江蘇省常州市教育學(xué)會2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月學(xué)業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試題【含答案】

常州市教育學(xué)會學(xué)業(yè)水平監(jiān)測高二數(shù)學(xué)2024年6月注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知曲線在處的切線斜率為2，則（

）A． B．18 C． D．83．對于實數(shù)，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．從3名男生與2名女生中選出2人擔(dān)任班委，則“恰有1名男生與1名女生當選”的概率是（

）A． B． C． D．5．某市為了解高一新生的身高情況，抽取了10000位高一新生的身高作為樣本.若高一新生的身高近似服從正態(tài)分布，且，則在10000位高一新生中身高在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)約為（

）A．2000 B．4000 C．6000 D．80006．已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．7．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域均為，對任意實數(shù)，，且當時，.不等式的解集為（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知符號函數(shù)，則（

）A．是周期函數(shù)B．對任意的，C．函數(shù)的值域為D．函數(shù)的值域為或10．現(xiàn)有編號分別為1，2，3的三個袋子，裝有質(zhì)地均勻且大小相同的小球.1號袋中有10個小球，其中紅球3個；2號袋中有10個小球，其中紅球4個；3號袋中有20個小球，其中紅球5個.現(xiàn)將所有小球標記后放入一個袋中混合均勻，從中隨機抽取一個小球，記事件M：該球為紅球，事件：該球出自編號為的袋子，則（

）A． B．C． D．11．在棱長為2的正方體中，為的中點，點在正方形內(nèi)部及其邊界上運動，則下列說法正確的有（

）A．當時，點的軌跡長度為B．若平面，則長度的最小值為2C．當時，二面角的余弦值的最小值是D．記直線與平面所成角為，則的取值范圍是三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)，，若存在實數(shù)，，使得，請寫出的一個可能值：.13．如圖，在半徑為8的半圓形紙片中，為圓心，為直徑，是弧的中點，是弧的中點，將該紙片卷成一個側(cè)面積最大的無底圓錐后，異面直線與所成角的余弦值是.14．定義表示中最小的數(shù)，已知實數(shù)滿足，，則的最大值是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知，命題：，為真命題.實數(shù)的取值集合記為.(1)求集合；(2)設(shè)的定義域為集合，若，求實數(shù)的取值范圍.16．如圖，直線平面，四邊形是梯形，，，為線段上異于端點的一點，，四邊形是平行四邊形.(1)若是的中點，求證：平面；(2)求二面角的大小.17．在①在區(qū)間上單調(diào)遞增，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面題目中，并解答.已知函數(shù)，___________.(1)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)楸叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)增區(qū)間.18．某研發(fā)團隊研發(fā)了一款聊天機器人，在對某一類問題進行測試時發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語法錯誤，機器人作答正確的概率為0.8；如果出現(xiàn)語法錯誤，機器人作答正確的概率為0.3.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為0.1，且每次輸入問題，機器人的作答是否正確相互獨立.該研發(fā)團隊成員小王想挑戰(zhàn)一下聊天機器人，與機器人各自從給定的10個問題中隨機抽取5個作答.已知在這10個給定的問題中，小王恰好能正確作答其中9個問題.(1)對抽出的5個問題，求小王能全部答對的概率；(2)求聊天機器人答對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(3)答對題數(shù)較多者判定為獲勝，求小王獲勝的概率.19．已知函數(shù)，.(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，判斷關(guān)于的方程實數(shù)根的個數(shù)，并證明.1．B【分析】先將集合化簡，再利用交集運算的定義求解.【詳解】集合，因為，所以，即.故選：B2．C【分析】借助導(dǎo)數(shù)的運算法則求出導(dǎo)數(shù)后，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得.【詳解】，由題意，解得.故選：C.3．B【詳解】試題分析：由于不等式的基本性質(zhì)，“a＞b”?“ac＞bc”必須有c＞0這一條件．解：主要考查不等式的性質(zhì)．當c=0時顯然左邊無法推導(dǎo)出右邊，但右邊可以推出左邊．故選B考點：不等式的性質(zhì)點評：充分利用不等式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)不等關(guān)系的重要條件．4．C【分析】求出從5人中選2人的方法數(shù)，再求出選的兩人恰有1名男生與1名女生的方法數(shù)，然后由古典概型的概率公式求解即可.【詳解】因為從3名男生與2名女生中選出2人有種選法，選的兩人恰有1名男生與1名女生的有種選法，所以所求的概率為.故選：C5．D【分析】借助正態(tài)分布的對稱性可得，即可得解.【詳解】由，，則，，故人數(shù)約為人.故選：D.6．D【分析】借助“1”的活用，結(jié)合基本不等式計算即可得.【詳解】，當且僅當，即，時，等號成立.故選：D.7．B【分析】利用正切型函數(shù)的圖像得出，再算出，從而得解.【詳解】由圖像可知：，所以，把代入解析式得：，因為，取得，所以，則.故選：B.8．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與所給條件得到函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，在將所給不等式中化為即可得解.【詳解】令，則，由題意可得，當時，，即在上單調(diào)遞增，由，則，即，故為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，則不等式可化為：，即，則有，即，即，即，解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于構(gòu)造函數(shù)，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與所給條件得到函數(shù)的單調(diào)性與對稱性.9．BD【分析】對A：利用周期函數(shù)性質(zhì)舉出反例即可得；對B：將與都寫成分段形式即可得；對C、D：利用符號函數(shù)，將所給函數(shù)化為分段函數(shù)形式后結(jié)合指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分段計算其值域即可得.【詳解】對A：由，當時，，故不是周期函數(shù)，故A錯誤；對B：，由，則，故對任意的，，故B正確；對C：，當時，，當時，，當時，，綜上所述，函數(shù)的值域為，故C錯誤；對D：，則時，，當時，，當時，，故函數(shù)的值域為或，故D正確.故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)條件概率的計算公式即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由題意可知，故,,故選：ACD11．AD【分析】建立適當空間直角坐標系后，設(shè)出點坐標，對A：利用空間兩點間距離公式計算即可得點軌跡，即可得其長度；對B：借助空間向量求出平面法向量可得點軌跡，即可得其長度的最小值；對C：借助空間向量求出兩平面的法向量后可得其夾角的余弦值，結(jié)合點軌跡即可得其范圍；對D：求出平面法向量后借助空間向量夾角公式計算即可得.【詳解】以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則有，，設(shè)，，，對A：，故，則點的軌跡為以為圓心，為半徑，且在正方形內(nèi)部的半圓，則點的軌跡長度為，故A正確；對B：，，，則，，令平面的法向量為，則有，可令，則，即，由平面，則有，即，則，故B錯誤；對C：，，，設(shè)平面的法向量為，則有，可令，則，，即，易得軸平面，故平面的法向量可為，則，由A知，故，即，則，故二面角的余弦值的最小值是，故C錯誤；對D：，平面法向量為，則，由，，則，故，故D正確.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于建立適當空間直角坐標系，從而借助平面的法向量研究位置關(guān)系，借助空間向量的夾角公式研究二面角或線面角.12．2（答案不唯一）【分析】取即可代入求解.【詳解】取，則，滿足，此時，故答案為：2（答案不唯一）13．【分析】根據(jù)圓錐的幾何特征，結(jié)合異面直線所成角的幾何法，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則，是弧的中點，為等腰直角三角形，故，過作交底面圓于，則為弧中點，故,又,所以，故異面直線與所成角的余弦值．故答案為：.14．【分析】由題先分析出實數(shù)，一負兩正，然后利用基本不等式放縮求出最小值的最大值即可.【詳解】因為，，所以兩個數(shù)中有一個負數(shù)，不妔設(shè)，所以，由已知可得，所以，所以，所以，所以，所以，由，故的最大值是.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求出的取值范圍，即可求出；（2）依題意可得，解得即可求出，再根據(jù)，得到，解得即可.【詳解】（1）因為命題：，為真命題，所以，解得，所以；（2）對于函數(shù)，則，即，因為，解得，所以，又，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，結(jié)合線面平行的判定定理即可得；（2）結(jié)合所給位置關(guān)系，建立適當空間直角坐標系，借助空間向量夾角公式計算即可得.【詳解】（1）連接，設(shè)其與交于，由四邊形是平行四邊形，則為中點，連接，又是的中點，則，由平面,平面,故平面；（2）由平面，平面，則，，有，，平面，故平面，又平面，故，故、、兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、、，則、、,令平面與平面的法向量分別為、，則有，，令，則有，，，，即，，則，由圖可知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為，則二面角的大小為.17．(1)(2)【分析】（1）首先選出條件，再利用條件求出，進而求出函數(shù)在的最值，再結(jié)合恒成立的不等式求解即得.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用三角函數(shù)圖象變換求出，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出遞增區(qū)間.【詳解】（1）選條件①在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，得，所以滿足條件，得，又，所以取，所以；選條件②，得，又，所以，得，所以選條件③，知是的一條對稱軸，所以，則又，所以，所以，當時，，所以，由恒成立，得，當時，的最大值為，的最小值為，則所以實數(shù)的取值范圍（2）由（1）知，將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)楸?，得，由，得，的單調(diào)增區(qū)間是18．(1)(2)3.75(3)【分析】（1）根據(jù)組合知識求出相應(yīng)的概率；（2）根據(jù)全概率公式得到聊天機器人作答正確的概率，從而得到，根據(jù)二項分布期望公式求出答案；（3）計算出機器人獲勝和兩者平局的概率，從而求出小王獲勝的概率.【詳解】（1）小王能全部答對的概率為；（2）設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤為事件A，則，聊天機器人作答正確為事件，則，故聊天機器人答對題數(shù)，數(shù)學(xué)期望；（3）由題意可得小王最少答對4道題，小王能答對5道題的概率為，答對4道題的概率為，由（2）知，聊天機器人答對題數(shù)，故機器人能答對5道題的概率為，機器人能答對4道題的概率為，故機器人獲勝的情況為機器人能答對5題且小王答對4題，故機器人獲勝的概率為，小王和機器人平局的情況為小王和機器人都答對5道題和都答對4道題，其中都答對5道題的概率為，都答對4道題的概率為，所以小王獲勝的概率為.19．(1)(2)，證明見解析【分析】（1）參變分離后可得在上恒成立，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得其最值，即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，可得其極值點，結(jié)合零點的存在性定理即可得其零點個數(shù)，即可得方程的實數(shù)根的個數(shù).【詳解】（1），則有在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，則當時，恒成立，故在上單調(diào)