高考數(shù)學(xué)微專題集專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)1橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用(原卷版+解析)

專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)1橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)1橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用【微點(diǎn)綜述】從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)暗含了幾何圖形對(duì)稱性這一重要幾何性質(zhì)，而切線、過中心和過焦點(diǎn)的弦的問題又是考查圓錐曲線定義和直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常選角度，因此，熟練掌握?qǐng)A錐曲線的光學(xué)性質(zhì)并有意識(shí)地應(yīng)用其解題，則可以提高我們解題的效率．因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)和新定義的相關(guān)問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．本專題我們來研究橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用．一、橢圓的光學(xué)性質(zhì)【定理】從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖1）．橢圓的這種光學(xué)特性常被用來設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置．例如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上．二、橢圓光學(xué)性質(zhì)的證明橢圓光學(xué)性質(zhì)的證明，分幾何證法和代數(shù)證法．幾何證明需要用到以下幾個(gè)引理：1．幾個(gè)引理【引理1】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．證明：在直線上任取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有，即，得證．．【引理2】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長線和直線的交點(diǎn)．證明：在直線上任取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有，即，得證．【引理3】設(shè)橢圓方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓外，則．證明：連結(jié)交橢圓于點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有，即（其實(shí)若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有，證明方法類似）．下面我們把橢圓的光學(xué)性質(zhì)定理1轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)命題例1，并給出幾何證法和代數(shù)證法．2．橢圓光學(xué)性質(zhì)的幾何證明例11．已知：如圖，橢圓，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過橢圓上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）．求證：．（人射角等于反射角）3．橢圓光學(xué)性質(zhì)的代數(shù)證明例1的證明（代數(shù)法）：要證明反射光線經(jīng)過，只需要證明直線與的夾角和與的夾角相等即可．設(shè)，即證．由兩邊對(duì)求導(dǎo)得切線的斜率，，又，由可得，．即直線到對(duì)于的角等于直線到直線的角，所以經(jīng)過左焦點(diǎn)的入射光線射到橢圓壁經(jīng)橢圓壁反射后的反射光線為，即反射光線經(jīng)過右焦點(diǎn)．故命題得證．上面我們用幾何法和代數(shù)法怎么了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，實(shí)際上，如果把光源改為聲源，上述結(jié)論仍成立，即圓錐曲線也具有跟光學(xué)性質(zhì)相似的聲學(xué)性質(zhì)．三、橢圓光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)的應(yīng)用1．解決入射與反射問題例22．已知橢圓方程為，若有光束自焦點(diǎn)射出，經(jīng)二次反射回到點(diǎn)．設(shè)二次反射點(diǎn)為，如圖所示△的周長為多少?2．橢圓的光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用圓錐曲線的光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，下面各舉一些例子進(jìn)行說明．從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光源(或聲源)，經(jīng)過橢圓反射后，會(huì)交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上(見圖)．橢圓的這種光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中，如北京天壇的回音壁也是根據(jù)這個(gè)原理建造的．這里還有一個(gè)傳說，據(jù)說二戰(zhàn)時(shí)期德軍有一個(gè)橢圓面的洞穴，是用來關(guān)押俘虜?shù)?，曾?jīng)有一次被關(guān)押的俘虜在洞中秘密商討逃跑的計(jì)劃，可每次逃跑的計(jì)劃都被敵人識(shí)破，百思不得其解，于是以為俘虜中出現(xiàn)了內(nèi)奸．其實(shí)，俘虜中并沒有出現(xiàn)內(nèi)奸，而是俘虜們商討的地方正好位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)位置上，而看守卻位于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)位置，雖然商討的聲音很小聲，但經(jīng)橢圓面墻壁反射后集中看守所在的位置上，所以看守可以聽得清清楚楚，于是逃跑計(jì)劃總是無法實(shí)施．又如，電影放映機(jī)的聚光燈有一個(gè)反射、鏡，見圖，它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢圓面．為了使片門(電影膠片通過的地方)處獲得最強(qiáng)的光線，燈絲F2與片門F應(yīng)位于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)處，這就是利用橢圓光學(xué)性質(zhì)的又一個(gè)實(shí)例．例33．橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)，是它的焦點(diǎn)，長軸長為，焦距為，靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過的路程可以是（

）A． B． C． D．例44．橢圓有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，已知橢圓長軸長為，焦距為，若一條光線從橢圓的左焦點(diǎn)出發(fā)，第一次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程為，則橢圓的離心率為______.例5(2023·海南中學(xué)高三月考）5．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部都會(huì)經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．例6(2023·安徽·安慶一中高三月考）6．如圖①，橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖②，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖③，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線構(gòu)成，已知與的離心率之比為.現(xiàn)一光線從右焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與的反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒.將裝置中的去掉，如圖④，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)___________.秒例7(2023·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）7．生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從下焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到上焦點(diǎn)，這束光線的總長度為4，且反射點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過橢圓上的A、B點(diǎn)后射到直線上的M、N兩點(diǎn)，若AB連線過橢圓的上焦點(diǎn)，試問，直線BM與直線AN能交于一定點(diǎn)嗎？若能，求出此定點(diǎn)：若不能，請(qǐng)說明理由.例88．歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點(diǎn)現(xiàn)有一橢圓，長軸長為，從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射之后恰好與軸垂直，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為且不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，且滿足．①證明：直線過定點(diǎn)；②若，求的值．例9(2023重慶巴蜀中學(xué)高三月考）9．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：（1）求橢圓C的離心率；（2）點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為在l上的射影H在圓上，求橢圓C的方程．例1010．雨過天晴時(shí)，我們常能見到天空的彩紅，這種現(xiàn)象是陽光經(jīng)空氣中的水滴反射與折射綜合產(chǎn)生的自然現(xiàn)象．為研究方便將水滴近似視為一個(gè)球體．且各光線在球的同一截面大圓內(nèi)．Ⅰ．如圖1，入射光線經(jīng)折射進(jìn)入該球體內(nèi)部，折射光線經(jīng)一次內(nèi)部反射形成反射光線，再折射出球體外得到折射光線．當(dāng)∥時(shí)，則稱為光線為虹；Ⅱ．如圖2，入射光線經(jīng)折射進(jìn)入該球體內(nèi)部，折射光線經(jīng)兩次內(nèi)部反射形成反射光線，．再折射出球體外得到折射光線，當(dāng)∥時(shí)則稱為光線為霓．圖1

圖2

圖3

可參考的物理光學(xué)反射與折射的知識(shí)，有如下定義與規(guī)律：III．光被鏡面反射時(shí)，過入射點(diǎn)與鏡面垂直的直線稱為法線，入射光線與反射光線與法線的夾角分別稱為入射角與反射角，則入射角等于反射角；IV．從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時(shí)，入射角與折射角折射光線與法線的夾角的正弦之比叫做介質(zhì)2相對(duì)介質(zhì)1的折射角，即．設(shè)球半徑r=1．球?yàn)槟撤N透光性較高的介質(zhì)．空氣相對(duì)該介質(zhì)的折射率為．圓弧對(duì)光線入射或折射時(shí)，其反射鏡面為過入射（或反射）點(diǎn)的圓切線，法線為過該點(diǎn)的半徑所在直線．（1）圖3中，入射光線經(jīng)入射點(diǎn)P進(jìn)入球內(nèi)得到折射光線，過P的圓切線為，過點(diǎn)P的半徑所在直線為法線，設(shè)入射角，若球介質(zhì)的折射率，求折射角大??；（2）圖1中，設(shè)初始入射光線的入射角為，球介質(zhì)的折射率=1.5．折射光線為虹，求；（3）圖2中，設(shè)初始入射光線的入射角為，球介質(zhì)的折射率，折射光線為霓，求．【強(qiáng)化訓(xùn)練】11．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：，點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的最短路程是.A．20 B．18C．16 D．以上均有可能12．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：，點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從A點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的最長路程是A．20 B．18 C．16 D．1413．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律:如圖，衛(wèi)星在以地球的中心為焦點(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地心的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等設(shè)該橢圓的長軸長、焦距分別為，.某同學(xué)根據(jù)所學(xué)知識(shí)，得到下列結(jié)論:①衛(wèi)星向徑的取值范圍是②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁③衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間④衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．①③④14．如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：已知曲線的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別是，，直線與橢圓切于點(diǎn)，且，過點(diǎn)且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點(diǎn)，則A． B． C． D．15．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．直線l：與橢圓C：相切于點(diǎn)P，橢圓C的焦點(diǎn)為，，由光學(xué)性質(zhì)知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（

）A． B．C． D．16．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：，點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從A點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的最長路程是A．20 B．18 C．16 D．1417．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程，點(diǎn)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)．當(dāng)靜止的小球從點(diǎn)開始出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)橢圓壁反射后再回到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)小球經(jīng)過的路程可能是（

）A．32或4或 B．或28或C．28或4或 D．32或28或418．傳說，意大利的西西里島有個(gè)山洞是用來關(guān)押罪犯的，罪犯?jìng)冊(cè)啻蚊苤\商議逃跑，但不管多完美的計(jì)劃都會(huì)被獄率發(fā)現(xiàn)，原來山洞內(nèi)的空間是一個(gè)橢球體，最大截面部分是一個(gè)橢圓面，罪犯和獄率所待的地方正好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，罪犯?jìng)冋f的話經(jīng)過洞壁的反射，最終都傳向了獄警所在的地方，即橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，這里面含著橢圓的光學(xué)性質(zhì).請(qǐng)利用橢圓的該性質(zhì)解決下列問題：已知是橢圓：上的點(diǎn).、是橢圓的左右焦點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到橢圓在處的切線的距離為（

）A． B． C． D．(2023·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）19．桂林山水甲天下，那里水?山秀，聞名世界，桂林的山奇特險(xiǎn)峻，甲、乙兩名探險(xiǎn)家在桂林山中探險(xiǎn)，他們來到一個(gè)山洞，洞內(nèi)是一個(gè)橢球形，截面是一個(gè)橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的兩點(diǎn)處，甲站在處唱歌時(shí)離處有一定距離的乙在處聽得很清晰，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，符合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，即從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，現(xiàn)已知橢圓：上一點(diǎn)，過點(diǎn)作切線，兩點(diǎn)為左右焦點(diǎn)，，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心到切線的距離為（

）A． B．10 C． D．7(2023江蘇南通·高三月考）20．橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn).電影放映機(jī)聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，燈絲（看成一個(gè)點(diǎn)）在橢圓的右焦點(diǎn)處，燈絲與反射鏡的頂點(diǎn)A的距離，過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦，在x軸上移動(dòng)電影機(jī)片門，將其放在光線最強(qiáng)處，則片門應(yīng)離燈絲（

）cm.A．10 B．11 C．12 D．1321．橢圓有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn)，已知橢圓，其長軸的長為，焦距為，若一條光線從橢圓的左焦點(diǎn)出發(fā)，第一次回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程為，則橢圓的離心率為_____.22．一般地，我們把離心率為的橢圓稱為“黃金橢圓”．對(duì)于下列命題：①橢圓是黃金橢圓；②若橢圓是黃金橢圓，則；③在中，，且點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的黃金橢圓上，則的周長為；④過黃金橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于長軸的垂線，交橢圓于兩點(diǎn)，則；⑤設(shè)是黃金橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓上滿足的點(diǎn)不存在．其中所有正確命題的序號(hào)是______．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）23．已知橢圓：，其焦距為，若，則稱橢圓為“黃金橢圓”.黃金橢圓有如下性質(zhì)：“黃金橢圓”的左、右焦點(diǎn)分別是，，以,，，為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)，.（1）類比“黃金橢圓”的定義，試寫出“黃金雙曲線”的定義；（2）類比“黃金橢圓”的性質(zhì)，試寫出“黃金雙曲線”的性質(zhì)，并加以證明.24．橢圓具有如下的光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反射后恰好穿過另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)從橢圓的左焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線，經(jīng)過橢圓內(nèi)壁兩次反射后，回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的總路程為______．25．橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤,點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn),長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑忽略不計(jì))從點(diǎn)A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)A時(shí),小球經(jīng)過的路程是_____________.26．已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向橢圓上任一點(diǎn)，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．若從橢圓的左焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點(diǎn)，光線經(jīng)過的路程為8，T的離心率為．(1)求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，且，過點(diǎn)D的直線l與橢圓T交于不同的兩點(diǎn)M，N，是T的右焦點(diǎn)，且與互補(bǔ)，求面積的最大值．27．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于該橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．橢圓有光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓面反射后經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，即橢圓上任意一點(diǎn)P處的切線與直線、的夾角相等．已知，垂足為，，，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．(1)求截口BAC所在橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P為橢圓C上除長軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)．①是否存在m，使得P到和P到直線的距離之比為定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，請(qǐng)說明理由；②若的角平分線PQ交y軸于點(diǎn)Q，設(shè)直線PQ的斜率為k，直線、的斜率分別為，，請(qǐng)問是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由．28．橢圓具有如下的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線會(huì)交于橢圓的另焦點(diǎn)上.已知焦距為2的橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的一條不與x軸重合的光線，在橢圓上依次經(jīng)M，N兩點(diǎn)反射后，又回到點(diǎn)，這個(gè)過程中光線所經(jīng)過的總路程為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線，且滿足，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2023河南開封·高二期末）29．橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，．從發(fā)出的一條光線，經(jīng)橢圓上，兩點(diǎn)（均不與，重合）各反射一次后，又回到點(diǎn)，這個(gè)過程中光線所經(jīng)過的總路程為．（1）求橢圓的長軸長；（2）若橢圓的焦距為，直線與直線交于點(diǎn)，證明，，三點(diǎn)共線．30．已知橢圓：的上?下頂點(diǎn)分別為，，且短軸長為，為橢圓上任意一點(diǎn)，直線，的斜率之積為，，依次為左?右焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）山不會(huì)忘記你，河不會(huì)忘記你，祖國不會(huì)忘記你!南仁東，“天眼”之父，被追授“時(shí)代楷?！睒s譽(yù)稱號(hào).24年，8000多個(gè)日夜，500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡首席科學(xué)家?總工程師南仁東心無旁騖，為崇山峻嶺間的“中國天眼”燃盡生命，在世界天文史上鐫刻下新的高度.“天眼”是世界上最大?最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，它看似一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號(hào).調(diào)試期的“天眼”已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了多顆脈沖星，成為國際矚目的宇宙觀測(cè)“利器”.在黨的十九大報(bào)告中，“天眼”與天宮?蛟龍?大飛機(jī)等一起，被列為創(chuàng)新型國家建設(shè)的豐碩成果……南仁東來不及目睹.但他執(zhí)著追求科學(xué)夢(mèng)想的精神，將激勵(lì)一代又一代科技工作者繼續(xù)奮斗，勇攀世界科技高峰.在“天眼”的建設(shè)中大量用到了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請(qǐng)以上面的橢圓為代表，證明：由焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點(diǎn)后反射，反射光線必經(jīng)過另一焦點(diǎn).(溫馨提示：光線射到曲線上某點(diǎn)反射時(shí)，法線垂直于該點(diǎn)處的切線)專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)1橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用專題25圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用微點(diǎn)1橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用【微點(diǎn)綜述】從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)暗含了幾何圖形對(duì)稱性這一重要幾何性質(zhì)，而切線、過中心和過焦點(diǎn)的弦的問題又是考查圓錐曲線定義和直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常選角度，因此，熟練掌握?qǐng)A錐曲線的光學(xué)性質(zhì)并有意識(shí)地應(yīng)用其解題，則可以提高我們解題的效率．因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)和新定義的相關(guān)問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．本專題我們來研究橢圓的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用．一、橢圓的光學(xué)性質(zhì)【定理】從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖1）．橢圓的這種光學(xué)特性常被用來設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置．例如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上．二、橢圓光學(xué)性質(zhì)的證明橢圓光學(xué)性質(zhì)的證明，分幾何證法和代數(shù)證法．幾何證明需要用到以下幾個(gè)引理：1．幾個(gè)引理【引理1】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．證明：在直線上任取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有，即，得證．．【引理2】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長線和直線的交點(diǎn)．證明：在直線上任取一個(gè)不同于點(diǎn)的點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有，即，得證．【引理3】設(shè)橢圓方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓外，則．證明：連結(jié)交橢圓于點(diǎn)，則，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有，即（其實(shí)若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有，證明方法類似）．下面我們把橢圓的光學(xué)性質(zhì)定理1轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)命題例1，并給出幾何證法和代數(shù)證法．2．橢圓光學(xué)性質(zhì)的幾何證明例11．已知：如圖，橢圓，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過橢圓上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）．求證：．（人射角等于反射角）3．橢圓光學(xué)性質(zhì)的代數(shù)證明例1的證明（代數(shù)法）：要證明反射光線經(jīng)過，只需要證明直線與的夾角和與的夾角相等即可．設(shè)，即證．由兩邊對(duì)求導(dǎo)得切線的斜率，，又，由可得，．即直線到對(duì)于的角等于直線到直線的角，所以經(jīng)過左焦點(diǎn)的入射光線射到橢圓壁經(jīng)橢圓壁反射后的反射光線為，即反射光線經(jīng)過右焦點(diǎn)．故命題得證．上面我們用幾何法和代數(shù)法怎么了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，實(shí)際上，如果把光源改為聲源，上述結(jié)論仍成立，即圓錐曲線也具有跟光學(xué)性質(zhì)相似的聲學(xué)性質(zhì)．三、橢圓光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)的應(yīng)用1．解決入射與反射問題例22．已知橢圓方程為，若有光束自焦點(diǎn)射出，經(jīng)二次反射回到點(diǎn)．設(shè)二次反射點(diǎn)為，如圖所示△的周長為多少?2．橢圓的光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用圓錐曲線的光學(xué)（聲學(xué)）性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，下面各舉一些例子進(jìn)行說明．從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光源(或聲源)，經(jīng)過橢圓反射后，會(huì)交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上(見圖)．橢圓的這種光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中，如北京天壇的回音壁也是根據(jù)這個(gè)原理建造的．這里還有一個(gè)傳說，據(jù)說二戰(zhàn)時(shí)期德軍有一個(gè)橢圓面的洞穴，是用來關(guān)押俘虜?shù)?，曾?jīng)有一次被關(guān)押的俘虜在洞中秘密商討逃跑的計(jì)劃，可每次逃跑的計(jì)劃都被敵人識(shí)破，百思不得其解，于是以為俘虜中出現(xiàn)了內(nèi)奸．其實(shí)，俘虜中并沒有出現(xiàn)內(nèi)奸，而是俘虜們商討的地方正好位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)位置上，而看守卻位于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)位置，雖然商討的聲音很小聲，但經(jīng)橢圓面墻壁反射后集中看守所在的位置上，所以看守可以聽得清清楚楚，于是逃跑計(jì)劃總是無法實(shí)施．又如，電影放映機(jī)的聚光燈有一個(gè)反射、鏡，見圖，它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢圓面．為了使片門(電影膠片通過的地方)處獲得最強(qiáng)的光線，燈絲F2與片門F應(yīng)位于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)處，這就是利用橢圓光學(xué)性質(zhì)的又一個(gè)實(shí)例．例33．橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)，是它的焦點(diǎn)，長軸長為，焦距為，靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過的路程可以是（

）A． B． C． D．例44．橢圓有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，已知橢圓長軸長為，焦距為，若一條光線從橢圓的左焦點(diǎn)出發(fā)，第一次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程為，則橢圓的離心率為______.例5(2023·海南中學(xué)高三月考）5．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部都會(huì)經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．例6(2023·安徽·安慶一中高三月考）6．如圖①，橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖②，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖③，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線構(gòu)成，已知與的離心率之比為.現(xiàn)一光線從右焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與的反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒.將裝置中的去掉，如圖④，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)___________.秒例7(2023·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）7．生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從下焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到上焦點(diǎn)，這束光線的總長度為4，且反射點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過橢圓上的A、B點(diǎn)后射到直線上的M、N兩點(diǎn)，若AB連線過橢圓的上焦點(diǎn)，試問，直線BM與直線AN能交于一定點(diǎn)嗎？若能，求出此定點(diǎn)：若不能，請(qǐng)說明理由.例88．歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點(diǎn)現(xiàn)有一橢圓，長軸長為，從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射之后恰好與軸垂直，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為且不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，且滿足．①證明：直線過定點(diǎn)；②若，求的值．例9(2023重慶巴蜀中學(xué)高三月考）9．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：（1）求橢圓C的離心率；（2）點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為在l上的射影H在圓上，求橢圓C的方程．例1010．雨過天晴時(shí)，我們常能見到天空的彩紅，這種現(xiàn)象是陽光經(jīng)空氣中的水滴反射與折射綜合產(chǎn)生的自然現(xiàn)象．為研究方便將水滴近似視為一個(gè)球體．且各光線在球的同一截面大圓內(nèi)．Ⅰ．如圖1，入射光線經(jīng)折射進(jìn)入該球體內(nèi)部，折射光線經(jīng)一次內(nèi)部反射形成反射光線，再折射出球體外得到折射光線．當(dāng)∥時(shí)，則稱為光線為虹；Ⅱ．如圖2，入射光線經(jīng)折射進(jìn)入該球體內(nèi)部，折射光線經(jīng)兩次內(nèi)部反射形成反射光線，．再折射出球體外得到折射光線，當(dāng)∥時(shí)則稱為光線為霓．圖1

圖2

圖3

可參考的物理光學(xué)反射與折射的知識(shí)，有如下定義與規(guī)律：III．光被鏡面反射時(shí)，過入射點(diǎn)與鏡面垂直的直線稱為法線，入射光線與反射光線與法線的夾角分別稱為入射角與反射角，則入射角等于反射角；IV．從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時(shí)，入射角與折射角折射光線與法線的夾角的正弦之比叫做介質(zhì)2相對(duì)介質(zhì)1的折射角，即．設(shè)球半徑r=1．球?yàn)槟撤N透光性較高的介質(zhì)．空氣相對(duì)該介質(zhì)的折射率為．圓弧對(duì)光線入射或折射時(shí)，其反射鏡面為過入射（或反射）點(diǎn)的圓切線，法線為過該點(diǎn)的半徑所在直線．（1）圖3中，入射光線經(jīng)入射點(diǎn)P進(jìn)入球內(nèi)得到折射光線，過P的圓切線為，過點(diǎn)P的半徑所在直線為法線，設(shè)入射角，若球介質(zhì)的折射率，求折射角大?。唬?）圖1中，設(shè)初始入射光線的入射角為，球介質(zhì)的折射率=1.5．折射光線為虹，求；（3）圖2中，設(shè)初始入射光線的入射角為，球介質(zhì)的折射率，折射光線為霓，求．【強(qiáng)化訓(xùn)練】11．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：，點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的最短路程是.A．20 B．18C．16 D．以上均有可能12．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：，點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從A點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的最長路程是A．20 B．18 C．16 D．1413．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律:如圖，衛(wèi)星在以地球的中心為焦點(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地心的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等設(shè)該橢圓的長軸長、焦距分別為，.某同學(xué)根據(jù)所學(xué)知識(shí)，得到下列結(jié)論:①衛(wèi)星向徑的取值范圍是②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁③衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間④衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．①③④14．如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：已知曲線的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別是，，直線與橢圓切于點(diǎn)，且，過點(diǎn)且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點(diǎn)，則A． B． C． D．15．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．直線l：與橢圓C：相切于點(diǎn)P，橢圓C的焦點(diǎn)為，，由光學(xué)性質(zhì)知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（

）A． B．C． D．16．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：，點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從A點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的最長路程是A．20 B．18 C．16 D．1417．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程，點(diǎn)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)．當(dāng)靜止的小球從點(diǎn)開始出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)橢圓壁反射后再回到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)小球經(jīng)過的路程可能是（

）A．32或4或 B．或28或C．28或4或 D．32或28或418．傳說，意大利的西西里島有個(gè)山洞是用來關(guān)押罪犯的，罪犯?jìng)冊(cè)啻蚊苤\商議逃跑，但不管多完美的計(jì)劃都會(huì)被獄率發(fā)現(xiàn)，原來山洞內(nèi)的空間是一個(gè)橢球體，最大截面部分是一個(gè)橢圓面，罪犯和獄率所待的地方正好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，罪犯?jìng)冋f的話經(jīng)過洞壁的反射，最終都傳向了獄警所在的地方，即橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，這里面含著橢圓的光學(xué)性質(zhì).請(qǐng)利用橢圓的該性質(zhì)解決下列問題：已知是橢圓：上的點(diǎn).、是橢圓的左右焦點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到橢圓在處的切線的距離為（

）A． B． C． D．(2023·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）19．桂林山水甲天下，那里水?山秀，聞名世界，桂林的山奇特險(xiǎn)峻，甲、乙兩名探險(xiǎn)家在桂林山中探險(xiǎn)，他們來到一個(gè)山洞，洞內(nèi)是一個(gè)橢球形，截面是一個(gè)橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的兩點(diǎn)處，甲站在處唱歌時(shí)離處有一定距離的乙在處聽得很清晰，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，符合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，即從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，現(xiàn)已知橢圓：上一點(diǎn)，過點(diǎn)作切線，兩點(diǎn)為左右焦點(diǎn)，，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心到切線的距離為（

）A． B．10 C． D．7(2023江蘇南通·高三月考）20．橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn).電影放映機(jī)聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，燈絲（看成一個(gè)點(diǎn)）在橢圓的右焦點(diǎn)處，燈絲與反射鏡的頂點(diǎn)A的距離，過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦，在x軸上移動(dòng)電影機(jī)片門，將其放在光線最強(qiáng)處，則片門應(yīng)離燈絲（

）cm.A．10 B．11 C．12 D．1321．橢圓有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn)，已知橢圓，其長軸的長為，焦距為，若一條光線從橢圓的左焦點(diǎn)出發(fā)，第一次回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程為，則橢圓的離心率為_____.22．一般地，我們把離心率為的橢圓稱為“黃金橢圓”．對(duì)于下列命題：①橢圓是黃金橢圓；②若橢圓是黃金橢圓，則；③在中，，且點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的黃金橢圓上，則的周長為；④過黃金橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于長軸的垂線，交橢圓于兩點(diǎn)，則；⑤設(shè)是黃金橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓上滿足的點(diǎn)不存在．其中所有正確命題的序號(hào)是______．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）23．已知橢圓：，其焦距為，若，則稱橢圓為“黃金橢圓”.黃金橢圓有如下性質(zhì)：“黃金橢圓”的左、右焦點(diǎn)分別是，，以,，，為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)，.（1）類比“黃金橢圓”的定義，試寫出“黃金雙曲線”的定義；（2）類比“黃金橢圓”的性質(zhì)，試寫出“黃金雙曲線”的性質(zhì)，并加以證明.24．橢圓具有如下的光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反射后恰好穿過另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)從橢圓的左焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線，經(jīng)過橢圓內(nèi)壁兩次反射后，回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的總路程為______．25．橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤,點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn),長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑忽略不計(jì))從點(diǎn)A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)A時(shí),小球經(jīng)過的路程是_____________.26．已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向橢圓上任一點(diǎn)，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．若從橢圓的左焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點(diǎn)，光線經(jīng)過的路程為8，T的離心率為．(1)求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，且，過點(diǎn)D的直線l與橢圓T交于不同的兩點(diǎn)M，N，是T的右焦點(diǎn)，且與互補(bǔ)，求面積的最大值．27．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于該橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．橢圓有光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓面反射后經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，即橢圓上任意一點(diǎn)P處的切線與直線、的夾角相等．已知，垂足為，，，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．(1)求截口BAC所在橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P為橢圓C上除長軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)．①是否存在m，使得P到和P到直線的距離之比為定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，請(qǐng)說明理由；②若的角平分線PQ交y軸于點(diǎn)Q，設(shè)直線PQ的斜率為k，直線、的斜率分別為，，請(qǐng)問是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由．28．橢圓具有如下的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線會(huì)交于橢圓的另焦點(diǎn)上.已知焦距為2的橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的一條不與x軸重合的光線，在橢圓上依次經(jīng)M，N兩點(diǎn)反射后，又回到點(diǎn)，這個(gè)過程中光線所經(jīng)過的總路程為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線，且滿足，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2023河南開封·高二期末）29．橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，．從發(fā)出的一條光線，經(jīng)橢圓上，兩點(diǎn)（均不與，重合）各反射一次后，又回到點(diǎn)，這個(gè)過程中光線所經(jīng)過的總路程為．（1）求橢圓的長軸長；（2）若橢圓的焦距為，直線與直線交于點(diǎn)，證明，，三點(diǎn)共線．30．已知橢圓：的上?下頂點(diǎn)分別為，，且短軸長為，為橢圓上任意一點(diǎn)，直線，的斜率之積為，，依次為左?右焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）山不會(huì)忘記你，河不會(huì)忘記你，祖國不會(huì)忘記你!南仁東，“天眼”之父，被追授“時(shí)代楷?！睒s譽(yù)稱號(hào).24年，8000多個(gè)日夜，500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡首席科學(xué)家?總工程師南仁東心無旁騖，為崇山峻嶺間的“中國天眼”燃盡生命，在世界天文史上鐫刻下新的高度.“天眼”是世界上最大?最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，它看似一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號(hào).調(diào)試期的“天眼”已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了多顆脈沖星，成為國際矚目的宇宙觀測(cè)“利器”.在黨的十九大報(bào)告中，“天眼”與天宮?蛟龍?大飛機(jī)等一起，被列為創(chuàng)新型國家建設(shè)的豐碩成果……南仁東來不及目睹.但他執(zhí)著追求科學(xué)夢(mèng)想的精神，將激勵(lì)一代又一代科技工作者繼續(xù)奮斗，勇攀世界科技高峰.在“天眼”的建設(shè)中大量用到了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請(qǐng)以上面的橢圓為代表，證明：由焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點(diǎn)后反射，反射光線必經(jīng)過另一焦點(diǎn).(溫馨提示：光線射到曲線上某點(diǎn)反射時(shí)，法線垂直于該點(diǎn)處的切線)參考答案：1．證明見解析分析：根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及引理即可求解.【詳解】作關(guān)于切線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，要證，只需證明點(diǎn)和點(diǎn)重合，由引理1知點(diǎn)是直線上使得值最小的唯一點(diǎn)；并且由引理3知點(diǎn)也是直線上使得值最小的唯一點(diǎn)，與點(diǎn)重合，則．2．20分析：根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及定義即可求解.【詳解】橢圓方程為為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，故自射出的光線反射后，反射光線必過另一個(gè)焦點(diǎn)，故△的周長為：．3．ACD【解析】先由題意，不妨令橢圓的焦點(diǎn)在軸上，分三種情況討論：（1）球從沿軸向左直線運(yùn)動(dòng)；（2）球從沿軸向右直線運(yùn)動(dòng)；（3）球從不沿軸，斜向上（或向下）運(yùn)動(dòng)；根據(jù)橢圓的性質(zhì)，以及橢圓的定義，即可分別得出結(jié)果.【詳解】由題意，不妨令橢圓的焦點(diǎn)在軸上，以下分為三種情況：（1）球從沿軸向左直線運(yùn)動(dòng)，碰到左頂點(diǎn)必然原路反彈，這時(shí)第一次回到路程是；（2）球從沿軸向右直線運(yùn)動(dòng)，碰到右頂點(diǎn)必然原路反彈，這時(shí)第一次回到路程是；（3）球從不沿軸，斜向上（或向下）運(yùn)動(dòng)，碰到橢圓上的點(diǎn)，反彈后經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，再彈到橢圓上一點(diǎn)，經(jīng)反彈后經(jīng)過點(diǎn)．此時(shí)小球經(jīng)過的路程是．綜上所述，從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過的路程是或或．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于對(duì)橢圓定義和性質(zhì)的理解，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，當(dāng)光線不沿焦點(diǎn)所在直線出發(fā)時(shí)，從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過反射后必過另一焦點(diǎn)；由此即可求解.4．或或【解析】分析出光線的三種路徑，分別求解即可.【詳解】依據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，光線從左焦點(diǎn)出發(fā)后，有以下三種可能：對(duì)第一種路徑：，解得離心率對(duì)第二種路徑：，解得離心率對(duì)第三種路徑：，解得離心率故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)是分析出其路徑.5．##分析：根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，在中由橢圓的定義可求出，再由直角三角形求出，計(jì)算離心率即可.【詳解】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，都經(jīng)過，且在中，，如圖，所以，由橢圓的定義可知，即，又，可得，在中，，所以，所以.故答案為：6．##分析：由題意可，得根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義可得，整理得到，從而結(jié)合路程速度時(shí)間之間的關(guān)系可得，求得答案.【詳解】設(shè)，橢圓的長軸長為，雙曲線的實(shí)軸長為，光速為，而與的離心率之比為，即，即，在圖③，兩式相減得：，即.在圖④中，，設(shè)圖④，光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)t秒，由題意可知：，則，故（秒），故答案為：7．(1)(2)能，定點(diǎn)為（0，）分析：（1）由條件列方程求可得橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)論完成證明.（1）由已知可設(shè)橢圓方程為，則，，又所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)AB方程為，由，得，設(shè)，則..由對(duì)稱性知，若定點(diǎn)存在，則直線BM與直線AN交于y軸上的定點(diǎn)，由得，則直線BM方程為，令，則又，則，所以，直線BM過定點(diǎn)（0，），同理直線AN也過定點(diǎn).則點(diǎn)（0，）即為所求點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．8．(1)(2)①；②或.分析：（1）利用橢圓的定義得出，再利用垂直關(guān)系和進(jìn)行求解；（2）①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，寫出兩根之和與積，利用斜率公式及得到關(guān)于、的關(guān)系式，再利用直線方程的點(diǎn)斜式證明直線過定點(diǎn)；②借助上問中、的關(guān)系式，化簡兩根之和與積，利用及點(diǎn)在橢圓上得到，再進(jìn)一步化簡求解.（1）解：不妨設(shè)、是橢圓的左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，則軸，又因?yàn)?，，所以，即，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）①證明：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得：，則，，因?yàn)椋?，即，即，即，則，即，即，則或，當(dāng)時(shí)，直線可化為，即直線過定點(diǎn)（與左焦點(diǎn)重合，舍）；當(dāng)時(shí)，直線可化為，即直線過定點(diǎn)；綜上所述，直線過定點(diǎn)；②解：由①得，則，，且，解得；因?yàn)?，所以，即，即，即，即，即，即，則或，所以或.【思路點(diǎn)睛】在處理直線與圓錐曲線的綜合問題時(shí)，涉及直線過定點(diǎn)問題是常見題型，證明動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的基本思路是：設(shè)動(dòng)直線的方程（斜率存在）為，由題設(shè)條件將用表示為，得，即直線過定點(diǎn).9．（1）；（2）．分析：（1）由題設(shè)，若橢圓C的長軸長為，則，即可求離心率.（2）法一：延長交于點(diǎn)，易得且H為中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)及點(diǎn)在圓上求橢圓參數(shù)a，即可得橢圓方程；法二：設(shè)，在l上的射影分別為，連接，由反射性質(zhì)設(shè)則，即可得、，根據(jù)求橢圓參數(shù)a，寫出橢圓方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的長軸長為，由題意知：發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，∴．（2）法一：如圖：延長，交于點(diǎn)，在中，，則且H為中點(diǎn)，在中，，則，，即橢圓方程為．法二：設(shè)，在l上的射影分別為，連接，如圖：設(shè)，則，在中，可得，同理：，∴，，∵，∴橢圓方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，利用橢圓上點(diǎn)的反射性質(zhì)確定相關(guān)角或邊的等量關(guān)系及對(duì)稱關(guān)系，再根據(jù)列方程求橢圓參數(shù).10．（1）；（2）；（3）或.分析：（1）根據(jù)，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.（2）根據(jù)圓的對(duì)稱性、反射及虹的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求得答案；（3）根據(jù)圓的對(duì)稱性、反射及虹的性質(zhì)可得的關(guān)系，結(jié)合三角恒等變換即可得解.【詳解】（1）由題意得，所以，因?yàn)椋裕?）連接AO并延長，如圖，由圓的對(duì)稱性、反射及虹的性質(zhì)，可得，所以，所以；（3）過點(diǎn)O作，如圖，由圓的對(duì)稱性、反射及虹的性質(zhì)，可得，所以，所以，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以或，又，?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)所給概念和公式，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，計(jì)算化簡，即可得答案，考查分析理解的能力，屬中檔題.11．C分析：根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，小球從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈到B點(diǎn)繼續(xù)前行碰橢圓壁后回到A點(diǎn)，所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義可求得答案．【詳解】依題意可知小球經(jīng)兩次橢圓壁后反彈后回到A點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知所走的路程正好是4a=4×4=16故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用了橢圓的第一定義,是基礎(chǔ)題.12．C分析：根據(jù)橢圓定義直接可得.【詳解】由題知，橢圓長半軸長依題意可知小球經(jīng)兩次橢圓壁反彈后回到A點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可知所走的路程正好是4a=4×4=16故選：C13．B分析：①根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)可知衛(wèi)星向徑的最小值和最大值分別為什么；②根據(jù)向徑的最小值與最大值的比值，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③根據(jù)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，即可判斷④根據(jù)題意結(jié)合橢圓的圖形知衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示，對(duì)于①，衛(wèi)星向徑的最小值為，最大值為，①正確；對(duì)于②，衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值為，越小，就越大，就越小，橢圓軌道越扁，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，根據(jù)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，③正確；對(duì)于④，衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小，④錯(cuò)誤；綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是①③，共2個(gè)．故選．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的相關(guān)性質(zhì)，以及物理學(xué)中開普勒定律的理解，屬于基礎(chǔ)題．14．C【詳解】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得到直線平分角，因?yàn)橛?，得到，?故答案為C.15．A分析：先求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得的角平分線所在的直線的方程.【詳解】，直線的斜率為，由于直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的斜率為，所以所求直線方程為.故選：A16．C分析：根據(jù)橢圓定義直接可得.【詳解】由題知，橢圓長半軸長依題意可知小球經(jīng)兩次橢圓壁反彈后回到A點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可知所走的路程正好是4a=4×4=16故選：C17．D分析：分小球沿長軸向左、向右運(yùn)動(dòng)和不沿長軸運(yùn)動(dòng)，結(jié)合光學(xué)性質(zhì)即可求解.【詳解】由方程可知，沿著長軸向右運(yùn)動(dòng)反射時(shí)經(jīng)過的路程為，沿著長軸向右運(yùn)動(dòng)反射時(shí)經(jīng)過的路程為，不延長軸時(shí)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過B點(diǎn)，再次經(jīng)橢圓反射后回到A點(diǎn)，經(jīng)過的路程為，小球經(jīng)過的路程可能是32或28或4.故選：D.18．B分析：先求出的坐標(biāo)，再求出的角平分線與的交點(diǎn)，從而可求切線方程，故可得到橢圓在處的切線的距離.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限.由橢圓方程可得半焦距，故，且，因?yàn)?，故，故即，所以，故即，故，所以，同理，設(shè)的平分線交軸于，則，故，故，故，由題設(shè)中的橢圓性質(zhì)可得過切線與垂直，故切線的斜率為，故切線的方程為：，故原點(diǎn)到切線的距離為，故選：B19．C分析：如圖，過作處切線的垂線交于，過分別作切線的垂線交切線于點(diǎn)，利用二倍角公式可求，結(jié)合橢圓的定義可求到切線的距離.【詳解】如圖，過作處切線的垂線交于，過分別作切線的垂線交切線于點(diǎn)，由光學(xué)性質(zhì)可知平分，，則，因?yàn)椋?，所以，，故選：C.20．C分析：根據(jù)題設(shè)及橢圓參數(shù)關(guān)系有求出橢圓參數(shù)，利用橢圓的性質(zhì)知片門放在光線最強(qiáng)處應(yīng)離燈絲.【詳解】由題設(shè)知：，解得，所以片門放在光線最強(qiáng)處，片門應(yīng)離燈絲為.故選：C.21．或或分析：由題意結(jié)合橢圓的定義分類討論確定橢圓的離心率即可.【詳解】依據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，光線從左焦點(diǎn)出發(fā)后，有如圖1，圖2，圖3所示的三種路徑．路徑一，4a=5c，則e=；路徑二，2（a-c）=5c，則e=；路徑三，2（a+c）=5c，則.故橢圓C的離心率為或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓離心率的求解，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.22．③④⑤分析：根據(jù)黃金橢圓的定義、橢圓的定義、橢圓的方程逐一判斷即可.【詳解】對(duì)①，，①不正確；對(duì)②，若焦點(diǎn)在軸上，則，解得，若焦點(diǎn)在軸上，則，解得，②不正確；對(duì)③，，，，③正確；對(duì)④，，④正確；對(duì)⑤，設(shè)，則，而，所以，與聯(lián)立無實(shí)數(shù)解．因此橢圓上滿足的點(diǎn)不存在，⑤正確，故答案為：③④⑤.23．（1）見解析（2）見解析【詳解】分析：（1）“黃金雙曲線“的離心率為的倒數(shù)）．（2）把橢圓結(jié)論中點(diǎn)與交換位置得雙曲線的性質(zhì)．詳解：（1）黃金雙曲線的定義：已知雙曲線：，其焦距為，