高考數(shù)學一輪復習【考點題型歸納講練】導學案（新高考專用）第5課時指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(原卷版+解析)

第5課時指數(shù)與指數(shù)函數(shù)編寫：廖云波【回歸教材】1.根式的概念及性質（1）概念：式子叫做根式，其中叫做，叫做．（2）性質：①(且)；②當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，2.分數(shù)指數(shù)冪①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于；0的負分數(shù)指數(shù)冪．3.指數(shù)冪的運算性質①；②；③.4.指數(shù)函數(shù)及其性質（1）指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質底數(shù)圖象性質定義域為，值域為圖象過定點當時，恒有；當時，恒有當時，恒有；當時，恒有在定義域上為在定義域上為注意指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象和性質與的取值有關，應分與來研究【典例講練】題型一指數(shù)式的計算【例1-1】(1)；(2)【例1-2】化簡下列各式：(1)；(2)．歸納總結：【練習1-1】計算：．【練習1-2】化簡（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)．題型二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質【例2-1】如圖所示，函數(shù)的圖像是（

）A．B．C． D．【例2-2】已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．【例2-3】函數(shù)的大致圖像是（

）A．B．C．D．【例2-4】已知函數(shù)(，)恒過定點，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限歸納總結：【練習2-1】如圖中的曲線C1，C2，C3，C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知對應函數(shù)的底數(shù)的值可取為，，，，則相應于曲線C1，C2，C3，C4，依次為（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【練習2-2】已知函數(shù)(為常數(shù))，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．【練習2-3】若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是______.題型三比較指數(shù)冪的大小【例3-1】已知，，，則a，b，c的大小關系為____.(用“”連接)【例3-2】按從小到大的順序，可將，，重新排列為___________.【練習3-1】已知，則a，b中較大的數(shù)是___________.【練習3-2】已知，，，則a，b，c三個數(shù)的大小關系是___________.題型四解簡單的指數(shù)方程或不等式【例4-1】若不等式成立，則實數(shù)x的取值范圍是______．【例4-2】已知函數(shù)，則不等式的解集為______．歸納總結：【練習4-1】不等式恒成立，則的取值范圍是_________．題型五指數(shù)函數(shù)性質的綜合應用【例5-1】函數(shù)的單調減區(qū)間是_________.【例5-2】求函數(shù)的單調區(qū)間___________.【例5-3】已知的最小值為2，則m的取值范圍為______________【例5-4】已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是______．歸納總結：【練習5-1】若關于的不等式的解集包含區(qū)間，則的取值范圍為____________【練習5-2】設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___________．【練習5-3】若函數(shù)(且)在上的最大值為14，求a的值.【請完成課時作業(yè)（十一）】

【課時作業(yè)（十一）】A組基礎題1．已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．2．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且3．函數(shù)的圖象的大致形狀是（

）A．B．C． D．4．函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則a＝（

）A．1 B．2 C．0 D．-26．若定義運算，則函數(shù)的值域是（

）A．(-∞，+∞) B．[1，+∞) C．(0.+∞) D．(0，1]7．已知，則（

）A． B． C． D．8．企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過程中污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關系為（其中，k是正的常數(shù)）．如果在前10h消除了20%的污染物，則20h后廢氣中污染物的含量是未處理前的（

）A．40% B．50% C．64% D．81%9．設函數(shù)，若，則_____________.10．函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為______.11．函數(shù)在的值域為______．12．若直線與函數(shù)的圖像有兩個公共點，則a的取值范圍是______．13．函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為________．14．若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最小值為，求的值．B組能力提升能1．已知函數(shù)，若存在最小值，則實數(shù)的范圍是（

）A．B．C． D．2．已知函數(shù)，若方程有兩個不同實根，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)若關于的方程有5個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為___________.5．已知函數(shù).(1)當時，求的值域；(2)若有最大值16，求的值.第5課時指數(shù)與指數(shù)函數(shù)編寫：廖云波【回歸教材】根式的概念及性質（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．（2）性質：①(且)；②當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，2、分數(shù)指數(shù)冪①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．3、指數(shù)冪的運算性質①；②；③.4、指數(shù)函數(shù)及其性質（1）指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質底數(shù)圖象性質定義域為，值域為圖象過定點當時，恒有；當時，恒有當時，恒有；當時，恒有在定義域上為增函數(shù)在定義域上為減函數(shù)注意指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象和性質與的取值有關，應分與來研究【典例講練】題型一指數(shù)式的計算【例1-1】(1)；(2)【答案】(1)(2)625【解析】【分析】由對數(shù)和指數(shù)的運算求解即可.(1)(2)原式.【例1-2】化簡下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）（2）將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算可得；(1)解：．(2)解：．歸納總結：【練習1-1】計算：___．【答案】##0.5【解析】【分析】應用有理指數(shù)冪的運算法則化簡求值即可.【詳解】原式.故答案為：【練習1-2】化簡（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）同底數(shù)冪的乘除法法則進行計算；（2）把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再利用指數(shù)冪的運算法則進行計算.(1)(2)題型二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質【例2-1】如圖所示，函數(shù)的圖像是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】【分析】將原函數(shù)變形為分段函數(shù)，根據(jù)及時的函數(shù)值即可得解.【詳解】，時，時，.故選：B.【例2-2】已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】函數(shù)有兩個不同的零點，可轉化為函數(shù)與直線有兩個交點，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)有兩個不同的零點，即為函數(shù)與直線有兩個交點，函數(shù)圖象如圖所示：所以，故選：D.【例2-3】函數(shù)的大致圖像是（

）A．B．C．D．【答案】C解：由函數(shù)，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除AB，當時，，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，故排除D.故選：C.【例2-4】已知函數(shù)(，)恒過定點，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B且恒過定點則函數(shù)恒過定點且是單調遞增函數(shù)，其圖象不經(jīng)過第二象限.故選：B歸納總結：【練習2-1】如圖中的曲線C1，C2，C3，C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知對應函數(shù)的底數(shù)的值可取為，，，，則相應于曲線C1，C2，C3，C4，依次為（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【解析】【分析】作直線，根據(jù)圖象得出答案.【詳解】設曲線C1，C2，C3，C4對應解析式的底數(shù)為，作直線，如下圖所示由圖可知，，即曲線C1，C2，C3，C4，依次為，，，故選：D【練習2-2】已知函數(shù)(為常數(shù))，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到當時，函數(shù)為增函數(shù)，再根據(jù)題意即可得到答案.【詳解】因為函數(shù)，當時，函數(shù)為增函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即的取值范圍為．故答案為：【練習2-3】若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】就的取值分類討論后可得a的取值范圍.【詳解】直線與的圖象有兩個公共點，故有兩個不同的解，故和共有兩個不同的解，因為，故有且只有一個實數(shù)解.若，則，故無解，而只有一個解，故有且只有一個實數(shù)解，與題設矛盾，舍；若，因為只有一個解，故需有一解，故，故.故答案為：.題型三比較指數(shù)冪的大小【例3-1】已知，，，則a，b，c的大小關系為____.(用“”連接)【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調性及冪函數(shù)的單調性即得．【詳解】由于函數(shù)在R上是減函數(shù)，且，，由于函數(shù)在上是增函數(shù)，且，∴，故，，的大小關系是.故答案為：.【例3-2】按從小到大的順序，可將，，重新排列為___________.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調性求解.【詳解】解：∵，，∴，故答案為：.歸納總結：【練習3-1】已知，則a，b中較大的數(shù)是___________.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)的性質有，結合冪函數(shù)的單調性即可判斷大小關系.【詳解】由，所以，較大的數(shù)是.故答案為：.【練習3-2】已知，，，則a，b，c三個數(shù)的大小關系是___________.【答案】##【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調性，根據(jù)，同底，可比較，的大小，利用指數(shù)函數(shù)的運算性質，將，的指數(shù)部分化為一致，結合冪函數(shù)的單調性，可比較，的大?。驹斀狻拷猓?，故函數(shù)為減函數(shù)故，故函數(shù)為減函數(shù)又，故答案為：題型四解簡單的指數(shù)方程或不等式【例4-1】若不等式成立，則實數(shù)x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】化成同底數(shù)的指數(shù)不等式，結合單調性解不等式即可.【詳解】等價于，又為增函數(shù)，故，即，解得.故答案為：【例4-2】已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式分類討論，得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為，又，即或，解得或，綜上可得原不等式的解集為；故答案為：歸納總結：【練習4-1】不等式恒成立，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】由在R上遞增，將不等式恒成立，轉化為恒成立求解.【詳解】解：因為在R上遞增，所以不等式恒成立，即，恒成立，亦即恒成立，則，解得，故的取值范圍是．故答案為：題型五指數(shù)函數(shù)性質的綜合應用【例5-1】函數(shù)的單調減區(qū)間是_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調性“同增異減”，即可求解.【詳解】令，根據(jù)復合函數(shù)單調性可知，內層函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，外層函數(shù)在定義域上單調遞增，所以函數(shù)#在上單調遞減，在上單調遞增.故答案為：.【例5-2】求函數(shù)的單調區(qū)間___________.【答案】增區(qū)間為，減區(qū)間為【解析】【分析】由換元法，結合復合函數(shù)的單調性求解即可.【詳解】設t＝>0，又在上單調遞減，在上單調遞增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函數(shù)t＝在R上單調遞減，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.故答案為：增區(qū)間為，減區(qū)間為【例5-3】已知的最小值為2，則m的取值范圍為______________【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，分別求出函數(shù)在時與函數(shù)在時的最小值即可作答.【詳解】當時，，當且僅當，即時取“=”，當時，，，當，即時，取最小值，因的最小值為2，于是得，解得，所以m的取值范圍為.故答案為：【例5-4】已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調性，以及復合函數(shù)的單調性的判定方法，求得在上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，再結合題意，即可求解.【詳解】令，可得拋物線的開口向上，且對稱軸為，所以函數(shù)在上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，又由函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調性的判定方法，可得函數(shù)在上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，因為函數(shù)在上單調遞減，則，可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.歸納總結：【練習5-1】若關于的不等式的解集包含區(qū)間，則的取值范圍為____________【答案】【解析】將問題轉化為恒成立問題，求函數(shù)最值，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】因為不等式的解集包含區(qū)間，則等價于對任意的，恒成立，令，則問題等價于，又因為在區(qū)間上是單調增函數(shù)，故.則只需即可.故答案為：.【練習5-2】設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】分段函數(shù)不等式問題，可以結合圖像或通過分類討論解決﹒【詳解】f(x)如圖所示：當時，函數(shù)單調遞增，則，要使，則或，解得或，即．故答案為：【練習5-3】若函數(shù)(且)在上的最大值為14，求a的值.【答案】或【解析】【分析】令，，利用換元法可得，討論或，求出的取值范圍，再利用二次函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】解：令，∴，則，其對稱軸為.該二次函數(shù)在上是增函數(shù).①若，∵，∴，故當，即時，，解得(舍去).②若，∵，∴，故當，即時，.∴或(舍去).綜上可得或.【請完成課時作業(yè)（八）】

【課時作業(yè)（八）】A組基礎題1．已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性求出集合，再根據(jù)補集和交集的定義即可得出答案.【詳解】解：依題意得，所以，又，所以.故選：B．2．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的定義可得，同時，且，從而可求出的值【詳解】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時，且，所以解得.故選：C3．函數(shù)的圖象的大致形狀是（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】【分析】分和去掉絕對值化簡函數(shù)解析式，即可判斷函數(shù)圖像.【詳解】∵，又，∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像即可判斷選項C符合.故選：C.4．函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用復合函數(shù)的單調性“同增異減”來解題.【詳解】設，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，根據(jù)“同增異減”可得，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.故選：A.5．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則a＝（

）A．1 B．2 C．0 D．-2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的對稱性，結合函數(shù)圖象平移得到關于直線對稱的函數(shù)式，即可確定參數(shù)a的值.【詳解】函數(shù)的圖象關于y軸對稱，將函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度可得函數(shù)的圖象，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，故．故選：B6．若定義運算，則函數(shù)的值域是（

）A．(-∞，+∞) B．[1，+∞) C．(0.+∞) D．(0，1]【答案】D【解析】作出函數(shù)的圖像，結合圖像即可得出結論.【詳解】由題意分析得：取函數(shù)與中的較小的值，則，如圖所示（實線部分）：由圖可知：函數(shù)的值域為：.故選：D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質和應用.考查了數(shù)形結合思想.屬于較易題.7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性結合中間量法即可得出答案.【詳解】解：是增函數(shù)，故，而，故.故選：A.8．企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過程中污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關系為（其中，k是正的常數(shù)）．如果在前10h消除了20%的污染物，則20h后廢氣中污染物的含量是未處理前的（

）A．40% B．50% C．64% D．81%【答案】C【解析】【分析】由，得污染物含量的初始值為，根據(jù)得，得，代入，即可求出答案.【詳解】當時，；當時，，即，得，所以；當時，.故選：C9．設函數(shù)，若，則_____________.【答案】##【解析】【分析】先求出，然后再代入函數(shù)列方程可求出【詳解】因為，所以，所以，得，所以，，所以，得，故答案為：10．函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為______.【答案】或【解析】【分析】由函數(shù)的單調性與奇偶性求解．【詳解】因為當時，單調遞增，且，所以等價于.因為為偶函數(shù)，所以，解得或，即不等式的解集為或故答案為：或．11．函數(shù)在的值域為______．【答案】【解析】【分析】令，結合二次函數(shù)的性質即可得出答案.【詳解】解：，設，當時，，所以，所以在的值域為．故答案為：．12．若直線與函數(shù)的圖像有兩個公共點，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】作的圖像，數(shù)形結合即可求解.【詳解】，作出其圖像，數(shù)形結合可知，a∈.故答案為：.13．函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】求出定點的坐標，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】當時，，所以，定點的坐標為，由已知可得，因為，則且，所以，.當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.14．若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最小值為，求的值．【答案】【解析】【分析】令，可得出，令，分、兩種情況討論，結合二次函數(shù)的基本性質以及已知條件可求得實數(shù)的值.【詳解】解：令，則，令.①當時，因為，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，，解得；②當時，因為，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，不合乎題意.綜上所述，.B組能力提升能1．已知函數(shù)，若存在最小值，則實數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知，可分段判斷函數(shù)的最小值，然后再從整體來看，要使得存在最小值需要滿足的關系，根據(jù)得到的關于的不等關系，設函數(shù)，通過賦值結合單