高考數(shù)學(xué)備考-高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題總結(jié)

高考數(shù)學(xué)備考■高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題總結(jié)

[1]忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

設(shè)4={尤|/一8犬+15=0},3={x|辦-1=0},若405=8,求實(shí)數(shù)a組成的集合的子集

有多少個(gè)？

22

【練1】已知集合4=卜|尤2+4X=0}、B|x+2(a+\)x+a-1=0|,若5qA,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是O答案：a=l或心-1。

[2]求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知(x+2)2+?2=l,求V+y2的取值范圍

【3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。

是R上的奇函數(shù)，(1)求a的值(2)求的反函數(shù)尸(X)

【練3】(全國(guó)理)函數(shù)/(X)=G+I(XNI)的反函數(shù)是()

A、y=x2-2x-+-2(x<l)B、y=x2-2x+2(x>l)C、y=x2-2x(x<l)D、y=x2-2x(x>l)

[4]求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位

例4、已知函數(shù)/(x)=E，函數(shù)產(chǎn)g(x)的圖像與尸尸(x-1)的圖象關(guān)于直線

y=x對(duì)稱，則y=g(x)的解析式為()

A、g(x)=^^B、C、g(x)=；1^D、g(x)=7^—

x1+x2+x2+x

【練4】(高考福建卷)已知函數(shù)y=log2X的反函數(shù)是y二『(x),則函數(shù)尸f

Yl-x)的圖象是()

［5］判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱。

判斷函數(shù)/（X）lg(l一巧的奇偶性。

|x—2|—2

【練5】判斷下列函數(shù)的奇偶性:

①“X)=’4_421+sinx+cosx

1+sinx-cosx

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。

函數(shù)〃X）=lOg22N或的反函數(shù)為（X）,證明尸（X）是奇函數(shù)且在定義

域上是增函數(shù)。

【練6】（1）（全國(guó)高考題）已知人》）=三0，則如下結(jié)論正確的是（）

A、“X）是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、/（%）是奇函數(shù)且為減函數(shù)

C、“X）是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、"力是偶函數(shù)且為減函數(shù)

（2）（天津卷）設(shè)廣［（x）是函數(shù)〃力=；（/-武）（“>1）的反函數(shù)，則使廣（x）>l成立的

21212I

X的取值范圍為（）A、（1，+8）B,（-00,C、（啜M）D、3+8）

2a2a2a

［7］證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義

域優(yōu)先的原則。

例7、試判斷函數(shù)/（x）=or+g（a>0/>0）的單調(diào)性并給出證明。

【練7】（1）（濰坊市統(tǒng)考題）〃司=奴+上三（八0）（1）用單調(diào)性的定義判斷

ax

函數(shù)〃x）在（0,+℃）上的單調(diào)性。（2）設(shè)“X）在0<xVl的最小值為g（a）,求y=g（a）

的解析式。

（2）（天津）設(shè)"。且+￡為R上的偶函數(shù)。（1）求a的值（2）試

判斷函數(shù)在（0,”）上的單調(diào)性并給出證明。

答案：（1）?=1（2）函數(shù)在（0,w）上為增函數(shù)（證明略）

【8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要

條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。

例8、（全國(guó)高考卷）已知函數(shù)/（力=加+3九2_%+1上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

【練8】（1）（新課程）函數(shù)丁=爐+阮+?問0,向）是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）

A、b>0B、h<0C、/?>0D、h<0

（2）是否存在這樣的K值，使函數(shù)〃x）=A，4--履2+2x+g在（1,2）上遞減，在

（2,”）上遞增？

［9］應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等

式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知:a>0,b>0,a+b=l,求（a+，），（b+L）2的最小值。

ab

［10］在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論

的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實(shí)數(shù)2使函數(shù)/（司=陛廣。在［2,4］上是增函數(shù)？若存在求出a的

值，若不存在，說明理由。

【練10］（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)"0,且"1試求函數(shù)y=log,4+3x-x2

的的單調(diào)區(qū)間。

（局考天津）若函數(shù)〃x）=loga（%3_汨（〃>0,〃工［）在區(qū)間（一;,0）內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取

值范圍是（）

A、［―,i）B、［^-,1）C、（—,+oo）D、（1,—）

［11］用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性.

例11>已知sinx+siny=g求siny-cos2%的最大值

【練11］（1）（高考變式題）設(shè)a>0,000求f（x）=2a（sinx+cosx）—sinx*cosx

一242的最大值和最小值。

（2）不等式五〉ax+之的解集是（4,b）,貝Ua=,b=。

2

［12］已知5.求4時(shí)，易忽略n=l的情況.

例12、（高考北京卷）數(shù)列｛a,,｝前n項(xiàng)和S,且4=l,a“+|=；s,。（1）求a2M3M4的值

及數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。

【練12］（全國(guó)理）已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,a“=4+四+3q（"22）則數(shù)

列｛q｝的通項(xiàng)為O

［13］利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域

限制是正整數(shù)集或其子集（從1開始）

例13、等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)％>0,前n項(xiàng)和s.，當(dāng)及用時(shí)，％=跖。問n為何值

時(shí)L最大？

【練13］（全國(guó)高考題）設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，s.是前n項(xiàng)和，且電氣，,%=.?>%,

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、〃<oB、/=oC、陽>邑D、n和s,均為s“的最大值。

［14］解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻

或解答過程繁瑣。

例14、已知關(guān)于的方程爐―3x+a=0和%2一3%+/,=0的四個(gè)根組成首項(xiàng)為之的等差

4

數(shù)列，求"6的值。

【練14](全國(guó)理天津理)已知方程/_2犬+加=0和f—2x+〃=0的四個(gè)根組成一

個(gè)首項(xiàng)為L(zhǎng)的等差數(shù)列，則忸一〃|=()A、1B、』C、！D、U

411428

[15]用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比q=1的情況

例15、數(shù)列｛七｝中，4=1,2=2,數(shù)列｛4.%｝是公比為4(”0)的等比數(shù)列。

(I)求使的,田+%->**成立的q的取值范圍；(H)求數(shù)列僅“｝的前2〃項(xiàng)的

和心.

【練15](高考全國(guó)卷一第一問)設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為q,前n項(xiàng)和￡>0

(1)求q的取值范圍。

例16、.(北京理)已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且“2,—q=12

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式(2)令2=%x"(xeR)求數(shù)列出｝前項(xiàng)和的公式。

[17]不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方

法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。

例17、求s“=!+」一+————+…+----J-----.

"11+21+2+31+2+3+…+〃

【練17](濟(jì)南統(tǒng)考)求和5.="+4+”+~+竺型.

22-14--162-1(2〃)2—1

[18]易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用,

缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。

例18、(年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20)設(shè)無窮等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn.

(I)若首項(xiàng)％=5,公差”=]，求滿足L=(s]的正整數(shù)k；

Nk

(II)求所有的無窮等差數(shù)列｛④｝,使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有%成立.

[19]用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)

的系數(shù)是否為0.尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.

例19、已知雙曲線V—產(chǎn)=4,直線y討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)

數(shù)

[20]易遺忘關(guān)于sin6和cos。齊次式的處理方法。

例20、已知tan?=&,求（1）-，+sin'；（2）sin）。-sinO.cosO+Zcos。。的值.

msO-sin0

【練20].（年湖北卷理科）已知6sin%+sinacosa-2cos2a:=0,ae[―,^1,求sin（2<z+馬的

23

值.

[22]單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對(duì)此知識(shí)遺忘，應(yīng)用意

識(shí)不強(qiáng)，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長(zhǎng)度二

者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯(cuò)誤。

例21、下列命題正確的是（）

a，都是第二象限角，若sina>si”,則tana>tan/?

B、a）都是第二象限角，若cosocosQ,則sina>sin0

C、a、,都是第四象限角，若sina>sin尸，則tana>tan尸

D、a,都是第一象限角，若cose>cos/?,則sinc>sin/?o

【練22]（全國(guó)高考）已知sina>sin力，那么下列命題正確的是（）

若a夕、都是第一象限角，則cosa>cospB、若a/?、都是第二象限角，則

tan?>tan/?

若a/、都是第三象限角，則cosa>cospD、若a/、都是第四象限角，則

tana〉tan?

【23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時(shí)。易將。

和J求錯(cuò)廠

例23.要得到函數(shù)y=sin（2x-1的圖象，只需將函數(shù)"sin?的圖象（）

先將每個(gè)X值擴(kuò)大到原來的4倍，y值不變，再向右平移？個(gè)單位。

先將每個(gè)X值縮小到原來的!倍，y值不變，再向左平移《個(gè)單位。

先把每個(gè)x值擴(kuò)大到原來的4倍，y值不變，再向左平移個(gè)g單位。

先把每個(gè)X值縮小到原來的！倍，y值不變，再向右平移J個(gè)單位。

46

【練23］（全國(guó)卷天津卷）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的

橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移乃個(gè)單位長(zhǎng)度。

B、橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移萬個(gè)單位長(zhǎng)度。

C、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移萬個(gè)單位長(zhǎng)度。

D、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移萬個(gè)單位長(zhǎng)度。

【24】沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對(duì)角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)

|象。|

例24、已知￡€（0,乃），sina+cosa=《?求tana的值。

【練24］（1994全國(guó)高考）已知5足。+（：05。=2，。€（0,%）,則cot。的值是__。

【25］根據(jù)已知條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角函數(shù)值再求角的

意識(shí)或確定角的三角函數(shù)名稱不適當(dāng)造成錯(cuò)解。

例25、若sine=骼,sinQ,且a、尸均為銳角，求a+尸的值。

【練25］⑴在三角形ABC中，已知sinA=|,cos8=K，求三角形的內(nèi)角C的大

小。

（2）（天津理，17）已知cos（a+巳）=3：Wa<—,求cos（2a+工）

45224

的值.

【26】對(duì)正弦型函數(shù)y=Asin?x+姆及余弦型函數(shù)y=Acos（w+0）的性質(zhì)：如圖象、

對(duì)稱軸、對(duì)稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義。

例26、如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線尤=-二對(duì)稱，那么a等于（）

8

A.41B.—V2C.1D.-1

【練26］（1）（年高考江蘇卷18）已知函數(shù)/（》）=新團(tuán)+夕）（0>0,?！?。4萬）上R上的

偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M中,0）對(duì)稱，且在區(qū)間［0,3上是單調(diào)函數(shù)，求夕和3

的值.

［27］利用正弦定理解三角形時(shí)，若已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角解三

角形時(shí)，易忽視三角形解的個(gè)數(shù)。

例27、在AABC中，B=3（f,AB=2yl3,AC=2o求AA8C的面積

【練27］（全國(guó)）如果滿足ZA8C=60。，AC=2,BC=&的三角表恰有一個(gè)那么

k的取值范圍是（）

A、8GB、0<&412C、上212D、0<女<12或左=8內(nèi)

［28］三角形中的三角函數(shù)問題。對(duì)三角變換同三角形邊、角之間知識(shí)的結(jié)

合的綜合應(yīng)用程度不夠。

例28、（1）（湖南高考）已知在4ABC中，sinA（sinB+cosB）-sinC=0,

sinB+cos2c=0,求角A、B、C的大小.

2、（北京市東城區(qū)年高三年級(jí)四月份綜合練習(xí)）在AABC中，a、b、c分別是

角A、B、C的對(duì)邊，且*=一上.（I）求角B的大?。↖I）若8="5M+C=4,

cosC2。+c

求AABC的面積.

【練28](1)(年北京春季高考)在&BC中，a,b,c分別是幺生上的

對(duì)邊長(zhǎng)，已知a,b,c成等比數(shù)列，且修士^心，求"的大小及3的

C

值。

[29]含參分式不等式的解法。易對(duì)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，分類討論達(dá)

不到不重不漏的目的。

例29、解關(guān)于x的不等式處辿>1(a#1).

x-2

2

【練29](年江西高考)已知函數(shù)/(x)=一一(a/為常數(shù))，且方程/(x)-x+12=0

ax+b

有兩個(gè)實(shí)根為玉=3,々=4.(1)求函數(shù)/(幻的解析式；(2)設(shè)%>1,解關(guān)于x的不

等式：/⑺〈生產(chǎn)

2-x

[30]求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯(cuò)位

例30、已知函數(shù)/(x)=lg["-3加+2)/+2(優(yōu)-l)x+5](1)如果函數(shù)/(x)的定義域

為R求實(shí)數(shù)m的取值范圍。(2)如果函數(shù)〃尤)的值域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范

圍。

【練30】已知函數(shù)/(x)={(a?一]卜2+2(a-l)x+2的定義域和值域分別為R試確定

滿足條件的a的取值范圍。

[31]不等式的證明方法。學(xué)生不能據(jù)已知條件選擇相應(yīng)的證明方法，達(dá)不到

對(duì)各種證明方法的靈活應(yīng)用程度。

例31、已知a>0,b>0,且a+左1.求證：(a+L)(加工)三筌.

ab4

【練31](北京文)數(shù)列卜“}由下列條件確定：xy=a>O,xn+1=-xn+—IneN*

2(Xn)

證明：對(duì)于〃22總有當(dāng)26,(2)證明：對(duì)于〃22,總有2加.

[32]函數(shù)與方程及不等式的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。學(xué)生不能明確和利用三者的關(guān)系

在解題中相互轉(zhuǎn)化尋找解題思路。

例32、已知二次函數(shù)/(x)滿足/(-1)=0,且對(duì)一切實(shí)數(shù)*恒成立.

⑴求/⑴；(2)求f(x)的解析式；⑶求證:>-^―(neN).

篇/(Ar);i+2

【練32](濰坊三月份統(tǒng)考)已知二次函數(shù)/(》)="2+fer+C(Q,8CGR),滿足

/(-1)=0;且對(duì)任意實(shí)數(shù)X都有/(x)-xNO;當(dāng)XG(0,2)時(shí)有(1)求

/⑴的值;(2)證明a>O,c>O;(3)當(dāng)x€[-1,1]時(shí)，函數(shù)g(x)=wR)是單

調(diào)的，求證：機(jī)40或機(jī)NL

[33]利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間

及定義域限制。

例33、記人力=加-法+C,若不等式/(x)>0的解集為(1,3),試解關(guān)于t的不等

式用|+8)</(2+產(chǎn))。

【練33](1)(遼寧4月份統(tǒng)考題)解關(guān)于x的不等式log2(xT)>log/a(x-2)+l]

(?>1)

(全國(guó)卷H)設(shè)函數(shù)求使“?》的2夜的X取值范圍。

[34]數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。學(xué)生易缺乏應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)問

題的意識(shí)，忽視其步驟的規(guī)范性及不理解數(shù)學(xué)歸納法的每一步的意義所在。

【練34](年全國(guó)卷I統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué))

(I)設(shè)函數(shù)/(X)=xlOg2X+(l—X)k>g2(l—X)(0<X<l),求/(x)的最小值；

(II)設(shè)正數(shù)〃1，〃2，〃3,…,〃2"滿足"1+〃2+〃3+…+〃2"=1，證明

Pllog,P1+P210g2Pl+〃3lo§2PT.+?,?+〃2”l°g2〃2”~一〃

【35】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。

例35、下列命題:

①而2G2癡4②分工=(?/③Q-b\=\a\?m④若則1〃

2⑤[〃人則存在唯一實(shí)數(shù)入，使3=忘⑥若且貝上=3⑦設(shè)

[口是平面內(nèi)兩向量，則對(duì)于平面內(nèi)任何一向量入都存在唯一一組實(shí)數(shù)X、

%使三癡+調(diào)成立。⑧若|Z+B|=G—M貝工-3=0。@a-b=Q,貝或刃

=。真命題個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.3個(gè)以上

【練35](1)(上海春，13)若a、b、c為任意向量，mGR,則下列等式不二

序成立的是()

A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)?c=a?c+b?cC.m(a+b)=ma+mbD.(a,b)

c=a(b,c)

(2)(江西、山西、天津理，4)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不

共線，則

①(a,b)c—(c,a)b=0②|a|—Ib：<|a—b|③(b?c)a—(c,a)b不

與c垂直④(3a+2b)(3a-2b)=91a|?—41b|?中,是真命題的有()

A.①②B.②③C.③④D.②④

【36】利用向量的加法、減法、數(shù)量積等運(yùn)算的幾何意義解題時(shí)，數(shù)形結(jié)合的

意識(shí)不夠，忽視隱含條件。

例36、四邊形ABCD中，AB=a,~BC=b,CD=C,DA=d,且a?b=

b?c=c?d=d?a,試問四邊形ABCD是什么圖形？

(2)(全國(guó)卷文科)點(diǎn)0是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足

OAOB^OBOC^OCOA,則點(diǎn)0是的()

(A)三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)(B)三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

(C)三條中線的交點(diǎn)(D)三條高的交點(diǎn)

(3)(全國(guó)卷I)A4BC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,

OH^m(OA+OB+OC),則實(shí)數(shù)m=_

[37]忽視向量積定義中對(duì)兩向量夾角的定義。

例37、已知中，a=5,/?=8,c=7,求0

【練37](上海春招)在AABC中，有如下命題，其中正確的是()

(1)AB-AC=BC(2)AB+BC+CA=O(3)若(通+恁)?(而-恁)=0,則AABC為

等腰三角形(4)若正?通>0,則AABC為銳角三角形。

A、(1)(2)B、(1)(4)C、(2)(3)D、(2)(3)(4)

【38】向量數(shù)積積性質(zhì)的應(yīng)用。

例38、已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a

一2b垂直，求a與b的夾角。

【練38](1)(高考江西卷)已知向量2=(1,2),灰-21)丘|=6,若6+辦2=(則￡

與"的夾角為()A.30°B.60°C.120°D.150°

(2)(浙江卷)已知向量ZWK|>=1,對(duì)任意2￡R，恒有|￡一方"|2匕一

e|,貝I

(A)ale(B)a±(a-e)(C)e1(a-e)(D)(a+e)±(a-e)

【39】向量與三角函數(shù)求值、運(yùn)算的交匯

例39、a=(l+cosa,sin<2),^=(1—cos^,sin/7),c=(1,0),?e(O,^),y^G(^,2^),2與乙的夾角為

9,,5與一的夾角為％,且4-%/求sin'的值.

【練39](1)(司考江西)已知向量4=(28$二1211(￡+巴)),/?=(05也(￡+馬,1211(±-工))，

2242424

令f(x)=D是否存在實(shí)數(shù)xe[O㈤，使〃勸+/(%)=0(其中/(X)是/(幻的導(dǎo)函

數(shù))？若存在，則求出X的值；

(2)(山東)已知向重根=(cos6,sin。)和方=(五-sin，,cosd),，e(乃,2乃)，且卜律+“='f，求

［40］向量與解三角形的交匯。

例40、AABC內(nèi)接于以0為圓心，1為半徑的圓，且30A+40B+5M=百。①

求數(shù)量積，oA-oB,oB-oC,oC-oA；②求AABC的面積。

【練40］（1）（全國(guó)卷HI）AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已

知a,b,c成等比數(shù)列，且cosB=』。（1）求cotA+cotC的值；（2）設(shè)麗?配=」

42

求a+c的值。

（2）已知向量1（2,2）,向量力與向量W的夾角為紅，且；?'—2,①求向

4

Mb；

②若；=（1,0）且二；二=（cosA,2cos20）,其中A、C是AABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)

2

角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|的取值范圍.

［41］與向量相結(jié)合的三角不等式，學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力不

夠。

例41、已知二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x￡R,都有f（1—x）=f（1+x）成立，設(shè)向量

~a=（sinx,2）,K=（2sinx,；）,~c=（cos2x,1）,~^=（1,2）,當(dāng)x￡［0,冗］時(shí)，

求不等式f（五?T）＞f（三?T）的解集.

【練41】若/（X）在定義域（—1,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（x）＜0,點(diǎn)A（l,/（“））；B（/（一

”），1）,對(duì)任意a￡（—1,1）恒有樂_L萬成立，試在（-肛乃）內(nèi)求滿足不等式/（sin

xCOSx）+/（COS2X）＞0的x的取值范圍.

［42］向量與解析幾何的交匯

【練42］（1）（全國(guó)卷1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在刀軸上，斜

率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，方+而與1（3,-1）共

線。（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且

OM=AOA+/JOB（A,//eR）,證明;為定值。

【43］解析幾何與向量的數(shù)量積的性質(zhì)如涉及模、夾角等的結(jié)合。

22

例43、已知橢圓C:亍+/=1上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)其中。(根＜2的距離的

最小值為1.(1)請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)(2)試問是否存在經(jīng)過M點(diǎn)的直線/，使

/與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足條件佟+詞=|同(。為原點(diǎn))，若存在,求出/

的方程，若不存在請(qǐng)說是理由。

【練43]已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以右焦點(diǎn)用為圓心，

過另一焦點(diǎn)打的圓被右準(zhǔn)線截的兩段弧長(zhǎng)之比2：1,P(行』)為此平面上一定

點(diǎn)，且所?%=1.(1)求橢圓的方程(2)若直線產(chǎn)丘+1(左＞0)與橢圓交于如

圖兩點(diǎn)A、B,令〃&)=福?陋化＞0)。求函數(shù)〃?的值域

[44]牢記常用的求導(dǎo)公式，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.

例44、函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為o

[練習(xí)44](年江蘇，21)已知“0,n為正整數(shù)。設(shè)y=(x-a)",證明

yr=n(x-ay1;

[45]求曲線的切線方程。

例45、(高考福建卷)已知函數(shù)/(x)=/+芯+以+2的圖象過點(diǎn)p(0,2),且在

點(diǎn)M(―1,/(—1))處的切線方程為6x-)，+7=().(I)求函數(shù)y=/(X)的解析

式；

【練45](1)(福建卷)已知函數(shù)/5)=半心的圖象在點(diǎn)M(-1,f(x))處的

x+b

切線方程為x+2y+5=0.

(I)求函數(shù)y二f(x)的解析式；

(2)(高考湖南卷)設(shè)”0,點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=加+c的圖象

的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.(1)用/表示少13,

C；

[46]利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域。

例46、(全國(guó)卷HI)已知函數(shù)/(x)=￡士，xe[O,l](I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和

2—x

值域；

(II)設(shè)aNl,函數(shù)g(x)=f-3a，-2a,xe[0,1],若對(duì)于任意王e[O,l],總存在

%e[O，l]使得g(/)=/(xJ成立，求a的取值范圍。

【練46](1)(高考北京卷)已知函數(shù)f(x)=—x'+3x2+9x+a,(I)求f(x)

的單調(diào)遞減區(qū)間；(H)若f(x)在區(qū)間[―2,2]上的最大值為20,求它在該區(qū)

間上的最小值.

[47]二項(xiàng)式(a+與”展開式的通項(xiàng)中，因a與b的順序顛倒而容易出錯(cuò)。

例47、(五-后[展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162,則x的一次

項(xiàng)為_。

【練47】(濰坊高三質(zhì)量檢測(cè))(丁-』[展開式中第5項(xiàng)與第12項(xiàng)系數(shù)的絕

對(duì)值相等，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為。

【48]二項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆,

導(dǎo)致出錯(cuò)。

例48、在(丁+烏]的展開式中，/的系數(shù)為,二項(xiàng)式系數(shù)為。

【練48](高考山東卷)如果，一gj的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128,則展

開式中4的系數(shù)是()

X

(A)7(B)-7(C)21(D)-21

【49】二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念，在求法上

也有很大的差別，在次往往因?yàn)楦拍畈磺鍖?dǎo)致出錯(cuò)。

例49、已知（《-蛾］（女乂）的展開式中，第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比為

10：1

求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)。

【練49】（年上海）在二項(xiàng)式（＞1）”的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為o

［50］對(duì)于排列組合問題，不能分清是否與順序有關(guān)而導(dǎo)致方法出錯(cuò)。

例50、有六本不同的書按下列方式分配，問共有多少種不同的分配方式？

分成1本、2本、3本三組；

分給甲、乙、丙三人，其中1人1本，1人兩本，1人3本；

平均分成三組，每組2本；

分給甲、乙、丙三人，每人2本。

【練50】（年全國(guó)9）從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到三個(gè)

班擔(dān)任班主任（每班一位班主任），要求這三位班主任中男、女教師都要有,

則不同的選派方法共有（）

210種B、420種C、630種D、840種

［51］不能正確分析幾種常見的排列問題，不能恰當(dāng)?shù)倪x擇排列的方法導(dǎo)致

出錯(cuò)。

例51、四個(gè)男同學(xué)和三個(gè)女同學(xué)站成一排。

三個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？

任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

其中甲、乙兩同學(xué)之間必須恰有3人，有多少種不同的排法？

甲、乙兩人相鄰，但都與丙不相鄰，有多少種不同的排法？

女同學(xué)從左往右按高矮順序排，有多少種不同的排法？（三個(gè)女生身高互不

相等）

【練52］（年遼寧）有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2

人就坐，規(guī)定前排中間三個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同

排法的種數(shù)（）

A、234B、346C、350D、363

例53、（年全國(guó)理）某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)

定：每題回答正確得100分，回答不正確得一100分。假設(shè)這名同學(xué)每題回答

正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒有影響。

求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分J的概率分布和數(shù)學(xué)期望。

求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即”0）的概率。

【練53］（年重慶理18）設(shè)一汽車在前進(jìn)途中要經(jīng)過4個(gè)路口，汽車在每個(gè)

路口遇到綠燈（允許通行）的概率為之，遇到紅燈（禁止通行）的概率為L(zhǎng)

44

假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，4表示停車時(shí)已經(jīng)通過的路

口數(shù)，求：

（1）J的概率分布列及期望塔；（2）停車時(shí)最多已通過3個(gè)路口的概率。

【練54】一總體符合N（O,I）,若0（1）=。,W2）=人則該總體在（1,2）內(nèi)的概率

為

【56】立體圖形的截面問題。

例56、（哈師大附中、東北師大附中高三第二次聯(lián)考）正方體ABC。一A耳CQ，

E、F分別是9、eg的中點(diǎn)，p是eg上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），過E、D、P作正

方體的截面，若截面為四邊形，則P的軌跡是（）

線段c—B、線段“C、線段”和一點(diǎn)。力、線段c/和一點(diǎn)C。

【練56］（1）（高考全國(guó)卷二）正方體ABCD—AIBIG口中，P、Q、R、分別是

AB、AD、B.G的中點(diǎn)。那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是（）

（A）三角形（B）四邊形（C）五邊形（D）六邊形

（2）在正三棱柱ABC-A4G中，P、Q、R分別是BC、cq、AG的中點(diǎn)，作出過

三點(diǎn)P、Q、R截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。

[57]判斷過空間一點(diǎn)與兩異面直線成相等的角的直線的條數(shù)

例57、（93全國(guó)考試）如果異面直線a、b所在的角為50。,P為空間一定點(diǎn)，則

過點(diǎn)P與a、b所成的角都是30。的直線有幾條？

A、一條B二條C三條D四條

【練57】如果異面直線a、b所在的角為100。,P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P與a、

b所成的角都是50。的直線有幾條？

A、一條B二條C三條D四條

【58】有關(guān)線面平行的證明問題中，對(duì)定理的理解不夠準(zhǔn)確，往往忽視

''a<^a,a//h,b（^a',二個(gè)條件中的某一個(gè)。

例58、矩形ABCD所在的平面，M,N分別為AB,PC的內(nèi)、中點(diǎn)。求證：

MN//平面PAD/\

【練習(xí)58（浙江）如圖，在三棱錐P—ABC中，C

B

AB上BC,AB=BC=kPA,

點(diǎn)0,D分別為AC,PC的中點(diǎn)，OPJ?平面ABC求證：0D〃平面PAB

[59]對(duì)于兩個(gè)平面平行的判定定理易把條件誤記為“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相

交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行”，容易導(dǎo)致證明過程跨步太

大。

例59、如圖，在正方體AB8-44CQ中，M、N、P分別是CC，4G，CQ的中點(diǎn),

求證：平面MNP〃平面4瓦）

【練59］正方體ABCO-ABCR中，（1）M,N分別是棱

的中點(diǎn)，E、F分別是棱4G，CQ的中點(diǎn)，求證：①E、F、B、D

共面；

②平面AMN〃平面EFDB③平面A8Q〃平面03。

［60］求異面直線所成的角，若所成角為90。，容易忽視用證明垂直的方法來

求夾角大小這一重要方法。

例60、（全國(guó)9）在三棱柱ABC-中，若4?=在珥，則9與08所成角的大小

為（）

A、60°B、90°C、105°D、75°

【61］在求異面直線所成角，直線與平面所成的角以及二面角時(shí)，容易忽視各

自所成角的范圍而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例61、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A4GA中，M,N,P分別為A4，B4，cq

的中點(diǎn)。求異面直線RP與AM,CN與AM所成的角。

【練61］（濟(jì)南統(tǒng)考題）已知平行六面體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)

為1的的正方形，側(cè)棱AA的長(zhǎng)為2,且側(cè)棱M和AB與AD的夾角都等于120。,

（1）求對(duì)角線AG的長(zhǎng)（2）求直線鳴與AC的夾角值。

【62】對(duì)于經(jīng)度和緯度兩個(gè)概念，經(jīng)度是二面角，緯度為線面角，二者容易

混淆。

例62、如圖，在北緯45。的緯線圈上有B兩點(diǎn)，它們分別在東經(jīng)

7。。與東經(jīng)L'/f

160。的經(jīng)度上，設(shè)地球的半徑為R,求B兩點(diǎn)的球面距離。

【練62］（高考山東卷）設(shè)地球的半徑為R,若甲地位于北緯45。東經(jīng)120。，乙

地位于南緯75。東經(jīng)120。，則甲、乙兩地的球面距離為()

(A)回(B)2口(C)^_R(D)至R

663

[631向量知識(shí)在立體幾何方面的應(yīng)用

例63、如圖，在直四棱柱/戈》一43G〃中，AB=AD=2,DC=26,AA1=6,

ADIDC,ACLBD,垂足未反(I)求證：BDLA?(II)求二面角兒一劭一。

1的大??；(HI)求異面直線AD與所成角的大小.

【64】常見幾何體的體積計(jì)算公式，特別是棱錐，球的體積公式容易忽視公

式系數(shù)，導(dǎo)致出錯(cuò)。

例64、(年天津理12)棱長(zhǎng)為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線

段為棱的八面體的體積為()

【練64](全國(guó)20)如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為

矩形，AB=8,AD=4g,側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面成二面角為

60%求四棱錐P—ABCD的體積。

[65]求點(diǎn)到平面的距離的方法有直接法、等體積法、換點(diǎn)法。

例65、(年春季上海19)如圖，已知正三棱錐P—ABC的體積為726,側(cè)面

與底面所成的二面角的大小為60。。

證明PA_L3C;求底面中心0到側(cè)面的距離。

【62]二面角平面角的求法，主要有定義法、三垂線法、垂面法等。

例62、如圖所示，在正三棱柱ABC—ABG中，已知AA尸AC=

a,E為BBi的中點(diǎn)，若截面AFC_L側(cè)面AG.求截面A】EC與底面

ABG所成銳二面角度數(shù).

[661直線與雙曲線的位置關(guān)系可通過分析直線方程與漸進(jìn)線方程的位置關(guān)

系，也可以聯(lián)立直線方程與雙曲線方程通過判別式，兩種方法往往會(huì)忽視一

些特殊情形。

22

例66、過點(diǎn)(0,3)作直線1,如果它與雙曲線二-匕=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則

43

直線1的條數(shù)是()

A、1B、2C、3D、4

常用公式：①1+2+3…+〃=必抖②夫+22+32+…/=而+?2〃+1)③13+23+33...”3=[嗎』]

等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為“，年增長(zhǎng)率為「

則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1+r.其中第〃年產(chǎn)量為“。+「尸，且過〃年后

總產(chǎn)量為：a+?(1+r)+a(l+r)2+...++r)=小二”;121.

l-(l+r)

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存〃元，利息為「，

每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的〃元過"個(gè)月后便成為〃(1+zT元.因此，第二年

年初可存款：

12

“(1+r嚴(yán)+“(]+/嚴(yán)+a(i+r)'?+...+a(i+r