讀書報告-DSMC方法中分子碰撞的計算

DSMC方法中分子碰撞的計算摘要DSMC方法是依賴物理的概率模擬方法。從宏觀參量到細觀速度分布函數(shù)的水平上，該方法均能得到實驗的支持。經(jīng)過30多年的發(fā)展,DSMC方法在航天、真空系統(tǒng)等離子體材料加工、微電子刻蝕、微機電系統(tǒng)、化工等21世紀高技術發(fā)展的前沿領域獲得了廣泛的應用。DSMC方法通常用有限個模擬分子代替大量真實氣體分子，通過隨機抽樣并跟蹤模擬分子軌跡實現(xiàn)求解真實氣體流動問題。其主要特點是模擬分子的遷移運動與碰撞解耦。本文主要從分子碰撞模型、分子碰撞的計算兩方面詳細闡述先關研究進展。引言DSMC方法通常稱試驗粒子為模擬分子或模擬粒子，它的基本做法可表述為：用有限個模擬分子代替大量的真實氣體分子，通過隨機抽樣模擬分子并跟蹤模擬分子的運動軌跡來達到求解真實氣體流動問題的目的。DSMC方法的主要特點在于將模擬分子的遷移運動與碰撞作用解耦處理。在每個時間步長內，首先認為每個模擬分子作勻速直線運動得到新的位置坐標，如果模擬分子與邊界發(fā)生相互作用則進行相應處理；然后計算模擬分子之間的碰撞。DSMC方法采用幾率論而不是決定論的方法計算模擬分子間的碰撞，因而能夠大大減少計算時間。整個計算是一個時間過程，從非定常向定常發(fā)展。最后對各模擬分子的物理量統(tǒng)計平均得到所需的宏觀流動參量。分子碰撞模型的研究進展2.1分子碰撞模型的研究DSMC方法中，最簡單的分子模型是硬球模型，它由Bird于1976年提出，隨后，還提出了逆冪律分子模型以及Maxwell分子模型。由于真實氣體流動條件下，分子的碰撞截面是隨著相對速度而改變的，這樣才能保證μ與溫度T的關系與實際氣體中一致。而上述任何一種分子模型都不同時具有有限的碰撞截面又能實現(xiàn)粘性與溫度的依賴關系，為此，Bird提出了變徑硬球模型（VariableHardSphere，簡稱VHS），在此模型假設下，分子具有和硬球一樣的均勻散射幾率，但它的碰撞截面像逆冪律分子一樣是分子間相對速度的函數(shù)，這樣導出的粘性系數(shù)隨溫度的一定冪次變化，滿足真實氣體所表現(xiàn)出來的規(guī)律。但由于VHS模型沒有考慮氣體分子的散射非對稱性，這導致在考慮多組元混合氣體中擴散起重要作用的情況下，VHS模型會給出與實際偏離較大的結果。Koura和Matsumoto提出了變徑軟球模型（VariableSoftSphe簡稱VSS），克服了VHS模型的這一缺陷。雖然VHS與VSS模型用逆冪率作用勢取代了硬球分子，但它用單純的排斥力來描述分子間的作用。對于再入流場，溫度變化很大，粘性對溫度的依賴靠一個方冪已不能完全描述。分子間的相互作用，除了近距離的排斥力外在較大分子間距處吸引力也顯現(xiàn)出來。為了在DSMC模擬中能夠同時再現(xiàn)分子間的排斥與吸引的作用勢，Hassan和Hash提出了概念化硬球模型（GHS），是對VHS模型和VSS模型概念的一種推廣，包含了同時具有吸引和排斥的分子間作用力。它的散射率與硬球模型相同，但其總碰撞截面與碰撞中的相對動能反映出了吸引排斥作用勢。結合VSS模型的散射率與GHS的碰撞面，文獻建議了概念化軟球模型（GeneralizedSoftSphere，簡稱GSS）。用GSS模型計算出的粘性系數(shù)、自擴散系數(shù)和擴散系數(shù)在整個溫度變化范圍給出與實驗數(shù)據(jù)相符很好的結果。而VHS，VSS與GHS模型在低溫和過高溫度下則與實驗數(shù)據(jù)有一定的差距，GSS模型在低溫和極性分子的情況下是特別有意義的。文獻在前人基礎上，提出了GSS-3分子碰撞模型，能夠給出正確的氣體輸運性質。2.2碰撞抽樣幾率函數(shù)的研究在氣體分子碰撞對的抽樣方面，Bird首先提出了“時間計數(shù)器”方法（TC），該方法具有較高的效率而且同時保證了在較大網(wǎng)格分子數(shù)下正確的碰撞頻率。但在極度非平衡的情況下，如強激波的前緣問題，由于碰撞概率與網(wǎng)格推進的時間關系，，偶然中選但具有很小幾率的碰撞，即較小的，會使網(wǎng)格推進的時間過大，導致計算碰撞對的減少，從而使碰撞頻率發(fā)生畸變。Koura給出了“零碰撞”方法，可以克服TC方法的這一缺陷且不耗費較多的時間，但是不利于計算機的向量化計算。Bird建議的非時間計數(shù)器法（NTC）在保持了TC法效率的同時，克服了TC法中的困難，并且可以在程序碰撞過程開始之前事先算出網(wǎng)格單元內的碰撞數(shù)，而且使得DSMC方法能夠實現(xiàn)向量化計算，所以這種方法在今天被廣泛的應用。2.3內能激發(fā)與化學反應模擬的研究DSMC模擬中，一般采用Larsen-Bergnakke（L-B）模型模擬分子在碰撞中能量的交換及分配，保證內能的激發(fā)和松弛速率與實驗所給出的結果一致。但是由于振動自由度為溫度的函數(shù)，在采用模型分配碰撞中的各種能量時存在奇異性，因此文獻發(fā)展了一種推廣的積累分布－取舍聯(lián)合抽樣法，給出了有單奇異和雙奇異性分布的抽樣方法，克服了L-B模型的困難。在DSMC方法的模擬中，化學反應通常是與分子內自由度松弛過程耦合在一起的。Bird認為分子與分子碰撞時，以一定的幾率發(fā)生化學反應，并提出了處理化學反應的位阻因子概念，其值代表 在上式中，隨碰撞對的選擇變化，是的函數(shù)，其它量不依賴于碰撞對的選擇。由于網(wǎng)格單元內的真實分子數(shù)是，平均模擬分子數(shù)，因此在DSMC中，通過式(2.9)需要計算網(wǎng)格內可能碰撞對的數(shù)目為。由于碰撞幾率在一般情況下是非常小的量，碰撞數(shù)幾乎正比于網(wǎng)格中分子數(shù)的平方，因此如果按的計算式逐個考察所有個碰撞對，則計算效率必定非常低。為了提高效率Bird建議僅需考慮所有碰撞對的一部分并同時將按相同的分數(shù)加以放大，如果該分數(shù)能夠使最大的概率為1則計算效率為最高，因此理想的分數(shù)即為最大碰撞概率 通過與的乘積可以得到所需考察的碰撞對數(shù)。然而在多數(shù)情況下網(wǎng)格單元數(shù)是波動量，由于平方的平均不同于平均的平方，因此應當被瞬時量與時間平均或系統(tǒng)平均的乘積代替。由以上討論可得NTC方法中需要考察的分子碰撞對數(shù)及碰撞幾率的表達式 該方法到多組元混合氣體的推廣是直接簡單的，在混合氣體中，網(wǎng)格單元內組元與組元碰撞需要考察的數(shù)量與碰撞幾率分別為 碰撞計算由于在碰撞過程中不存在外力，碰撞的雙分子體系遵循質量、動量和能量守恒定律。記為分子和分子的簡并質量，為碰撞分子的相對運動速度，為碰撞分子的質心速度，則 根據(jù)質量和動量守恒定律有 其中上標“′”表示碰撞后的物理量。可見氣體分子間無論發(fā)生何種類型的碰撞，分子體系的質心速度都將保持不變。無反應碰撞分子的能量守恒方程為 其中為碰撞分子的相對平動動能。從上式可見，如果碰撞分子之間不發(fā)生化學反應，分子能量僅在相對平動能與分子內能之間傳遞。記為碰撞后分子相對運動速度的方向單位矢量，由于相對運動速率可由能量守恒方程確定得到，于是只需確定?？紤]到分子碰撞的隨機性之后，Bird根據(jù)所提出的“可變硬球模型”構造了確定的方法為 其中，和為Euler角，由隨機抽樣確定。其抽樣方法為 式中，、為隨機數(shù)。由此可見Bird散射模型是一種球對稱模型，認為相對運動速度方向是以球對稱形式散射的。由能量守恒方程可確定得到碰撞后分子相對運動速度的模值，然后抽樣得到相對運動速度的方向矢量，于是可得碰撞后單個分子的運動速度為 分子碰撞中能量的交換在DSMC中，處理分子碰撞中能量交換的常用模型是由Larsen和Bergnakke引入的唯象論模型。其中心思想是假設碰撞中的相對平動能和內能遵守能量守恒，碰撞后的內能按照動能和內能組合的平衡分布取值，而能量松弛過程的速率通過調節(jié)彈性碰撞和非彈性碰撞的比例加以確定，使其滿足實驗的結果。這里給出混合氣體中不同組分的分子間Larsen-Bergnakke模型在VHS或VSS模型下的實現(xiàn)過程。在混合氣體中組分1與組分2碰撞對的總內能為 組分1和組分2的內能分布函數(shù)滿足 組分1的內能到，組分2的內能到的比分為 先固定，此時，對從0積分到得到總內能從到的比分正比于 如果對于不同組分可以定義出一個粘性系數(shù)的溫度冪指數(shù)，則碰撞中的平動能的分布函數(shù)可以寫為 由上述方程可以得到在碰撞中的總能量中平動能的分布函數(shù)正比于，由于由所決定，因此為常數(shù)，所以指數(shù)項是常數(shù)，碰撞中的平動能分布正比于 在碰撞中總能量保持不變。在非彈性碰撞中，碰撞后的平動能量和內能從下式用取舍法進行取樣 碰撞后的內能在兩個分子間的分布按照下式用取舍法進行取樣 在上式討論中，假定了內能包括所有的內能模式。實際上可以對各個模式的內能依次與碰撞中的平動能用L-B模型進行重新分配，結果與所有內能模式一起與碰撞平動能進行再分配是一樣的。參考文獻[1]黃飛，靳旭紅，趙波，程曉麗，沈清.大尺度網(wǎng)格下DSMC仿真碰撞概率的修正方法.計算力學學報，2015，1:21-26.[2]任兵，石于中.求解化學非平衡駐點線流動的分子碰撞傳能模式的DSMC研究.高科技研究中的數(shù)值計算學術交流會，1995.[3]黃飛，程曉麗，沈清.一種基于自適應碰撞距離的DSMC虛擬子網(wǎng)格方法.全國流體力學數(shù)值方法研討會，2013，506-510.[4]Bird,G.A.Approachtotranslationalequilibriuminarigidspheregas.PhysicsofFluids,6:1518.[5]G.A.