2025高考備考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)第1講　平面向量的概念及線性運(yùn)算

第六章平面向量、復(fù)數(shù)第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.4.掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.理解兩個平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.平面向量的有關(guān)概念2022新高考卷ⅠT3本講命題熱點(diǎn)為平面向量的線性運(yùn)算、共線向量定理的應(yīng)用，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，備考時注意對向量的幾何意義的理解和應(yīng)用.平面向量的線性運(yùn)算2022新高考卷ⅠT3；2020全國卷ⅠT14；2020新高考卷ⅡT3共線向量定理的應(yīng)用學(xué)生用書P1121.平面向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有①大小又有②方向的量；向量的大小叫做向量的長度（或③模）.平面向量是自由向量.零向量長度為0的向量.零向量記作0，其方向是④任意的.單位向量長度等于1個單位長度的向量.與非零向量a共線的單位向量為⑤a｜a｜和⑥－平行向量（共線向量）方向⑦相同或相反的非零向量.0與任意向量平行（共線）.相等向量長度⑧相等且方向⑨相同的向量.相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量.相反向量長度相等且方向相反的兩個向量.若a，b互為相反向量，則a＝－b.0的相反向量為0.注意（1）0是一個向量，0是一個實(shí)數(shù)，｜0｜＝0.（2）兩個向量不能比較大小，只能判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小.2.平面向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算.三角形法則 平行四邊形法則（1）a＋b＝b＋a.（2）（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差.三角形法則a－b＝a＋（－b）.數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算.（1）｜λa｜＝｜λ｜｜a｜.（2）當(dāng)λ＞0時，λa與a的方向⑩相同；當(dāng)λ＜0時，λa與a的方向?相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0.（1）λ（μa）＝λμa＝μ（λa）.（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa.（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.注意利用三角形法則時，兩向量要首尾相連；利用平行四邊形法則時，兩向量要有相同的起點(diǎn).常用結(jié)論向量運(yùn)算的常用結(jié)論（1）若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP＝12（OA＋OB）（2）對于任意兩個向量a，b，都有：①｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜；②｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）.注意當(dāng)a，b不共線時：①式的幾何意義是三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊；②式的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長與兩對角線的長之間的關(guān)系.3.共線向量定理向量a（a≠0）與b共線的充要條件：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使?b＝λa.注意（1）只有非零向量才能表示與之共線的其他向量.（2）兩向量共線包含同向共線和反向共線兩種情況.1.下列說法正確的是（D）A.零向量是唯一沒有方向的向量B.單位向量都相等C.a與b同向，且｜a｜＞｜b｜，則a＞bD.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件2.[新高考卷Ⅱ]若D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則CB＝（A）A.2CD－CA B.2CA－CDC.2CD＋CA D.2CA＋CD解析解法一因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AB＝2AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋2AD＝CA＋2（CD－CA）＝2CD－CA，故選A.解法二因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以CD＝12（CA＋CB），即2CD＝CA＋CB，所以CB＝2CD－CA，故選3.已知向量a，b，若｜a｜＝2，｜b｜＝4，則｜a－b｜的取值范圍是[2，6].解析由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，得2≤｜a－b｜≤6.4.已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－（b－3a）共線，則λ＝－13解析由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－（b－3a）]，所以λ＝－k學(xué)生用書P113命題點(diǎn)1平面向量的有關(guān)概念例1（1）下列說法正確的是（B）A.若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B.若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且AB＝DC，則四邊形ABCD為平行四邊形C.a＝b的充要條件是｜a｜＝｜b｜且a∥bD.已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線解析A錯誤，兩個向量是否相等只與模及方向有關(guān)，與位置無關(guān)；B正確，因?yàn)锳B＝DC，所以｜AB｜＝｜DC｜且AB∥DC，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯誤，當(dāng)a∥b且｜a｜＝｜b｜時還可能是a＝－b，所以“｜a｜＝｜b｜且a∥b”是“a＝b”的必要不充分條件；D錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線.故選B.（2）設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使a｜a｜＝b｜bA.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜解析因?yàn)橄蛄縜｜a｜的方向與向量a的方向相同，向量b｜b｜的方向與向量b的方向相同，且a｜a｜＝b｜b｜，所以向量a與向量b的方向相同，故可排除選項(xiàng)A，B，D.當(dāng)a＝2b時，a｜a｜方法技巧向量有關(guān)概念的關(guān)注點(diǎn)（1）向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.（2）非零向量的平行具有傳遞性.（3）平行向量即共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.（4）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.（5）向量a｜a｜是與向量訓(xùn)練1下列說法正確的是（B）A.相反向量就是方向相反的向量B.a，b，c為非零向量，若a∥b，b∥c，則a∥cC.若a與b共線，則a＝b或a＝－bD.若a為平面內(nèi)的某個向量，a0為單位向量，則a＝｜a｜a0解析對于A，相反向量是方向相反，長度相等的兩個向量，故A錯誤；對于C，若向量a與b共線，則a與b的方向相同或相反，但長度不一定相等，故C錯誤；對于D，a與｜a｜a0的模相等，但方向不一定相同，故D錯誤；易知B正確.故選B.命題點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算角度1向量加、減法的幾何意義例2（1）[多選]P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足｜PB－PC｜－｜PB＋PC－2PA｜＝0，則△ABC不可能是（AD）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形解析設(shè)D為邊BC的中點(diǎn)，則PB＋PC＝2PD，由已知有｜CB｜＝｜2PD－2PA｜＝2｜AD｜，所以△ABC為直角三角形，故選AD.（2）[全國卷Ⅰ]設(shè)a，b為單位向量，且｜a＋b｜＝1，則｜a－b｜＝3.解析解法一如圖，四邊形OACB為平行四邊形，設(shè)OA＝a，OB＝b，利用平行四邊形法則得OC＝a＋b，∵｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝1，∴△OAC為正三角形，∴｜BA｜＝｜a－b｜＝2×32×｜a｜＝3.解法二∵a，b為單位向量，且｜a＋b｜＝1，∴（a＋b）2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－12，∴｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×（－12）＝3，∴｜a－b｜＝方法技巧利用向量加、減法的幾何意義解決問題的思路（1）根據(jù)兩個向量的和與差，構(gòu)造相應(yīng)的平行四邊形或三角形，再結(jié)合其他知識求解；（2）平面幾何中，如果出現(xiàn)平行四邊形或可能構(gòu)造出平行四邊形或三角形的問題，那么可考慮利用向量知識來求解.角度2向量的線性運(yùn)算例3[2022新高考卷Ⅰ]在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CB＝（B）A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n解析因?yàn)锽D＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故選B.方法技巧向量的線性運(yùn)算問題的求解策略（1）利用三角形法則或平行四邊形法則求解；（2）利用相等向量、相反向量、共線向量以及三角形中位線等，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.角度3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝2DC，點(diǎn)O在線段CD上（與點(diǎn)C，D不重合）.若AO＝xAB＋（1－x）AC，則x的取值范圍是（C）A.（0，1） B.（23，1） C.（0，13） D.（13解析設(shè)BO＝λBC，λ∈（23，1），則AO＝AB＋BO＝AB＋λBC＝（1－λ）AB＋λAC＝xAB＋（1－x）AC，則x＝1－λ∈（0，13）.方法技巧求參數(shù)問題可以通過向量的線性運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，構(gòu)造方程（組）求解.訓(xùn)練2（1）[多選]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（ABD）A.AC－AD＝12AB B.｜OA＋2OC｜C.OA＝23CD＋13CB D.AB＋BC＋CD解析對于A，AC－AD＝DC＝12AB，故A正確.對于B，由題知COAO＝CDAB＝12，所以O(shè)A＋2OC＝0，故｜OA＋2OC｜＝0，故B正確.對于C，OA＝23CA＝23（CB－AB）＝23（CB＋2CD）＝23CB＋43CD，故C錯誤.對于D，AB＋BC＋CD＋（2）在△ABC中，AB＝2，BC＝33，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若AD＝λAB＋μAC，則λ－μ＝13解析如圖，∵AD為BC邊上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴BD＝3＝13BC，∴AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝2又AD＝λAB＋μAC，∴λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝命題點(diǎn)3共線向量定理的應(yīng)用例5（1）已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AO＝12（OB＋OC），AD＝tAC，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t＝（BA.14 B.13 C.12 解析設(shè)E是BC邊的中點(diǎn)，則12（OB＋OC）＝OE，由題意得AO＝OE，所以AO＝114（AB＋AC）＝14AB＋14tAD，又因?yàn)锽，O，D三點(diǎn)共線，所以14＋14t＝1（2）[全國卷Ⅱ]設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝12解析因?yàn)棣薬＋b與a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0.因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12方法技巧利用共線向量定理解題的策略（1）利用a∥b?a＝λb（b≠0）求解.（2）當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?AB，AC共線.（3）若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.（4）OA＝λOB＋μOC（λ，μ為實(shí)數(shù)），若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.注意OA＝λOB＋μOC中的三個向量的起點(diǎn)相同時，才有A，B，C三點(diǎn)共線?λ＋μ＝1.訓(xùn)練3（1）已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，OA＝3e1＋2e2，OB＝4e1＋ke2，OC＝5e1－4e2，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為（A）A.－1 B.0 C.1 D.2解析解法一因?yàn)镺A＝3e1＋2e2，OB＝4e1＋ke2，OC＝5e1－4e2，所以AB＝OB－OA＝（4e1＋ke2）－（3e1＋2e2）＝e1＋（k－2）e2，AC＝OC－OA＝（5e1－4e2）－（3e1＋2e2）＝2e1－6e2，又A，B，C三點(diǎn)共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得AB＝λAC，即e1＋（k－2）e2＝λ（2e1－6e2），所以2λ=1，－6λ＝k－解法二根據(jù)題意，設(shè)OA＝xOB＋（1－x）OC，則3e1＋2e2＝[4x＋5（1－x）]e1＋[kx－4（1－x）]e2，因?yàn)閑1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，所以4x+5（1－x（2）[2023湖北天門中學(xué)、仙桃中學(xué)等校5月聯(lián)考]如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，G為△ABC的重心，M，N分別為線段AB，AC上的動點(diǎn)，且M，N，G三點(diǎn)共線，若AM＝λAB（λ≠0），AN＝μAC（μ≠0），則λ＋4μ的最小值為（B）A.32 B.3 C.2 D.解析由題意得AG＝23AD＝23×12（AB＋AC）＝13（AB＋AC）＝13（1λAM＋1μAN），由于M，N，G三點(diǎn)共線，故13λ＋13μ＝1.故λ＋4μ＝（λ＋4μ）（13λ＋13μ）＝53＋4μ3λ＋λ3μ≥53＋24μ3λ·λ3μ＝學(xué)生用書P115等和線的應(yīng)用例6[全國卷Ⅲ]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP＝λAB＋μAD，則λ＋μ的最大值為（A）A.3 B.22 C.5 D.2解析解法一如圖，過點(diǎn)C作CE∥BD交直線AB于點(diǎn)E，因?yàn)锳P＝λAB＋μAD，則由等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€l與圓相切時，λ＋μ最大，設(shè)此時l與直線AB交于點(diǎn)F，則易知AB＝BE＝EF，此時λ＋μ＝AFAB＝AB＋BE＋EF解法二以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2）.可得直線BD的方程為2x＋y－2＝0，點(diǎn)C到直線BD的距離d＝222＋12＝25，所以圓C的方程為（x－1）2＋（y－2）2＝45.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓255cosθ，2＋255sinθ）.易知AB＝（1，0），AD＝（0，2），AP＝λAB＋μAD＝（λ，2μ），所以1+255cosθ＝λ，2+255sinθ=2μ，所以λ＋μ＝2＋255cosθ＋55sinθ＝2＋方法技巧等和線定理：如圖，對于平面內(nèi)一組基底OA，OB及任一向量OP，OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），若點(diǎn)P在直線AB上或在平行于AB的直線A1B1上，則λ＋μ＝k（定值）且｜k｜＝OPOF＝OB1OB＝OA1OA（F為OP與AB的交點(diǎn)），反之也成立.我們把直線AB以及與直線AB平行的直線推導(dǎo)：由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和線定理，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若OF＝xOA＋yOB（x，y∈R），則x＋y＝1，由△OAB與△OA1B1相似，必存在一個常數(shù)k（k∈R），使得OP＝kOF，則OP＝kOF＝kxOA＋kyOB，又OP＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），所以λ＋μ＝k（x＋y）＝k.反之也成立.訓(xùn)練4在扇形AOB中，C為弧AB上的一個動點(diǎn)，∠AOB＝60°.若OC＝xOA＋yOB，則x＋3y的取值范圍是[1，3].解析解法一如圖1，在OB上取一點(diǎn)D，使OB＝3OD，連接AD，與OC交于點(diǎn)E，過C作CF∥AD，交OB于點(diǎn)F，則OC＝xOA＋yOB＝xOA＋3yOD，所以x＋3y＝OCOE＝OFOD.當(dāng)C，A重合時，OFOD最小，為1；當(dāng)C，B重合時，OFOD最大，為3，所以x＋3y的取值范圍是[1 圖1 圖2解法二（坐標(biāo)法）設(shè)扇形AOB的半徑為1，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則B（1，0），A（12，32），設(shè)∠BOC＝θ，0≤θ≤π3，則C（cosθ，OC＝（cosθ，sinθ）＝x（12，32）＋y（1，即cosθ＝x所以x＋3y＝23sinθ3＋3cosθ－3sinθ＝3cosθ－令g（θ）＝3cosθ－33sinθ（0≤θ≤π3），易知g（θ）在[0，g（π3）＝1≤g（θ）≤g（0）＝3所以x＋3y的取值范圍是[1，3].解法三（構(gòu)造函數(shù)法）設(shè)扇形AOB的半徑為r，因?yàn)镺C＝xOA＋yOB，所以O(shè)C2＝（xOA＋yOB）2＝x2OA2＋2xy｜OA｜｜OB｜·cos60°＋y2OB2，即r2＝x2xyr2＋y2r2，整理得關(guān)于y的方程y2＋xy＋x2－1＝0.易知x，y∈[0，1]，Δ＝4－3x2＞0，所以y＝－x所以x＋3y＝x＋－3x+34－3x令f（x）＝－12x＋34－3x22（x∈[0，1]），易知f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f（1）＝1≤f（x）≤所以x＋3y的取值范圍是[1，3].1.[命題點(diǎn)1]設(shè)a，b為非零向量，則“a∥b”是“a與b方向相同”的（B）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析因?yàn)閍，b為非零向量，所以當(dāng)a∥b時，a與b方向相同或相反，因此“a∥b”是“a與b方向相同”的必要不充分條件.2.[命題點(diǎn)3]在△ABC中，點(diǎn)P滿足BP＝2PC，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在直線分別交于點(diǎn)M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC（m＞0，n＞0），則m＋2n的最小值為（A）A.3 B.4 C.83 D.解析如圖，連接AP，易知AP＝AB＋BP＝AB＋23（AC－AB）＝13AB＋23AC＝13mAM＋23nAN.因?yàn)镸，P，N三點(diǎn)共線，所以13m＋23n＝1，因?yàn)閙＞0，n＞0，所以m＋2n＝（m＋2n3m＋2m3n≥53＋22n3m·2m3n＝3，當(dāng)且僅當(dāng)2n3m＝2m3.[命題點(diǎn)3/2023河南省重點(diǎn)中學(xué)測試]已知D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足AD＝13AB，AE＝23AC.F為直線DE與直線BC的交點(diǎn).若AF＝λAB＋μAC（λ，μ為實(shí)數(shù)），則μ－λ的值為（A.1 B.－53 C.53 解析由題意，得AF＝AD＋DF＝13AB＋DF.因?yàn)镈，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以DF＝kk（DA＋AE）＝k（23AC－13AB），k為實(shí)數(shù)，所以AF＝13AB＋k（13－13k）AB＋23kAC.因?yàn)锽，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以（13－13k）＋23k＝1，即k＝2，所以AF＝－13AB＋43AC.又AF＝λAB＋μAC，所以λ＝－13學(xué)生用書·練習(xí)幫P3161.[2024云南文山州月考]已知平面向量a，b不共線，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，則（D）A.A，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線解析BD＝BC＋CD＝6b，得不出AB＝λBD，∴AB，BD不共線，∴A，B，D三點(diǎn)不共線，A錯誤；由已知得不出AB＝λBC，∴AB，BC不共線，∴A，B，C三點(diǎn)不共線，B錯誤；由已知得不出BC＝λCD，∴BC，CD不共線，∴B，C，D三點(diǎn)不共線，C錯誤；AC＝AB＋BC＝3a＋9b＝3CD，∴AC，CD共線，∴A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.故選D.2.[2024河南濟(jì)源市第六中學(xué)月考]設(shè)a，b是兩個非零向量，則下列說法正確的是（C）A.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，則a⊥bB.若a⊥b，則｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜C.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，則存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λbD.若存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，則｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜解析｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜成立的充要條件是向量a，b方向相反，且｜a｜＞｜b｜，易知C正確.3.如圖，P是線段OB，AB的延長線所圍成的陰影區(qū)域（含邊界）內(nèi)任意一點(diǎn)，且OP＝xOA＋yOB，則（C）A.x＋y≤1 B.x＋y＜1C.x＋y≥1 D.x＋y＞1解析設(shè)OP與線段AB的延長線交于點(diǎn)E，則OE＝λOA＋（1－λ）OB，設(shè)OP＝mOE，根據(jù)題意易知m≥1，當(dāng)且僅當(dāng)P，E重合時m＝1.所以O(shè)P＝mλOA＋m（1－λ）OB＝xOA＋yOB，所以x＝mλ，y＝m（1－λ），x＋y＝m≥1.故選C.4.已知平面向量a，b滿足｜b｜＝2，｜2a－b｜＝1，則｜a｜的取值范圍為（C）A.[32，52] B.（1，3） C.[12，32] D.（解析因?yàn)椋?a－b｜＝1，所以｜b｜－｜2a－b｜≤2｜a｜≤｜b｜＋｜2a－b｜，所以1≤2｜a｜≤3，可得｜a｜∈[12，325.[2023武漢市調(diào)研]在正六邊形ABCDEF中，用AC和AE表示CD，則CD＝（B）A.－23AC＋13AE B.C.－23AC＋23AE D.解析解法一如圖，記正六邊形的中心為O，連接BE，交AC于點(diǎn)G，則點(diǎn)O在BE上，G為AC的中點(diǎn)，且G為OB的中點(diǎn)，所以AG＝12AC，CD＝23GE＝23（AE－AG）＝23（AE－12AC解法二如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AE所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為2，則A（0，0），C（3，3），D（2，23），E（0，23），所以AC＝（3，3），AE＝（0，23），CD＝（－1，3）.設(shè)CD＝xAC＋yAE，則（－1，3）＝x（3，3）＋y（0，23）＝（3x，3x＋23y），得3x＝－1，3x+23y＝3，解得6.[2024四川資陽模擬]在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段DE上的點(diǎn)，且FC＝78AB＋14AD，則（A.FD＝2EF B.EF＝2FDC.FD＝3EF D.EF＝3FD解析解法一由四邊形ABCD是平行四邊形可知AB＝DC，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以AB＝2AE，F(xiàn)D＝FC＋CD＝78AB＋14AD＋CD＝14AD－18AB＝14AD－14解法二設(shè)FD＝λED，λ∈[0，1]，因?yàn)镋D＝AD－AE＝AD－12AB，所以FC＝FD＋DC＝λED＋AB＝λ（AD－12AB）＋AB＝（1－12λ）AB＋λAD，又FC＝78AB＋14AD，所以λ＝14，所以FD7.[2024河南信陽部分學(xué)校聯(lián)考]已知向量a＝（6，2），則與a方向相反的單位向量b的坐標(biāo)為（－31010，－1010解析解法一b＝－a｜a｜＝（－31010解法二設(shè)b＝λa＝（6λ，2λ），λ＜0，則（6λ）2＋（2λ）2＝1，得λ＝－1020，故b（－31010，－108.[2024天津四中月考]在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC上一點(diǎn)，若AP＝4AB｜AB｜＋AC｜AC｜，則解析AP＝4AB｜A