高中數(shù)學(xué)人教版基本不等式習(xí)題及解析

基本不等式習(xí)題

一、選擇題

1、若為實(shí)數(shù)，且。+6=2,則3"+3〃的最小值為（）

A.18B.6C.2y/3D.2冷

4

2、已知尤>(),函數(shù)y=—+兀的最小值是()

X

A.4B.5C.6D.8

一--32

3、已知向量〃二(3,—2),人=(x,y—1)且?！Γ粲饄均為正數(shù)，則1+工的最

%y

小值是()

Q,

A.24B.8C,—D.-

33

4、下列函數(shù)中，最小值為4的是()

A.…+34

B.y=sin龍+--(0<x<^)

Xsinx

vx

C?y=e+4e_D?y=log3x+41ogx3

11

一+一=2

5、已知x,y>0,且xy,則x+2y的最小值為()

3-2地3+2也

A.3-2也B.C.3+2/止

6、函數(shù)f（x）」片）;的最大值為（）

A.@B.v-lC.—D.1

i?l-l2

14

一一—+-

7、已知乂＞0,丫＞0用=僅,1）力:（1,丫-1）,若打“貝股y的最小值為

A.4B.9C,8D.10

8、已知x＞0,y＞0,若空+應(yīng)＞根2+2加恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

xy

A.〃224或加?一2B.m22或〃2WY

C.-2<m<4D.-4<m<2

9、設(shè)a>0,b>0,1g血是lg4a與lg2b的等差中項(xiàng)，則2的最小值為（）

ab

A.25/2B.3C.4D.9

10、下列函數(shù)中，最小值為4的是（）

A.y=ex-\-4e-AB.y=sinxd----(0<xv")

sinx

C.y=x+—D.y=+1+

x&+1

11、若°<2x<3,則（3一2/尤的最大值為（）

999

A.16B.4C.2D.8

12、已知x>0,y>0,^2x+y=xy,則x+2y的最小值為()

A.5B.7C.8D.9

13、已知。>0力>0,若不等式巳3+；12—tn〒恒成立，則團(tuán)的最大值為

aba+3b

A.9B.12C.18D.24

14、若。>。>0,則下列不等式一定不成立的是

11

-<-

A.ahB.log^a>log7b

C.a2+b2<2a+2b-2D.b<\!ab<a+<a

2

15、已知x>2,則函數(shù)y=*—4-x+8的最小值是()

x—2

A.5B.4C.8D.6

16、設(shè)a>03>0,若也是3°與3"的等比中項(xiàng)，則?的最小值是()

ab

1

A.8B.4C.1D.-

4

17、若不等式一+2]<.?對(duì)任意a,此(0,+8)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值

范圍是()

A.(—2,0)B.(―00,—2)D(0,+oo)

C.(—4,2)D.(―oo,—4)u(2,+oo)

18、已知a>—l,b>-2,（。+1乂》+2）=16,則a+8的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

19、下列說法正確的是（）

A.y=sinx+—-—,x￡（0,—］沒有最小值

sinx2

B.當(dāng)0<x〈心?時(shí)，x（3-2x）W（x+3-2x）2恒成立

22

C.已知0VxV4.5,則當(dāng)x,=9-2x時(shí)，x2（9-2x）的值最大

D.當(dāng)lVxVIO時(shí)，y=lgx產(chǎn)L的最小值為2

Igx

20、已知x>0,y>0,且2x+y=l,則孫的最大值是（）

4

y=----+x

21、已知%>2,函數(shù).x—2的最小值是（）

A.5B.4C.8D.6

二、填空題

4

22、已知函數(shù)'二工+--（%>1）,則函數(shù)的最小值是—

工一1

23、已知t>0,則函數(shù)丫=也擔(dān)的最小值為

t----------

24、已知a>0力>0,若不等式」m一-三3一乙140恒成立，則團(tuán)的最大值為

3a+bab

25、設(shè)為實(shí)數(shù)，若4/+/+町=5則2x+y的最大值是

14

26、已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y使x+y=4,則使不等式上+一2m恒成立的實(shí)數(shù)m的取

xy

值范圍是.

27、已知實(shí)數(shù),x>0,y>0,且滿足孫+x+2y=4,則x+2y的最小值為

28、若1噸*%=-1,則加+3〃的最小值等于.

29、已知x>0,y>0,xy=x+2y,若孫恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值

為.

三、解答題

13

30、已知正實(shí)數(shù)羽y,滿足等式上+2=2.

%y

(1)求孫的最小值;

(2)若3x+y一加恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

31、已知人>0,y>0,且2x+5y=20.

(1)求〃=lgx+lgy的最大值；(2)求'的最小值.

xy

3

32、(1)已知x>2,求丫=工+----的最小值；

x—2

(2)已知0<x<g,求y=3x(1—2尤)的最大值.

33、已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:

(l)xy的最小值；

(2)x+y的最小值.

X1+工+1

34、(1)已知x<0,求函數(shù)y=的最大值

x

(x+5)(x+2)

y—

(2)設(shè)x>-l,求函數(shù)x+1的最小值.

c4

y=2-x—

35、(1)已知尤>°,求.x的最大值；

.1

(2)已知<X<2,求y=0+x)(l-2x)的最大值.

X<-y=4x-l+—^—

36、(1)已知4,求函數(shù).4x-5的最大值;

（2）已知x，>cR*（正實(shí)數(shù)集），且*>,求x+）'的最小值;

（3）已知b>0,且“2",求的最大值.

參考答案

1、【答案】B

2、【答案】A

3、【答案】B

4、【答案】C

5、【答案】D

6、【答案】本小題主要考查均值定理.人%)=正=一二當(dāng)且僅?=

a6+；2

yJx

即x=l時(shí)取等號(hào).故選B.

7、【答案】B

8、【答案】D

9、【答案】D

10、【答案】A

11、【答案】D

12、【答案】D

13、【答案】B

14、【答案】C

15、【答案】B

16、【答案】B

17、【答案】C

18、【答案】B

19、【答案】B

20、【答案】B

21、【答案】D

22、【答案】5

23、【答案】6

24、【答案】16

25、【答案】272

26、【答案】

27、【答案】4V3-4

28、【答案】25/3

29、【答案】10

30、【答案】(1)3；(2)-2<m<3.

試題分析：（1）由已知利用基本不等式，構(gòu)造關(guān)于歷的一元二次不等式，求解即可；

（2）由已知利用基本不等式求出3x+y的最小值，代入62m2一機(jī)，即可求出〃？的范

圍.

試題解析：（1）xy>3,所以最小值為3；

（2）（3x+y）nm=6，**-A??2-m<6,-2<m<3.

考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用.

31、【答案】（1）1；（2）7+：*

20

試題分析：（1）由2x+5y=20利用不等式性質(zhì)a+6N2j拓可求得孫的最大值，從而

111A11A

得到〃=lgr+lgy的最大值；（2）將士+2轉(zhuǎn)化為「-1+1（2x+5y）,借助于不等式

xy201k^y）

性質(zhì)a+bN求解最小值

試題解析：（1）?.?2。=2工+5!/“心5//,.?.孫〈10,（當(dāng)且僅當(dāng)x=5且y=2時(shí)等號(hào)

成立）.

所以“=lgx+Igy=Igxy<lgl0=l

〃=lgx+lgy的最大值為1

21+5y=i

（2）V2jc+5y=20,/.2（）

11112x+5y13/.,1>7r^T7+2710

.../y/y211HI4?r111.1/1-2（1\Lrllh/20

（y工

\4/1（切1+1

（當(dāng)且僅當(dāng)I+5y=如時(shí)等號(hào)成立）二」’》的最小值為？1^12

【考點(diǎn)】不等式性質(zhì)求最值

32、【答案】⑴ynain=273+2；（2）丁鵬=]

O

試題分析：（1）由于x>2,所以x-2>0,然后再利用基本不等式即可求出結(jié)果；（2）

因?yàn)?<x<!,可得0<l-2x<l,然后再利用基本不等式即可求出結(jié)果.

2

QIO

試題解析：(1)x>2,x—2>0,y=x—2+—-+2>2.(x-2)(--)+2=2^+2

x-2vx-2

當(dāng)且僅當(dāng)％-2=二一即x=2+百時(shí)等號(hào)成立.

x—2

所以，當(dāng)X=2+G時(shí)為1n=2石+2

/C、八1c,c,3c/,c\,3(2x+l-2XY3

(2)0<x<一,0<1—2x<1,y=—,2x(l-2尤)W----------=一

22212/8

當(dāng)且僅當(dāng)2x=1—2x即x=」等號(hào)成立.

4

所以，當(dāng)％=彳1時(shí)>皿=?3?

4o

考點(diǎn)：基本不等式.

【方法點(diǎn)睛】基本不等式求最值的常見的方法和技巧：①利用基本不等式求幾個(gè)正數(shù)和

的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項(xiàng)（常常是

拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造；②利用基本不等式求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在于

構(gòu)造條件，使其和為常數(shù)。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的式子）、

平方等方式進(jìn)行構(gòu)造；③用基本不等式求最值等號(hào)不成立。求解此類問題，要注意靈活

選取方法，特別是單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡(jiǎn)潔實(shí)用得

方法.

33、【答案】（1）64,（2）x+y的最小值為18.

試題分析：（1）利用基本不等式構(gòu)建不等式即可得出；

9Q

（2）由2x+8y=xy,變形得*+?=利用“乘1法”和基本不等式即可得出.

試題解析：（1）由2x+8y-xy=0,因?yàn)閤>0,y>0,,所以xy264,當(dāng)且僅當(dāng)x=16,y=4時(shí),等號(hào)

成立，

所以xy的最小值為64.

（2）由2x+8y-xy=0,貝ijx+y=（—+—）（x+y）=10+—+—^10+2/—*—=18,

y%yx\yx

當(dāng)且僅當(dāng)x=12,y=6時(shí),等號(hào)成立，

所以x+y的最小值為18.

34、【答案】（1）-1（2）9

試題分析：（1）將函數(shù)變形為丁=-1-彳+白+1）后利用基本不等式求解最值；（2）將

4

函數(shù)式變形為k（X+1）+Q+5后利用基本不等式求解最值

試題解析：(1)Vx<0,A

21

尸x+x+l=x+4]=_(_x--)+14-2J(-x)X(--)+1=-1

XXXVX

1

當(dāng)且僅當(dāng)-x=-X即x=-1時(shí)取得等號(hào)，.?.函數(shù)的最大值為-1;

(2)Vx>-1,.*.x+l>0,

2

(x+5)(x+2)[G+l)+4][(x+1)+1](x+1)+5(x+1)+4(s4/-rA

x+1=x+1-----------------=(x+1)F5>W+5=9

4

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=Wl即x=l時(shí)，上式取“="，.?.y最小值為9.

考點(diǎn)：基本不等式求最值

9

35、【答案】(1)-2；(2)-

O

試題分析：(1)提負(fù)號(hào)，使用均值不等式。

(2)構(gòu)造和為定值，使用均值不等式。

【詳解】

4

(1)因?yàn)橛?gt;0,所以x+—24,

x

所以y=2-x-±=+-4=-2,

xIx)

44

所以當(dāng)且僅當(dāng)》=一，即x=2>0,函數(shù)y=2—x--的最大值為-2.

XX

(2)因?yàn)?所以l+x>0,l-2x>0,

2

所以y=(l+x)(l-2x)=g(2+2x)(l-2x)w[(2+2x)；(l-2x)]1,

當(dāng)且僅當(dāng)2+2x=l-2x,

即x=時(shí)，y=(l+x)0_2x)的最大值為:

【點(diǎn)睛】

“一正二定三相等"，不能直接使用均值不等式的化簡(jiǎn)變形再用均值不等式。

36、【答案】(1)2；(2)16；⑶辿

4

試題分析：（1）將4%—1+7二=-15-4%+W]]再對(duì)5—4%+」7~進(jìn)行基本不等