高考數(shù)學一輪復習考點探究與題型突破第42講直線、平面垂直的判定與性質(原卷版+解析)

第42講直線、平面垂直的判定與性質1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α考點1直線、平面垂直的判定與性質[名師點睛]證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質．(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．[典例]如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[舉一反三](2023·全國甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F－EBC的體積；(2)已知D為棱A1B1上的點，證明：BF⊥DE.考點2平面與平面垂直的判定與性質[名師點睛](1)面面垂直判定的兩種方法與一個轉化①兩種方法：(i)面面垂直的定義；(ii)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).②一個轉化：在已知兩個平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化.在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.(2)面面垂直性質的應用①兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內的直線”.②兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線垂直于第三個平面.[典例](2023·全國乙卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，且PB⊥AM.(1)證明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱錐P－ABCD的體積.[舉一反三]1.(2023·全國Ⅰ)如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，∠APC＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；(2)設DO＝eq\r(2)，圓錐的側面積為eq\r(3)π，求三棱錐P－ABC的體積．2.(2023·江蘇鎮(zhèn)江八校聯(lián)考)如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．考點3平行、垂直關系的綜合應用[名師點睛]三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.求解時應注意垂直的性質及判定的綜合應用.如果有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.[典例]如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點.求證：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.[舉一反三]如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點．(1)求證：AF∥平面SEC；(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一點M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq\f(BM,BS)的值；若不存在，請說明理由．考點4幾何法求空間角[名師點睛]1.求線面角的三個步驟：一作(找)角，二證明，三計算，其中作(找)角是關鍵，先找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉化到三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.[典例]例1如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點.(1)證明：△PBC是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且當直線PC與平面ABC所成角的正切值為eq\r(2)時，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△PBC為正三角形，M，N分別為PD，BC的中點，PN⊥AB.(1)求三棱錐P－AMN的體積；(2)求二面角M－AN－D的正切值.[舉一反三]如圖，平面ABCD⊥平面ABE，且四邊形ABCD為正方形，AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F(xiàn)為AC的中點.(1)求證：AC⊥平面BEF；(2)求直線AD與平面ACE所成的角的正弦值.第42講直線、平面垂直的判定與性質1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α考點1直線、平面垂直的判定與性質[名師點睛]證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質．(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．[典例]如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[舉一反三](2023·全國甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F－EBC的體積；(2)已知D為棱A1B1上的點，證明：BF⊥DE.(1)解如圖，取BC的中點為M，連接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝eq\f(1,2)AB＝1，AB∥A1B1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，故V三棱錐F－EBC＝V三棱錐E－FBC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BC×CF×EM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).(2)證明連接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1內．在正方形CC1B1B中，由于F，M分別是CC1，BC的中點，所以由平面幾何知識可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE?平面EMB1A1，所以BF⊥DE.考點2平面與平面垂直的判定與性質[名師點睛](1)面面垂直判定的兩種方法與一個轉化①兩種方法：(i)面面垂直的定義；(ii)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).②一個轉化：在已知兩個平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化.在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.(2)面面垂直性質的應用①兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內的直線”.②兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線垂直于第三個平面.[典例](2023·全國乙卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，且PB⊥AM.(1)證明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱錐P－ABCD的體積.(1)證明∵PD⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，∴PD⊥AM.∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB，PD?平面PBD，∴AM⊥平面PBD.又AM?平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD.(2)解∵M為BC的中點，∴BM＝eq\f(1,2)AD.由題意可知AB＝DC＝1.∵AM⊥平面PBD，BD?平面PBD，∴AM⊥BD，由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，易得△BAM∽△ADB，所以eq\f(BM,AB)＝eq\f(AB,AD)，即eq\f(\f(1,2)AD,1)＝eq\f(1,AD)，得AD＝eq\r(2)，所以S矩形ABCD＝AD·DC＝eq\r(2)×1＝eq\r(2)，則四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f(1,3)S矩形ABCD·PD＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),3).[舉一反三]1.(2023·全國Ⅰ)如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，∠APC＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；(2)設DO＝eq\r(2)，圓錐的側面積為eq\r(3)π，求三棱錐P－ABC的體積．(1)證明∵D為圓錐頂點，O為底面圓心，∴OD⊥平面ABC，∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴PA＝PB＝PC，∵△ABC是圓內接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC，∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PB⊥PC，PA⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，PC?平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.(2)解設圓錐的母線為l，底面半徑為r，圓錐的側面積為πrl＝eq\r(3)π，rl＝eq\r(3)，OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，l＝eq\r(3)，AC＝2rsin60°＝eq\r(3)，在等腰直角三角形APC中，AP＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(6),2)，在Rt△PAO中，PO＝eq\r(AP2－OA2)＝eq\r(\f(6,4)－1)＝eq\f(\r(2),2)，∴三棱錐P－ABC的體積為VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(6),8).2.(2023·江蘇鎮(zhèn)江八校聯(lián)考)如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．證明：(1)如圖，在平面ABC內取一點D，過點D作DF⊥AC于點F.因為平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，所以DF⊥平面PAC.因為PA?平面PAC，所以DF⊥PA.過點D作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.因為DG，DF都在平面ABC內，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.(2)如圖，連接BE并延長交PC于點H.因為點E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，所以PC⊥AE.因為AE∩BH＝E，所以PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以PA⊥AB.因為PA∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．考點3平行、垂直關系的綜合應用[名師點睛]三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.求解時應注意垂直的性質及判定的綜合應用.如果有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.[典例]如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點.求證：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.證明(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC.因為ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以EF∥DG.又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.[舉一反三]如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點．(1)求證：AF∥平面SEC；(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一點M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq\f(BM,BS)的值；若不存在，請說明理由．(1)證明如圖，取SC的中點G，連接FG，EG，∵F，G分別是SB，SC的中點，∴FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC，∵四邊形ABCD是菱形，E是AD的中點，∴AE∥BC，AE＝eq\f(1,2)BC，∴FG∥AE，F(xiàn)G＝AE，∴四邊形AFGE是平行四邊形，∴AF∥EG，又AF?平面SEC，EG?平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)證明∵△SAD是等邊三角形，E是AD的中點，∴SE⊥AD，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等邊三角形，又E是AD的中點，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE?平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG?平面SEC，∴AD⊥EG，又四邊形AFGE是平行四邊形，∴四邊形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F(xiàn)是SB的中點，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，F(xiàn)G?平面SBC，SB?平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF?平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解存在點M滿足題意．假設在棱SB上存在點M，使得BD⊥平面MAC，連接MO，BE，則BD⊥OM，∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形，∴BE＝eq\r(7)，SE＝eq\r(3)，BD＝2OB＝2eq\r(3)，SD＝2，SE⊥AD，∵側面SAD⊥底面ABCD，側面SAD∩底面ABCD＝AD，SE?平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝eq\r(SE2＋BE2)＝eq\r(10)，∴cos∠SBD＝eq\f(SB2＋BD2－SD2,2SB·BD)＝eq\f(3\r(30),20)，∴eq\f(OB,BM)＝eq\f(3\r(30),20)，∴BM＝eq\f(2\r(10),3)，∴eq\f(BM,BS)＝eq\f(2,3).考點4幾何法求空間角[名師點睛]1.求線面角的三個步驟：一作(找)角，二證明，三計算，其中作(找)角是關鍵，先找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉化到三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.[典例]例1如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點.(1)證明：△PBC是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且當直線PC與平面ABC所成角的正切值為eq\r(2)時，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.(1)證明∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動點.∴BC⊥AC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形.(2)解如圖，過A作AH⊥PC于H，連接BH，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角.∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是直線PC與平面ABC所成的角，∴tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(2)，又PA＝2，∴AC＝eq\r(2)，∴在Rt△PAC中，AH＝eq\f(PA·AC,\r(PA2＋AC2))＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝eq\f(AH,AB)＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)＝eq\f(\r(3),3)，故直線AB與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△PBC為正三角形，M，N分別為PD，BC的中點，PN⊥AB.(1)求三棱錐P－AMN的體積；(2)求二面角M－AN－D的正切值.解(1)∵PB＝PC，∴PN⊥BC，又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD.∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，M為PD的中點，