集合（難點(diǎn)）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)期中考試好題匯編（蘇教版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題01集合（難點(diǎn)）

經(jīng)典基礎(chǔ)題

一、單選題

1.（2020?河北滄州?高一期中）已知集合M={a,2“-若您加，則/中所有元素之和為（）

C.-3

【答案】C

【分析】

根據(jù)leM,依次令”={”,2“-1,2〃一1}中的三個(gè)元素分別等于1,根據(jù)集合中元素的互異性作出取舍，求得

結(jié)果.

【解析】

若a=l,則2a-1=1,矛盾；

若2a-1=1,則。=1,矛盾，故=

解得"=1（舍）或a=-1,

故/={-1,-3』，元素之和為-3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，關(guān)鍵是用好集合中元素的互異性對(duì)參數(shù)的

值進(jìn)行取舍.

2.（2020■江西景德鎮(zhèn)一中高■—期中）己知集合A={=〃/+〃2wN,72eN},且xeA,ytA,則下列

結(jié)論中正確的是（）

A.x+yeAB.尤一yeA

C.xyeA

【答案】C

【分析】

設(shè)％=/+〃2,y=〃2+62,加撾N,〃N,〃撾N,0N,再利用孫=（%+帥）2+（祖/?一九〃）2,可得解.

【解析】

由％wA,ytA,設(shè)x=+n2,y=〃2+/，加撾N,〃N,”撾N/N,

所以孫=(m2+“2)(02+b2)=m2a2+m2b2+n2a2+n2b2={ma+nb')2+(mb-na)2,

且ma+nbeN,mb—naeN,

所以孫eA,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題的解題關(guān)鍵是根%?+n^b1+n2a2+n2b2=（ma+nb）2+（mb-na）1,另外本題可以通過(guò)列舉

法得到集合的一些元素，進(jìn)而排除選項(xiàng)可得解.

x-1

3.（2020?湖北高三期中（理））已知全集為R,集合八={-2,-1,0,1,2},B=<0則An(ERB)

x+2

的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】D

【分析】

解不等式得集合8,由集合的運(yùn)算求出An02）,根據(jù)集合中的元素可得子集個(gè)數(shù).

【解析】

B=L|^4<O|={X|-2<X<1},02=1|無(wú)〈_2或彳31},所以4口（備8）={_2』,2},其子集個(gè)數(shù)為23=8.

〔尤+2J

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的綜合運(yùn)算，考查子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021?全國(guó)高一期中）設(shè)所有被4除余數(shù)為M左=0,1,2,3）的整數(shù)組成的集合為人,即

Ak={x\x=4n+k,n^Z},則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.2020eAQB.a+b^,則ae4,

貝

C.-leA3D.Ua-beA

【答案】B

【分析】

首先根據(jù)題意，利用&的意義，再根據(jù)選項(xiàng)判斷.

【解析】

A.2020=4x505+0,所以2020?正確;

B.若a+beAs，貝l]aeA，6e4，或aeeA或aeeA,或awA，be&,故B不正確；

C.—1=4x（—1）+3,所以一1€&,故C正確；

D.a=4”+左，b=4m+k,m,n&Z,貝l|a—6=4（〃一m）+0,機(jī)）eZ,故a-6e4，故D正確.

故選:B

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合新定義，關(guān)鍵是理解4的意義，再將選項(xiàng)中的數(shù)寫(xiě)出4中的形式，就容易判斷

選項(xiàng)了.

5.（2020?海南高三期中）已知集合4={x]（x+2）（x-2）＜5},B={x|log2（x-a）＞l,?e2V},若4口3=0,

則。的可能取值組成的集合為（）

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.N*

【答案】D

【分析】

解不等式確定集合4,3,然后由交集的結(jié)果確定參數(shù)。的取值范圍.

【解析】

A={x|（x+2）（x-2）＜5}={x|-3Vx＜3},

JB={x|log2（尤—a）＞l,aeN}={尤|尤＞“+2,aeN},

因?yàn)锳P|3=0,所以a+223,a＞1.又awN,0aeN*.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查由集合交集的結(jié)果求參數(shù)范圍，解題時(shí)可先確定兩個(gè)集合中的元素，然后分析交集的結(jié)果得出結(jié)

論.

6.（2020?江蘇揚(yáng)州市■揚(yáng)州中學(xué)高一期中）己知全集0=14,集合4=卜卜（彳+2）＜0},2=卜卜區(qū)1},則圖中

陰影部分表示的集合是（)

A.(-2,1)B.[-1,0]U[1,2)C.(-2,-l)U[0,l]D.[0,1]

【答案】C

【分析】

由集合描述求集合A3,結(jié)合韋恩圖知陰影部分為Co(AcB)c(AuB),分別求出C^AnB)、(AoB),然

后求交集即可.

【解析】

A={x|x(x+2)<。}={x|-2<尤<0},B=|x||x|<={x|-1<x<1},

由圖知：陰影部分為Cu(Ac8)c(Au3),而Ac3={x|-lWx<0},AuB={x|-2<x<l},

^\Cu(Ar^B)={x\x<-l^lx>0]fgpCf/(AnB)n(AoB)={x|-2<x<-1^0<x<l},

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的基本運(yùn)算，結(jié)合韋恩圖得到陰影部分的表達(dá)式，應(yīng)用集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算求集合.

7.(2020?遼寧高一期中)已知集合尸={x|x=2左，左eZ},Q={x|x=2左+1,左eZ},M={x|x=4k+1,左eZ},

且a撾Q,則()

A.a+b?PB.a+blQ

C.a+blMD.a+Z?不屬于P,Q,M中的任意一個(gè)

【答案】B

【分析】

設(shè)出。力的值，相加再判斷得解.

【解析】

,/a￡P(guān),:.a=2kl，匕￡Z.

,/beQ,:.b=2k2+1&《Z.

:.a+b=2(%+無(wú)2)+l=2左+1￡QA，左2,左￡Z).

故選：B

8.（2020?上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一期中）當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿足"如果aleG,則。+"。-6,必€6,且

歷4）時(shí)，feG"時(shí)，我們稱G就是一個(gè)數(shù)域，以下四個(gè)數(shù)域的命題；

b

①0是任何數(shù)域的元素；

②若數(shù)域G有非零元素，則2020eG;

③集合P={x|x=2k,keZ}是一個(gè)數(shù)域

④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域

其中假命題的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【分析】

對(duì)于①，根據(jù)新定義，a,beF,當(dāng)6到時(shí)，,取。=0,可判斷出①，對(duì)于②，若數(shù)域尸中有非

b

零元素，歹可以取實(shí)數(shù)域，可取。=2020,b=l,可判斷出②，對(duì)于③，由尸的元素知，%是3的倍數(shù)，

取。=6,6=3時(shí)可判斷出③，對(duì)于④，若F是有理數(shù)，貝!J當(dāng)beF,貝！Ja+6,a-b,abwF,且當(dāng)

時(shí)，:e尸都成立，判斷出④.

b

【解析】

解:對(duì)于①，根據(jù)新定義，。，bwF,當(dāng)6W0時(shí)，yeF,對(duì)于。=0,可得0e尸，故正確，

b

對(duì)于②，若數(shù)域/中有非零元素，尸可以取實(shí)數(shù)域，可取a=2020,b=l,可得2021故正確，

對(duì)于③，由尸的元素知，x是3的倍數(shù)，當(dāng)。=6,人=3時(shí)，￡=2”,故錯(cuò)誤，

對(duì)于④，若b是有理數(shù)，則當(dāng)a,beF,則a+b,a-b,abeF,且當(dāng)歷4）時(shí)，fe尸都成立，故正確，

b

故假命題為③.

故選：C.

9.（2020?上海師范大學(xué)附屬中學(xué)閔行分校）設(shè)集合4=卜卜2+2X-3>0},集合B=卜廠一？辦一140〃>O},

若4口8中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.1°，：C.D.（1收）

【答案】A

【分析】

先化簡(jiǎn)集合A,再根據(jù)函數(shù)y=/(x)=x2-2ax-1的零點(diǎn)分布，結(jié)合AcB恰有一個(gè)整數(shù)求解.

【解析】

A={x［x<-3或x>l},

函數(shù)y=f(x)=x2-2ax-1的對(duì)稱軸為x=a>0,

而/(-3)=6a+8>0,/(-1)=2a>0,f(0)<0,

故其中較小的零點(diǎn)為(-1,0)之間，另一個(gè)零點(diǎn)大于1,f(1)<0,

要使AnB恰有一個(gè)整數(shù)，

即這個(gè)整數(shù)解為2,

0/(2)40且/(3)>0,

f4-4tz-l<0

即V,，

［9-6^-1>0

解得：;4，

I3

即33《a<4一,

43

-34、

則a的取值范圍為

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的交集運(yùn)算的應(yīng)用以及二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于

中檔題.

10.(2020?江西吉安三中高一期中)對(duì)于下列結(jié)論：

①已知0{xlx?+4x+a=0},則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(YO,4］；

②若函數(shù)y=/(x+1)的定義域?yàn)椋垡?,1)，則尸/(%)的定義域?yàn)椋?3,0)；

③函數(shù)y=2_J*2_4x+5的值域是（-8,1];

④定義：設(shè)集合A是一個(gè)非空集合，若任意xeA,總有a-xeA,就稱集合A為。的"閉集"，已知集合

A=l,2,3,4,5,6},且A為6的"閉集"，則這樣的集合A共有7個(gè).

其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

A.考慮方程有解的情況；B.根據(jù)抽象函數(shù)定義域求解方法進(jìn)行分析；C.根據(jù)二次函數(shù)的取值情況分析函

數(shù)值域；D.根據(jù)定義采用列舉法進(jìn)行分析.

【解析】

①由0{》|—+4苫+。=0}可得彳2+4%+。=0有解，gpA=42-4a..0,解得aW4,故①正確；

②函數(shù)y=〃x+l）的定義域?yàn)?2,1）,貝IJ-2?X1,故—”x+l<2,故y=/（x）的定義域?yàn)楣?/p>

②錯(cuò)誤；

③函數(shù)y=2-Jx」-4x+5=1-J（x-2）2+1,由于J（x-2）?+1e[l,+oo）,故y=2-_以+5,故

③正確；

④集合A=l,2,3,4,5,可且A為6的"閉集"，則這樣的集合A共有⑶，{1,5},

{2,4},{1,3,5},{2,4,6},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7個(gè),故④正確.

故正確的有①③④.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判定，考查集合之間的包含關(guān)系，考查函數(shù)的定義域與值域，考查集合的新定義，屬

于中檔題.

11.（2020?陜西西安中學(xué)高三期中（文））已知A={（尤,yXr+VwLxeZ.yeZ},

8={（x,y）|禺43,|y|43,xeZ,yeZ}.定義集合A十3={a+尤2，M+y2）|（Xl，yl）eA,|（x2，y2）e5},則A十8的

元素個(gè)數(shù)〃滿足（）

A.n=77B.n<49C.n=64D.n>81

【答案】A

【分析】

先理解題意，然后分①當(dāng)玉=±1,%=。時(shí)，②當(dāng)當(dāng)=0,%=±1時(shí)，③當(dāng)士=0,%=。時(shí),三種情況討論即可.

【解析】

解：由A={(x,y)|Y+V41,無(wú)eZ,yeZ},B={(羽y)||x|<3,|j|<3,xeZ,yeZ|,

①當(dāng)±=±1,X=。時(shí)，Xf+x2=-4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4,

%+%=-3,-2,-1,0,1,2,3,

此時(shí)A十3的元素個(gè)數(shù)為9x7=63個(gè)，

(2)當(dāng)匕=0,X=±1時(shí),為+無(wú)？=-3,-2,-1,0,1,2,3,

—

%+%=-4,3,—2,—1,0,1,2,3,4z

這種情況和第①種情況除X+%=-4,4外均相同,故新增7x2=14個(gè)，

③當(dāng)占=0,%=0時(shí)，玉+%=-3,-2,-1,0,1,2,3,

%+%=-3,0,1,2,3,這種情況與前面重復(fù)，新增0個(gè)，

綜合①②③可得：

A十8的元素個(gè)數(shù)為63+14+0=77個(gè)，

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷，重點(diǎn)考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬中檔題.

12.(2021?全國(guó)高一課前預(yù)習(xí))對(duì)于集合出二,,二--；/,工?%3?%},給出如下三個(gè)結(jié)論：①如果

P=[b\b=2n+\,n&7^,那么P=M；②如果c=4〃+2,aeZ,那么<?任"；③如果％sM,a2eM,那么0ta2cM.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

①根據(jù)2w+l=(“+l)2-“2,得出2〃+leAf,即P=

②根據(jù)c=4〃+2,證明4w+2?M,即CEM；

③根據(jù)。|￡刊，a2eM,證明

【解析】

解：集合”={。1。=12,xeZ,yeZ),

對(duì)于①，b=2n+l,〃eZ,

則恒有2〃+1=("+1)2-〃2,

.-.277+leM,即尸={“。=2〃+1,neZ},則「口”，①正確；

對(duì)于②，c=4n+2,n^Z,

若4〃+2?M,則存在x,yeZ使得/-=4?+2,

「.4〃+2=(%+y)(%—y),

又x+y和x-y同奇或同偶，

若x+y和x—y都是奇數(shù)，則(x+y)(x-y)為奇數(shù)，而4〃+2是偶數(shù)；

若x+y和x—y都是偶數(shù)，貝！J(x+y)(x-y)能被4整除，而4a+2不能被4整除，

4n+2iM,即ceM,②正確；

對(duì)于③，a{&M,a?eM,

可設(shè)q=%；-yf,a2=—y2jX-、y￡Z；

則%%=(4-yt)(x2—￡)

=(占%)2+(M)2-(占%)2-(%%)2

22

=(xlx2+yiy2)~(xiy2+x2yl')

那么01a2eM,③正確.

綜上，正確的命題是①②③.

故選￡).

【點(diǎn)睛】

本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷、以及運(yùn)算求解能力和化歸思想，是難題.

二、多選題

13.(2020,福建廈門(mén)一中)對(duì)任意A,B=R,記A十3={x|xeAU8,x史，并稱A十3為集合A,B

的對(duì)稱差.例如，若&={1，2,3},B={2,3,4},則A十3={1,4},下列命題中，為真命題的是()

A.若A,BqR且A十8=3,則4=0

B.若A,3=R且A十8=0,則A=B

C.若A,BqR且A十3aA,則A=B

D.存在A,B=R,使得A十8=瘠A十RB

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)新定義及交、并、補(bǔ)集運(yùn)算，逐一判斷即可.

【解析】

解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)锳十3=8,所以3={x|xeAu民尤芒AcB},

所以A=8,且B中的元素不能出現(xiàn)在4口8中，因此A=0,即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)锳十3=0,所以0={x|xeAcB},

即AU3與AA3是相同的，所以A=3，即選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)锳十3=A,所以{尤|xeAc/?}=A,

所以即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)4=例尤<2},B={x|x>l},則aU3=R，ACB={X[1<JC<2},

所以A十3={xWl或x22},又傘4=例行2},砥8={小<1},

（廨M㈤―xN2},（瘵l）n（握）=0,

所以（椒）3M）={小41或X22},

因此A十3=寤4十RB,即。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查新定義，考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，屬于中檔題.考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，邏輯

推理能力.

14.（2020,寶山區(qū)?上海交大附中）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)?直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家

戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的"分割"來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)

格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為"無(wú)理"的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危

機(jī)?所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N,且滿足MuN=Q,McN=0,

M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱（”,N）為戴德金分割?試判斷，對(duì)于任一戴德金分割

（M,N）,下列選項(xiàng)中，可能成立的是（）

A.M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素

B./W沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素

C.M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

D.M有一個(gè)最大元素，N沒(méi)有最小元素

【答案】ABD

【分析】

舉特例根據(jù)定義分析判斷，進(jìn)而可得到結(jié)果.

【解析】

令“=印》<10,》?。},N={x|xN10,xe。},顯然集合M中沒(méi)有最大元素，集合N中有一個(gè)最小元素,

即選項(xiàng)A可能；

☆M={x[x<VIxeQ},N={x\x>y[2,xeQ},顯然集合M中沒(méi)有最大元素，集合N中也沒(méi)有最小元素，

即選項(xiàng)B可能；

假設(shè)答案C可能，即集合M、N中存在兩個(gè)相鄰的有理數(shù)，顯然這是不可能的；

令/={犬|》410,犬?0},N={Hx>10,xe。},顯然集合M中有一個(gè)最大元素，集合/V中沒(méi)有最小元素，

即選項(xiàng)D可能.

故選：ABD.

15.（2021?江蘇省祁江中學(xué)高二期中）下列敘述正確的是（）

A.集合N中的最小數(shù)是1B.{x|x>l}={x|x21}

C.方程d-6x+9=0的解集是⑶D.{4,3,2}與{3,2,4}是相等的集合

【答案】BCD

【分析】

利用自然數(shù)集元素的大小判斷A；利用集合的包含關(guān)系判斷B；利用方程的解判斷C；利用集合的基本性質(zhì)

判斷D.

【解析】

對(duì)于A,集合N中的最小數(shù)是0,不是1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,{x|x>l}u{x|x21}滿足集合的包含關(guān)系，故B正確；

對(duì)于C,方程/一6尤+9=0的解為國(guó)=彳2=3,故其解集是{3},故C正確；

對(duì)于D,{4,3,2}與{3,2,4}是相同的集合，滿足集合的基本性質(zhì)，故D正確.

故選：BCD

16.（2021?江蘇）設(shè)非空集合滿足：當(dāng)X0S時(shí)，有x20S.給出如下命題，其中真命題是（）

A.若m=l,則5={%|%21}B.若"7=-；,則

C.若"=L則D.若n=l,則

22

【答案】BC

【分析】

先由非空集合5=卜忱4尤4〃}滿足：當(dāng)而S時(shí)，有x20S,判斷出機(jī)2/或加<0,0<n<l,對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)分

別列不等式組，解出不等式進(jìn)行一一驗(yàn)證即可

【解析】

團(tuán)非空集合5=舊加VxV〃}滿足：當(dāng)X0S時(shí)，有*2蚯

回當(dāng)時(shí)，有而回$,即療2相，解得：〃讓/或加40；

同理：當(dāng)版S時(shí)，有。2型，即〃2?〃，解得：0<?<1,

對(duì)于A:m=1,必有m2=l回S,故必有八解得：m=n=\,所以S={1},故A錯(cuò)誤；

[0<n<l

對(duì)于B:加=-小必有在二:血故必有<~,解得：-<n<l,故B正確；

24[0<n<14

m<—

2廠

對(duì)于C:若w=[，^\m<m2,解得：-在WmW0,故C正確；

2,12

m2<—

[2

m<1

對(duì)于D:若n=l,<<m<m2,解得：-"〃心0或M=1,故D不正確.

m2<1

故選：BC

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：新定義題（創(chuàng)新題）解答的關(guān)鍵：對(duì)新定義的正確理解.

事先尤選提升題

三、填空題

17.（2021?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高一月考）已知aeR,集合A={x|ga-l<x<；a+l},設(shè)關(guān)于x的不等式

依</+『1的解集為B,若Au5,則實(shí)數(shù)“的取值范圍為

【答案】（9,一4]51,內(nèi)）

【分析】

求出集合B,根據(jù)AuB建立不等式求解即可.

【解析】

由方</+『1可得,

當(dāng)“=1時(shí)，不等式無(wú)解，即2=。,不符合AuB.

當(dāng)。>1時(shí)，由不等式解得x<a+l,即8={x|x<a+l},

由AuB則需3。+14。+1,解得a20,

所以”>1,

當(dāng)a<l時(shí)，由不等式解得x>a+l,即2={x|尤>。+1}

由AuB則需。+14]。一1,解得。W-4.

綜上，。<-4或。>1.

故答案為：(T?,-4]U(1,+(?)

18.(2021?鳳城市第一中學(xué)高一月考)已知有限集4={4，%,…,%}(〃N2,〃eN*),如果A中的元素

%(i=1,2,3,…滿足q.%...an=a}+a2+---+an,就稱A為"復(fù)活集”,給出下列結(jié)論：

①集合，匚蕓，^^倉(cāng)>是“復(fù)活集"；

②若4，%eR,且{%%}是"復(fù)活集"，則％%>4；

③若01geN*,則{知%}不可能是“復(fù)活集".

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)有.

【答案】①③

【分析】

根據(jù)新定義檢驗(yàn)①，由新定義構(gòu)造一元二次方程，利用判別式證明判斷②，利用新定義，結(jié)合不等式的知

識(shí)判斷③.

【解析】

①匚產(chǎn)=+曰黃=_1,故①正確.

②不妨設(shè)%+。2=。陷2=，，則由根與系數(shù)的關(guān)系知的，出是一元二次方程%2-比+/=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，由A>0,可得/-4r>0,解得f<0或f>4,故②錯(cuò)誤.

③根據(jù)集合中元素的互異性知4片的，不妨設(shè)4〈%(q,4?N*),由q%=q+g＜2外,可得弓＜2.

?rqeN*,；.%=1.于是1+%=卜生，無(wú)解，即不存在滿足條件的“復(fù)活集"，故③正確.

故答案為：①③.

19.(2022?全國(guó))已知集合A,8都含有12個(gè)元素,AnB含有4個(gè)元素，集合C含有3個(gè)元素，且滿足電姐，

CnA血，Cn8血，則滿足條件的集合C共有個(gè).

【答案】1028

【分析】

按照C中含有AnB中元素個(gè)數(shù)分C0(AcB)、C中含有AaB中2個(gè)元素、C中含有AnB中1個(gè)元素、C中不

含ACB中元素4類計(jì)算可得.

【解析】

依題意設(shè)4={。1,。2,03,。4,05,06,07,08,Xl,X2,X3,X4),

B={bi,岳,加,九,bs,bs,by,優(yōu)，Xi,X2,X3,X4},

當(dāng)C0(AcB)時(shí)，集合C共有C：=4個(gè)；

當(dāng)C中含有ACB中2個(gè)元素時(shí)，集合C共有C1C；6=96個(gè)；

當(dāng)C中含有AnB中1個(gè)元素時(shí)，集合C共有=480個(gè)；

當(dāng)C中不含ACB中元素時(shí)，集合C共有《＜；+2?雋=448個(gè)

故滿足題意得C共有1028個(gè).

故答案為：1028個(gè)

20.(2021?福建福州三中高一開(kāi)學(xué)考試)已知集合Z?={aeR|(x-1)a2+7ax+x2+3x-4=0},{0}=4則x的值

為.

【答案】1或T.

【分析】

解方程7x0xx+x2+3x-4=0,即得％=1或％=Y,檢驗(yàn)即得解.

【解析】

因?yàn)閧0}=4

所以7x0x%+X2+3X-4=0,

所以％=1或x=-4.

當(dāng)尤=1時(shí)，7a+l+3-4=0,所以。=0,集合上{0},滿足題意；

當(dāng)x=T■時(shí)，-5片—28。+16-12-4=0,/.Q=0或〃=—集合A二{。,——}?滿足題意.

故答案為：1或Y.

21.（2021?福建省廈門(mén)第二中學(xué)高三月考）若尤eA,則就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合

X

〃=1T，0，；，；/，2,3,41的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)為.

【答案】15

【分析】

首先確定具有伙伴集合的元素有1,T,"3和，”，"2和;''四種可能，它們組成的非空子集的個(gè)數(shù)為即為

3乙

所求.

【解析】

因?yàn)閘eA,-=1EA；—1eA>~^=-1EA;

1—1

2EAf萬(wàn)￡人；3GA,—GA；

這樣所求集合即由1，-E"3和9,"2和卜‘這"四大"元素所組成的集合的非空子集.

3乙

所以滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為24-1=15,

故答案為：15.

22.（202”江蘇高一專題練習(xí)）已知集合。={1,2,3,…,〃}（weN*,〃N2）,對(duì)于集合。的兩個(gè)非空子集A,B,

若4口8=0,則稱（A3）為集合U的一組"互斥子集記集合U的所有“互斥子集"的組數(shù)為/（〃）（當(dāng)且僅

當(dāng)A=3時(shí)，（AB）與（B,A）為同一組“互斥子集"），則/⑹=

【答案】602

【分析】

根據(jù)題設(shè)條件，集合。中的任一元素只能在集合A,B,加（AU3）之一中，求出"個(gè)元素的種數(shù)，再去掉A,

8為空集的種數(shù)可得八%取n=6即可得解.

【解析】

令C=d（Au3）,如圖，全集。被劃分成A,B,C三個(gè)部分，。中的任意一個(gè)元素只能在集合A,B,C之

一中，有3種方法,

則這。個(gè)元素在集合4B,C中，共有3"種，

其中4為空集的種數(shù)為2"，B為空集的種數(shù)為2",則A,B均為非空子集的種數(shù)為3"-2向+1,

因當(dāng)且僅當(dāng)A=3時(shí)，（A團(tuán)與（氏A）為同一組"互斥子集"，而4口3=0,滿足4口3=0的（A,B）與（B,A）不

是同一組“互斥子集"，

于是得集合U的所有“互斥子集"的組數(shù)為〃冷=3"-2"+1+1,

所以"6)=36-2m+1=602.

故答案為：602

23.（2021?江蘇）設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果點(diǎn)吃eR滿足：對(duì)任意a＞0,都存在xeX,使得

0＜|x-x0|＜a,稱為為集合x(chóng)的聚點(diǎn)，則在下列集合中:

①｛xeZ|x/0｝；②｛尤|尤cR,尤片0｝；（3）1x|x=—,weN*

以0為聚點(diǎn)的集合有.

【答案】②③

【分析】

根據(jù)集合聚點(diǎn)的新定義，結(jié)合集合的表示及集合中元素的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解析】

由題意，集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果點(diǎn)尤°eR滿足：對(duì)任意。＞。，都存在xeX,使得0＜卜-/|＜4,

稱％為集合X的聚點(diǎn)，

①對(duì)于某個(gè)。＞0,比如a=0.5,

此時(shí)對(duì)任意的尤e｛xeZ|x片0｝,都有q-%|=0或者＞1,

也就是說(shuō)不可能0＜?xì)w-與卜0.5,從而。不是｛xeZ|x片0｝的聚點(diǎn)；

②集合｛xeR|xw。｝,對(duì)任意的。，都存在x=￡（實(shí)際上任意比。小得數(shù)都可以）,

使得0<W="|<a,00是集合｛xcR|xwO｝的聚點(diǎn);

,〃eN*中的元素是極限為0的數(shù)列,

對(duì)于任意的存在〃>—,使0<國(guó)=一<。,

00是集合x(chóng)=上”N*的聚點(diǎn);

④中，集合x(chóng)x=—J,〃eN*中的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項(xiàng)0之外，其余的都至少比0大;,

In+1J2

回在的時(shí)候，不存在滿足得。<N<。的X,

00不是集合的聚點(diǎn).

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合新定義的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，正確理解集合的新定義一一集合中聚點(diǎn)的含義,

結(jié)合集合的表示及集合中元素的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力，屬于難題.

24.(2021?山東高考真題)集合N,S都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運(yùn)算：M30=

{x[%￡(MCN)5NCS)D(SCM)且％eMcNcS}.假設(shè)集合A={H〃vxvb},B=^x\c<x<d^,

C=[x\e<x<f],其中實(shí)數(shù)a,b,c,d,e,/滿足：(1)ab<0,cd<0；ef<0；(2)b-a=d-c=f-e；

(3)b+a<d+c<f+e.計(jì)算AO5G)C=.

【答案】{x\c<x<e^b<x<d]

【分析】

由題設(shè)條件求a,b,c,d,*/的大小關(guān)系，再根據(jù)集合運(yùn)算新定義求A9GC即可.

【解析】

a+Z?vc+d,。一c<d—b；a—h=c—d,—c=b—d；

^\b-d<d-b,b<d；同理d</,

⑦bed<f.由(1)(3)可得a<c<e<0<h<d</.

回Ac5={x|cvx<〃},BryC=^x\e<x<d^,CA=\^x\e<x<b^.

>1。50。={%]。<%<6或匕<%<2}.

故答案為：{%|c<x〈e或Z?<x<d}

四、解答題

25.(2020?上海市南洋模范中學(xué)高一期中)已知集合&={尤|f-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-l=0),

C=1^r|x2+2(m+V)x+m2-5=0}.

(1)若Au3=A,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若AC|C=C,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)a=2或3；(2)—3].

【分析】

(1)先求解出方程彳2.3尤+2=0的根，則集合A可知，再求解出Y一辦+°一1=0的根，則可確定出集合8,

根據(jù)=A得到8=4,從而可求解出的可取值，貝I」。的值可求；

(2)根據(jù)ACC=C得到C=A,分別考慮當(dāng)C為空集、單元素集、雙元素集的情況，由此確定出。的取值.

【解析】

(1)由尤2-3x+2=0得x=l或2,所以A={1,2},

由尤2—ax+a-1=0得x=l或。一1,所以leaa—leg,

因?yàn)?所以31A,

所以。一1=1或2,所以a=2或3；

(2)因?yàn)?nC=C,所以C=A,

當(dāng)C=0的時(shí)，A=4(m+l)2-4(/7t2-5)<0,解得機(jī)<一3,

A=4(m+l)2-4(m2-5)=0

當(dāng)°={1}時(shí),無(wú)解,

1+2(m+l)+m2-5=0

,、A=4(m+l)2-4(m2-5)=0

當(dāng)C={2}時(shí)，，、',1-解得根=一3,

4+4(/〃+1)+"—5=0

,、fl+2=-2(m+l)

當(dāng)。={1,2時(shí)，無(wú)解，

[l-2=m-5

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(f,-引.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：根據(jù)集合的交、并集運(yùn)算結(jié)果判斷集合間的關(guān)系:

(1)若=則有8=A；

(2)若AH3=A,則有AuB.

26.(2020?鄒城市第一中學(xué))設(shè)全集是R,集合&={小2-2尤一3>。},B={x\l-a<x<2a+3}.

(1)若a=l,求@A)cB；

(2)問(wèn)題：已知,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

從下面給出的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答.

@AC[B=B(2)A\JB=R③Ap|8=0

【答案】⑴{x|0<x<3};(2)具體選擇見(jiàn)解析.

【分析】

(1)解不等式苫2-2工-3>0得4={尤打<-1或%>3},進(jìn)而根據(jù)集合運(yùn)算求解即可得答案.

(2)選①：由An3=3得B=再分3=0和3W0時(shí)兩種情況求解即可得答案；

f1—a<—1,、

選②：由41^=尺得2°+3>3'解得。>2.故所求實(shí)數(shù)。的取值范圍是(2,e).

選③：由4口3=0,故分3=0和3工0兩種情況討論即可得答案.

【解析】

解:(1)解不等式?？一2無(wú)一3>0得4={尤|*<一1或彳>3},

所以("A)={HTVXW3}.

若a=l,貝lj8={x[0<x<5},

所以（54）03={乂0<%<3}.

（2）選①：A^}B=B,則BgA.

2

當(dāng)3=0時(shí)，貝!）有1—a22a+3,BP?<——；

1—a<2a+31—a<2a+3

當(dāng)時(shí)，則有或,此時(shí)兩不等式組均無(wú)解.

2a+3?—11—a23

綜上述，所求實(shí)數(shù)。的取值范圍是

選②：A\JB=R,由于3={x|l-o<x<2a+3},

則有解得a>2.

2。+3>3’

故所求實(shí)數(shù)。的取值范圍是(2,y).

選③：403=0，由于8={Hl—a<x<2a+3},所以

2

當(dāng)3=0時(shí)，則有1一〃22〃+3,即。（一§；

1—。<2〃+3

2

當(dāng)5W0時(shí)，則有1—42—1角犁得一一<a<0.

2。+3V3、'

綜上述，所求實(shí)數(shù)。的取值范圍是（y,。].

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查分類討論思想與運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第二問(wèn)如果選擇①，③解

題，易錯(cuò)的點(diǎn)在于容易忽視3=0情況而出現(xiàn)錯(cuò)誤，故解題時(shí)需考慮全面.

27.（2020?河北邢臺(tái)?高一期中）在①3={X—2<x<3},@^B={X|-3<%<5）,（3）B={x|x>a2+6）>

AuB={x|x>a}這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題.

問(wèn)題：已知非空集合A={x|“<x<8-q},,若An3=0,求”的取值集合.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【分析】

選①：本題首先可根據(jù)A是非空集合得出“<4,然后根據(jù)AC13=0得出或8-。4-2,最后通過(guò)計(jì)算

即可得出結(jié)果.

選②：本題首先可以根據(jù)A是非空集合得出“<4,然后根據(jù)\8={目-3Vx<5}求出集合8,最后根據(jù)

4口8=0列出不等式組，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.

選③：本題首先可以根據(jù)A是非空集合得出。<4,然后根據(jù)題意得出"+6=8-°,最后通過(guò)計(jì)算即可得

出結(jié)果.

【解析】

選①：因?yàn)锳是非空集合，所以解得。<4,

因?yàn)?={x[—2<x<3},AplB=0,

所以或8-aW-2,解得心3或。210,

綜上所述，。的取值集合是{a|3Va<4}.

選②：因?yàn)锳是非空集合，所以8-a>a,解得a<4,

因?yàn)閈3={尤|一3<》<5},所以8={小4一3或讓5},

a>-3

因?yàn)锳n5=0,所以8—aV5,解得3Wa<4,

〃<4

故。的取值集合是{中4a<4}.

選③：因?yàn)锳是非空集合，所以8-a>a,解得a<4,

因?yàn)锳C|3=0,B=|x|x>a2+6^,A'UB=^x\x>,

所以"+6=8-。，解得。=-2或1,

故。的取值集合是{-2』}.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍，若兩個(gè)集合的交集為空集，則這兩個(gè)集合

沒(méi)有相同的元素，考查集合的混合運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是中檔題.

28.（2020?常州市北郊高級(jí)中學(xué)高一期中）已知集合4={刈工41或工35},集合3={尤|224xVa+l}

（1）若a=l,求4口8和AUB；

（2）若記符號(hào)A-8={xeA且尤任8},在圖中把表示"集合A-3”的部分用陰影涂黑，并求當(dāng)。=1時(shí)的A-此

（3）若ARB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）An8={x|0<x<l},AUB={x|尤42或x35}；（2）陰影圖形見(jiàn)解析，A-B=[x\x<O^x^5）；

（3）aVO或a>3.

【分析】

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求得集合B,根據(jù)交集、并集的運(yùn)算法則，即可求得答案；

（2）陰影圖形見(jiàn)解析，當(dāng)"=1時(shí)，求得集合B,根據(jù)A-3的定義，即可求得答案；

（3）由題意得31A,分別討論3=0和3工0兩種情況，根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可求得。的范圍.

【解析】

（1）當(dāng)a=1時(shí)，B={x|04x42},

所以An8={x[0<x<l},AUb={x|x42或無(wú)35）；

(2)A-B的部分如圖所示:

當(dāng)a=l時(shí)，A—5={%|xK0或x35}；

(3)因?yàn)?口5=5,所以B=A,

當(dāng)3=0時(shí)，2a-2>a-\-l,角星得〃>3,

fa+l<l(2a-2>5

當(dāng)3W0時(shí)，則或，

[2〃-2Wa+1[2a-2Wa+1

解得"VO或0,

綜上：aVO或a>3.

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)為：根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)時(shí)，當(dāng)且集合B含有參數(shù)時(shí)，需要討論集合B是否為空集,

再進(jìn)行求解，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.

29.(2020?湖北)已知集合4=

(1)若加=3時(shí)，求API做8)；

(2)若473=4,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

「197~

【答案】(1){x\-2<x<2];(2)-y,-.

【分析】

(1)依題意先求出集合A和集合8,再求出為8,然后按照交集的定義求出結(jié)果即可；

(2)由AuB=A可得出3三人,然后分8=。和8/。兩種情況進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求出結(jié)果即可.

【解析】

(1)A={x卜2<x44},當(dāng)m=3時(shí)，B={x|2<x<5},

E|CR3={X|XV2或x25},An(^B)=|x|-2<x<2}；

(2)團(tuán)AD5=A,回3三A,

令/(x)=x2-(m+4)x+m+7,

①當(dāng)3=。時(shí)，即〃%)20恒成立，所以A=(m+4/一4(m+7)W0,

解得：-6<m<2；

②當(dāng)時(shí)，即/(x)<0有解，所以機(jī)<-6或加>2,

令〃力=0,解得：tj+4±J(",+4)2-4(加+7),

2

m+4±^(m+4)2-4(m+7)

>-2

所以__J__________

m+4±J(m+4)2-4(m+7)

<4

2

197

角軍得一--<m<-6^2<m<—

綜合①②得加的范圍是

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：由Au5=A可得出8三A,然后進(jìn)行分類討論，切記別漏掉5的情形，否則容易漏解.

30.(2020?肥東縣綜合高中高一期中)已知集合。=何—14x42,xeP},A={x|0<x<2,xeP),

(1)若「=11,求A/A中最大元素m與孰8中最小元素。的差s-"；

(2)若尸=Z,求和酬人中所有元素之和及疫(人可.

【答案】⑴3；(2)所求元素之和為1,瘠鼠為={-1,1,2}或飄/?)={-1,0,1,2}.

【分析】

(1)根據(jù)尸=R,然后利用補(bǔ)集的運(yùn)算，分別求得樂(lè)4,再求解.

(2)根據(jù)P=Z,得到A={x|0<尤<2,xeZ}={0,l},B={1}或{0,1},進(jìn)而得到十8={。}或=0求解.

【解析】

(1)因?yàn)槭?R,U={x|-l<x<2,xeP),

所以={尤|-14x<0或x=2},={x\-l<x<-a,1<x<2},

團(tuán)根=2,n=—l,

0m—H=2—(—1)=3.

(2)回尸=Z,

0[7={%]-l<x<2,xeZ}={-l,O,l,2},

0A={x|0<x<2,xeZ}={0,1},B={1}或{0,1}.

回。3={0}或?B=0,即。B中元素之和為0.

又屯A={-1,2},其元素之和為-1+2=1.

故所求元素之和為0+1=1.

回?3={0}或?8=0,

0飄M)={-LL2}或十(dAB)=0,0=[/={-1,0,1,2).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的補(bǔ)集運(yùn)算，還考查了分析求解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

31.(2017?上海市川沙中學(xué)高一期中)符號(hào)卜]表示不大于x的最大整數(shù)(xeR)，例如：

[1.3]=1,[2]=2,[-1.2]=-2

(1)已知區(qū)=2,國(guó)=-2,分別求兩方程的解集M、