的方程，代入已知點求解即可.【詳解】解：對于A，點到直線的距離為，故A正確；對于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無斜率，故B正確；對于C，直線，令得，令得，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故C不正確；對于D，經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線，當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線的方程為，代入點得，此時直線的方程為，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，代入點得，此時方程為，故D不正確；故選：AB.49．BCD【分析】根據(jù)直線的斜率，平行線間的距離、直線方程的知識確定正確答案.【詳解】A選項，直線的傾斜角為，斜率不存在，A選項正確.B選項，，所以直線到直線的距離為，B選項錯誤.C選項，不滿足方程，滿足方程，所以C選項錯誤.D選項，就是截距，可正，可負(fù)，可為0，不是，所以D選項錯誤.故選：BCD50．BD【分析】利用直線與直線垂直判斷A，利用直線與直線平行判斷B，利用直線與直線相交判斷C，利用直線與坐標(biāo)軸的交點判斷D．【詳解】解：直線，，對于A，若，則，解得，故A錯誤；對于B，若，則，解得，故B正確；對于C，當(dāng)時，直線，，與相交，交點為，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，不過第三象限；當(dāng)時，時，，當(dāng)時，，不經(jīng)過第三象限．綜上，當(dāng)時，不經(jīng)過第三象限，故D正確．故選：BD．51．【分析】解：設(shè)直線上任意一點，關(guān)于直線對稱的對稱點為，利用代入法求解.【詳解】解：設(shè)直線上任意一點，關(guān)于直線對稱的對稱點為，則，所以，代入，得，即，故答案為：.52．【分析】求出兩直線交點坐標(biāo)，再根據(jù)所求直線與直線垂直，確定所求直線斜率，再利用點斜式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可得，解得，則兩直線交點坐標(biāo)為，又所求直線與直線垂直，則所求直線