高中數(shù)學(xué)講義微06 函數(shù)的圖像

微專題06函數(shù)的圖像

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1、做草圖需要注意的信息點(diǎn)：

做草圖的原則是：速度快且能提供所需要的信息，通過草圖能夠顯示出函數(shù)的性質(zhì)。在作

圖中草圖框架的核心要素是函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于一個(gè)陌生的可導(dǎo)函數(shù)，可通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)的符

號(hào)分析得到單調(diào)區(qū)間，圖像形狀依賴于函數(shù)的凹凸性，可由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定(詳見“知

識(shí)點(diǎn)講解與分析”的第3點(diǎn))，這兩部分確定下來，則函數(shù)大致輪廓可定，但為了方便數(shù)形結(jié)

合，讓圖像更好體現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，有一些信息點(diǎn)也要在圖像中通過計(jì)算體現(xiàn)出來，下面以常

見函數(shù)為例，來說明作圖時(shí)常體現(xiàn)的幾個(gè)信息點(diǎn)

(1)一次函數(shù)：y=若直線不與坐標(biāo)軸平行，通?？衫弥本€與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)來確定

直線

特點(diǎn)：兩點(diǎn)確定一條直線

信息點(diǎn)：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

(2)二次函數(shù)：y^a(x-h)2+k,其特點(diǎn)在于存在對(duì)稱軸，故作圖時(shí)只需做出對(duì)稱軸一側(cè)

的圖像，另一側(cè)由對(duì)稱性可得。函數(shù)先減再增，存在極值點(diǎn)一一頂點(diǎn)，若與坐標(biāo)軸相交，則

標(biāo)出交點(diǎn)坐標(biāo)可使圖像更為精確

特點(diǎn)：對(duì)稱性

信息點(diǎn)：對(duì)稱軸，極值點(diǎn)，坐標(biāo)軸交點(diǎn)

(3)反比例函數(shù)：丁=工，其定義域?yàn)?-8,0)0(。,+8)，是奇函數(shù)，只需做出正版軸圖像

即可(負(fù)半軸依靠對(duì)稱做出)，坐標(biāo)軸為函數(shù)的漸近線

特點(diǎn)：奇函數(shù)(圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱)，漸近線

信息點(diǎn)：漸近線

注：

(1)所謂漸近線：是指若曲線無限接近一條直線但不相交，則稱這條直線為漸近線。漸近線

在作圖中的作用體現(xiàn)為對(duì)曲線變化給予了一些限制，例如在反比例函數(shù)中，X軸是漸近線，那

么當(dāng)Xf曲線無限向X軸接近，但不相交，則函數(shù)在X正半軸就不會(huì)有X軸下方的部分。

(2)水平漸近線的判定：需要對(duì)函數(shù)值進(jìn)行估計(jì)：若％一”(或-8)時(shí)，/(x)-常數(shù)

C,則稱直線y=C為函數(shù)/(x)的水平漸近線

例如：y=2X當(dāng)xf+oo時(shí)，y->-Ko,故在x軸正方向不存在漸近線

當(dāng)XFYO時(shí)，yf0,故在x軸負(fù)方向存在漸近線y=0

⑶豎直漸近線的判定：首先在x=Q處無定義，且當(dāng)X—>6Z時(shí)，/(%)—>+8(或一oo),

那么稱X=Q為/(X)的豎直漸近線

例如：y=1082不在1=0處無定義，當(dāng)x-0時(shí)，/(x)^-oo,所以x=0為y=log2%的

一條漸近線。

綜上所述：在作圖時(shí)以下信息點(diǎn)值得通過計(jì)算后體現(xiàn)在圖像中：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；對(duì)稱軸與

對(duì)稱中心；極值點(diǎn)；漸近線。

例：作出函數(shù)〃x)=x—工的圖像

分析：定義域?yàn)?一oo,0)U(0,+°°)，且/(x)為奇函數(shù)，-/故

先考慮/正半軸情況。//

/(x)=l+4>0故函數(shù)單調(diào)遞增，/*

f(X)=~―<0,故函數(shù)為上凸函數(shù)，當(dāng)X—>+30時(shí)，//I

/(x)—>+8無水平漸近線，X—>0時(shí)，—>-8,所以y軸為/(x)的豎直漸近線。零

點(diǎn)：(1,0),由這些信息可做出正半軸的草圖，在根據(jù)對(duì)稱性得到/(x)完整圖像：

2、函數(shù)圖象變換：設(shè)函數(shù)y=/(x),其它參數(shù)均為正數(shù)

(1)平移變換：

/(x+?)：/(x)的圖像向左平移a個(gè)單位

/(x)的圖像向右平移〃個(gè)單位

/(x)+。：〃X)的圖像向上平移a個(gè)單位

/(x)—b：“X)的圖像向下平移a個(gè)單位

(2)對(duì)稱變換：

/(-%)：與/(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

-/(%)：與/(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱

—〃-x)：與/(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

(3)伸縮變換：

Ik>1。

/(")：“X)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?0<%<]收縮

拉伸

k>1：拉伸

"(X)：/(X)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼碾侗叮?/p>

0<k<l：收縮

(4)翻折變換:

/(x),x>0

/(W)：f(W)=<即正半軸的圖像不變，負(fù)半軸的原圖像不要，換上與正半

/(-x),x<0

軸圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像

/(x)J(x"O

|/(x)|：|/(x)|=<即X軸上方的圖像不變，下方的圖像沿X軸對(duì)稱的翻上

-/(x),/(x)<0

去。

3、二階導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的凹凸性:

(1)無論函數(shù)單調(diào)增還是單調(diào)減，其圖像均有3種情況,

若一個(gè)函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為下凸函數(shù)

若一個(gè)函數(shù)的增減圖像為

(2)上凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長(zhǎng)速度越來越慢，減區(qū)間下降速度越來越快

下凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長(zhǎng)速度越來越快，減區(qū)間下降速度越來越慢

(3)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(X)(即“X)的二階導(dǎo)函數(shù))，如圖所示：增長(zhǎng)

速度受每一點(diǎn)切線斜率的變化情況的影響，下凸函數(shù)斜率隨x的增大而增大，即/(X)為增函

數(shù)n/"(x)?O；上凸函數(shù)隨x的增大而減小，即/(x)為減函數(shù)n/"(x)<0：

綜上所述：函數(shù)是上凸下凸可由導(dǎo)函數(shù)的增減性決定，進(jìn)而能用二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行求解。

二、方法與技巧：

1、在處理有關(guān)判斷正確圖像的選擇題中，常用的方法是排除法，通過尋找四個(gè)選項(xiàng)的不同，

再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可進(jìn)行排除，常見的區(qū)分要素如下：

(1)單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)圖像位于X軸上方的區(qū)域表示原函

數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，位于無軸下方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間

(2)函數(shù)零點(diǎn)周圍的函數(shù)值符號(hào)：可通過帶入零點(diǎn)附近的特殊點(diǎn)來進(jìn)行區(qū)分

(3)極值點(diǎn)

(4)對(duì)稱性(奇偶性)——易于判斷，進(jìn)而優(yōu)先觀察

(5)函數(shù)的凹凸性：導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性決定原函數(shù)的凹凸性，導(dǎo)函數(shù)增區(qū)間即為函數(shù)的下凸部

分，減區(qū)間為函數(shù)的上凸部分。其單調(diào)性可由二階導(dǎo)函數(shù)確定

2、利用圖像變換作圖的步驟：

(1)尋找到模板函數(shù)/(x)(以此函數(shù)作為基礎(chǔ)進(jìn)行圖像變換)

(2)找到所求函數(shù)與“X)的聯(lián)系

(3)根據(jù)聯(lián)系制定變換策略，對(duì)圖像進(jìn)行變換。

例如：作圖：y=|ln(x+l)|

第一步尋找模板函數(shù)為：/(x)=lnx

第二步尋找聯(lián)系：可得y=|/(x+l)|

第三步制定策略：由|/(x+1)|特點(diǎn)可得：先將“X)圖像向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方

圖像向上進(jìn)行翻折，然后按照方案作圖即可

3、如何制定圖象變換的策略

(1)在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：

①若變換發(fā)生在“括號(hào)”內(nèi)部，則屬于橫坐標(biāo)的變換

②若變換發(fā)生在“括號(hào)”外部，則屬于縱坐標(biāo)的變換

例如：y=/(3x+l):可判斷出屬于橫坐標(biāo)的變換：有放縮與平移兩個(gè)步驟

y=/(—x)+2：可判斷出橫縱坐標(biāo)均需變換，其中橫坐標(biāo)的為對(duì)稱變換，縱坐標(biāo)的為

平移變換

(2)多個(gè)步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)的變換后，在

安排順序時(shí)注意以下原則：

①橫坐標(biāo)的變換與縱坐標(biāo)的變換互不影響，無先后要求

②橫坐標(biāo)的多次變換中，每次變換只有x發(fā)生相應(yīng)變化

例如：y=/（x）.y=/（2x+l）可有兩種方案

方案一：先平移（向左平移1個(gè)單位），此時(shí)/（x）f/（X+1）。再放縮（橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

；）,此時(shí)系數(shù)2只是添給X,即/（X+1）-/（2%+1）

方案二：先放縮（橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?；），此時(shí)/（%）―/（2x）,再平移時(shí)，若平移4個(gè)單

位，貝ij/（2x）f/（2（x+a））=/（2x+2a）（只對(duì)x加。），可解得a=g,故向左平移;

個(gè)單位

③縱坐標(biāo)的多次變換中，每次變換將解析式看做一個(gè)整體進(jìn)行

例如：y=/（x）,y=2/（x）+1有兩種方案

方案一：先放縮：y=/（x）->>'=2/（x）,再平移時(shí)，將解析式看做一個(gè)整體，整體加1,

即y=2/（x）-y=（2/（x））+i

方案二：先平移：y=/（x）->y=/（x）+l,則再放縮時(shí)，若縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?。倍，那?/p>

y=/（x）+l-y=a（/（x）+l）,無論a取何值，也無法達(dá)到y(tǒng)=2〃x）+l,所以需要對(duì)

前一步進(jìn)行調(diào)整：平移,個(gè)單位，再進(jìn)行放縮即可（a=2）

2

4、變換作圖的技巧：

（1）圖像變換時(shí)可抓住對(duì)稱軸，零點(diǎn)，漸近線。在某一方向上他們會(huì)隨著平移而進(jìn)行相同方

向的移動(dòng)。先把握住這些關(guān)鍵要素的位置，有助于提高圖像的精確性

（2）圖像變換后要將一些關(guān)鍵點(diǎn)標(biāo)出：如邊界點(diǎn)，新的零點(diǎn)與極值點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)等

三、例題精析：

例1：己知函數(shù)=+云2+c,其導(dǎo)數(shù)/.（X）的圖象如圖所示，則函數(shù)八%）的極大

值一

A.a+b+cB.8Q+4Z?+CC.3a+2bD.c\/\

思路：由圖像可知：］￡（o,2）時(shí)，,r（%）>（），/（%）單調(diào)遞增，一片—\—2^—\

XC（2,+8）時(shí)，/（x）<0,.f（x）單調(diào)遞減，所以的極大值為/⑵=8a+4b+c

答案：B

小煉有話說：觀察導(dǎo)函數(shù)圖像時(shí)首要關(guān)注的是函數(shù)的符號(hào)，即是在x軸的上方還是下方，導(dǎo)函

數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性

例2：設(shè)函數(shù)y=/(x)可導(dǎo)，y=/(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖像可能為

思路：根據(jù)原函數(shù)的圖像可得：“X)在(-oo,0)單調(diào)遞增，在正半軸先增再減再增，故/(X)

在負(fù)半軸的符號(hào)為正，在正半軸的符號(hào)依次為“正負(fù)正”，觀察四個(gè)選項(xiàng)只有D符合

答案：D

小煉有話說：本題可直接由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來排除其他選項(xiàng)，若選項(xiàng)中也有符合D中“負(fù)半軸

的符號(hào)為正，在正半軸的符號(hào)依次為，正負(fù)正，”，那么可觀察第二條標(biāo)準(zhǔn)：從圖上看在x負(fù)半

軸中，函數(shù)增長(zhǎng)的速度越來越快，則說明切線斜率隨x的增大而增大，進(jìn)而導(dǎo)函數(shù)在x負(fù)半軸

也單調(diào)遞增，依次類推可得到正半軸的情況，D選項(xiàng)依然符合特征

例3：函數(shù)〃%)=6中一1的部分圖象為()

思路：f(x)=erx2+e2(2x)=x(x+2)ev,可得在(一》,—2),(0,+00)單調(diào)遞增，在

x2

(-2,0)單調(diào)遞減，且可估計(jì)當(dāng)x—>—8,I，=—7—>0即/―1,所以y=-l為函

數(shù)/(x)的漸近線，當(dāng)X—>+oo,y—>+8由此可判斷出圖像A正確

答案：A

小煉有話說：(1)本題考查的是通過分析函數(shù)性質(zhì)作圖，單調(diào)性是非常重要的一個(gè)要素，通

過單調(diào)性也可排除其他三個(gè)選項(xiàng)

(2)關(guān)于漸近線的判斷：對(duì)于X—尤=±_-0可這樣理解XT?一時(shí)X2,e-x

均趨向正無窮，但e-*的速度更快，進(jìn)而伴隨著xfyo,e-*將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于進(jìn)而比值趨于

0,當(dāng)xfy,增長(zhǎng)速度的排名為：直線(一次函數(shù))(二次函數(shù)(指數(shù)函數(shù)

例4：函數(shù)/(x)的圖像可能是()

rInr

思路:觀察解析式可判斷出f(X)=—為奇函數(shù)，排除A,C.當(dāng)X>0時(shí)，/(%)>()=Inx,

\x

故選擇B

答案：B

小煉有話說：/(月=生■區(qū)有兩點(diǎn)可以優(yōu)先觀察：一個(gè)是奇偶性，則圖像具有對(duì)稱性，只

IxI

需考慮正半軸的情況即可；二是含有絕對(duì)值，可利用X的符號(hào)去掉絕對(duì)值，進(jìn)而得到正半軸的

解析式。

例5(2015浙江文)：函數(shù)=(-乃Kx(乃,xwO)的圖像可能為()

思路：觀察4個(gè)選項(xiàng)的圖像，其中A,B圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，C,D圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。所

以先判斷函數(shù)奇偶性，可判斷出/(-X)=+—Vos(-x)=-x-—Vosx=-/(x)

所以/(x)為奇函數(shù)，排除A,B,再觀察C,D的區(qū)別之一就是/(〃)的符號(hào)，經(jīng)過計(jì)算可得

/'(?)=(乃一，］cos;r=，一乃<0,所以排除C

71)冗

答案：D

例6：已知“尤)=；/+5皿總+1,廣(力為〃尤)的導(dǎo)函數(shù)，則/《)的圖像是()

思路：+sin(5+x)=:/+cosx,1(x)=；x-sinx,可判斷了(x)為奇

函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除6,0。因?yàn)?0=35一$嗚=3仁-1)<0,排

除C。故4正確。

答案：A

小煉有話說：f(x)=gx-sinx可優(yōu)先判斷出奇偶性，進(jìn)而排除一些選項(xiàng)，對(duì)于AC選項(xiàng)

而言，其不同之處有兩點(diǎn)，一點(diǎn)是從x=0處開始的/(X)符號(hào)，解析的思路也源于此，但需

要代入特殊角進(jìn)行判斷，A選項(xiàng)的圖中發(fā)現(xiàn)在x軸正半軸中靠近y軸的函數(shù)值小于零，從而選

■jr

擇最接近0的特殊角一，除此之外，A,C圖像的不同之處還在于從x=0開始時(shí)/(X)的單

調(diào)性，所以也可對(duì)/‘(X)求導(dǎo)，/(x)=^-cosx,則時(shí)，f(x)<0,即f(x)

應(yīng)先減再增。所以排除C

例7：下面四圖都是在同一坐標(biāo)系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中一定不正確的序號(hào)是

()

A.①②B.③④C.①③D.①④

思路：如圖所示：在圖①、②在每個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)的導(dǎo)致的符號(hào)是正確的，即

單調(diào)增區(qū)間導(dǎo)數(shù)大于零，單調(diào)減區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于零；在③中顯示在區(qū)間(0,。)上導(dǎo)函數(shù)的值為

負(fù)值，而該區(qū)間上的函數(shù)圖象顯示不單調(diào)，二者不一致，所以③不正確；在④圖象顯示在區(qū)

間(a,b)上導(dǎo)函數(shù)的值總為正數(shù)，而相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)圖象卻顯示為減函數(shù)，二者相矛盾，所

以不正確.故選B.

答案：B

小煉有話說：要注意導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像的聯(lián)系：導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)的單調(diào)性相對(duì)

應(yīng)，導(dǎo)函數(shù)的增減與原函數(shù)的凹凸性相對(duì)應(yīng)。

例8：己知H上可導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則不等式仁一2x-3)f(x)>0的解集為

A.(f,—2)U。,”)B.(F,—2)U(1,2)

C.(―oo,—1)U(—1,。)U(2,+℃)D.(—oo,—l)U(3,+℃)

思路：由圖像可得：（-00,—1）,（1,+30）時(shí)，f（X）>0,%￡（一1,1）時(shí)，f（X）<O,所以

了2—2x-3>0冗2—2x—3<0

所解不等式為：或《,可得:S，T）U（T，1）U（3,同

f(x)>0[/(x)<0

答案：D

例9：函數(shù)/（%）=/+加2+%+d的大致圖象如圖所示，則x；+x；等于（）

8

9-

思路：由圖像可得：網(wǎng)為〃％)的極值點(diǎn)，x=Tx=0,x=2為函數(shù)的零點(diǎn)

2b

f(x)=3x2+2bx+c,即X],/是方程3%2+2bx+c=0的兩個(gè)根，：.％+馬=--

XXc22/+X\2_4Z?-2c

l2,須+X2=(X12)-2光押2=---------—>

7(-i)=o-l+b-c+d-0h=—l

由，/