人教版八年級數(shù)學下冊同步精講精練專題一次函數(shù)與線段、角度有關的問題(原卷版+解析)

八年級下冊數(shù)學《第十九章一次函數(shù)》專題一次函數(shù)與線段、角度有關的問題題型一一次函數(shù)與線段問題題型一一次函數(shù)與線段問題【例題1】（2021春?達川區(qū)校級期中）如圖，直線y1=?13x+b與x軸交于點A、與y軸交于點B，與直線y2＝x交于點E，點（1）直接寫出b值：；（2）直接寫出關于不等式組0＜?13x+b≤（3）在x軸上有一點P（m，0），過點P作x軸的垂線，與直線y1=?13x+b交于點C，與直線y2＝x交于點D，若CD＝2OB，求【變式1-1】（2022秋?青白江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線AE：y=23x+8交x軸于點E，交y軸于點A，直線BD：y＝﹣2x﹣4交x軸于點D，交y軸于B，交直線AE于點（1）求點D、點E和點C的坐標；（2）求△CDE的面積；（3）若在直線AE上存在點F，使BA是△BCF的中線，求點F的坐標．【變式1-2】（2023春?包河區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1＝﹣2x+10的圖象與x軸交于點A，與一次函數(shù)y2=23x+2的圖象交于點（1）求點B的坐標；（2）結合圖象，當y1＞y2時，請直接寫出x的取值范圍；（3）C為x軸上點A右側(cè)一個動點，過點C作y軸的平行線，與一次函數(shù)y1＝﹣2x+10的圖象交于點D，與一次函數(shù)y2=23x+2的圖象交于點E．當CE＝3CD時，求【變式1-3】（2023春?中原區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點A（﹣2，6），且與x軸相交于點B，與y軸交于點D，與正比例函數(shù)y＝3x的圖象相交于點C，點C的橫坐標為1．（1）求k，b的值；（2）請直接寫出不等式（k﹣3）x+b＞0的解集；（3）M為射線CB上一時，求M點的坐標．【變式1-4】（2022秋?榆陽區(qū)校級期末）如圖1，平面直角坐標系中，直線y=12x﹣2與x軸、y軸分別交于點A，B，直線y＝﹣x+b經(jīng)過點A，并與y軸交于點（1）求A，B兩點的坐標及b的值；（2）如圖2，動點P從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運動．過點P作x軸的垂線，分別交直線AC，AB于點D，E．設點P運動的時間為t．點D的坐標為．點E的坐標為；（均用含t的式子表示）（3）在（2）的條件下，當點P在線段OA上時，探究是否存在某一時刻，使DE＝OB？若存在，求出此時△ADE的面積；若不存在說明理由．【變式1-5】（2021秋?西湖區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，直線y=?34x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y=34（1）求點C的坐標；（2）點P是線段OA上的一個動點（點P不與點O，A重合），過點P作平行于y軸的直線l，分別交直線AB，OC于點D，點E，設點P的橫坐標為m．①求線段PD的長（用含m的代數(shù)式表示）；②當點P，D，E三點中有一個點是另兩個點構成線段的中點時，請直接寫出m的值；（3）過點C作CF⊥y軸于點F，點M在線段CF上且不與點C重合，點N在線段OC上，CM＝ON，連接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，請直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．題型二一次函數(shù)與等角問題題型二一次函數(shù)與等角問題【例題2】（2022秋?東臺市月考）如圖，直線y＝kx+b與直線y＝﹣x+4相交于點A（2，2），與y軸交于點B（0，﹣2）．（1）求直線y＝kx+b的函數(shù)表達式；（2）若直線y＝﹣x+4與y軸交于點D，點P在直線y＝﹣x+4上，當∠ABO＝∠POD時，直接寫出點P的坐標．【變式2-1】（2022秋?常州期末）【操作思考】如圖1所示的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標系．先畫出正比例函數(shù)y＝x的圖象，再畫出△ABC關于正比例函數(shù)y＝x的圖象對稱的△DEF．【猜想驗證】猜想：點P（a，b）關于正比例函數(shù)y＝x的圖象對稱的點Q的坐標為；驗證點P（a，b）在第一象限時的情況（請將下面的證明過程補充完整）．證明：如圖2，點P（a，b）、Q關于正比例函數(shù)y＝x的圖象對稱，PH⊥x軸，垂足為H．【應用拓展】在△ABC中，點A坐標為（3，3），點B坐標為（﹣2，﹣1），點C在射線BO上，且AO平分∠BAC，則點C的坐標為．【變式2-2】（2022秋?開江縣校級期末）如圖1，已知函數(shù)y=12x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C與點A關于（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）設點M是x軸上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線AB于點P，交直線BC于點Q．①若△PQB的面積為72，求點Q②點M在線段AC上，連接BM，如圖2，若∠BMP＝∠BAC，直接寫出P的坐標．【變式2-3】如圖1，直線y＝﹣x+b分別交x，y軸于A，B兩點，點C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．（1）求b的值；（2）若點P是射線AB上的一點，S△PAC＝S△PCO，求點P的坐標；（3）如圖2，過點C的直線交直線AB于點E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直線CE的解析式．【變式2-4】（2022春?朔州期末）綜合與探究如圖1，直線AB與坐標軸交于A，B兩點，已知點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（4，0），點C是線段AB上一點．知識初探：如圖1，求直線AB的解析式．探究計算：如圖2，若點C是線段AB的中點，則點C的坐標為（）拓展探究：如圖3，若點CB的垂線，交x軸于點M，求點M的坐標．類比探究：如圖4，過點C作線段AB的垂線，交x軸于點N，連接AN，當∠OAN＝∠CAN時，則點N的坐標為（）題型三一次函數(shù)與45°角問題題型三一次函數(shù)與45°角問題【例題3】（2022春?宛城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y=?43x+4分別交x軸、y軸于點A、B（1）將直線AB向下平移5個單位，所得直線的解析式是；（2）直接寫出與直線AB關于x軸對稱的直線的解析式；（3）若點P在x軸上，且∠APB＝45°，求點P的坐標；【變式3-1】（2022春?大冶市期末）如圖1，直線y=12x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點E為y軸負半軸上一點，且S（1）求直線AE的解析式；（2）如圖2，直線y＝mx交直線AB于點M，交直線AE于點N，當S△OEN＝2S△OBM時，求m的值；（3）點P為直線AE上一點，若∠ABP＝45°，請直接寫出點P的坐標：．【變式3-2】（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=?23x+4與x軸交于點B，與y軸交于點A，點C為線段AB的中點，過點C作DC⊥x軸，垂足為（1）求A、B兩點的坐標；（2）若點E為y軸負半軸上一點，連接CE交x軸于點F，且CF＝FE，在直線CD上有一點P，使得AP+EP最小，求P點坐標；（3）如圖2，直線CD上是否存在點Q使得∠ABQ＝45°，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【變式3-3】（2022秋?洪山區(qū)校級月考）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB分別交y軸、x軸于點A（0，a），點B（b，0），且a、b滿足|a﹣2|+2b+2（1）求a，b的值；（2）以AB為邊作Rt△ABC，點C在直線AB的右側(cè)且∠ACB＝45°，求點C的坐標；（3）若（2）的點C在第四象限（如圖2），AC與x交于點D，BC與y軸交于點E，連接DE，過點C作CF⊥BC交x軸于點F．①求證：CF=12②直接寫出點C到DE的距離．【變式3-4】（2020秋?濟南月考）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB經(jīng)過點C（a，a），且交x軸于點A（m，0），交y軸于點B（0，n），且m，n滿足m?6+（n﹣12）2（1）求直線AB的解析式及C點坐標；（2）設過點C的直線交x軸于點D，使得S△AOB＝S△ACD，求D點的坐標；（3）如圖2，點E（0，﹣2），點P為射線AB上一點，且∠CEP＝45°，求點P的坐標．【變式3-5】（2022?江北區(qū)開學）在平面直角坐標系中，點A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0），D是線段AB上一點，CD交y軸于點E，且S△BCE＝2S△AOB．（1）求直線AB的解析式；（2）求點D的坐標；（3）猜想線段CE與線段AB的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由；（4）若F為射線CD上一點，且∠DBF＝45°，求點F的坐標．題型四一次函數(shù)與角度有關的綜合問題題型四一次函數(shù)與角度有關的綜合問題【例題4】（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l的解析式為y=?43x+b，它與坐標軸分別交于A、B兩點，已知點（1）求出A點的坐標．（2）在第一象限的角平分線上是否存在點Q使得∠QBA＝90°？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．（3）點P為y軸上一點，連結AP，若∠APO＝2∠ABO，求點P的坐標．【變式4-1】（2022?叢臺區(qū)校級模擬）如圖，點P（a，a+3）是直角坐標系xOy中的一個動點，直線l1：y＝2x+6與x軸，y軸分別交于點A，B，直線l2經(jīng)過點B和點（6，3）并與x軸交于點C．（1）求直線l2的表達式及點C的坐標；（2）點P會落在直線l1：y＝2x+6上嗎？說明原因；（3）當點P在△ABC的內(nèi)部時．①求a的范圍；②是否存在點P，使得∠OPA＝90°？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式4-2】（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖1，直線y=34x和直線y=?12x+b相交于點A，直線y=?12x+b與x軸交于點C，點P在線段AC上，PD⊥x軸于點（1）點C的坐標為；（2）當QP＝OA時，求Q點的坐標．（3）如圖2，在（2）的條件下，∠OQP平分線交x軸于點M．①求出M點的坐標．②在線段QM上找一點N，使△AON的周長最小，直接寫出周長最小值．【變式4-3】（2022秋?常州期末）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=?43x+43的圖象l1與x軸交于點A，一次函數(shù)y＝x+6的圖象l2與x軸交于點B，與l1交于點P．直線l3過點A且與x軸垂直，（1）分別求出點A、P的坐標；（2）設直線PC對應的函數(shù)表達式為y＝kx+b，且滿足函數(shù)值y隨x的增大而增大．若△PCA的面積為15，分別求出k、b的值；（3）是否存在點C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【變式4-4】（2022秋?市中區(qū)校級期末）如圖，直線y＝﹣x+4和直線y＝2x+1相交于點A，分別與y軸交于B，C兩點．（1）求點A的坐標；（2）在x軸上有一動點P（a，0），過點P作x軸的垂線，分別交函數(shù)y＝﹣x+4和y＝2x+1的圖象于點D，E，若DE＝9，求a的值．（3）在（2）的條件下，點Q為x軸負半軸上一點，直接寫出△DEQ為等腰三角形時Q點的坐標．【變式4-5】已知，在直角坐標系中，A（﹣a，0），B（b，0），C（0，c），且滿足b=a?c（1）如圖1，過B作BD⊥AC，交y軸于M，垂足為D，求M點的坐標．（2）如圖2，若a＝32，AC＝6，點P為線段AC上一點，D為x軸負半軸上一點，且PD＝PO，∠DPO＝45°，求點D的坐標．（3）如圖3，M在OC上，E在AC上，滿足∠CME＝∠OMA，EF⊥AM交AO于G，垂足為F，試猜想線段OG，OM，CM三者之間的數(shù)量關系，并給出證明．【變式4-6】（2022春?江夏區(qū)校級月考）如圖，直線y1＝3x+6分別交x軸、y軸于A，B兩點，直線y2＝kx+3（k≠3）分別交x軸、y軸于C，D，交y1于點E．（1）直接寫出坐標A：，B：，D：；（2）如圖1，若∠BED＝45°，求C點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，過點C關于y軸的對稱點F作x軸的垂線交直線y2于點G，連接EF、BG、OE，求證：EF﹣BE=2OE八年級下冊數(shù)學《第十九章一次函數(shù)》專題一次函數(shù)與線段、角度有關的問題題型一一次函數(shù)與線段問題題型一一次函數(shù)與線段問題【例題1】（2021春?達川區(qū)校級期中）如圖，直線y1=?13x+b與x軸交于點A、與y軸交于點B，與直線y2＝x交于點E，點（1）直接寫出b值：；（2）直接寫出關于不等式組0＜?13x+b≤（3）在x軸上有一點P（m，0），過點P作x軸的垂線，與直線y1=?13x+b交于點C，與直線y2＝x交于點D，若CD＝2OB，求【分析】（1）先求出E點坐標，再代入求出b的值，（2）求出直線y1=?13x+b與x軸交于點A坐標，根據(jù)函數(shù)的圖象可以直接得出，當0＜y1≤y2時（3）由點B的坐標，可求出OB的長，進而求出CD的長，由于點C、D分別在兩條直線上，由題意得CD的長就是這兩個點縱坐標的差，因此有兩種情況，分類討論，得出答案．【解答】解：（1）點E在直線y2＝x上，點E的橫坐標為3．∴E（3，3）代入直線y1=?13x+b得，3=?1∴b＝4，故答案為：4．（2）直線y1=?13x+4得與x軸交點由圖象可知：當0＜y1≤y2時，相應的x的值為：3≤x＜12．（3）當x＝0時，y＝4，∴B（0，4），即：OB＝4，∴CD＝2OB＝8，∵點C在直線y1=?13x+4上，點D在直線y2＝∴（?13m+4）﹣m＝8或x﹣（?解得：m＝﹣3或m＝9，答：m的值為﹣3或9．【點評】考查待定系數(shù)法求函數(shù)的關系式、一次函數(shù)與一元一次不等式組的關系等知識，數(shù)形結合是解決問題的關鍵．【變式1-1】（2022秋?青白江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線AE：y=23x+8交x軸于點E，交y軸于點A，直線BD：y＝﹣2x﹣4交x軸于點D，交y軸于B，交直線AE于點（1）求點D、點E和點C的坐標；（2）求△CDE的面積；（3）若在直線AE上存在點F，使BA是△BCF的中線，求點F的坐標．【分析】（1）由一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點E、D的坐標，兩解析式聯(lián)立成方程組，解方程組求得點C的坐標；（2）根據(jù)三角形面積公式解答即可；（3）作CG⊥y軸于G，F(xiàn)H⊥y軸于H，構造全等三角形△CAG≌△FAH（AAS），由該全等三角形的對應邊相等可以求得FH＝CG=92，將x=9【解答】解：（1）在y=23x+8中，令y＝0，得23x∴E（﹣12，0）．在y＝﹣2x﹣4中，令y＝0，得﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，∴D（﹣2，0）．解方程組y=23x+8∴C（?9（2）∵E（﹣12，0），D（﹣2，0）．∴DE＝10，∴S△CDE=1（3）作CG⊥y軸于點G，F(xiàn)H⊥y軸于點H．∵∠CGA＝∠FHA＝90°．∵BA為△BCF的中線，∴CA＝FA．∵∠CAG＝∠FAH，∴△CAG≌△FAH（AAS）．∴FH＝CG=9在y=23x+8中，當x=9∴F（92【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與坐標軸交點求法，三角形面積求法和全等三角形的判定合性質(zhì)等知識，此題綜合性較強，利用函數(shù)圖象表示出各部分長度，再利用全等三角形的性質(zhì)求得點的坐標．【變式1-2】（2023春?包河區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1＝﹣2x+10的圖象與x軸交于點A，與一次函數(shù)y2=23x+2的圖象交于點（1）求點B的坐標；（2）結合圖象，當y1＞y2時，請直接寫出x的取值范圍；（3）C為x軸上點A右側(cè)一個動點，過點C作y軸的平行線，與一次函數(shù)y1＝﹣2x+10的圖象交于點D，與一次函數(shù)y2=23x+2的圖象交于點E．當CE＝3CD時，求【分析】（1）聯(lián)立可直接得點B的坐標；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，結合B點的坐標即可求得x的取值范圍；（3）設點C的橫坐標為m，則D（m，﹣2m+10），E（m，23m+2），由CE＝3CD求出m，即可得DE【解答】解：（1）令﹣2x+10=23x+2，解得∴y＝4，∴B點坐標為（3，4）．（2）由圖象以及B（3，4）可知，x＜3時，y1＞y2；（3）設點C的橫坐標為m，則D（m，﹣2m+10），E（m，23m∴CE=23m+2，CD＝2∵CE＝3CD，∴23m+2＝3（2m﹣10），解得m∴D（6，﹣2），E（6，6），∴DE＝8．【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)與一元一次不等式，兩點的距離等知識，靈活運用這些知識解決問題是本題的關鍵．【變式1-3】（2023春?中原區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點A（﹣2，6），且與x軸相交于點B，與y軸交于點D，與正比例函數(shù)y＝3x的圖象相交于點C，點C的橫坐標為1．（1）求k，b的值；（2）請直接寫出不等式（k﹣3）x+b＞0的解集；（3）M為射線CB上一時，求M點的坐標．【分析】（1）求出C（1，3），再用待定系數(shù)法可得k的值是﹣1，b的值是4；（2）觀察圖象不等式（k﹣3）x+b＞0的解集為x＜1；（3）由y＝﹣x+4，得D（0，4），OD＝4，設M（m，﹣m+4），則N（m，3m），有3m﹣（﹣m+4）＝3×4，即可解得答案．【解答】解：（1）在y＝3x中，令x＝1得y＝3，∴C（1，3），把A（﹣2，6），C（1，3）代入y＝kx+b得：?2k+b=6k+b=3解得k=?1b=4∴k的值是﹣1，b的值是4；（2）由圖象可得，當x＜1時，直線y＝kx+b在直線y＝3x上方，∴kx+b＞3x的解集為x＜1，∴不等式（k﹣3）x+b＞0的解集為x＜1；（3）由（1）知，直線AB的解析式為y＝﹣x+4，令x＝0得y＝4，∴D（0，4），∴OD＝4，設M（m，﹣m+4），則N（m，3m），∵MN＝3DO，∴3m﹣（﹣m+4）＝3×4，解得m＝4，∴M的坐標為（4，0）．【點評】本題考查一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象上點坐標的特征，解題的關鍵是用含m的代數(shù)式表示相關點坐標和相關線段的長度．【變式1-4】（2022秋?榆陽區(qū)校級期末）如圖1，平面直角坐標系中，直線y=12x﹣2與x軸、y軸分別交于點A，B，直線y＝﹣x+b經(jīng)過點A，并與y軸交于點（1）求A，B兩點的坐標及b的值；（2）如圖2，動點P從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運動．過點P作x軸的垂線，分別交直線AC，AB于點D，E．設點P運動的時間為t．點D的坐標為．點E的坐標為；（均用含t的式子表示）（3）在（2）的條件下，當點P在線段OA上時，探究是否存在某一時刻，使DE＝OB？若存在，求出此時△ADE的面積；若不存在說明理由．【分析】（1）將y＝0代入y=12x﹣2，求出點A的坐標為（4，0），同理求出點B的坐標為（0，﹣2）；將A（4，0）代入y＝﹣x+b，求出（2）由（1）知，直線AC的表達式為y＝﹣x+4，根據(jù)P點運動情況可知點P（t，0），再根據(jù)PD⊥x軸分別求出D（t，﹣t+4），E（t，12t（3）求出B（0，﹣2），利用DE＝OB，求出t=83，進而求出△【解答】解：（1）令y＝0，則x＝4，∴點A的坐標為（4，0），令x＝0，則y＝﹣2，∴點B的坐標為（0，﹣2），將A（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b，解得b＝4；（2）由（1）知，直線AC的表達式為y＝﹣x+4，∵點P（t，0），∵PD⊥x軸，∴D（t，﹣t+4），E（t，12t故答案為（t，﹣t+4），（t，12t（3）存在t，使DE＝OB，理由如下：∵點P在線段OA上，∴0≤t≤4，由（2）知D（t，﹣t+4），E（t，12t∴DE＝﹣t+4﹣（12t﹣2）=?3∵B（0，﹣2），∴OB＝2，∵DE＝OB，∴?32解得：t=8∴AP＝4﹣t＝4?8∴S△ADE=12DE?AP=1【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直線與x軸垂直時點的坐標特點，兩點間距離的求法是解題的關鍵．【變式1-5】（2021秋?西湖區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，直線y=?34x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y=34（1）求點C的坐標；（2）點P是線段OA上的一個動點（點P不與點O，A重合），過點P作平行于y軸的直線l，分別交直線AB，OC于點D，點E，設點P的橫坐標為m．①求線段PD的長（用含m的代數(shù)式表示）；②當點P，D，E三點中有一個點是另兩個點構成線段的中點時，請直接寫出m的值；（3）過點C作CF⊥y軸于點F，點M在線段CF上且不與點C重合，點N在線段OC上，CM＝ON，連接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，請直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）∴聯(lián)立方程組：y=?34x+6（2）①點P的橫坐標為m，由PD∥y軸，得點P、D三點橫坐標都為m，點D坐標為（m，?34m+6），得PD＝|?②，先表示出P，D，E三點坐標，分兩種情況第一種情形：點D是PE的中點時，第二種情形：點E是PD的中點時，根據(jù)中點坐標公式即可求解；（3）在OA上取點H，使得OH＝BC，連接NH，先證△BCM≌△HON（SAS），BM＝NH，BM+BN＝NH+BN，當NH+BN最小，即B、N、H三點共線時，BM+BN最小，即可求解．【解答】解：（1）∵直線y=?34x+6與直線y=34∴聯(lián)立方程組：y=?3解得：x=4y=3∴點C的坐標為（4，3）；（2）①點P的橫坐標為m，∵PD∥y軸，∴點P、D，E三點橫坐標都為m，當x＝m時，y=34m，y=?∴點D坐標為（m，?34∴PD=?34②當x＝m時，y=34∴點E坐標為（m，34m而點P坐標為（m，0），第一種情形：點D是PE的中點時，34m+0解得：m=16第二種情形：點E是PD的中點時，12（?34m+6+0）解得：m=8綜上，m=163或（3）BM+BN存在最小值，在OA上取點H，使得OH＝BC，連接NH，∵C（4，3），A（8，0），B（0，6），∠AOB＝90°，∴AB＝10，∵CF⊥BO，∴點F坐標為（0，3），∴CF垂直平分BO，∴CB＝OC＝AC＝5，∠BCF＝∠OCF，∵CF∥AO，∴∠FCO＝∠AOC，∴∠BCM＝∠HON，∵MC＝NO，CB＝OH，∴△BCM≌△HON（SAS），∴BM＝NH，∴BM+BN＝NH+BN，當NH+BN最小，即B、N、H三點共線時，BM+BN最小，此時最小值=B【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，中點坐標公式的運用，全等三角形的性質(zhì)與判定，最值問題，解題關鍵是利用全等三角形的性質(zhì)把BM+BN的值轉(zhuǎn)化為NH+BN的值．題型二一次函數(shù)與等角問題題型二一次函數(shù)與等角問題【例題2】（2022秋?東臺市月考）如圖，直線y＝kx+b與直線y＝﹣x+4相交于點A（2，2），與y軸交于點B（0，﹣2）．（1）求直線y＝kx+b的函數(shù)表達式；（2）若直線y＝﹣x+4與y軸交于點D，點P在直線y＝﹣x+4上，當∠ABO＝∠POD時，直接寫出點P的坐標．【分析】（1）利用待定系數(shù)即可求解；（2）分點P在y軸右側(cè)，點P在y軸左側(cè)兩種情況，分別解答即可．【解答】解：（1）∵直線y＝kx+b與直線y＝﹣x+4相交于點A（2，2），與y軸交于點B（0，﹣2）．∴2k+b=2b=?2，k=2∴直線y＝kx+b的函數(shù)表達式為y＝2x﹣2；（2）①點P在y軸右側(cè)時，∵∠ABO＝∠POD，∴OP∥AB，∵直線AB的函數(shù)表達式為y＝2x﹣2，∴直線OP為y＝2x．聯(lián)立y＝﹣x+4得：y=?x+4y=2x解得x=4∴P（43，8②點P在y軸左側(cè)時，過點A作AM⊥x軸于M，減OP于N，設AB交x軸于點C，∴∠OMN＝∠BOC＝90°，∵A（2，2），∴M（0，2），∵B（0，﹣2），∴OM＝BO＝2，∵∠ABO＝∠POD，∴△CBO≌△MON，∴MN＝OC，∵直線AB的函數(shù)表達式為y＝2x﹣2，∴點C（1，0），∴OC＝1，∴MN＝1，∴N（﹣1，2），設直線ON的函數(shù)表達式為y＝mx，∴﹣x＝2，解得x＝﹣2，∴直線ON的函數(shù)表達式為y＝﹣2x，聯(lián)立y＝﹣x+4得：y=?x+4y=?2x解得x＝﹣4，∴P（﹣4，8）．綜上所述：點P坐標為（43，8【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，兩直線平行問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．【變式2-1】（2022秋?常州期末）【操作思考】如圖1所示的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標系．先畫出正比例函數(shù)y＝x的圖象，再畫出△ABC關于正比例函數(shù)y＝x的圖象對稱的△DEF．【猜想驗證】猜想：點P（a，b）關于正比例函數(shù)y＝x的圖象對稱的點Q的坐標為；驗證點P（a，b）在第一象限時的情況（請將下面的證明過程補充完整）．證明：如圖2，點P（a，b）、Q關于正比例函數(shù)y＝x的圖象對稱，PH⊥x軸，垂足為H．【應用拓展】在△ABC中，點A坐標為（3，3），點B坐標為（﹣2，﹣1），點C在射線BO上，且AO平分∠BAC，則點C的坐標為．【分析】操作思考：根據(jù)平面直角坐標系的對稱性即可畫出圖象．猜想驗證：作QI⊥y，PH⊥x，點P、Q關于函數(shù)y＝x的圖象對稱，可證明得到△IOQ≌△HOP，從而得到IQ＝PH，OI＝OH，進而可得到Q點坐標；應用拓展：在△ABC中，AO平分∠BAC，構造全等三角形，可得點C在AB關于AK的對稱線AB'上，又因為點C在射線BO上，所以點C為直線BO和直線AB'的交點坐標．求出直線BO和直線AB'的解析式，即可得到答案．【解答】解：操作思考：猜想驗證：猜想點P（a，b）關于正比例函數(shù)y＝x的圖象對稱的點Q的坐標為（b，a）．故答案為：（b，a）；證明：作QI⊥y軸，垂足為I，連接OQ．∵點P、Q關于函數(shù)y＝x的圖象對稱，∴OP＝OQ，PQ⊥ON，∴∠QON＝∠PON，∵∠ION＝∠HON＝45°，∴∠ION﹣∠QON＝∠HON﹣∠PON，即∠IOQ＝∠HOP．在△IOQ和△HOP中，∠QIO=∠PHO∠IOQ=∠HOP∴△IOQ≌△HOP（AAS），∴IQ＝PH＝b，OI＝OH＝a，∴Q（b，a）．應用拓展：如圖3，過B作BB'⊥OA交AC延長線于B'，交直線AO于K，∵A（3，3），∴直線OA為y＝x的圖象，∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠B'AO，∵∠BKA＝∠B'KA＝90°，AK＝AK，∴△BKA≌△B'KA（ASA），∴BK＝B'K，∵BB'⊥AO，∴B、B'關于直線y＝x對稱，∵B（﹣2，﹣1），∴B'（﹣1，﹣2），設直線AB'為y＝kx+b，∴3k+b=3?k+b=?2∴k=5∴直線AB'為y=5又∵直線BO為y=1∴54∴x＝1，∴y=1∴C(1，1故答案為：(1，1【點評】本題考查了圖形在平面直角坐標系中的對稱問題、三角形全等問題、一次函數(shù)的應用，熟練掌握圖形對稱的定義，證明全等的方法，求交點坐標的方法是解此題的關鍵．【變式2-2】（2022秋?開江縣校級期末）如圖1，已知函數(shù)y=12x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C與點A關于（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）設點M是x軸上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線AB于點P，交直線BC于點Q．①若△PQB的面積為72，求點Q②點M在線段AC上，連接BM，如圖2，若∠BMP＝∠BAC，直接寫出P的坐標．【分析】（1）先確定出點B坐標和點A坐標，進而求出點C坐標，最后用待定系數(shù)法求出直線BC解析式；（2）①先表示出PQ，最后用三角形面積公式即可得出結論；②分點M在y軸左側(cè)和右側(cè)，由對稱得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，當∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程即可x2+9+45＝（6﹣x）2，即可求解．【解答】解：（1）對于y=12由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：12x+3＝0，解得x∴A（﹣6，0），∵點C與點A關于y軸對稱．∴C（6，0）設直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，∴b=36k+b=0，解得k=?∴直線BC的函數(shù)解析式為y=?12（2）①設點M（m，0），則點P（m，12m+3），點Q（m，?1過點B作BD⊥PQ與點D，則PQ＝|?12m+3﹣（12m+3）|＝|m|，BD則△PQB的面積=12PQ?BD=12m2=7故點Q的坐標為（7，3?72）或（?7②如圖2，當點M在y軸的左側(cè)時，∵點C與點A關于y軸對稱，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，設M（x，0），則P（x，12x∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x=?3∴P（?32，如圖2，當點M在y軸的右側(cè)時，同理可得P（32，15綜上，點P的坐標為（?32，94）或（3【點評】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐標軸上點的特點，分類討論是解本題的關鍵．【變式2-3】如圖1，直線y＝﹣x+b分別交x，y軸于A，B兩點，點C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．（1）求b的值；（2）若點P是射線AB上的一點，S△PAC＝S△PCO，求點P的坐標；（3）如圖2，過點C的直線交直線AB于點E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直線CE的解析式．【分析】（1）利用△ABC和△ACO的面積公式求解；（2）分兩種情況討論，點P在第一象限或者在第二象限，分別列出對應面積的表達式求解；（3）構造△CDO和△CEF相似，求出點C和點E的坐標，利用待定系數(shù)法再求直線表達式．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+b分別交x，y軸于A，B兩點，∴點A（b，0），點B（0，b），∴S△ABC=12×BC×OA=12×(b?2)×b∵S△ABC＝2S△ACO，∴12解得b＝6；（2）由（1）知b＝6，直線AB表達式為y＝﹣x+6，∴A點坐標（6，0），B點坐標（0，6），設直線AC的表達式為y＝kx+b，將點A、C代入得，6k+b=0b=2，解得k=?∴直線AC的解析式為y=?13①當點P在第一象限時，過點P作PQ⊥x軸，交AC于點Q，設Q（x，?13x+2），則點P（x，﹣方法一：∴PQ＝﹣x+6﹣（?13x+2）∴S△PAC＝S△PCQ+S△PAQ=1＝12﹣2x，S△PCO=＝x，∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，則P點坐標（4，2）；方法二：∵S△PAC＝S△BCA﹣S△BCP，∴S△PAC==1＝12﹣2x，∵S△PCO=1∴S△PAC＝S△PCO，∴12﹣2x＝x，解得x＝4，∴P（4，2）；②當P點在第二象限時，設點P（x，﹣x+6），∴S△PAC＝S△PBC+S△ABC=1＝12﹣2x，S△PCO=＝﹣x，∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12，∴第二象限x＜0，x＝12不符合題意舍去，∴P點坐標（4，2）；（3）如圖，過點D作DF⊥CD交EC于點F，過點F作FH∠OD于H，設EC交x軸于點G．∵∠BEC＝∠CDO，∴∠BAO+∠EGA＝∠EGA+∠DCG，∴∠DCG＝∠AO＝45°，∴CD＝DF，∵∠FDH+∠CDO＝90°，∠CDO+∠DCO＝90°，∴∠DCO＝∠FDH，∵∠FHD＝∠DOC＝90°，∴△FHD≌△DOC（AAS），∴FH＝OD＝1，DH＝OC＝2，∴F（﹣3，1），∴直線CE的解析式為y=1【點評】本題是一次函數(shù)綜合題目，主要考查直角坐標系內(nèi)三角形面積計算，解題關鍵是熟練計算坐標系內(nèi)三角形面積，求出點E和點C的坐標，進而求出直線的表達式，【變式2-4】（2022春?朔州期末）綜合與探究如圖1，直線AB與坐標軸交于A，B兩點，已知點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（4，0），點C是線段AB上一點．知識初探：如圖1，求直線AB的解析式．探究計算：如圖2，若點C是線段AB的中點，則點C的坐標為（）拓展探究：如圖3，若點CB的垂線，交x軸于點M，求點M的坐標．類比探究：如圖4，過點C作線段AB的垂線，交x軸于點N，連接AN，當∠OAN＝∠CAN時，則點N的坐標為（）【分析】知識初探：利用待定系數(shù)法可求解析式；探究計算：由中點公式可得，點C（2，32拓展探究：連接AM，設M（m，0），則OM＝m，BM＝4﹣m，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AM＝BM，在Rt△AOM中，利用勾股定理求出m的值，即可求解；類比探究：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得NO＝NC，利用HL得Rt△OAN≌Rt△ACN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AC＝AO＝3，可得出BC＝AB﹣AC＝2，設點N的坐標為（n，0），則ON＝n，則CN＝n，BN＝4﹣n，在Rt△BCN中，由勾股定理即可求解．【解答】解：知識初探：設直線AB的解析式為y＝kx+b，將A，B兩點坐標代入，得4k+b=0b=3解得k=?3∴直線AB的解析式為y=?34探究計算：∵點C為線段AB的中點，點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（4，0），∴由中點公式得，點C（2，32故答案為：2，32拓展探究：連接AM，設M（m，0），則OM＝m，BM＝4﹣m，∵點C是線段AB的中點，CM⊥AB，∴AM＝BM＝4﹣m，在Rt△AOM中，AM2＝OM2+OA2，∴（4﹣m）2＝m2+32，∴m=7∴M（78類比探究：∵NC⊥AB，NO⊥OA，∴當∠OAN＝∠CAN時，即AN平分∠OAB時，NO＝NC，在Rt△OAN和Rt△ACN中，AN=ANNO=NC∴Rt△OAN≌Rt△ACN（HL），∴AC＝AO＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=A∴BC＝AB﹣AC＝2，設點N的坐標為（n，0），則ON＝n，則CN＝n，BN＝4﹣n，在Rt△BCN中，由勾股定理得（4﹣n）2﹣n2＝22，解得n=3∴點MN的坐標為（32故答案為：32【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法解析式，中點公式，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理是本題的關鍵．題型三一次函數(shù)與45°角問題題型三一次函數(shù)與45°角問題【例題3】（2022春?宛城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y=?43x+4分別交x軸、y軸于點A、B（1）將直線AB向下平移5個單位，所得直線的解析式是；（2）直接寫出與直線AB關于x軸對稱的直線的解析式；（3）若點P在x軸上，且∠APB＝45°，求點P的坐標；【分析】（1）由圖形平移的性質(zhì)求解即可；（2）求出A、B點坐標，然后求出A、B關于x軸的對稱點坐標，由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（3）由題意可知△OPB是等腰直角三角形，則OP＝OB，由此可求P點坐標；【解答】解：（1）直線AB向下平移5個單位，得到y(tǒng)=?4故答案為：y=?4（2）令x＝0，則y＝4，∴B（0，4），令y＝0，則x＝3，∴A（3，0），∴B點關于x軸的對稱點（0，﹣4），設直線AB：y=?43x+4關于x軸對稱的直線解析式為y∴3k﹣4＝0，∴k=4∴y=43（3）∵B（0，4），∴OB＝4，∵點P在x軸上，∠APB＝45°，∴點P在直線AB的兩側(cè)，OP＝OB＝4，∴P（﹣4，0）或（4，0）；【點評】本題考查次一函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式3-1】（2022春?大冶市期末）如圖1，直線y=12x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點E為y軸負半軸上一點，且S（1）求直線AE的解析式；（2）如圖2，直線y＝mx交直線AB于點M，交直線AE于點N，當S△OEN＝2S△OBM時，求m的值；（3）點P為直線AE上一點，若∠ABP＝45°，請直接寫出點P的坐標：．【分析】（1）設E（0，t），由三角形面積求出E（0，﹣4），再由待定系數(shù)法求出直線AE的解析式；（2）聯(lián)立方程組y=12x+2y=mx，求出M（42m?1，4m2m?1），聯(lián)立方程組y=?x?4y=mx，求出N（?（3）當P點在A點下方時，過A點作AC⊥AB交BP的延長線于點C，過A點作MN⊥x軸，過B點作BM⊥MN交于M，過C作CN⊥MN交于N，通過證明△ABM≌△CAN（AAS），求出點C（﹣2，﹣4），利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y＝3x+2，聯(lián)立方程組y=3x+2y=?x?4，即可求P（?32，?52）；當P【解答】解：（1）在y=12x+2中，令x∴B（0，2），令y＝0，則x＝﹣4，∴A（﹣4，0），設E（0，t），∴BE＝2﹣t，∵S△ABE＝12，∴12×（2﹣∴t＝﹣4，∴E（0，﹣4），設直線AE的解析式為y＝kx+b，∴?4k+b=0b=?4解得k=?1b=?4∴y＝﹣x﹣4；（2）∵S△OEN＝2S△OBM，∴4×（﹣xN）＝2×2xM，∴﹣xN＝xM，聯(lián)立方程組y=1解得x=4∴M（42m?1，4m聯(lián)立方程組y=?x?4y=mx解得x=?4∴N（?4m+1，∴42m?1∴m＝2，經(jīng)檢驗m＝2是方程的根，∴m＝2；（3）當P點在A點下方時，過A點作AC⊥AB交BP的延長線于點C，過A點作MN⊥x軸，過B點作BM⊥MN交于M，過C作CN⊥MN交于N，∵∠BAM+∠NAC＝90°，∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠NAC＝∠MBA，∵∠ABC＝45°，∴AC＝AB，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴BM＝AN，AM＝NC，∵B（0，2），A（﹣4，0），∴AM＝2，BM＝4，∴C（﹣2，﹣4），設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴?2k+b=?4b=2∴k=3b=2∴y＝3x+2，聯(lián)立方程組y=3x+2y=?x?4解得x=?3∴P（?32，當點P在A點上方時，過A點作AQ⊥BP交于點Q，過點Q作QG⊥x軸交于G點，∵∠QBA＝45°，∴AQ＝AB，∵∠QAB＝90°，∴∠QAG+∠BAO＝90°，∵∠QAG+∠AQG＝90°，∴∠BAO＝∠AQG，∴△AGQ≌△BOA（AAS），∴AG＝BO，QG＝AO，∴Q（﹣6，4），設直線BQ的解析式為y＝k'x+b'，∴b′=2?6k′+b′=4解得k′=?1∴y=?13聯(lián)立方程組y=?x?4y=?解得x=?9y=5∴P（﹣9，5）；綜上所述：P點的坐標（﹣9，5）或（?32，故答案為：（﹣9，5）或（?32，【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式3-2】（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=?23x+4與x軸交于點B，與y軸交于點A，點C為線段AB的中點，過點C作DC⊥x軸，垂足為（1）求A、B兩點的坐標；（2）若點E為y軸負半軸上一點，連接CE交x軸于點F，且CF＝FE，在直線CD上有一點P，使得AP+EP最小，求P點坐標；（3）如圖2，直線CD上是否存在點Q使得∠ABQ＝45°，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）對于y=?23x+4，令y=?23x+4＝0，解得：x＝6，令（2）作點A關于直線CD的對稱點A′（6，4），連接A′E交CD于點P，則點P為所求點，進而求解；（3）當點Q在AB上方時，證明△AHM≌△BOA（AAS），得到M的坐標為（4，10），進而求解；當點Q（Q′）在AB下方時，同理可解．【解答】解：（1）對于y=?23令y=?23x+4＝0，解得：x＝6，令x＝0，則故點A、B的坐標分別為（0，4）、（6，0）；（2）∵點C為線段AB的中點，則點C（3，2），如圖1，過點C作CH⊥y軸于點H，∵CF＝FE，故OF是△EHC的中位線，即點O是HE的中點，則點E（0，﹣2），作點A關于直線CD的對稱點A′（6，4），連接A′E交CD于點P，則點P為所求點，理由：AP+EP＝A′P+EP＝A′E為最小，設直線A′E的表達式為：y＝kx+b，則b=?24=6k+b，解得k=1故直線A′E的表達式為：y＝x﹣2，當x＝3時，y＝x﹣2＝1，故點P的坐標為（3，1）；（3）存在，理由：當點Q在AB上方時，如圖2，過點A作AM⊥BQ交BQ于點M，過點M作MH⊥y軸于點H，∵∠ABQ＝45°，∴AM＝AB，∵∠HMA+∠HAM＝90°，∠HAM+∠OAB＝90°，∴∠HMA＝∠AOB，在Rt△AHM和Rt△AOB中，∠HMA=∠BAO∠MHA=∠AOB=90°∴△AHM≌△BOA（AAS），∴AH＝OB＝6，HM＝AO＝4，故點M的坐標為（4，10），由點M、B的坐標得，直線BM的表達式為：y＝﹣5x+30，當x＝3時，y＝﹣5x+30＝15，故點Q的坐標為（3，15）；當點Q（Q′）在AB下方時，過點A作AN⊥AB交BQ′于點N，則點M、N關于點A對稱，由中點坐標公式得，點N（4，2），由點A、N得坐標得：直線AN得表達式為：y=15x當x＝3時，y=15x故點Q′的坐標為（3，?3【點評】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、點的對稱性，全等三角形的判定和性質(zhì)等，其中（3），需要分類求解，避免遺漏．【變式3-3】（2022秋?洪山區(qū)校級月考）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB分別交y軸、x軸于點A（0，a），點B（b，0），且a、b滿足|a﹣2|+2b+2（1）求a，b的值；（2）以AB為邊作Rt△ABC，點C在直線AB的右側(cè)且∠ACB＝45°，求點C的坐標；（3）若（2）的點C在第四象限（如圖2），AC與x交于點D，BC與y軸交于點E，連接DE，過點C作CF⊥BC交x軸于點F．①求證：CF=12②直接寫出點C到DE的距離．【分析】（1）由非負數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（2）分兩種情況：∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可求出點C的坐標；（3）①如圖3，過點C作CL⊥y軸于點L，則CL＝1＝BO，根據(jù)AAS可證明△BOE≌△CLE，得出BE＝CE，根據(jù)ASA可證明△ABE≌△BCF，得出BE＝CF，則結論得證；②如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，根據(jù)SAS可證明△CDE≌△CDF，可得∠CDE＝∠CDF，由角平分線的性質(zhì)可得CK＝CH＝1．【解答】（1）解：∵|a﹣2|+2b+2∵a﹣2≥0，2b+2≥∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，①當∠BAC＝90°時，如圖1，過點C作CG⊥OA于G，∴∠AGC＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠BAO＝∠ACG，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，在△AOB和△CGA中，∠CGA=∠AOB=90°∠ACG=∠BAO∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝OA﹣AG＝1，∴C（2，1）；②當∠ABC＝90°時，如圖2，過點C作CG⊥BD于G，同①得，△AOB≌△BGC（AAS），∴BG＝OA＝2，CG＝OB＝1，∴OG＝BG﹣OB＝1，∴C（1，﹣1）；即：滿足條件的點C（2，1）或（1，﹣1）；（3）①證明：如圖3，由（2）知點C（1，﹣1），過點C作CL⊥y軸于點L，則CL＝1＝BO，在△BOE和△CLE中，∠OEB=∠LEC∠EOB=∠ELC∴△BOE≌△CLE（AAS），∴BE＝CE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAO+∠BEA＝90°，∵∠BOE＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∠BAE=∠CBFAB=BC∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴CF=12②解：點C到DE的距離為1．如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，由①知BE＝CF，∵BE=12∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠CDE＝∠CDF，∴CK＝CH＝1．∴點C到DE的距離為1．【點評】本題是三角形綜合題，考查了非負數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．【變式3-4】（2020秋?濟南月考）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB經(jīng)過點C（a，a），且交x軸于點A（m，0），交y軸于點B（0，n），且m，n滿足m?6+（n﹣12）2（1）求直線AB的解析式及C點坐標；（2）設過點C的直線交x軸于點D，使得S△AOB＝S△ACD，求D點的坐標；（3）如圖2，點E（0，﹣2），點P為射線AB上一點，且∠CEP＝45°，求點P的坐標．【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)求出A、B兩點坐標，再利用待定系數(shù)法切線直線AB解析式即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的面積公式可得AD＝18，即可解決問題；（3）過點C作CF⊥CE交直線EP于點F，則△ECF為等腰直角三角形，求出直線PE解析式，利用方程組求交點坐標即可．【解答】解：（1）∵m?6+（n﹣12）2∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），設直線AB解析式為y＝kx+b，則：b＝12，6k+b＝0，解得：k＝﹣2，b＝12，∴直線AB解析式為y＝﹣2x+12，∵直線AB點C（a，a），∴a＝﹣2a+12，∴a＝4，∴點C坐標（4，4）；（2）如圖所示，∵A（6，0），B（0，12），∴S△AOB=12?OA?OBS△ADC=12×∴AD＝18，設D（n，0），∴n﹣6＝18或者n﹣6＝﹣18．即n＝24或者n＝﹣12，∴點D坐標（﹣12，0）或者（24，0）；（3）如圖，過點C作CF⊥CE交直線EP于點F，∵∠CEF＝45°，∴CE＝CF，過C作x軸垂線l，分別過F、E作FM⊥l，EN⊥l，∴∠FMC＝∠NCE＝90°，∠MCF+∠MFC＝90°，∵CF⊥CE，∴∠MCF+∠NCE＝90°，∴∠MFC＝∠NCE，∴△FMC≌△CNE（AAS），∴FM＝CN＝6，CM＝EN＝4，即F點坐標為（﹣2，8），由E（0，﹣2），得直線EF的解析式為：y＝﹣5x﹣2，聯(lián)立y＝﹣5x﹣2，y＝﹣2x+12，得：x=?143，y即點P坐標為：（?143，【點評】本題考查一次函數(shù)綜合題、考查非負數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是構造等腰直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．【變式3-5】（2022?江北區(qū)開學）在平面直角坐標系中，點A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0），D是線段AB上一點，CD交y軸于點E，且S△BCE＝2S△AOB．（1）求直線AB的解析式；（2）求點D的坐標；（3）猜想線段CE與線段AB的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由；（4）若F為射線CD上一點，且∠DBF＝45°，求點F的坐標．【分析】（1）設直線AB的函數(shù)解析式為：y＝kx+b，代入A、B坐標；（2）設E（0，t），根據(jù)S△BCE＝2S△AOB，得12×3×（3?t）＝3，從而E（0，1），設直線CE的函數(shù)解析式為：y＝mx+n，將C、E的坐標代入得出直線CE的解析式，與直線（3）通過SAS證明△COE≌△BOA，得CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，可得∠OCE+∠BAO＝∠OBA+∠BAO＝90°，即可得出結論；（4）當點F在線段CD上時，過點D作GH∥y軸，過點B、F分別作GH的垂線，垂足分別為G、H點，可證△BDG≌△DFH（AAS），得FH＝DG＝3?65=95，DH＝BG=35，從而點F（65，35），當點F【解答】解：（1）設直線AB的函數(shù)解析式為：y＝kx+b，∵點A（﹣1，0），B（0，3），則?k+b=0b=3∴k=3b=3∴直線AB的函數(shù)解析式為：y＝3x+3；（2）設E（0，t），∵A（﹣1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴S△AOB=12×∵S△BCE＝2S△AOB，∴S△BCE＝3，∴12×3×（3?解得t＝1，∴E（0，1），設直線CE的函數(shù)解析式為：y＝mx+n，將C、E的坐標代入得：3m+n=0n=1∴m=?1∴直線CE的函數(shù)解析式為：y=?13當?13x+1＝3∴x=?3則y=6∴D（?35，（3）猜想：CE＝AB，CE⊥AB，理由如下：∵OE＝OA＝1，OC＝OB＝3，∠COE＝∠BOA＝90°，∴△COE≌△BOA（SAS），∴CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，∵∠OBA+∠BAO＝90°，∴∠OCE+∠BAO＝90°，∴∠CDA＝90°，∴CE⊥AB；（4）在射線CD上存在兩個F點，使∠DBF＝45°，如圖，當點F在線段CD上時，過點D作GH∥y軸，過點B、F分別作GH的垂線，垂足分別為G、H點，∵CD⊥AB，∠DBF＝45°，∴∠DBF＝∠DFB＝45°，∴BD＝DF，∵∠BDG+∠FDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝90°，∴∠FDH＝∠DBG，又∵∠BGD＝∠DHF，∴△BDG≌△DFH（AAS），∴FH＝DG＝3?65=95，∴點F（65，3當點F在CD的延長線上時，由對稱性可知F（?125，綜上點F的坐標為：（65，35）或（?12【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求直線解析式，三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，構造K型全等是解題的關鍵．題型四一次函數(shù)與角度有關的綜合問題題型四一次函數(shù)與角度有關的綜合問題【例題4】（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l的解析式為y=?43x+b，它與坐標軸分別交于A、B兩點，已知點（1）求出A點的坐標．（2）在第一象限的角平分線上是否存在點Q使得∠QBA＝90°？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．（3）點P為y軸上一點，連結AP，若∠APO＝2∠ABO，求點P的坐標．【分析】（1）將點B代入直線，求出直線解析式y(tǒng)=?43x+b，然后求直線與（2）點Q在第一象限角平分線上，設Q（x，x），利用勾股定理列方程，即可求出點Q的標；（3）分兩種情況，①點P為y軸正半軸上一點；②點P為y軸負半軸上一點，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵B的縱坐標為4．直線ly=?43x+b，與坐標軸分別交于A、∴點B（0，4），將點B（0，4）代入直線l的解析式y(tǒng)=?43x+b得：∴直線l的解析式為：y=?43令y＝0得：x＝3，∴A（3，0）；（2）存在，∵A（3，0），B（0，4），∴AB=O∵Q在第一象限的角平分線上，設Q（x，x），根據(jù)勾股定理：QB2+BA2＝QA2，x2+（x﹣4）2+52＝x2+（x﹣3）2，解得x＝16，故Q（16，16）；（3）如圖：①當點P為y軸正半軸上一點時，∵∠APO＝2∠ABO，∠APO＝∠ABO+∠PAB，∴∠ABO＝∠PAB，∴PA＝PB，設P（0，p），∴PA2＝PB2，∴32+p2＝（4﹣p）2，∴p=7∴P（0，78②當點P為y軸負半軸上一點時，∠AP′P＝∠APO＝2∠ABO，∴AP＝AP′，∵AO⊥PP′，∴OP′＝OP=7∴P′（0，?7綜上所述：點P的坐標為（0，78）或P（0，?【點評】此題一次函數(shù)的綜合題，考查了點的坐標、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結合思想以及分類思想解決問題是本題的關鍵．【變式4-1】（2022?叢臺區(qū)校級模擬）如圖，點P（a，a+3）是直角坐標系xOy中的一個動點，直線l1：y＝2x+6與x軸，y軸分別交于點A，B，直線l2經(jīng)過點B和點（6，3）并與x軸交于點C．（1）求直線l2的表達式及點C的坐標；（2）點P會落在直線l1：y＝2x+6上嗎？說明原因；（3）當點P在△ABC的內(nèi)部時．①求a的范圍；②是否存在點P，使得∠OPA＝90°？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)是解析式即可；（2）將點P代入直線l1：y＝2x+6，判斷a是否有解即可；（3）①由題意可知P點在直線y＝x+2上，只需判斷該直線在△ABC內(nèi)部時的a的取值即可；②設AO的中點M為（?54，0），由題意可知PM=12【解答】解：（1）令x＝0，則y＝6，∴B（0，6），令y＝0，則x＝﹣3，∴A（﹣3，0），設直線l2的解析式為y＝kx+b，b=66k+b=3解得k=?1∴y=?12令y＝0，則x＝12，∴C（12，0）；（2）將點P（a，a+3）代入y＝2x+6，∴a+3＝2a+6，解得a＝﹣3，∴P（﹣3，0），∴P點會落在直線l1上；（3）①∵P（a，a+3），∴P點在直線y＝x+3上，令y＝0，則x＝﹣3，∴直線y＝x+2與x軸的交點為（﹣3，0），聯(lián)立方程組y=?1解得x=2y=5∴直線y＝x+3與直線BC交點為（2，5），∵點P在△ABC的內(nèi)部，∴﹣3＜a＜2；②存在點P，使得∠OPA＝90°，理由如下：∵A（﹣3，0），∴AO＝3，設AO的中點M為（?3∵∠OPA＝90°，∴PM=12∴(a+32a2+9a+9＝0，(a+9a1=?32∴P1(?32，3∴P（?32，【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．【變式4-2】（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖1，直線y=34x和直線y=?12x+b相交于點A，直線y=?12x+b與x軸交于點C，點P在線段AC上，PD⊥x軸于點（1）點C的坐標為；（2）當QP＝OA時，求Q點的坐標．（3）如圖2，在（2）的條件下，∠OQP平分線交x軸于點M．①求出M點的坐標．②在線段QM上找一點N，使△AON的周長最小，直接寫出周長最小值．【分析】（1）求出A的坐標為（4，3），用待定系數(shù)法求出直線AC的表達式，即可求解；（2）設P（n，?12n+5），Q（n，34n），則PQ=34n﹣（?12n+5）=54（3）①證明∠OQM＝∠OHM，則OH＝OQ=82+②作點A關于直線HM的對稱點A′，連接AO交QM于點N，則AN＝AN′，此時△AON的周長最小，進而求解．【解答】解：（1）當x＝4時，y=34x＝3，即點將點A的坐標代入y=?12x+b得：3＝﹣2+b故直線AC的表達式為：y=?12x+5，令y＝0，解得故點C（10，0），故答案為：（10，0）；（2）∵點A的坐標為（4.3），∴OA=4∵C（10，0），設P（n，?12n+5），Q（n，3∴PQ=34n﹣（?12n∵QP＝OA，∴54n﹣5＝5，解得：n∴P（8，1），Q（8，6）；（3）①延長QM交y軸于點H，∵QD∥y軸，則∠OHM＝∠MQD，∵∠OQP平分線交x軸于點M，則∠MQO＝∠MQD，∴∠OQM＝∠OHM，∴OH＝OQ=8故點H（0，﹣10），由點H、Q的坐標得，直線QH的表達式為：y＝2x﹣10，令y＝2x﹣10＝0，解得x＝5，故點M（5，0）；②作點A關于直線HM的對稱點A′，∵QM是∠OQD的角平分線，故A′在QD上，連接AO交QM于點N，則AN＝AN′，此時△AON的周長最小，理由：△AON的周長＝AO+ON+A′N＝AO+ON+A′N＝AO+A′O最小，由點A、Q的坐標知，點A是QO的中點，則AQ＝AO＝5＝QA′，則點A′（8，1），則△AON的周長最小值＝AO+A′O＝5+82+1故答案為：5+65【點評】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)與坐標軸的交點，點的對稱性，平行線的性質(zhì)等，利用點的對稱性求線段和的最小值，是解本題的關鍵．【變式4-3】（2022秋?常州期末）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=?43x+43的圖象l1與x軸交于點A，一次函數(shù)y＝x+6的圖象l2與x軸交于點B，與l1交于點P．直線l3過點A且與x軸垂直，（1）分別求出點A、P的坐標；（2）設直線PC對應的函數(shù)表達式為y＝kx+b，且滿足函數(shù)值y隨x的增大而增大．若△PCA的面積為15，分別求出k、b的值；（3）是否存在點C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）令y＝0，即可求解點A的坐標，聯(lián)立y=?43x+（2）由（1）點A的坐標可知l3為直線x＝1，可設點C的坐標為（1，t），根據(jù)直線PC的單調(diào)性可知k＞0即t＞4，再根據(jù)三角形的面積公式解得t，把點C、P的坐標代入y＝kx+b求解即可；（3）過點P作PE⊥l3于點E，由勾股定理求得AP，由2∠PCA+∠PAB＝90°和直角三角形的性質(zhì)可得∠PAE＝2∠PCA，分兩種情況討論：①當點C1在x軸下方時，②當點C2在x軸上方時，由等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）令y＝0，得?4解得x＝1，∴A（1，0），聯(lián)立y=?4解得x=?2y=4∴P（﹣2，4）．（2）點A（1，0）可知l3為直線x＝1，設點C的坐標為（1，t），∵函數(shù)值y隨x的增大而增大，P（﹣2，4），∴k＞0，t＞4，∴S△PCA∴t＝10，∴C（1，10），將P（﹣2，4）、C（1，10）代入y＝kx+b，得?2k+b=4k+b=8解得k=2b=8∴k＝2，b＝8．（3）過點P作PE⊥l3于點E，∵P（﹣2，4），A（1，0），∴E（1，4），∵l3⊥x軸，∴∠AEP＝∠EAO＝90°，∴PE＝1﹣（﹣2）＝3，AE＝4，在Rt△AEP中，AP=A∵2∠PCA+∠PAB＝90°，∠PAE+∠PAB＝90°，∴∠PAE＝2∠PCA，①當點C1在x軸下方時，連接PC1，∵∠PAE＝∠PC1A+∠APC1＝2∠PC1A，∴AC1＝AP＝5，∴C1（1，﹣5），②當點C2在x軸上方時，連接PC2，∵∠PC2A＝∠PC1A，∴PC1＝PC2，又∵PE⊥C1C2，∴EC1＝EC2，∵EC1＝AE+AC1＝4+5＝9，∴EC2＝9，∴AC2＝AE+EC2＝4+9＝13，∴C2（1，13），綜上，存在，C（1，﹣5）或C（1，13）．【點評】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點，求一次函數(shù)解析式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式4-4】（2022秋?市中區(qū)校級期末）如圖，直線y＝﹣x+4和直線y＝2x+1相交于點A，分別與y軸交于B，C兩點．（1）求點A的坐標；（2）在x軸上有一