2024春七年級數學下冊培優(yōu)專項3.2完全平方公式綜合高分必刷含解析新版浙教版

Page10專項3.2完全平方公式綜合高分必刷1．（東城區(qū)校級期末）（a+b）n（n為非負整數）當n＝0，1，2，3，…時的綻開狀況如下所示：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5視察上面式子的等號右邊各項的系數，我們得到了如圖所示：這就是南宋數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中列出的一個奇異的“圖”，他揭示了（a+b）n綻開后各項系數的狀況，被后人稱為“楊輝三角”．依據圖，你認為（a+b）9綻開式中全部項系數的和應當是（）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C【解答】解：當n＝0時綻開式全部系數的和為1＝20．當n＝1時綻開式全部系數的和為2＝21．當n＝2時綻開式全部系數的和為22．當n＝3時綻開式全部系數的和為8＝23．當n＝4時綻開式全部系數的和為16＝24．當n＝5時綻開式全部系數的和為32＝25．……∴當n＝9時綻開式全部系數的和為29＝512．故選：C．2．（濱州三模）我國南宋數學家楊輝用三角形說明二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”這個三角形給出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的綻開式的系規(guī)律（按a的次數由大到小的依次）．請依據規(guī)律，寫出（x+1）2024的綻開式中含x2024項的系數是．【答案】2024【解答】解：∵（a+b）1綻開式中的其次項系數為1，（a+b）2綻開式中的其次項系數為2，（a+b）3綻開式中的其次項系數為3，（a+b）4綻開式中的其次項系數為4，∴（a+b）n綻開式中的其次項系數為n，由圖中規(guī)律可知：含x2024的項是（x+1）2024的綻開式中的其次項，∴（x+1）2024的綻開式中的其次項系數為2024，故答案為：2024．3．（欽州期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．4．（和平區(qū)校級月考）我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）n（n為非負整數）綻開式的項數及各項系數的相關規(guī)律．例如：（a+b）0＝1，它只有一項，系數為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項，系數分別為1，1，系數和為2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項，系數分別為1，2，1，系數和為4；依據以上規(guī)律，解答下列問題：（1）（a+b）5綻開式共有項，系數和為．（2）求（2a﹣1）5的綻開式；（3）利用表中規(guī)律計算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中規(guī)律計算不給分）；（4）設（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，則a1+a2+a3+…+a16+a17的值為．【解答】解：（1）依據圖表中的規(guī)律，可得：（a+b）5綻開式共有6項，系數和為1+5+10+10+5+1＝32，故答案為：6，32；（2）（2a﹣1）5＝25a5+5×24a4（﹣1）+10×23a3（﹣1）2+10×22a2（﹣1）3+5×2a（﹣1）4+（﹣1）5＝32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1；（3）依據圖表中數據的規(guī)律可以發(fā)覺：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝1；（4）∵（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，∴當x＝1時，（1+1）17＝a0+a1+a2+a3+…+a16+a17，當x＝0時，（0+1）17＝a0＝1，∴217＝1+a1+a2+a3+…+a16+a17，∴a1+a2+a3+…+a16+a17的值為217﹣1．故答案為：217﹣1．5．（黃石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2與xy的值．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．6．（蘭考縣期末）已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2與xy的值．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49②，∴①+②得：2（x2+y2）＝50，即x2+y2＝25；①﹣②得：4xy＝﹣48，即xy＝﹣12．7．（鹽池縣期末）回答下列問題（1）填空：x2+＝（x+）2﹣＝（x﹣）2+（2）若a+＝5，則a2+＝；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．【解答】解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a＝0時方程不成立，∴a≠0，∵a2﹣3a+1＝0兩邊同除a得：a﹣3+＝0，移項得：a+＝3，∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．8．（于都縣模擬）我國古代數學的許多發(fā)覺都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出了（a+b）n（n為正整數）的綻開式（按a的次數由大到小的依次排列）的系數規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）2＝a2+2ab+b2綻開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3綻開式中的系數等等．（1）依據上面的規(guī)律，寫出（a+b）5的綻開式．（2）利用上面的規(guī)律計算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．【解答】解：（1）如圖，則（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5．＝（2﹣1）5，＝1．9.（南昌縣期中）如圖1所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖2的方式拼成一個正方形．（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于；（2）請用兩種不同的方法列代數式表示圖2中陰影部分的面積：方法①；方法②；（3）視察圖2，干脆寫出（m+n）2，（m﹣n）2，mn這三個代數式之間的等量關系；（4）依據（3）題中的等量關系，解決如下問題：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）由拼圖可知，圖②中陰影部分的邊長為m﹣n，故答案為：m﹣n；（2）陰影部分是邊長為m﹣n的正方形，因此面積為（m﹣n）2，陰影部分的面積可以看作從邊長為m+n的正方形面積中減去4個長為m，寬n的長方形面積，即（m+n）2﹣4mn，故答案為：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）中兩種方法所表示的圖形的面積相等，可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）∵a+b＝8，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣20＝4410.（雙流區(qū)校級期中）著x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）（n﹣2024）2+（n﹣2024）2＝11，求（n﹣2024）（2024﹣n）；（3）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F分別是AD、DC上的點，且AE＝2，CF＝6，長方形EMFD的面積是192，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．【解答】解：（1）設7﹣x＝a，x﹣4＝b，則（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝7﹣x+x﹣4＝3，∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）設n﹣2024＝a，n﹣2024＝b，則（n﹣2024）2+（n﹣2024）2＝a2+b2＝11，a﹣b＝（n﹣2024）﹣（n﹣2024）＝1，（n﹣2024）（2024﹣n）＝﹣（n﹣2024）（n﹣2024）＝﹣ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）]＝＝﹣5；（3）依據題意可得，MF＝x﹣2，FD＝x﹣6，（x﹣2）（x﹣6）＝192，設x﹣2＝a，x﹣6＝b，則（x﹣2）（x﹣6）＝ab＝192，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，S陰＝（x﹣2）2﹣（x﹣6）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）＝×4＝28×4＝112．陰影部分的面積為112．11．（新泰市期中）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形態(tài)拼成一個正方形．（1）求圖2中的陰影部分的正方形的周長；（2）視察圖2，請寫出下列三個代數式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關系；（3）如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝24，運用你由（2）所得到的等量關系，求圖中陰影部分面積．【解答】解：（1）依據題意可得，陰影部分的正方形的周長為4（a﹣b）；（2）依據題意可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）設AC＝a，BC＝b，則a+b＝8，a2+b2＝24，依據題意可得，S陰＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（82﹣24）＝10．12．（上蔡縣校級月考）（1）試用兩種不同的方法表示圖1中陰影部分的面積，從中你有什么發(fā)覺，請用等式表示出來；（2）利用你發(fā)覺的結論，解決下列問題：①如圖2，兩個正方形的邊長分別為a，b，且a+b＝ab＝9，求圖2中陰影部分的面積．②已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，則（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是．【解答】解：（1）依據題意可得，方法一：S陰＝a2+b2，方法二：S陰＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；（2）①依據題意可得，S陰＝a2+b2﹣（a+b）b﹣a2＝（a2﹣ab+b2），∵a+b＝ab＝9，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝92﹣2×9＝63，∴S陰＝×（63﹣9）＝27；②（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝57+4×6＝81，∴2a+b＝±9；③設20﹣x＝a，x﹣30＝b，則（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝﹣10；∴（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．故答案為：80．13．（順德區(qū)校級期中）如圖所示，在邊長為a米的正方形草坪上修建兩條寬為b米的道路．（1）為了求得剩余草坪的面積，小明同學想出了兩種方法，結果分別如下：方法①：.方法②：.請你從小明的兩種求面積的方法中，干脆寫出含有字母a，b代數式的等式是：．（2）依據（1）中的等式，解決如下問題：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2024）2+（x﹣2024）2＝12，求（x﹣2024）2的值．【解答】解：（1）方法①，通過平移兩條路，草坪可看作邊長為（a﹣b）米的正方形，因此面積為（a﹣b）2（平方米），方法②，從大正方形面積里減去兩條路的面積，即（a2﹣ab﹣ab+b2）平方米，也就是（a2﹣2ab+b2）平方米，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案為：（a﹣b）2，a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）①∵a﹣b＝5，∴a2﹣2ab+b2＝25，又∵a2+b2＝20，∴ab＝﹣；②設x﹣2024＝m，x﹣2024＝n，則m﹣n＝2，m2+n2＝（x﹣2024）2+（x﹣2024）2＝12，∴m2﹣2mn+n2＝4，即12﹣2mn＝4，∴mn＝4，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4+16＝20，∴（x﹣2024）2＝（）2＝＝＝5，答：（x﹣2024）2的值為5．14．（高青縣期中）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式，例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數學等式；（2）依據整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式；（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的結論求a2+b2+c2的值．【解答】解：（1）圖2整體是邊長為a+b+c的正方形，因此面積為（a+b+c）2，圖2也可以看作9個