第03講 因式分解 精講（解析版）數(shù)-高一數(shù)學(xué)學(xué)初升高銜接精講精練（人教A版2019）

第03講因式分解（精講）

目錄

一、知識鞏固與延伸..................................................1

1、因式分解定義..................................................1

2、提公因式法....................................................1

3、公式法：......................................................1

4、十字相乘法....................................................2

5、分組分解法....................................................3

6、求根公式法....................................................3

二、高中相關(guān)知識....................................................3

二、重點題型剖析....................................................3

題型一：提公因式法因式分解.......................................3

題型二：運用公式法分解因式.......................................5

題型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧計算.................11

題型四：首項系數(shù)為“1”的二次三項式因式分解....................13

題型五：首項系數(shù)“不為1”的二次三項式因式分解..................16

題型六：含參數(shù)的十字相乘法.....................................20

題型七：十字相乘法的綜合應(yīng)用...................................20

題型八：分組分解法（四項式，五項式，六項式等）.................22

題型九：因式分解的應(yīng)用..........................................28

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一、知識鞏固與延伸

一、初中知識再現(xiàn)

1、因式分解定義

把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種運算叫做因式分解.

2、提公因式法

（1）如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化

成兩個因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。如：出?+ac=a（h+c）

（2）概念內(nèi)涵：

①因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”；

②公因式可能是單項式，也可能是多項式；

③提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律，即：ma+mb-mc=m（a+b-c）

3、公式法：

3.1公式法——平方差公式

兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：

a2-b2=（a+b）（a-h）

特別說明：

（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.

（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整

式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.

（3）套用公式時要注意字母4和匕的廣泛意義，。、8可以是字母，也可以是單項式或多

項式.

3.2公式法——完全平方公式

兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方.

即a2+2ab+b2=（a+h）2,a2-lab+b2=（a-b）2.

形如〃+29?+〃，a2-2ah+b2的式子叫做完全平方式.

特別說明：

（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；

（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積

的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.

（4）套用公式時要注意字母a和人的廣泛意義，。、。可以是字母，也可以是單項式或多

項式.

4,十字相乘法

4.1十字相乘法

利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.

,{pq-c.

對于二次三項式+6x+c,若存在{,,則f+/?x+c=（x+p）（x+q）

p+q=b

特別說明：

（1）在對/+法+c分解因式時，要先從常數(shù)項。的正、負(fù)入手，若c>o,則同號

（若c<0,則，，4異號），然后依據(jù)一次項系數(shù)b的正負(fù)再確定P,4的符號

（2）若V+^x+c中的匕，c為整數(shù)時，要先將。分解成兩個整數(shù)的積（要考慮到分解的各

種可能），然后看這兩個整數(shù)之和能否等于方，直到湊對為止.

4.2首項系數(shù)不為1的十字相乘法

在二次三項式以2+法+4。工0）中，如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積，即

a=ata2,常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即。=。。2,把排列如下：

%

1

a2

?1匕2+72cl

按斜線交叉相乘，再相加，得到若它正好等于二次三項式必2+反+0(。力0)

的一次項系數(shù)力，即4￡2+%。=人，那么二次三項式就可以分解為兩個因式qx+q與

之積即2

a2x+c2，ax+bx+c=(a,x+ct)(a2x+c2).

特別說明：

(1)分解思路為''看兩端，湊中間”

(2)二次項系數(shù)。一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號，分解括號里面的二次三項

式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號添上.

5、分組分解法

對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步

處理的方法，即把這個多項式分成兒組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解

——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.

6、求根公式法

對于一元二次方程以2+灰+。=0(。/0),當(dāng)△=〃_4acN0時，一元二次方程

ox7+法+。=0(。70)有兩個實數(shù)根，記為：=一)土'"二皿.此時對應(yīng)的二次三項

以2a

式+匕尤可分解為：2

ax?+(?(“/0)ax+hx+c=a(x-x^x-x2).

二、高中相關(guān)知識

1、乘法公式中的立方和、立方差公式：

①(a+b)(“2—ab+b2)=a3+b3

(2)(tz-￡>)(tz2+ab+b2)=a3-b3

2、因式分解中的立方和、立方差公式

①/+h}-(a+b)(a2-ab+b2)

②a，-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

二、重點題型剖析

題型一：提公因式法因式分解

典型例題

例題1.（2023秋?江蘇南通?八年級統(tǒng)考期末）已知24-3=%，4（r-3ab+b2=\\,則

2/b-加的值為（）

A.3B.6C.8D.11

【答案】B

【詳解】解：；2a-3=b,

la—b=3,

0"*4a2-3ab+b2=11,

4a2-4ab+b2+ab=\\,BP（2a-b^+ab=11,

32+"=11,

/.ab=2,

2a2h-ab2

=ab（2a-b）

=2x3

=6.

故選：B.

例題2.（2023秋?上海寶山?七年級?？计谀┓纸庖蚴剑?->-12孫=.

【答案】4xy（x-3）

【詳解】解：4x2y-12xy

=4xy（x-3）,

故答案為：4xy（x-3）.

例題3.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）分解因式：（x-2y）（2x+3y）-2（2y-x）（5x+3y）.

【答案】3（x-2y）（4x+3y）

【詳解】解：（x-2y）（2x+3y）-2（2y-x）（5x+3y）

=（x-2y）（2x+3y）+2（x-2y）（5x+3y）

=（x-2y）［2x+3y+2（5x+3y）］

=（x—2y）（12x+9y）

=3（x-2y）（4x+3y）

題型歸類練

1.（2023秋?河南開封?八年級統(tǒng)考期末）分解因式6_</+15孫%的結(jié)果是.

【答案】3孫Y2孫+5z）

【詳解】解：原式=3孫Y2孫+5z）.

故答案為：3孫Y2孫+5z).

2.(2023秋?上海浦東新?七年級?？计谥?分解因式：x2y+5xy=.

【答案】W(x+5)

【詳解】解：x2y+5xy=Ay(x+5).

故答案為：孫(x+5).

3.(2023?全國?九年級專題練習(xí))因式分解：(2x-a)3+3a(a-2x)2.

【答案】2(2x-a)2(x+a)

【詳解】解：原式=(2x-a)2(2x-a+3a)

=(2x-a)-(2x+2a)

=2{2x—a)~(x+fl).

題型二：運用公式法分解因式

典型例題

例題1.(2023春?七年級課時練習(xí))對多項式+4孫進行因式分解，結(jié)果正確的是

()

A.x2-2xy+y2B.x2+2xy+y2C.(x+y)2D.(x-y)2

【答案】C

【詳解】解：(x—yy+4沖

=x2-2xy+y2+4xy

=x2+2xy^y2

=(x+?

故選：C

例題2.(2023秋?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末)(1)計算：(a+l)(a-3)；

(2)因式分解：(x+?-(2x)-

【答案】(1)a2-2a-3;(2)(3x+y)(y-x)

【詳解】(1)(?+1)(?—3)=a2+a-3a—3=a2-2a—3

(2)(x+y)2_(2x)2=(x+y+2x)(x+y_2x)=(3x+y)(y-x)

例題3.(2023秋?山東濱州?八年級統(tǒng)考期末)閱讀下列材料：

利用完全平方公式，可以將多項式“小+法+或。4。)變形為a(x+〃?)2+〃的形式，我們把這

樣的變形方法叫做多項式“Y+bx+c,的配方法.

運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式.

例如:X2-9X+14=X2-9X++14

95

x------

22

=(x-7)(x-2)

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

⑴用多項式的配方法將+2x-1化成(X+⑼2+〃的形式；

(2)下面是某位同學(xué)用配方法及平方差公式把多項式X?-5X-24進行分解因式的解答過程,

老師說，這位同學(xué)的解答過程中有錯誤，請你找出該同學(xué)解答中開始出現(xiàn)錯誤的地方，并

用“”標(biāo)畫出來，然后寫出完整的、正確的解答過程：

解：x?-5x-24

=X2-5X+52-52-24

=(x-5)2-25-24

=(x-5+7)(x-5-7)

=(x+2)(x-12)

(3)求證：x,取任何實數(shù)時，多項式x2-2y+V-4x+14的值總為正數(shù).

【答案】(1)(X+1)2-2

⑵見解析

⑶證明見解析

【詳解】(1)X2+2X-1

=X2+2X+12-12-1

=(x+l)—2；

(2)如圖所示：

解：X2-5X-24

=X2-5X+52-5、24

=(x-5)2-25-24

=(x-5+7)(x-5-7)

=(x+2)(x-12)

正確的解答過程：x2_5x_24=f_5x+(|)--24

=(x+3)(x-8)；

(3)證明：x2-2y+y2-4x+7

=(x?-4x+4)+(y2-2y+i)+2

=(X-2)2+(^-1)2+2>2,

故x,.y取任何實數(shù)時，多項式V-2丫+)，2-4》+7的值總為正數(shù).

例題4.(2023秋?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末)因式分解：

(1)+-4(7%+〃)+4；

⑵2f—18.

【答案】⑴(〃，+〃—2)2

(2)2(X+3)(X-3)

【詳解】(1)解：-4(/+〃)+4

=[(加+〃)-2丁

(2)解;2*2-18

=2(X2-9)

=2(x+3)(x-3).

例題5.(2023春江蘇七年級專題練習(xí))下面是某同學(xué)對多項式(x2-4x+2)(/-4x+6)+4

進行因式分解的過程.

解：設(shè)

原式=(y+2)(y+6)+4

=V+8y+16

=(y+4)2

=1-4x+4)-

回答下列問題:

(1)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？(填“徹底”或“不徹底”)，若不

徹底，請寫出因式分解的最后結(jié)果;

⑵以上方法叫做“換元法”.請你模仿以上方法對卜2-2》乂/-2》+2)+1進行因式分解.

【答案】⑴不徹底，(%-2)4

⑵(1)4

【詳解】(1)???(X2-4X+4)2=(X-2)4,

.-,該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，

故答案為：不徹底，(%-2)4；

(2)設(shè)x?-2x=y,

(x2-2x)(x?-2x+2)+l

=y(y+2)+l

=/+2y+l

=(y+i>

=(x?-2x+l『

=(X-l)4,

故答案為：(X-1)4.

題型歸類練

1.(2023?全國?九年級專題練習(xí))分解因式：X4-2X2/+/=.

【答案】(x+y>(x-y)2

【詳解】解：x4-2x2y2+/=(x2-y2)2=(x+y)\x-y)2,

故答案為:(x+y)“x-y)2.

2.(2023秋?四川南充?八年級統(tǒng)考期末)分解因式：

⑴M-16；

(2)a2(x-y)+2ab(y-x)-b2(y-x).

【答案】⑴(>+4)5+2)(〃L2)

⑵(x-y)(a-b)2

【詳解】(1)解：〃"-16

="+4)(濟-4)

=(/+4)(m+2)(〃1-2).

12

(2)解：a(<x-y)+2ab(y-x)-b(y-x)

=a2(x-y)-2?/?(x-y)+&2(x-^)

=(x-y)(/-2a/?+〃)

=(x-y)(a-Z>)2.

3.(2023秋?四川眉山?八年級?？茧A段練習(xí))下面是某同學(xué)對多項式

(x2-以+2心2-以+6)+4進行因式分解的過程.

解：設(shè)f-4x=y,

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=/+8:y+I6(第二步)

=(y+4>(第三步)

=(X2-4X+4)2(第四步)

回答下列問題：

⑴該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的方法是什么？

⑵該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果.

⑶請你模仿以上方法嘗試對多項式(丁-2*(1-2x+2)+l進行因式分解.

【答案】⑴用完全平方公式分解因式

(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，分解的最后結(jié)果為(x-2?

(3)(%-1)4

【詳解】(1)解：由題意得該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的方法是用完全平方公

式分解因式；

(2)解：設(shè)V-4x=y,

原式=(y+2)(y+6)+4

=y2+8y+16

=(y+4)，

=(x2-4x+4)-

=(x-2『，

???該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，分解的最后結(jié)果為(x-2)4

(3)解：設(shè)M-2x=y,

(x2-2x)(x2-2x+2)+1

=y(y+2)+i

=y2+2y+l

=(y+l)2

=(x?-2x+l,

=(x-l)\

4.(2023?全國?九年級專題練習(xí))把下列多項式分解因式：

⑴3a2匕2一12〃；

(2)-2or2+^axy-lay1.

【答案】⑴3從(。+2)(々一2)

(2)-2?(x-y)2

【詳解】(1)3a2b2-l2b2

=3從(6-4)

=3必(a+2)(“-2)；

(2)-2ax2+4axy-lay

=-2a_2xy+y2)

=-2a^x-y)~

5.(2023?江蘇南通?八年級南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí))因式分解:

⑴3ab3+15/京

⑵(/%—1)(%一3)+1.

(3)3x3-6x2y+3xy2；

(4)9a2(x-y)+4/(y-x)

【答案】⑴3啖2+5叫

(2)(/?-2)2

(3)3x(x-y)2

(4)(3a-2b)(3a+2b)(x-y)

【詳解】(1)原式=3"伍2+5叫；

(2)原式==〃「-46+4

=(加-2)2；

(3)原式=3x(%2-2孫+)，)

=3x(x-y)2；

（4）=（9a2-4"）（x-y）

=（3a-2h^（3a+2b^x-y^.

題型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧計算

典型例題

例題1.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）計算:

X...X(1-盛)x(l-^y)的結(jié)果是()

,101c101C101n1

A.---B.---C.---D.---

200125100100

【答案】B

【詳解】解：原式=

4657689810099101

二一X-X-X-X-X-XX---X------X------X-----

5566779999100100

4101

=—x---

5100

101

"125'

故選：B.

例題2.(2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))利用因式分解計算：11x1022-11x982的結(jié)果

是.

【答案】8800

【詳解】原式=11x(1022-98?)

=11x(102+98)x(102-98)

=11x200x4

=8800.

故答案為:8800.

例題3.（2023春?七年級課時練習(xí)）用簡便方法進行計算.

(1)21.4X2.3+2.14X27+214X0.5.

10000

752-252'

⑶(1-最)X(l-5)x(l-")x”.X.

(4)1952+195X10+52.

【答案】(1)214；(2)2；(3)—；(4)40000

20

（2）把分母因式分解后，再約分;

（3）先把每個括號利用平方差公式寫成積的形式，再約分;

（4）把195x10寫成2x195x5,再利用完全平方公式求解.

【詳解】解：(1)原式=21.4x2.3+21.4x2.7+21.4x5,

=21.4x(23+2.7+5),

=21.4x10,

=214；

10000

(2)原式=(75+25)(75-25)，

10000

-100x50'

=2；

(3)原式=(1+y)X(1-g)X(1+-)x(1--)x(1+-)x(1--)x...x(1+—)X

334410

(1——),

10

314253119

=-X—X—X—X—X—Xx—x—,

2233441010

111

—X—,

210

11

20

(4)原式=1952+2x195x5+52,

=(195+5)2,

=20012,

=40000.

題型歸類練

1.（2023秋?上海青浦?七年級?？计谀┯嬎悖?.52乂1.6-2.5人1.6

【答案】80

【詳解】解：7.52xl.6-2.52xl.6

=1.6X（7.52-2.52）

=1.6x（7.5+2.5）（7.5-2.5）

=1.6x10x5

=80.

2.(2023春?七年級課時練習(xí))(1)計算：(2根+〃)(2,〃-〃)一?！?〃)：！

(2)簡便計算：1232-122x124.

【答案】(1)3nr+2mn-2n\(2)1

【詳解】解：(1)(2m+n)(2m-n)-(m-n)2

-4川-42_(1_2mn+叫

222

=4，“2-n—m+2mn—n

=3，/+2mn-2n2;

(2)1232-122x124

=1232-(123-1)(123+1)

=1232-1232+1

=1.

3.(2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))利用因式分解計算

(1)9002-894x906

(2)2.68x15.7-31.4+15.7x1.32

【答案】⑴36

(2)31.4

【詳解】(1)解：9002-894x906

=9002-(900-6)x(900+6)

=9002-(9002-62)

=9002-9002+62

=36

(2)解：2.68x15.7-31.4+15.7x1.32

=15.7x(2.68-2+1.32)

=15.7x2

=31.4

4.(2023春?全國?七年級專題練習(xí))計算：20182-4038x2018+20192.

【答案】1

【詳解】解：20182—4038x2018+20192

=20182-2X2018X2019+20192

=(2018-2019)2

=1.

題型四：首項系數(shù)為“1”的二次三項式因式分解

典型例題

例題1.(2023秋?山東威海?八年級統(tǒng)考期末)如果多項式犬-5\+〃?可分解為(x+〃)(x-3),

則加，〃的值分別為()

A.24,—8B.—5,—3C.~6,2D.6，—2

【答案】D

【詳解】解：由題意得：f-5x+m=(x+〃)(x-3),

x2-Sx+m=x2+nx-3x-3n,

x2-5x+m=x2+(H-3)X-3H,

3=—5,m——3n,

〃=-2,m=6,

故選：D.

例題2.(2023秋?山東淄博?八年級統(tǒng)考期末)因式分解：x2-10A-24=.

【答案】(X-12)(X+2)

【詳解】解：X2-10X-24=(X-12)(X+2),

故答案為：(x-12)(x+2).

例題3.(2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們

很容易計算：

(x+2)(x+3)=x~+5.v+6；(x—1)(%+3)=x-+2x—3.

而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：

x2+5x+6=(x+2)(x+3)；x2+2x-3=(x-l)(x+3).

通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式.如將式子f+2x-3

分解因式.這個式子的二次項系數(shù)是1=1x1,常數(shù)項-3=(-l)x3,一次項系數(shù)2=(-1)+3,

可以用下圖十字相乘的形式表示為：

工/“坎——，一住

■，■I

先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十

字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數(shù)，然后橫向書寫.這

樣，我們就可以得到：X2+2X-3=(X-1)(X+3).

利用這種方法，將下列多項式分解因式：

(1)X2+7X+10=;

(2)X2-2x-3=;

(3)y2-7y+U^；

(4)X2+7X-18=.

【答案】(x+2)(x+5)(x-3)(x+l)(y-3)(y-4)(x+9)(x-2)

【詳解】(1)將式子f+7x+10分解因式，

這個式了的二次項系數(shù)是1=1x1,常數(shù)項10=2x5,一次項系數(shù)7=2+5,

.1.x2+7x+10=(x+2)(x+5).

(2)將式子f-2x-3分解因式，

這個式子的二次項系數(shù)是1=1x1,常數(shù)項-3=以(-3),一次項系數(shù)-2=1+(-3),

x2-2x-3=(x-3)(x+l).

(3)將式子V-7y+I2分解因式，

這個式子的二次項系數(shù)是1=1x1,常數(shù)項12=(-3)X(-4),一次項系數(shù)-7=-3+(T),

V-7y+12=(y-3)(>-4).

(4)將式子V+7X-18分解因式，

這個式子的二次項系數(shù)是1=1x1,常數(shù)項T8=(-2)x9,一次項系數(shù)7=-2+9,

x2+7x-18=(x+9)(x-2),

故答案為：(1)(x+2)(x+5),(2)(x-3)(x+l),(3)(y—3)(y-4),(4)(x+9)(x—2).

題型歸類練

1.(2023秋?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末)因式分解/一5工+6,結(jié)果正確的是()

A.(x-6)(x+l)B.(x-2)(x+3)

C.(x+6)(x—1)D.(x—2)(x—3)

【答案】D

【詳解】解：

F-5X+6

x'-3-3x

—2x+(—3x)=-5x,

二x?-5x+6因式分解的結(jié)果是(x—2)(X—3),

故選：D.

2.(2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))把下列各式因式分解：？-2x-8.

【答案】(x-4)(x+2)

【詳解】解：X2-2X-8=(X-4)(X+2)

題型五：首項系數(shù)“不為1”的二次三項式因式分解

典型例題

例題1.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x?-5x+2=

【答案】（2x-l）（x-2）

【詳解】解:2x2-5x+2=（2x-l）（x-2）,

故答案為：（2x-l）（x-2）.

例題2.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）分解因式：6x?+7沖-5/=

【答案】（3x+5y）（2x-y）

【詳解】解：6x2+7xy-5y2

=（3x+5y）（2x-y）.

故答案為：（3x+5j）（2x-y）

例題3.（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）分解因式：

⑴V+9孫+14），（2）x2-xy-]2y2（3）2x2+9xy-5y2

（4）3x2-lxy-6y2（5）8/+10封+3y?（6）\Ox2+27xy+5y2

【答案】⑴（x+2y）（x+7y）⑵（x-4y）（x+3y）⑶（x+5y）（2x-y）⑷（x-3y）（3x+2y）

（5）（2x+y）（4x+3y）⑹（2x+5y）（5x+y）

【詳解】（1）解：x2+9xy+14y2

d+知+14y2=(x+2y)(x+7y)；

(2)解:x2-xy-l2y2

x2-xy-l2y2=(x-4y)(x+3y)；

(3)解：+9盯一5y2

2x2+9xy-5y2=(x+5y)(2x-y)；

(4)解：3x2-7xy-6y2

3X2-lxy-6y2=(x-3y)(3x+2y)；

(5)解：8/+10盯+3/

8x2+10xy+3y2=(2x+y)(4x+3y)；

(6)解：10X2+27XJ+5/

10x2+27xy+5y2=(2x+5y)(5x+y).

例題4.(2023春?七年級課時練習(xí))分解因式：

(1)37+1-4X；(2)-3-4x+4x2?(3)6x2+31x-105;

【答案】(1)(3x-l)(x-l)；(2)(2-3)；(3)(2x+15)(3x-7)

【詳解】解：(1)3X2+1-4X=3X2-4X+1=(3X-1)(X-1)；

(2)-3-4x+4x2=4x2-4x-3=(2x+1)(2x-3)；

(3)6X2+31X-105=(2X+15)(3X-7).

題型歸類練

1.(2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))分解因式:

(l)x2+9xy+l4y2

⑵一一肛-12/

(3)2x2+9xy-5y2

⑷3%2-7孫-6丫2

(5)3x2-2xy-Sy2

⑹-5F+3xy+14)，2

【答案】(l)(x+2y)(x+7y)

⑵(x—4)，)(x+3y)

⑶(x+5y)(2x-y)

(4)(x-3y)(3x+2y)

⑸(x-2H(3x+4y)

(6)-(x-2y)(5x+7y)

【詳解】(1)解：x2+9xy+14y2

x?+9孫+14V=(x+2y)(x+7y)：

(2)解：x2—xy—12y2

x2-AJ-12y2=(x-4y)(x+3y)；

(3)解:2x2+9xy-5y2

2x

/.2x?+9沖一5y2=(x+5y)(2x—y)；

(4)解:3/一7孫一6y2

/.3X2-Ixy-by1=(x-3^)(3x+2y)；

(5)解：3/-2個-8y2

/.-2xy-^y2=(x-2y)(3x+4y)；

(6)解：-5x?+3孫+14y2=一(5/-3取一14y2)

/.-S%2H-3xy4-14y2=-(x-2y)(5x+7y).

2.(2023?全國?九年級專題練習(xí))分解因式：2x3-6/+4x

【答案】2x(x-l)(x-2)

【詳解】解：原式=2X(X2-3X+2)

=2x(x-l)(x-2),

3.(2023春?七年級課時練習(xí))將下列各式分解因式：

(1)6y2+19y+15；(2)14x2+3x-27

【答案】(1)(2y+3)(3y+5)；(2)(2x+3)(7x—9)

2y3

【詳解】解：(1)因為。x即9y+10y=19y,

3y5

所以：原式=(2y+3)(3y+5)；

2x3

(2)因為rxc即21x-18x=3x,

lx-9

所以:原式=(2x+3)(7x-9).

題型六：含參數(shù)的十字相乘法

典型例題

例題1.(2022秋?全國?八年級專題練習(xí))把下列各式分解因式：3ax2-6axy+3ay2

【答案】3a(x-y)2

【詳解】解：3cix2-Baxy+Say2

=3a(x2-Ixy+y2)

=3a(x-y)2；

例題2.(2022秋?全國?八年級專題練習(xí))F+11盯+18)3=

【答案】(x+2y)(x+9y)

試題解析：x2+llxy+18y2=(x+2y)(x+9y).

題型歸類練

1.(2022春?上海楊浦?八年級?？计谥?二元二次方程/-2孫-3卡=0分解為兩個一次方

程的結(jié)果為.

【答案】x-3y=O；x+y=0

【詳解】解:「x2-2xy-3y2=O,

(x-3y)(x+y)=0.

/.x-3y=0或x+y=0.

故答案為:x-3y=0；x+y=O.

2.(2022秋?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末)因式分解：

—2%2+8個—8y之；

【答案】-2(x-2y)2；

解：-2產(chǎn)+8盯-8y2

=-2(r?4xy+4y2)

=-2(x-2y)2；

題型七：十字相乘法的綜合應(yīng)用

典型例題

例題2.(2023秋?湖北荊州?八年級統(tǒng)考期末)甲、乙兩個同學(xué)分解因式/+〃“+〃時，

甲看錯了分解結(jié)果為(x+9)(x-2)；乙看錯了〃，分解結(jié)果為。-5)。+2),則正確的分

解結(jié)果為.

【答案】(x—6)(x+3)

【詳解】解：?甲看錯了分解結(jié)果為(X+9)(X-2),

，由(x+9)(x-2)=X?+7X-18,可知〃=—18,

又???乙看錯了〃，分解結(jié)果為(*-5)(x+2),

.,.由(x-5)(x+2)=x2-3x-10,可知m=-3,

x2+?ir+?=X2-3x-18,

x2-3x-18=(x-6)(x+3),

?1.正確的分解結(jié)果為5-6)(x+3).

故答案為:(x-6)(x+3).

例題2.(2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))閱讀理解：對于一些次數(shù)較高或者是比較復(fù)

雜的式子進行因式分解時，換元法是一種常用的方法，下面是某同學(xué)用換元法對多項式

(〃-24+3)+4進行因式分解的過程.

解：設(shè)/-2a=A原式=(A-l)(A+3)+4(第一步)"+2A+1(第二步)=(A+1『(第

三步)=(/_24+1丫(第四步)

回答下列問題：(1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的(填代號).

A.提取公因式B.平方差公式C.兩數(shù)和的完全平方公式D.兩數(shù)

差的完全平方公式

(2)按照“因式分解，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止”的要求，該多項

式分解因式的最后結(jié)果為.

(3)請你模仿以上方法對多項式(X?-4x-3)(/-4x+11)+49進行因式分解.

(4)知識延伸：

解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若"AB=0,則A=0或8=0”.

解方程(X?+xj-8(x2+x)+12=0.

【答案】⑴C；(2)(a-1)4；(3)(x-2)4；(4)x=—2或x=l或x=—3或x=2.

【詳解】解：(1)由A2+2A+1=(A+1)2,

運用的是兩數(shù)和的完全平方公式，

故答案為：C.

(2)(a?-2a+l)-=[(a-l)[=(a-l)4,

故答案為：—1)4.

(3)ijx2-4x=tn,

.?.(X2-4x-3)(x2-4x+11)+49

=(%一3)(6+11)+49

=nr+8m+16

=("?+4)~

=12―4工+4)“

(4)(x2+x)-8(d+,+12=0,

「.(x?+x-2)(x2+x-6)=0,

「.(x+2)(x-l)(x+3)(x-2)=0,

/.x+2=0或x-l=0或x+3=0或x—2=0,

「.工=-2或工=1或％=-3或％=2.

題型歸類練

1.(2023春?七年級課時練習(xí))分解結(jié)果等于(x+y-4)(x+y-5)的多項式是().

A.(x+y)2-9(x+y)+20B.(x+y?+9(x+y)+20

C.(x+y)2+9(x+y)-20D.(x+y)2-9(x+y)-20

【答案】A

【詳解】分解因式的結(jié)果為(x+y-4)(x+y-5)的多項式是(x+y)2-9(x+y)+20,

故選A.

2.(2023春?全國?七年級專題練習(xí))因式分解：(x-y)2+5(x-y)-50

【答案】(X-y+io)(x-y-5)

【詳解】(x-y)2+5(x-y)—50

=(x-y+10)(x-y-5).

3.(2023秋?上海青浦?七年級校考期末)因式分解：(/―幻2_]4(一一為+24.

【答案】(x?2)a+ua?4)a+3)

【詳解】原式=(x\r-2)(%2—x-12)

=(x-2)(x+l)(x-4)(x+3)

題型八：分組分解法（四項式，五項式，六項式等）

典型例題

例題1.（2023秋?福建福州?八年級統(tǒng)考期末）將一個多項式分組后，可提公因式或運

用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法，常見的分組分解法的形式有：“2+2”

分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.

如“2+2”分法：

ax+ay+hx+by

=(辦+6^)+(版+力)

=a(x+y)+b(x+y)

=(x+y)(〃+b)

再如“3+1”分法：

x2—2xy+y2-16

=[x2-2xy+y2)-16

=(x-y)2-42

=(x-^+4)(x-y-4)

利用上述方法解決下列問題：

(1)分解因式：9x2-6xy+y2-\6.

(2)A5C的三邊。，力，C滿足/+兒_必=a，判斷ABC的形狀，并說明理由.

【答案】⑴(3x-y+4)(3x-y-4)；

(2)A8C是等腰三角形，理由見解析.

【詳解】(1)解：9x2-6xy+y2-16

=(9X2-6J^+/)-16

=(3x-y)2-16

=(3x-y+4)(3x-^-4)；

(2)解：a1+be-ab=ac,

a2+be—ab—ac=O

a2-ab-^ac-bc)=G,

a(a-b)-c(a-b)=O,

(a-Z?)(a-c)=O,

。一人=0或。-c=0,

/.a=b或a=c,

：ABC是等腰三角形.

例題2.(2023秋?湖北襄陽?八年級期末)常用的因式分解的方法有：提公因式法和公

式法,但有的多項式用上述方法無法分解，例如x2-4/-2x+4y,我們細(xì)心觀察就會發(fā)現(xiàn)，

前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了，具

體分解過程如下：

x2-4y2-2x+4y

=，-4y2)-(2x+4y)

=(x+2y)(x-2y)—2(x+2y)

=(x-2y)(x+2y-2)

這種方法叫分組分解法，請利用這種方法因式分解下列多項式:

(1)mfT—2mn+2??-4;

(2)x2-2xy+y2

(3)4x2-4x-y2+4y-3.

【答案】⑴(-2乂〃加+2)；

(2)(x-y+4)(x-y-4)；

(3)(2x+y-3)(2x-y+l).

【詳解】(1)解：mn2—2mn+2/7—4

二W7(〃-2)+2(〃-2)

二(〃-2)(加〃+2)

(2)x2-2xy+y2-\6

=(x-j)2-42

=(x_y+4/x_y_4)

(3)4x2-4x-y2+4y-3

=4x2-4x4-1-y2+4y-3—1

=(4爐—4尤+1)一('2_分+4)

=(2x-l)2-(y-2)2

=[(2x-l)+(y-2)][(2x—1)—(y—2)]

=(2x+y-3)(2x-y+l)

例題3.(2023春?七年級課時練習(xí))因式分解：

(1)a2-4b2+I2bc-9c2;

⑵x2—2x—15;

(3)x2-y2-4x+6y-5.

【答案】⑴(a+2A-3c)(a-2A+3c)

(2)(x-5)(x+3)

(3)(x+y-5)(x-y+l)

【詳解】(1)解：原式="2一(4/-12歷+9。2)

=a2-(2h-3c)2

=(a+2Z?—3c)(a—2b+3c)；

(2)解：原式=(x-5)(%+3)：

(3)解：原式=(d-4x+4)-(y2-6y+9)

=(x-2)2-(y-3)2

=(x+y-5)(x-y+l).

題型歸類練

1.(2023春?江蘇,七年級專題練習(xí))先閱讀以下材料，然后解答問題，分解因式.

mx+nx+my+ny

=(tnx+nx)+{my+ny)

=x{m+n)+y(m+n)

=(7w+n)(x+y)；

也可以儂+僦+便y+肛，

=(tnx+my)+(MT+ny)

=m(x+y)+n(x+y)

=(m+n)(x+y).

以上分解因式的方法稱為分組分解法，

(1)請用分組分解法分解下列因式：

①a2(x-y)-x+y

(2)x2-y2-4x+4

(2)拓展延伸

①若2x2-2xy+)a-8x+16=0求x,y的值；

②求當(dāng)x、y分別為多少時？代數(shù)式5/-12盯+9)，+8x+6有最小的值，最小的值是多少?

【答案】⑴①(x-y)(a+l)(a-D;②(x+y—2)(x-y—2)

Q

(2)①x=4,y=4；②X=-4,y,最小值：-10

【詳解】(1)解：①

=a2(x-y)-(x-y)

=(x->-)(?2-l)

=(x—y)(a+D(a—l)；

②12-,2一敘+4

2

=-2

=(x+y-2)(x-y-2)；

(2)解：①,2x2-2xy+y2-8x+]6=0,

x2—2.xy+y~+x"—8x+16=0,

/.(x—y)2+(x—4)2=0,

/.(x-y)2=0,(x-4)2=0,

.?.x=4,y=4；

(2)5x2-12^+9/+8x+6

=4x2-12Ay+9y2+x2+8x+16-10

=(2x-3?+(x+4)2-10,

(2%-3yJNO,(X+4)2>0,

.?.(2x-3y)2=0,(x+4)2=0時，5/-12町，+9/+8x+6有最小值，最小值是-10,

/.2x=3y,x=-4,

8

Q

即當(dāng)x=T,y=-§時，代數(shù)式5》2-12xy+9y2+8x+6有最小值，最小值是-10.

2.(2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))閱讀下列材料：

因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多項式僅用上述方法就無法分解，如

x2-2xy+y2-16.我們細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形

后可以與第四項結(jié)合再運用平方差公式進行分解，

過程如下：

x2-2xj+y2-16

=(x->')2-16

=(x-y+4)(x-y-4).

這種因式分解的方法叫分組分解法.

利用這種分組的思想方法解決下列問題：

⑴因式分解：〃-6必+96-25;

(2)因式分解：x2-4y2-2x+4y.

【答案】⑴(。一3。一5)(。一二+5)

⑵(x-2y)(x+2y-2)

【詳解】(1)ft?：a2-6ab+9b2-25,

=(/_6?！?962)—25,

=(6Z-3fo)2-52,

=(a-3/?-5)(a-3b+5)；

(2)解：x2-4y2-2x+4y,

2

=(x-4/)-(2x-4^)r

=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y),

=(x-2y)(x+2y-2).

3.(2023?全國?九年級專題練習(xí))閱讀下列材料：

因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多項式僅用上述方法就無法分解，如

x2-2xy+y2-l6.我們細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形

后可以與第四項結(jié)合再運用平方差公式進行分解.

過程如下：

X2—2xy+y2-16

=(x—y)--16

=(x-^+4)(x-y-4).

這種因式分解的方法叫分組分解法.

利用這種分組的思想方法解決下列問題：

⑴因式分解：a2-6ab+9b2-25;

(2)因式分解：X2-4y2-2x+4y；

⑶AABC三邊a、b、ccr+c2+2b2-2ab-2bc=0,判斷△4BC的形狀并說明理由.

【答案】(1)(。一38-5)(a-勸+5)

(2)(x-2y)(x+2y-2)

(3必A8C是等邊三角形，理由見解析

【詳解】(1)解：/-6,加+9從-25

=(a-3b)2-25

=(a-36-5)(a-36+5)；

(2)解：x2-4y2-2x+4y

=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)

=(x-2y)(x+2y-2)；

(3)解：△48C是等邊三角形，

理由如下:

a2+c2+2b2-2ab-2bc-0^

(a2-2ab+tr)+(c2-2bc+b2)^0,

(a-4+(〃-c)-=0,

V(a-/>)2>0,(/?-c)2>0,

「.〃一。=0,且b—c=0,

a=b,且6=c,

a=b=c,

△ABC是等邊三角形.

題型九：因式分解的應(yīng)用

典型例題

例題1.(2023秋?廣東江門?八年級統(tǒng)考期末)閱讀下列材料：某校“數(shù)學(xué)社團”活動

中，研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用

上述方法無法分解，如：“病+，細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以

提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產(chǎn)生了新的公因式，然

后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為

nr-mn+2m-2n-{nr-/w?)+(2m-2n)=m(<m-ri)+2^m-n)=(加一〃)(/〃+2).

“社團”將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下

問題：

(1)分解因式：a3-3a2-6a+18;

(2)已知"?+”=5,m-n=1,求，+2機一2〃的值；

22

(3)MC的三邊a,h,c^^a+ab+c-bc=2ac,判斷ABC的形狀并說明理由.

【答案】⑴(。-3乂/_6)

(2)7

⑶等腰三角形，理由見解析

【詳