2024年高中數(shù)學(xué)專題9-1重難點(diǎn)題型培優(yōu)精講隨機(jī)抽樣學(xué)生版新人教A版必修第二冊

專題9.1隨機(jī)抽樣1．抽樣調(diào)查的必要性(1)相關(guān)概念名稱定義全面調(diào)查（普查）對每一個調(diào)查對象都進(jìn)行調(diào)查的方法.抽樣調(diào)查依據(jù)確定目的，從總體中抽取一部分個體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的狀況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法.總體調(diào)查對象的全體.個體從總體中抽取的那部分個體.樣本從總體中抽取的那部分個體.樣本量樣本中包含的個體數(shù).(2)抽樣的必要性

普查往往須要花費(fèi)大量的財(cái)力、物力，而抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、效率高的特點(diǎn).另外，在有些調(diào)查中，抽樣調(diào)查則具有不行替代的作用，比如：

①一些個體具有破壞性.如不行能對全部的炮彈都進(jìn)行試射檢驗(yàn)其是否合格.

②一些檢測具有毀損性.如不行能把地里全部的種子都挖出來檢驗(yàn)其是否發(fā)芽.2．簡潔隨機(jī)抽樣(1)簡潔隨機(jī)抽樣的概念一般地，設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取n個個體作為樣本，假如抽取是放回的,且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡潔隨機(jī)抽樣；假如抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡潔隨機(jī)抽樣.放回簡潔隨機(jī)抽樣和不放回簡潔隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡潔隨機(jī)抽樣.通過簡潔隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡潔隨機(jī)樣本.(2)（不放回）簡潔隨機(jī)抽樣的特征①有限性：簡潔隨機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體中所含個體的個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進(jìn)行分析.

②逐一性：簡潔隨機(jī)抽樣是從總體中逐個地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作.

③不放回性：簡潔隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算.

④等可能性：簡潔隨機(jī)抽樣中各個個體被抽到的可能性(機(jī)會)都相等(與第幾次抽取無關(guān))，從而保證了抽樣的公允性.3．兩種常見的簡潔隨機(jī)抽樣方法(1)抽簽法

一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，然后把全部編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些號簽放在一個不透亮的盒，充分?jǐn)嚢瑁罱K從盒中不放回

地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所須要的數(shù)量.(2)隨機(jī)數(shù)法

先把總體中的N個個體編號，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1~N范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號，使與編號對應(yīng)的個體進(jìn)入樣本.重復(fù)上述過程，直到抽足樣本所須要的數(shù)量.假如生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號并重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個數(shù)等于樣本所須要的數(shù)量.(3)兩種抽樣方法的優(yōu)缺點(diǎn)抽樣方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)適用范圍抽簽法簡潔易行.總體量較大時，操作起來比較麻煩.適用于總體中個體數(shù)不多的情形.隨機(jī)數(shù)法簡潔易行，它很好地解決了總體量較大時用抽簽法制簽困難的問題.總體量很大，樣本量也很大時，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不便利.總體量較大，樣本量較小的情形.4．總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)(1)概念名稱定義總體均值（總體平均數(shù)）一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱為總體均值，又稱總體平均數(shù).假如總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i=1，2，…，k），則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式.樣本均值（樣本平均數(shù)）假如從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).說明：(1)在簡潔隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)；(2)總體平均數(shù)是一個確定的數(shù)，樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性（因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性）；(3)一般狀況下，樣本量越大，估計(jì)越精確.(2)求和符號的性質(zhì)

①；

②，其中k為常數(shù).5．分層隨機(jī)抽樣(1)分層隨機(jī)抽樣的必要性

簡潔隨機(jī)抽樣是使總體中每一個個體都有相等的機(jī)會被抽中，但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，有可能會出現(xiàn)比較“極端”的樣本，從而使得估計(jì)出現(xiàn)較大的誤差，這時候我們可以考慮實(shí)行一種新的抽樣方法——分層隨機(jī)抽樣.(2)分層隨機(jī)抽樣的概念一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡潔隨機(jī)抽樣，再把全部子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層.(3)比例支配在分層隨機(jī)抽樣中，假如每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的支配方式為比例支配.即

①=；

②=.(4)分層隨機(jī)抽樣的步驟(5)分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)①適用于由差異明顯的幾部分(即層)組成的總體；

②分成的各層互不重疊；

③各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即，其中n為樣本容量，N為總體容量;

④分層隨機(jī)抽樣使樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且在各層抽樣時，又可靈敏地選用不同的隨機(jī)抽樣方法.6．分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算在分層隨機(jī)抽樣中，假如層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層、第2層的總體平均數(shù)分別為，，第1層、第2層的樣本平均數(shù)分別為，，總體平均數(shù)為，樣本平均數(shù)為，則==+.

由于用第1層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)，用第2層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù)，因此可以用=+估計(jì)總體平均數(shù).

又==，

所以+=+=.

因此，在比例支配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以干脆用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù).7．獲得數(shù)據(jù)的途徑(1)通過調(diào)查獲得數(shù)據(jù)

我們一般通過抽樣調(diào)查或普查的方法獲得數(shù)據(jù).

(2)通過試驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)

沒有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢時，就須要通過對比試驗(yàn)的方法去獲得樣本觀測數(shù)據(jù).

(3)通過視察獲得數(shù)據(jù)

自然現(xiàn)象只能通過許久的持續(xù)視察獲得數(shù)據(jù).

(4)通過查詢獲得數(shù)據(jù)

通過收集前人的勞動成果并加以利用，從而削減收集數(shù)據(jù)的成本.【題型1抽樣方法的選取】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)幾種抽樣方法的特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)，結(jié)合具體的樣本，選取合適的抽樣方法.【例1】（2024秋·四川綿陽·高二期末）現(xiàn)須完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡在超過30歲不超過60歲的有270人，60歲以上的有90人，為了解居民對社區(qū)環(huán)境綠化方面的看法，擬抽取一個容量為30的樣本.較為合理的抽樣方法分別為（

）A．①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣 B．①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣C．①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法 D．①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)法【變式1-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）某校為了了解高二學(xué)生的身高狀況，打算在高二年級12個班中抽取3個班，再按每個班男女生比例抽取樣本，正確的抽樣方法是（

）A．簡潔隨機(jī)抽樣 B．先用分層抽樣，再用隨機(jī)數(shù)表法C．分層抽樣 D．先用抽簽法，再用分層抽樣【變式1-2】（2024秋·上海浦東新·高二期末）現(xiàn)要完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從盒餅干中抽取4盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某中學(xué)共有360名教職工，其中一般老師280名，行政人員55名，后勤人員25名，為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的看法，擬抽取一個容量為72的樣本，較為合理的抽樣方法是（

）A．①簡潔隨機(jī)抽樣，②分層抽樣B．①簡潔隨機(jī)抽樣，②簡潔隨機(jī)抽樣C．①分層抽樣，②分層抽樣D．①分層抽樣，②簡潔隨機(jī)抽樣【變式1-3】（2024秋·陜西榆林·高二階段練習(xí)）某公司有160名員工，其中研發(fā)部120名，銷售部16名，客服部24名，為調(diào)查他們的收入狀況，從中抽取一個容量為20的樣本，較為合適的抽樣方法是（

）A．簡潔隨機(jī)抽樣 B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣 D．其他抽樣【題型2抽簽法的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】一個抽樣能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制作號簽是否便利，二是號簽是否簡潔被攪拌勻整.一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較少時可用抽簽法，然后依據(jù)抽簽法的步驟進(jìn)行抽樣即可.【例2】（2024·全國·高一專題練習(xí)）某校高一共有10個班，編號1至10，某項(xiàng)調(diào)查要從中抽取三個班作為樣本，現(xiàn)用抽簽法抽取樣本，每次抽取一個號碼，共抽3次，設(shè)五班第一次抽到的可能性為a，其次次被抽到的可能性為b，則()A．a(chǎn)＝310，b＝29 B．a(chǎn)＝110，C．a(chǎn)＝310，b＝310 D．a(chǎn)＝110，【變式2-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的是（

）A．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B．從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)【變式2-2】（2024·高一單元測試）甲、乙、丙三位同學(xué)爭著去參加一個公益活動．抽簽確定誰去．那你認(rèn)為抽到的概率大的是（

）．A．先抽的概率大些B．三人的概率相等C．無法確定誰的概率大D．以上都不對【變式2-3】（2024·全國·高一專題練習(xí)）在對101個人進(jìn)行一次抽樣時，先接受抽簽法從中剔除一個人，再在剩余的100中隨機(jī)抽取10人，那么下列說法正確的是（

）A．這種抽樣方法對于被剔除的個體是不公允的，因?yàn)樗麄兪チ吮怀榈降臋C(jī)會B．每個人在整個抽樣過程中被抽到的機(jī)會均等，因?yàn)槊總€人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的機(jī)會也是均等的C．由于接受了兩步進(jìn)行抽樣，所以無法推斷每個人被抽到的可能性是多少D．每個人被抽到的可能性不相等【題型3隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】隨機(jī)數(shù)法的步驟：(1)編號；(2)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；(3)選號；(4)確定樣本.【例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某工廠為了對40個零件進(jìn)行抽樣調(diào)查，將其編號為00，01，…，38，39.現(xiàn)要從中選出5個，利用下面的隨機(jī)數(shù)表，從第一行第3列起先，由左至右依次讀取，則選出來的第1個零件編號是（

）A．36 B．16 C．11 D．14【變式3-1】（2024·全國·高一學(xué)業(yè)考試）總體有編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取3個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字起先由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第3個個體的編號為（

）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．02 C．63 D．14【變式3-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）2019年9月14日，女排世界杯在日本拉開帷幕，某網(wǎng)絡(luò)直播平臺開通觀眾留言渠道，為中國女排加油.現(xiàn)該平臺欲利用隨機(jī)數(shù)表法從編號為01、02、…、25的號碼中選取5個幸運(yùn)號碼，選取方法是從下方隨機(jī)數(shù)表第1行第24列的數(shù)字起先，從左往右依次選取2個數(shù)字，則第5個被選中的號碼為（

）A．09 B．13 C．23 D．24【變式3-3】（2024春·陜西渭南·高一期末）要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取50袋進(jìn)行檢驗(yàn)，將它們編號為000、001、002、?、499，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本，從第8行第5列的數(shù)起先，按3位數(shù)依次向右讀取，到行末后接著從下一行第一個數(shù)接著．則第三袋牛奶的標(biāo)號是（

）（下面摘取了某隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行）A．358 B．169 C．455 D．206【題型4樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)】【方法點(diǎn)撥】在簡潔隨機(jī)抽樣中，依據(jù)樣本平均數(shù)和總體平均數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行求解即可.【例4】（2024·全國·高一專題練習(xí)）有4萬個不小于70的兩位數(shù)，從中隨機(jī)抽取了3000個數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：數(shù)據(jù)%70≤x≤7980≤x≤8990≤x≤99個數(shù)8001300900平均數(shù)78.18591.9請依據(jù)表格中的信息，估計(jì)這4萬個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（

）A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97【變式4-1】（2024·高一課時練習(xí)）已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70.現(xiàn)發(fā)覺在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90，在對錯誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得的樣本平均數(shù)為x，則（

）A．x=70 B．x>70 C．x<70【變式4-2】（2024·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）某樣本平均數(shù)為a，總體平均數(shù)為m，那么（

）A．a(chǎn)=m B．a(chǎn)>m C．a(chǎn)<【變式4-3】（2024春·河南濮陽·高一期末）為了合理調(diào)配電力資源，某市欲了解全市50000戶居民的日用電量.若通過簡潔隨機(jī)抽樣從中抽取了300戶進(jìn)行調(diào)查，得到其日用電量的平均數(shù)為5.5kW?hA．確定為5.5kW?h B．高于5.5kW【題型5分層隨機(jī)抽樣中的相關(guān)運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】在分層隨機(jī)抽樣中，確定抽樣比k是抽樣的關(guān)鍵.一般地，按抽樣比(N為總體容量，n為樣本容量)在各層中抽取個體，就能確保抽樣的公允性.留意在每層抽樣時，應(yīng)靈敏接受簡潔隨機(jī)抽樣的方法.【例5】（2024春·江西·高三開學(xué)考試）2024年12月9日15時40分，“天宮課堂”第一課起先，神舟十三號乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富在中國空間站進(jìn)行太空授課.某中學(xué)組織全校學(xué)生觀看了此次授課，三位太空老師介紹展示了中國空間站的工作生活場景，演示了微重力環(huán)境下細(xì)胞學(xué)試驗(yàn)、物理運(yùn)動、液體表面張力等現(xiàn)象，并與地面課堂進(jìn)行了實(shí)時溝通，極大地激發(fā)了學(xué)生探究科學(xué)的愛好.為了解同學(xué)們對“天宮課堂”這種授課模式的愛好，此校確定利用分層抽樣的方法從高一、高二、高三學(xué)生中隨機(jī)抽取90人進(jìn)行調(diào)查，已知該校學(xué)生共有3600人，若抽取的學(xué)生中高二年級有30人，則該校高二年級學(xué)生共有（

）A．800人 B．1000人 C．1200人 D．1400人【變式5-1】（2024秋·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）某中學(xué)有中學(xué)生1800人，初中生1200人，為了解學(xué)生課外熬煉狀況，用分層抽樣的方法從學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本.已知從中學(xué)生中抽取的人數(shù)比從初中生中抽取的人數(shù)多24，則n=（

A．48 B．72 C．60 D．120【變式5-2】（2024春·河南商丘·高一階段練習(xí)）某地區(qū)中學(xué)分三類，A類學(xué)校共有學(xué)生2000人，B類學(xué)校共有學(xué)生3000人，C類學(xué)校共有學(xué)生4000人，若實(shí)行分層抽樣的方法抽取900人，則A類學(xué)校中的學(xué)生甲被抽到的概率（

）A．920 B．12000 C．1【變式5-3】（2024·高一課時練習(xí)）為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校組織了一次“學(xué)黨史、強(qiáng)信念、跟黨走”主題競賽活動.活動要求把該學(xué)校老師按年齡分為35歲以下，35-45歲，45歲及其以上三個大組.用分層抽樣的方法從三個大組中抽取一個容量為10的樣本，組成答題團(tuán)隊(duì)，已知35-A．120 B．180 C．240 D．無法確定【題型6分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)題目條件，結(jié)合分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算方法，進(jìn)行求解即可.【例6】（2024·高一課時練習(xí)）某企業(yè)三個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個分廠產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層抽樣