高中數(shù)學-生活中的變量關系教學設計學情分析教材分析課后反思

《生活中的變量關系》教學設計

數(shù)學組

【教材分析】

《生活中的變量關系》一節(jié)是北師大版必修一第二章第一節(jié)的教學內容，函數(shù)是中

學數(shù)學的核心內容，生活中的變量關系是函數(shù)一章的開篇課，為函數(shù)的學習提供必要的知

識鋪墊.通過本節(jié)的學習，學生將明析依賴關系與函數(shù)關系的區(qū)別和聯(lián)系，體會生活與數(shù)學

的密切聯(lián)系,掌握研究方法激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

一、教學目標

L知識與能力：

（1）通過實例，了解生活中的變量關系，體會變量和變量之間的相互關系。

（2）知道兩變量之間有相互依賴關系不一定就是函數(shù)關系；

（3）學會判斷兩變量之間是否具有函數(shù)關系，并結合實際生活培養(yǎng)學生的思考和

數(shù)學建模能力。

2.過程與方法：

（1）從實踐生活中發(fā)現(xiàn)變量之間存在關系的過程，感知函數(shù)的實際意義，發(fā)展符

號感。

（2）注意收集歸納生活中變量之間的關系。

3.情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生廣泛聯(lián)想的能力；從生活的實例讓學生貼近生

活，熱愛生活；數(shù)學與生活結合，從源頭上讓學生更加熱愛數(shù)學，培養(yǎng)學生善于發(fā)

現(xiàn)的責任心，提高學習的積極性。

二.核心素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：初中時函數(shù)概念的理解

2.邏輯推理：借助初中所學的變量之間的關系，分析生活中變量的關系，將函

數(shù)運用于實際生活中，更能體現(xiàn)數(shù)學知識無處不在

3.數(shù)學運算：根據(jù)變量之間的關系，列出相應函數(shù)關系式，從而解決實際問題

4.直觀想象：通過有些函數(shù)圖像的畫法，了解函數(shù)關系是如何體現(xiàn)。

5.數(shù)學建模:利用函數(shù)變量的關系，對于生活中，牽扯到有關變量的實際問題，

我們都可以構建數(shù)學模型，更好的解決一些問題。

【教學重點】兩個變量的依賴關系和函數(shù)關系

【教學難點】通過觀察數(shù)據(jù)和圖像，能夠辨析依賴關系和函數(shù)關系的區(qū)別和聯(lián)系。

【教學方法】教師啟發(fā)引導與學生自主探索相結合.

【教學手段】投影和計算機輔助教學.

［教學凌程】，

生活經(jīng)驗,—考察J數(shù)學概念?

概括。

生活中的變化實例；一

依賴關系的概念”

通過實驗探討兩個變量函數(shù)關系的概念，

之間的依賴關系“

列舉現(xiàn)實問題，考察應通過函數(shù)關系分析變化

用及現(xiàn)實意義。并學會思考。

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境，體會變量的多樣性和復雜性，并能發(fā)現(xiàn)變量與變量之間的關系。

1.展示生活實例1：警察破案，通過視頻觀看發(fā)現(xiàn)，這位警察是怎樣通過一個

腳印判斷出兇手來的？

2.展示生活實例2：從人類進化史、社會發(fā)展實例、以及個人成長的圖片中，

通過體會事物的變化，你能得出什么結論呢？

設計意圖通過電影片段和圖片展示，從學生感興趣的生活實例引入，激發(fā)學生

的聽課熱情，讓學生體會學習變量的復雜和多樣性，并能發(fā)現(xiàn)生活中變量之間的依賴關

系.

二、歸納共性，形成依賴關系的概念

從事物發(fā)展變化的角度看，能夠發(fā)現(xiàn)以上圖片的共同點嗎？

事物會隨時間的變化而變化，從數(shù)學角度上講，可以解釋為一個變量隨著另一個變

量的變化而變化，從而我們發(fā)現(xiàn)這兩個變量之間具有依賴關系。

設計意圖有了前面的基礎，此時學生能夠概括上述生活體臉的共性.在提問時明

確思考的角度，避免不必要的發(fā)散.從而引出課題，明確本節(jié)課的學習目標。

三、深入情境，形成函數(shù)關系的概念

老師和學生一塊動手操作，請同學們認真觀察往水杯中注水時水量的變化。

問題：水量的變化是怎樣體現(xiàn)出來的？

水量的變化會引起很多量的變化，那我們就來研究一下水量V、水的高度h以及水面寬

度W這三個變量之間的依賴關系。

問題一：探究水量V和水的高度h之間的依賴關系

問題二：探究水量V和水面寬度W之間的依賴關系

實驗二

關系一：當水面寬度W給定后，水量V不一定能夠被唯一確定。

關系二：當水量V給定后，水面寬度W能夠被唯一確定。

那從上述結論中，我們發(fā)現(xiàn)關系二中，任意給定一個變量的值，另一個變量都有唯一確

定的值與之對應，那我們就稱這兩個變量之間滿足函數(shù)關系。

接下來，為了更好的理解函數(shù)關系，設計以下判斷題：

在上面的實驗二中，如果我們從初中學過的函數(shù)角度看，以下有依賴關系的兩個變量中,

是函數(shù)關系的有哪些？

A.水M：v是水面高度h的函數(shù)

B.水量v是水面寬度w的函數(shù)

C.水而寬度w是水的函數(shù)

D.水面高度h是水面寬度w的函數(shù)

答案：AC

設計意圖通過實驗帶給學生更加直觀的視覺享受，從而不僅體驗了生活還能從生

活中挖掘一些變量之間的一些規(guī)律，傳遞給學生學習數(shù)學的積極態(tài)度.激發(fā)學生對生活

經(jīng)驗的反思和探究，從而發(fā)現(xiàn)并學會判斷依賴關系中的一種特殊關系--函數(shù)關系。

四、強化概念，形成學生的建模思維

通過一個例題講解和習題練習，加深對函數(shù)關系的強化，將生活中的現(xiàn)實用函數(shù)的

思想來構建，從而研究這個變化背后所隱藏的現(xiàn)實意義。

例：(1)某護士從上午8：00到下午2：00每小時量一次病人的體溫，并記錄成表

格。在這里設置了一個問題：

請分析有哪些變量？這些變量之間是否存在依賴關系？如果存在，其中一個變量是

否是另一個變量的函數(shù)？

隨后根據(jù)這個變量之間的變化規(guī)律，假想一下如果自己是那個病人，會有什么感想

呢？

為了更加貼近生活，我設計了一個純文字型生活實例，讓學生來感受變化，這個地

方不用任何數(shù)據(jù)導入，直接讓學生模擬生活，結合化學角度來觀察現(xiàn)象。這個地方充分

體現(xiàn)了學科與學科之間也是相通的。

練習：在一定溫度下，往一定量的水中加入蔗糖至飽和態(tài)，在這個過程中，糖水的

濃度與所加蔗糖的質量之間存在依賴關系嗎？若存在，請找一下其中的函數(shù)關系。

設計意圖與實例中的表格區(qū)別開，設計了一個純文字型生活實例，讓學生來感受

變化，這個地方不用任何數(shù)據(jù)導入，直接讓學生模擬生活，這里結合化學的角度來解決

問題，體現(xiàn)學科之間的共通性。

五、層層深入，形成學生的應用和責任意識

疫情下的思考：

累

計

確

診

Time

（1）請同學們利用本節(jié)課學習的知識來解釋一下曲線的變化規(guī)律。

（2）對其所產(chǎn)生的現(xiàn)實意義談談你的看法。

設計意圖結合現(xiàn)在最熱門的話題，新冠肺炎中美發(fā)展情況，針對不同體制下的兩

個國家之間疫情情況的對比，以曲線形式呈現(xiàn)，從圖像中去發(fā)現(xiàn)函數(shù)關系。來讓學

生從分析實際情況的變化中來發(fā)現(xiàn)作為中國人民的驕傲和幸福感，體會在黨的正確

領導下，中國人民團結一心，眾志成城，體會中國的強大，作為中國少年，少年強

則國強，充分體現(xiàn)學習的重要性，增強學習的熱情和家國責任感。

六、課堂小結

通過本節(jié)課的學習，你學到了什么呢？

設計意圖通過讓學生歸納小結，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和歸納概括能力

七、課后作業(yè)

1,利用本節(jié)課的知識對視頻中的警察是如何通過腳印判斷出兇手的外形特征做

一個解釋。（可查閱相關資料）

2,嘗試利用糖水的濃度與所加蔗糖的質量之間的函數(shù)關系以及其變化規(guī)律模擬

出函數(shù)圖像.

設計意圖讓學生體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，即數(shù)學來源于生活，又應用于

生活，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣與積極性，突顯三維教學目標。

學情分析

從學生知識儲備和經(jīng)驗儲備來看，學生已經(jīng)學習了函數(shù)的定義，

對于函數(shù)當中自變量X和因變量y之間的關系是有所了解的，能夠準

確的把握因變量y的唯一確定性從來想到函數(shù)關系的唯一確定性，繼

而再分析，從生活中分析兩個變量之間依賴關系，從依賴關系當中抽

象出函數(shù)關系，有利于他們更好的理解函數(shù)關系，有利于他們更好的

從生活當中來挖掘函數(shù)關系。

學生已經(jīng)學會初步學會用數(shù)學知識來解決實際問題的能力，已經(jīng)

初步形成數(shù)學問題進行合作探究的意識和能力。

教學分析：創(chuàng)設問題情景，引出問題實際操作，類比生活中的數(shù)

學問題，激發(fā)學生的求知欲，小組合作探究師生共同交流。

效果分析

一開始通過電影片段和圖片展示，從學生感興趣的生活實例引入,

激發(fā)學生的聽課熱情，讓學生體會學習變量的復雜和多樣性，并能發(fā)

現(xiàn)生活中變量之間的依賴關系.學生聽課效果很好，比較有興趣，有

了前面的基礎，此時學生能夠概括上述生活體驗的共性.在提問時明

確思考的角度，避免不必要的發(fā)散.從而引出課題，明確本節(jié)課的學

習目標。

通過實驗帶給學生更加直觀的視覺享受，從而不僅體驗了生活還

能從生活中挖掘一些變量之間的一些規(guī)律，傳遞給學生學習數(shù)學的積

極態(tài)度.激發(fā)學生對生活經(jīng)驗的反思和探究，從而發(fā)現(xiàn)并學會判斷依

賴關系中的一種特殊關系一-函數(shù)關系。

結合現(xiàn)在最熱門的話題，新冠肺炎中美發(fā)展情況，針對不同體制

下的兩個國家之間疫情情況的對比，以曲線形式呈現(xiàn)，從圖像中去發(fā)

現(xiàn)函數(shù)關系。來讓學生從分析實際情況的變化中來發(fā)現(xiàn)作為中國人民

的驕傲和幸福感，體會在黨的正確領導下，中國人民團結一心，眾志

成城，體會中國的強大，作為中國少年，少年強則國強，充分體現(xiàn)學

習的重要性，增強學習的熱情和家國責任感。

學生評價上：本節(jié)課從操作能力、概括能力、學習興趣、情緒情

感方面對學習效果進行過程評價。對出現(xiàn)問題的學生，能夠及時指出

其可取之處并耐心引導，培養(yǎng)學生勇于面對挫折，持之以恒地探索精

神；當學生做得精彩有創(chuàng)新，教師給予學生充分的鼓勵，因此本節(jié)課

學生在學習過程中興趣濃厚，學得積極主動，課堂氣氛相對活躍。

教師評價：整個教學環(huán)節(jié)體現(xiàn)了學生為主體的教學理念，由學生

發(fā)現(xiàn)問題、學生互相交流學習、學生設計問題、學生自主解決問題,

為數(shù)學建模課起到了示范引領的作用。

教材分析

《生活中的變量關系》一節(jié)是北師大版必修一第二章第一節(jié)的教

學內容，函數(shù)是中學數(shù)學的核心內容,生活中的變量關系是函數(shù)一章

的開篇課,為函數(shù)的學習提供必要的知識鋪墊.通過本節(jié)的學習，學生

將明析依賴關系與函數(shù)關系的區(qū)別和聯(lián)系，體會生活與數(shù)學的密切聯(lián)

系,掌握研究方法激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

教學目標：通過生活實例研究變量關系，明析依賴關系與函數(shù)關

系的區(qū)別和聯(lián)系，合作交流，歸納探知生活中的變量關系。

教學重點：依賴關系與函數(shù)關系的區(qū)別和聯(lián)系，生活實例的變量

關系研究。

教學難點：合作交流，歸納探知生活中的變量關系，函數(shù)關系中

的自變量與因變量。

課堂分層測試題

（建議用時：40分鐘）

[4組基礎鞏固練]

一'選擇題

i.下列變量間的關系是函數(shù)關系的是（）

A.勻速航行的輪船在2小時內航行的路程

B.某地蔬菜的價格與蔬菜的供應量的關系

C.正方形的面積S與其邊長。之間的關系

D.光照時間和蘋果的畝產(chǎn)量

C[A是常量，B是依賴關系，C是函數(shù)關系，D是依賴關系.]

2.下圖是反映某市某一天的溫度隨時間變化情況的圖象.由圖象可知，下

列說法中錯誤的是（）

A.這天15時的溫度最高

B.這天3時的溫度最低

C.這天的最高溫度與最低溫度相差13℃

D.這天21時的溫度是30℃

C[這天的最高溫度與最低溫度相差為36—22=14°C,故C錯.]

3.已知變量x,y滿足y=|x|,則下列說法錯誤的是（）

A.x,y之間有依賴關系

B.x,y之間有函數(shù)關系

C.y是x的函數(shù)

D.x是y的函數(shù)

D[當）取一個正值時，有兩個x與它對應，故D錯.]

4.諺語“瑞雪兆豐年”說明（）

A.下雪與來年的豐收具有依賴關系

B.下雪與來年的豐收具有函數(shù)關系

C.下雪是豐收的函數(shù)

D.豐收是下雪的函數(shù)

A[下雪與來年的豐收具有依賴關系，但不是函數(shù)關系.]

5.一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午時

的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升，晚上體溫漸漸下降直到半夜亮

亮才感覺身上不那么發(fā)燙了.下列各圖中能基本上反映出亮亮這一天（0時?24

時）體溫的變化情況的是（）

CD

C[從亮亮的體溫變化，可以看出圖象應為：早晨37°C以上不二37°C（中

午）總37℃以上占37℃（半夜），結合圖象知，只有C項符合.]

r千吃上

二'填空題

6.當圓柱底面半徑變化時，圓柱的體積也隨之發(fā)生變化，在這個變化過程

中，是自變量，是因變量.

［答案］圓柱底面半徑圓柱的體積.

7.自變量光與因變量y之間的關系如下表:

X01234???

y02468???

(1)寫出尤與y的關系式：

(2)當x=2.5時，y=.

［答案］(l)y=2x(2)5

8.假定甲、乙兩人在一次百米賽跑中，路程與時間的關系如圖所示，那么

可以知道：

(1)甲、乙兩人中先到達終點的是

(2)乙在這次賽跑中的速度為m/s.

⑴甲(2)8［設甲、乙的速度分別為。2，

「10025100

貝】硒=~^=了(01人)，02=Yy^=8(m/s),

三'解答題

9.如圖所示為某市一天24小時內的氣溫變化圖.

(1)上午8時的氣溫是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

(2)大約在什么時刻，氣溫為0°C?

(3)大約在什么時刻內，氣溫在0C以上？兩個變量有什么特點，它們具有

怎樣的對應關系？

［解］(1)上午8時氣溫是0°C,全天最高氣溫大約是9°C,在14時達到，

全天最低氣溫大約是一2°C,在4時達到.

(2)大約在0時8時和22時，氣溫為0℃.

(3)在8時到22時之間，氣溫在0℃以上，變量0W/W24,變量一2W0W9,

由于圖象是連續(xù)的，可知它們之間具有隨著時間的增加，氣溫先降再升再降的變

化趨勢，所以6與，具有依賴關系，也具有函數(shù)關系.

10.如圖的曲線表示一人騎自行車離家的距離s(千米)與時間f(時)的關系.騎

車者9時離開家，15時回家.根據(jù)這個曲線圖，請你回答下列問題：

(1)最初到達離家最遠的地方是什么時間？離家多遠？

(2)何時開始第一次休息？休息多長時間？

⑶第一次休息時，離家多遠？

(4)11：00到12：00他騎了多少千米？

(5)他在9：00—10：00和10：00-10：30的平均速度分別是多少?

(6)他在哪段時間里停止前進并休息用午餐？

［解］(1)最初到達離家最遠的地方的時間是12時，離家30千米.

(2)10:30開始第一次休息,休息了半小時.

(3)第一次休息時，離家17千米.

(4)11:00至12:00,他騎了13千米.

(5)9:00—10:00的平均速度是10千米/時；

10:00—10:30的平均速度是14千米/時.

(6)從12時到13時停止前進，并休息用午餐.

［B組素養(yǎng)提升練］

11.國內快遞1000g以內的包裹的郵資標準如表：

運送距離x（km）0<x^500500<xW10001000<xW1500???

郵資y（元）5.006.007.00???

如果某人在西安要郵寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他應付

的郵資是（）

A.5.00元B.6.00元

C.7.00元D.無法確定

C[V800g<l000g,，適用表格給出的郵資標準.

VI000<1200<1500,.?.應付郵資7.00元.]

12.星期天，小明從家出發(fā)，出去散步，下圖中描述了他散步過程中離家的

距離s（m）與散步所用的時間/（min）之間的函數(shù)關系，根據(jù)圖象，下面的描述符合

小明散步情況的是（）

A.從家出發(fā)，到一個公共閱報欄，看了一會兒報，就回家了

B.從家出發(fā)，到一個公共閱報欄，看了一會兒報后，繼續(xù)向前走了一段,

然后回家了

C.從家出發(fā)，散了一會兒步（沒有停留），然后回家了

D.從家出發(fā)，散了一會兒步，就找同學去了，18min后才回家

B[水平線段表明小明離家的距離始終是300米，然后離家距離達到500

米，說明小明從家出發(fā)后，到一個公共閱報欄，看了一會兒報后，繼續(xù)向前走了

一段，然后回家了.]

13.向高為"的水瓶中注水，注滿為止.如果注水量V與水深力的函數(shù)關

系的圖象如圖①所示，那么水瓶的形狀是圖②中的（）

ABCD

圖②

B［通過圖象反映的兩個變量/?與V的變化情況知，注水量隨高度的變化

是先快后慢，再結合選項中四個容器的形狀來判斷，只有B符合要求.］

14.現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)需要含鹽在5%以上且6%以下的食

鹽水，設需要加入含鹽4%的食鹽水尤克，則x的范圍是.

_0.07X200+0.04%

(100,400)［由L題段得0.05V-------200+1------<0.06,解得100VxV400.］

［C組思維提升練］

15.向平靜的湖面投一塊石子，便會形成以落水點為圓心的一系列同心圓.

(1)在這個變化過程中，有哪些變量？

(2)若圓的面積用S表示，半徑用火表示，則S和R的關系是什么？它們是

常量還是變量？

(3)若圓的周長用C表示，半徑用R表示，則。與火的關系式是什么？

［解］(1)形成的一系列同心圓的半徑、周長、面積都是變量.

(2)圓的面積S與半徑R存在依賴關系，

對于半徑R的每一個取值，都有唯一的面積S與之對應，

所以圓的面積S是半徑R的函數(shù)，其函數(shù)關系式是5=兀7?2.圓的面積s、半

徑R都是變量.

(3)C=2兀R.

課后反思

1,這節(jié)課首先從一個電影片段開始，讓學生深刻理解變量的多

樣性以及變量之間可以相互依賴，從而與這節(jié)課的重點一一變量之間

的依賴關系相呼應，然后通過圖片，表格數(shù)據(jù)，以及圖像，讓學生不

自覺的走進我所創(chuàng)設的情境之中。這種低起點，小步子會使的后面的

學習內容變的順理成章，學生學得輕松、愉悅、充滿信心，真正成了

“全民數(shù)學二

2,這節(jié)課通過圖像以及實驗入手設計現(xiàn)實情境，學生答案眾多，

學生發(fā)言有欲罷不能之勢。極大地開發(fā)了學生的思維，培養(yǎng)了學生用

數(shù)學