正弦定理和余弦定理專題講義

正弦定理和余弦定理專題講義一、高考要求1、掌握正、余弦定理的根本形式和變形式；2、能夠完成三角形中邊、角和面積的計算。3、掌握邊、角的范圍探究問題和正、余弦定理的實際應(yīng)用。二、知識回憶設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為A、B、C．1．角與角關(guān)系：A+B+C=π，2．邊與邊關(guān)系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b．3．邊與角關(guān)系：1〕正弦定理〔R為外接圓半徑〕變式1：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC變式2：變式3：，，2〕余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA．變式1：；.；..4.三角形面積公式：〔其中r為內(nèi)切圓半徑，R為外接圓半徑，s為半周長〕5、關(guān)于三角形內(nèi)角的常用三角恒等式：三角形內(nèi)角定理的變形=1\*GB3①由A＋B＋C＝π，知A＝π－〔B＋C〕可得出：sinA＝sin〔B＋C〕，cosA＝－cos〔B＋C〕．=2\*GB3②而．有：，．三互動探究探究一正弦定理的應(yīng)用考點分析：=1\*GB3①知兩角及一邊、解三角形.=2\*GB3②知兩邊及一邊對角、解三角形.方法點撥：針對考法=2\*GB3②涉及到三角形解的判定、一般有三種情況：無解、一解、兩解；判定方法：方法1【代數(shù)法】：大邊對大角、內(nèi)角和為、三角函數(shù)值不能大于1；方法2【幾何法】：當(dāng)為銳角時、=1\*GB3①或時、一解；=2\*GB3②時、兩解；=3\*GB3③時、無解.當(dāng)為直角或鈍角時、=1\*GB3①時、一解；=2\*GB3②時、無解.例如1：在中、求其余的邊和角.例如2：在△ABC中，a=,b=,B=45°,求A、C和c.變式訓(xùn)練1：(2009·廣東高考)△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.假設(shè)a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且∠A＝75°，那么b＝()A．2B．4＋2eq\r(3)C．4－2eq\r(3)D.eq\r(6)－eq\r(2)變式訓(xùn)練2：在銳角△ABC中，BC＝1，B＝2A，那么eq\f(AC,cosA)的值等于______，AC的取值范圍為________．變式訓(xùn)練3：3.以下判斷中不正確的結(jié)論的序號是.①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有兩解；②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有兩解；④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,無解答案：例1：；例2：A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=；變式1：A；變式2：：2，(eq\r(2)，eq\r(3))；變式3：①③④；探究二余弦定理應(yīng)用考點分析：①知三邊、解三角形.②知兩邊及夾角、解三角形.例如3：〔1〕在三角形中，,那么的大小為〔〕A． B．C． D．〔2〕在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，那么A＝.變式訓(xùn)練4：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.〔1〕求角A的大小；〔2〕假設(shè)a=，求bc的最大值；答案：例3：A、；變式4：，1。探究三正、余弦定理的綜合應(yīng)用考點一判定三角形形狀方法點撥：①知識要求：靈活應(yīng)用正、余弦定理及和、差、半角公式；②能力要求：統(tǒng)一成邊的思想、或統(tǒng)一成角的思想和方程組思想.例如4：在△ABC中，a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊，如果〔a2+b2〕sin〔A-B〕=〔a2-b2〕sin〔A+B〕，判斷三角形的形狀.變式訓(xùn)練5：在△ABC中,，那么這個三角形一定是〔〕A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形變式訓(xùn)練6：.在△ABC中，假設(shè)(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,那么△ABC是三角形.答案：例4：△ABC為等腰或直角三角形.變式5：B；變式6：等邊三角形；考點二三角形面積〔注重方程組思想〕例如5：(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，·＝3.求△ABC的面積；(2)假設(shè)c＝1，求a的值．變式訓(xùn)練7：.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝eq\f(π,6)，那么△ABC的面積等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)答案：例5：S△ABC＝2.a＝2eq\r(5).變式7：D考點三角或邊的范圍方法點撥：主要是函數(shù)思想、根本不等式、三角函數(shù)有界性的應(yīng)用。例如6：〔1〕銳角△ABC中，假設(shè)A＝2B，那么eq\f(a,b)的取值范圍是()A．(1,2)B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，2)D．(eq\r(2)，eq\r(3))(2)在△ABC中，，那么邊的取值范圍是〔〕A．B．C．D．變式訓(xùn)練8：在△ABC中,,假設(shè)三角形有兩解，那么邊的范圍是〔〕假設(shè)三角形有一解，那么邊的范圍是〔〕A．B．C．D．變式訓(xùn)練9：在△ABC中，=1\*GB3①那么角A的取值范圍是〔〕；=2\*GB3②-------.A．B．C．D．答案：例6：D，B；變式8：D，B;；變式9：A，1.探究四正、余弦定理的實際應(yīng)用例如7：為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架.三角形支架，如下圖，要求∠ACB=60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米.為了使廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長度越短越好，求AC最短為多少米？且當(dāng)AC最短時，BC長度為多少米？答案：AC最短為(2+)米，此時，BC長為(1+)米.變式訓(xùn)練10：如下圖，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設(shè)∠AOP=，求△POC面積的最大值及此時的值.答案：=時，S〔〕取得最大值為.四思維訓(xùn)練與能力提高1.〔2010上?！?8.假設(shè)△的三個內(nèi)角滿足，那么△〔A〕一定是銳角三角形.〔B〕一定是直角三角形.〔C〕一定是鈍角三角形.(D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.2.〔2010湖南〕6、在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a,b,c，假設(shè)∠C=120°，,那么A、a>bB、a<bC、a=bD、a與b的大小關(guān)系不能確定3、定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，假設(shè)A、B是銳角三角形的兩個內(nèi)角，那么A、