河北省邯鄲市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案】

邯鄲市2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)班級(jí)___________姓名___________注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.有三組數(shù)據(jù)（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9.設(shè)它們的方差依次為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方差的定義計(jì)算可得【詳解】數(shù)據(jù)（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7的平均數(shù)和方差分別為（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8的平均數(shù)和方差分別為；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9的平均數(shù)和方差分別為所以故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，非零復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.一?三象限 B.二?四象限C.實(shí)軸上（除原點(diǎn)外） D.坐標(biāo)軸上（除原點(diǎn)外）【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)得到，得到答案.【詳解】設(shè)，由已知得，即，,故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一?三象限角平分線（除原點(diǎn)）上.故選：A.3.已知向量，且，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再利用夾角公式計(jì)算得解.【詳解】由，得，解得，由，，因此，而，所以.故選：C4.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離可求解，即可利用余弦定理以及同角關(guān)系即可求解，或者利用正弦的和差角公式求解.【詳解】方法一：由，知，由余弦定理知，所以，故選:A.方法二：如圖，由，知，，故選{A.5.設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為假命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行、線面垂直性質(zhì)判斷各項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由可得，又，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由可得或，由線面平行性質(zhì)知，存在直線滿足，又，所以，即平面經(jīng)過平面的垂線，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)，由可得，當(dāng)且滿足時(shí)，不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由，可得，又，則β內(nèi)一定存在直線和l平行，設(shè)為b，則，所以，故D正確；故選：C6.在中，，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】在中，由余弦定理知為直角三角形，又，故是的外心且是斜邊的中點(diǎn)，為正三角形，由投影向量的幾何意義，向量在向量上的投影向量即為向量=.故選C.7.在三棱錐中，平面，若該三棱錐的體積為，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，則三棱錐和三棱柱的外接球相同再應(yīng)用三棱柱幾何特征結(jié)合正弦定理求出外接球半徑，最后求出球的表面積即可.【詳解】如圖，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，則三棱錐和三棱柱的外接球相同，設(shè)分別為和的外心，則三棱柱的外接球球心為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，由正弦定理可得，所以，由，即，可得，則，則外接球的表面積.故選：B.8.甲?乙兩人各有一枚質(zhì)地均勻的硬幣，甲拋擲2次，乙拋擲3次，事件“甲拋擲的兩次中第一次正面朝上”，事件“甲拋擲的兩次硬幣朝上的面相同”，事件“甲得到的正面數(shù)比乙得到的正面數(shù)少”，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于AB，利用列舉法分析判斷，對(duì)于CD，方法一：利用列舉法分析判斷，方法二：利用反證法分析判斷.【詳解】用表示甲第次拋擲的結(jié)果，那么甲拋擲兩次的結(jié)果可以用表示.用1表示正面向上，0表示反面向上，則樣本空間，所以不是的子集，所以AB錯(cuò)誤，對(duì)于事件，方法一：借助表格列舉如下，√√√√√√√√√√√√√√√√，又，所以C錯(cuò)誤，D正確，方法二：設(shè)事件“甲得到的反面數(shù)比乙得到的反面數(shù)少”，則，下證事件與事件對(duì)立.若事件與事件同時(shí)發(fā)生，那么甲的正面數(shù)和反面數(shù)都比乙的少，那么甲拋的次數(shù)至少比乙少兩次，與題目矛盾；若事件與事件都不發(fā)生，那么甲的正面數(shù)和反面數(shù)都不比乙的少，那么甲拋的次數(shù)不比乙少，與題目矛盾；故事件與事件對(duì)立，所以，因?yàn)椋訡錯(cuò)誤，D正確，故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求?全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，9.已知非零向量，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，且∥，則D.若，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：分析可知，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于B：分析可知同向共線，進(jìn)而可得數(shù)量積；對(duì)于C：設(shè)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；對(duì)于D：設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榫鶠榉橇阆蛄浚瑢?duì)于選項(xiàng)A：若，即，可知，無法得出，例如，滿足，但不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由知同向共線，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)榍摇危O(shè)，又因?yàn)?，則，解得所以或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)與垂直單位向量的坐標(biāo)為，由題意可得，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，故D錯(cuò)誤，故選：ACD.10.已知復(fù)數(shù)均不為0，則下列式子正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)特殊值法判斷A，C選項(xiàng)，根據(jù)模長性質(zhì)判斷B，D選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，故A錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)，故B正確；設(shè)，則，而，故C錯(cuò)誤；，又，所以，故D正確.故選:BD.11.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知為線段上一點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.為鈍角三角形B.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍C.若為中點(diǎn)，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】由正弦定理可得，由余弦定理求最大角和最小值，結(jié)合二倍角公式，判斷A、B；由，平方得，可判定C；由，可得，判斷D.【詳解】由題知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，由正弦定理可知，不妨設(shè)，則，對(duì)于A，由上知為最大邊，故為最大角，由余弦定理知，故為銳角，所以為銳角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由上知為最小角，且，又，知，且均為銳角，則，故B正確；對(duì)于，平方得，又，故，故C正確；對(duì)于D，由，得，又，所以，由，即，故，故D正確，故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某校高一年級(jí)有1250人，全年級(jí)學(xué)生的近視率為，男生中有390人近視.學(xué)校醫(yī)務(wù)室計(jì)劃通過抽樣的方法估計(jì)高一年級(jí)所有近視學(xué)生的平均度數(shù).現(xiàn)從近視的學(xué)生中通過按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法得到容量為100的樣本，樣本中男生的平均度數(shù)為300度，女生的平均度數(shù)為350度，則估計(jì)高一年級(jí)近視學(xué)生的平均度數(shù)為___________度.【答案】【解析】【分析】首先求出高一年級(jí)女生近視人數(shù)，再計(jì)算平均數(shù)即可.【詳解】依題意高一年級(jí)女生近視人數(shù)為，則高一年級(jí)近視學(xué)生的平均度數(shù)為.故答案為：13.在如圖所示的圓錐中，為底面圓的直徑，為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.【答案】##0.5【解析】【分析】結(jié)合圓錐的特征先找到異面直線所成的角，再結(jié)合余弦定理計(jì)算角的余弦值即可.【詳解】如圖，連接，分別取的中點(diǎn)，連接，則，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，作于點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)可得，且，而，則，由余弦定理可得，則，則異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.14.已知是同一平面內(nèi)一組不共線的向量，對(duì)于平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，且當(dāng)共線時(shí)，有.同樣，在空間中若三個(gè)向量不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的在度實(shí)數(shù)組，使得，目當(dāng)共面時(shí)，有.如圖，在四棱錐中，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)?與平面交于點(diǎn)，設(shè)，則___________；___________.【答案】①.②.【解析】【分析】方法一：表達(dá)出，，根據(jù)三點(diǎn)共線得到方程，求出，根據(jù)得到方程，求出，從而求出答案；方法二：作出輔助線，由三角形相似得到，，表達(dá)出，，故，求出答案.【詳解】方法一：，，又三點(diǎn)共線，即存在實(shí)數(shù)，使得，故，又，所以，所以，故，；方法二：過作，延長交于點(diǎn)，，連接，與的交點(diǎn)即為，由三角形相似可得，，故，.故答案為：，2四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.為響應(yīng)“強(qiáng)化學(xué)校體育工作，推動(dòng)學(xué)生文化學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展”的號(hào)召，現(xiàn)從某學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，獲得了他們一周體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：），將數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的，并估計(jì)該校學(xué)生一周體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)；（2）為鼓勵(lì)同學(xué)們積極參加體育運(yùn)動(dòng)，學(xué)校計(jì)劃對(duì)一周運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長的前同學(xué)給予獎(jiǎng)勵(lì)，若小華一周體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9.4小時(shí)，他能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)？請(qǐng)說明理由.【答案】（1），（2）小華不能獲得獎(jiǎng)勵(lì)，理由見解析【解析】【分析】（1）先補(bǔ)全頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖百分位數(shù)的計(jì)算.【小問1詳解】該校學(xué)生一周體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值為.【小問2詳解】不能，理由如下：因?yàn)榈念l率為，的頻率為，設(shè)前位數(shù)為，則，所以，解得，故小華不能獲得獎(jiǎng)勵(lì).16.如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若三棱柱的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則利用三角形的中位線定理可證得，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由棱柱的體積可求得，由已知條件可證得平面，則為直線與平面所成角，然后在中求解即可.【小問1詳解】證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危詾榈闹悬c(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，所以，得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，所以直線與平面所成角，因?yàn)樵谥?，，，所?17.如圖，在平面四邊形中，設(shè).（1）求，（2）若，求為何值時(shí)，平面四邊形的面積最大？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為角，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系得出即可求解；（2）設(shè)，由三角形面積公式及三角恒等變換化簡，根據(jù)正弦型函數(shù)的最值求法得解.【小問1詳解】由已知及正弦定理知，因?yàn)椋?，又，所以，所?【小問2詳解】由（1）知，又，故為等邊三角形，設(shè).，在中，由余弦定理知，所以，又，所以當(dāng)，即時(shí)，平面四邊形面積最大，最大值為.18.龍年春晚精彩的魔術(shù)表演激發(fā)了人們探秘魔術(shù)的熱情，小明從一幅撲克牌中挑出10和共8張牌（每個(gè)數(shù)字四個(gè)花色：紅桃（紅色）?方塊（紅色）?黑桃（黑色）?梅花（黑色））.現(xiàn)從8張牌中依次取出2張，抽到一張紅10和一張紅即為成功.現(xiàn)有三種抽取方式，如下表：方式①方式②方式③抽取規(guī)則有放回依次抽取不放回依次抽取按數(shù)字等比例分層抽取成功概率（1）分別求出在三種不同抽取方式下的成功概率；（2）若三種抽取方式小明各進(jìn)行一次，（i）求這三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii）設(shè)在三種方式中僅連續(xù)兩次成功的概率為，那么此概率與三種方式的先后順序是否有關(guān)？如果有關(guān)，什么樣的順序使概率最大？如果無關(guān)，請(qǐng)給出簡要說明.【答案】（1），，（2）（i）；（ii）有關(guān)，按方式②③①或①③②抽取概率最大【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意計(jì)算出三種抽取方式下所有情況數(shù)，再列舉出抽到一張紅10和一張紅的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可；（2）（i）根據(jù)對(duì)立事件的概率公式求解即可；（ii）方法一：設(shè)三次抽取成功的概率分別為，則，化簡根據(jù)的大小可得結(jié)論；方法二：分別求出每種順序下的概率，比較可得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)方式①的樣本空間為，方式②的樣本空間為，方式③的樣本空間為，則，設(shè)事件“抽到一張紅10和一張紅”，（紅桃10，紅桃），（紅桃10，方塊），（方塊10，紅桃），（方塊10，方塊），（紅桃，紅桃10），（方塊，紅桃10），（紅桃，方塊10），（方塊，方塊10），故.【小問2詳解】（i）記三次抽取至少有一次成功為事件，則.（ii）有關(guān)，按方式②③①或①③②抽取概率最大.方法一：設(shè)三次抽取成功的概率分別為（即為不同順序的一個(gè)排列），則，又，故此概率與三種方式的先后順序有關(guān)，按方式②③①或①③②抽取概率最大.方法二：若按①②③的順序，，同理①③②、②①③?②③①?③①②、③②①順序下的概率分別為，故此概率與三種方式的先后順序有關(guān)，按方式②③①或①③②抽取概率最大.19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點(diǎn)在棱上.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的正切值；（3）過且與都平行的平面分別交于，若，當(dāng)在線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（含三等分點(diǎn)），求四邊形面積的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2