山東省棗莊市輔仁高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月月考 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

輔仁高級(jí)中學(xué)4月月考高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．的虛部為（

）A． B． C．0 D．2．已知平面向量，，，則（

）A．6 B． C． D．3．若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．已知平面向量，，那么在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）．A． B．C． D．5．在中，已知，，，則等于（）A． B． C．2 D．16．已知一個(gè)直三棱柱，其底面是正三角形，一個(gè)體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是A． B． C． D．7．如圖是一座山的示意圖，山體大致呈圓錐形，且圓錐底面半徑為2km，山高為，B是母線SA上一點(diǎn)，且.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡.當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為（

）

A． B．3km C．3.6km D．8．已知在中，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若，點(diǎn)在線段上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9．已知復(fù)數(shù)，是方程的兩根，則（

）A． B．C． D．10．下列說法中正確的（

）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．非零向量，，滿足且與同向，則D．非零向量和，滿足，則與的夾角為11．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則該三角形周長(zhǎng)的最大值為6C．若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為D．設(shè)，且，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為．13．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為．14．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b=4，c=6，且，則角A=；若角A的平分線為AD，則線段AD的長(zhǎng)為.15．已知，，求：(1)；(2).16．已知復(fù)數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)．17．如圖，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，設(shè)，，，，且，與交于點(diǎn).(1)求；(2)若點(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn)，連接，求的取值范圍.18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求的面積．19．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足(1)設(shè)，，過B作BD垂直AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn)，求的值；(2)若為銳角三角形，，求面積的取值范圍．1．D【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得的虛部.【詳解】，所以的虛部是.故選：D2．C【分析】直接由向量平行的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故選：C.3．A【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為一般形式，利用復(fù)數(shù)的基本概念可得出關(guān)于實(shí)數(shù)所滿足的等式，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，由于該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)數(shù)的基本概念求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．C【分析】由投影向量的公式以及向量數(shù)量積和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】平面向量，，在上的投影向量為，所以在上的投影向量的坐標(biāo)是.故選：C5．A【分析】利用正弦定理即可求得.【詳解】由正弦定理，,解得.故選：A6．B【詳解】、此棱柱為正棱柱，體積的球體半徑為1，由此可以得到三棱柱的高為2，底面正三角形內(nèi)切圓的半徑為1，故底面三角形高為3邊長(zhǎng)為，所以正三棱柱的表面積【點(diǎn)睛】本題考查了球的體積，柱體體積公式的應(yīng)用；本題的解題關(guān)鍵是求底面邊長(zhǎng)，這是通過正三角形的內(nèi)切圓與邊長(zhǎng)的關(guān)系得出的．7．C【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合圖象，求最小值．【詳解】由題意，半徑為，山高為，則母線，底面圓周長(zhǎng)，所以展開圖的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開圖，

結(jié)合題意，，由點(diǎn)向引垂線，垂足為點(diǎn)，此時(shí)為點(diǎn)和線段上的點(diǎn)連線的最小值，即點(diǎn)為公路的最高點(diǎn)，段即為下坡路段，則，即，得下坡路段長(zhǎng)度為．故選：C.8．A【解析】如圖設(shè)，，則，即可得到，從而求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：如圖設(shè)，則則故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算及向量相等，屬于中檔題.9．BD【分析】解方程可得與，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【詳解】由，得，，故，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10．BD【分析】由向量的數(shù)量積即向量的夾角的知識(shí)可判斷A的正誤；由向量的基本定理可判斷B的正誤；由向量的定義可判斷C的正誤；由平面向量的基本定理與向量的夾角等基本知識(shí)可判斷D的正誤．【詳解】對(duì)于A，，，且與的夾角為銳角，，且（時(shí)，與的夾角為），所以且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對(duì)于C，向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，兩邊平方得，，又，則，，故，而向量的夾角范圍為，所以和的夾角為，故D正確．綜上，正確的選項(xiàng)為BD．故選：BD．11．BCD【分析】A選項(xiàng)，利用正弦定理和三角恒等變換得到，從而得到，求出，A正確；B選項(xiàng)，由余弦定理結(jié)合基本不等式求出周長(zhǎng)的最值；C選項(xiàng)，利用三角形面積公式，得到，，利用余弦定理及基本不等式求出，從而求出，C正確；D選項(xiàng)，變形為，兩邊平方后得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最值.【詳解】A選項(xiàng)，，由正弦定理可得：，而，故，因?yàn)榍椅挥诜帜肝恢?，故，所以，又，所以，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知：，由余弦定理得：，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以周長(zhǎng)的最大值為6，故B正確；C選項(xiàng)，結(jié)合三角形面積公式得，，，則，又因?yàn)?，所以，結(jié)合余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，所以的最大值為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，即，，兩邊平方并化?jiǎn)得，即，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值12．2【分析】由復(fù)數(shù)的概念列方程組求解即可.【詳解】由于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，所以，解得，故答案為：2.13．【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，得到底面面積為，周長(zhǎng)為，高為，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，進(jìn)而求得圓錐的表面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐底面圓面積為，周長(zhǎng)為，高為，可得，解得，所以該圓錐的表面積為．故答案為：.14．【分析】根據(jù)正弦定理求出，求出的值即可，結(jié)合正弦定理以及余弦定理求出即可．【詳解】解：由，，由正弦定理，，，，或，是銳角三角形，，如圖示：平分，由正弦定理得：，，，，，，，，，在中，，，在中，，，故答案為：，．15．(1)(2)5【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式計(jì)算即得；（2）先計(jì)算出的坐標(biāo)，再求其模長(zhǎng)即得.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以；?）因?yàn)?，，則，于是.16．（Ⅰ）;（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（Ⅰ）復(fù)數(shù)的實(shí)部為0,虛部不為0．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．先將整理即分母兩復(fù)數(shù)做加法,分子完全平方,之后再分母實(shí)數(shù)化即分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解得，即時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，17．(1)；(2).【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算表示，，根據(jù)向量垂直的條件求得，繼而可求得；（2）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)點(diǎn)，且，，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：，，又，所以，所以，由得，所以.所以；（2）解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，，，，，，又點(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且，則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值：，當(dāng)或時(shí)，取得最小值：，所以的取值范圍為.18．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）首先求出，再利用正弦定理求出，再由兩角和的正弦公式求出，最后由面積公式計(jì)算可得；【詳解】（1）解：因?yàn)?，由余弦定理可得，即，所以．因?yàn)椋裕?）解：由于，所以，由正弦定理，即，解得，又，所以的面積為．19．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出，進(jìn)而由余弦定理求出，利用三角形面積公式得，利用平面