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文檔簡介
第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定(第一課時)
1.矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是(
A
)A.對角線相等B.對角相等C.對邊相等D.對角線互相平分A
A.
AF
=
CF
B.∠
FAC
=∠
EAC
C.
AB
=4D.
AC
=2
AB
(第2題圖)D3.(2023·蘭州)如圖,在矩形
ABCD
中,點
E
為
BA
延長線上一
點,點
F
為
CE
的中點,以點
B
為圓心,
BF
長為半徑的圓弧過
AD
與
CE
的交點
G
,連接
BG
.
若
AB
=4,
CE
=10,則
AG
=
(
C
)A.2B.2.5C.3D.3.5(第3題圖)C4.(2023·湘西)如圖,在矩形
ABCD
中,已知點
E
在邊
BC
上,
點
F
是
AE
的中點,
AB
=8,
AD
=
DE
=10,則
BF
的長為
?
?.2
5.(2023·內(nèi)江)出入相補原理是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一.
最早是由三國時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建.“將一個幾何圖形,任意切
成多塊小圖形,幾何圖形的總面積保持不變,等于所分割成的
小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一.如圖,在矩形
ABCD
中,
AB
=5,
AD
=12,對角線
AC
與
BD
交于點
O
,點
E
為
BC
邊上的一個動點,
EF
⊥
AC
,
EG
⊥
BD
,垂足分別為
F
,
G
,則
EF
+
EG
=
?.
(第5題圖)6.如圖,在矩形
ABCD
中,
AB
=2,
BC
=4,點
A
,
B
分別在
y
軸、
x
軸的正半軸上,點
C
在第一象限.若∠
OAB
=30°,則點
C
的坐標(biāo)是
?.(第6題圖)
7.如圖,在矩形
ABCD
中,已知點
E
在
DC
上,
AE
=2
BC
,
AE
=
AB
,求∠
CBE
的度數(shù).
∴∠
CBE
=∠
ABC
-∠
ABE
=90°-75°=15°.8.如圖,在矩形
ABCD
中,已知點
E
在
BC
上,
AE
=
AD
,
DF
⊥
AE
,垂足為
F
.
(1)求證:
DF
=
AB
;
(2)若∠
FDC
=30°,且
AB
=6,求
AD
的長.(2)解:∵∠
FAD
+∠
ADF
=90°,∠
FDC
+∠
ADF
=90°,∴∠
FAD
=∠
FDC
=30°.∴
AD
=2
DF
.
由(1),得
DF
=
AB
,∴
AD
=2
DF
=2
AB
=2×6=12.
9.如圖,在矩形
ABCD
中,
AB
=3,
AD
=4,點
E
,
F
分別是邊
BC
,
CD
上一點,連接
AE
,
EF
.
若
EF
⊥
AE
,將△
ECF
沿
EF
翻折得到△
EC
'
F
,連接
AC
',當(dāng)
BE
=
時,△
AEC
'是
以
AE
為腰的等腰三角形.
(第9題圖)
10.(2023·南通)如圖,已知四邊形
ABCD
的兩條對角線
AC
,
BD
互相垂直,
AC
=4,
BD
=6,則
AD
+
BC
的最小值是
?.(第10題圖)2
11.如圖,在矩形
ABCD
中,已知
AD
=
BC
=6,
AB
=
CD
=
10,點
E
為射線
DC
上的一個動點,△
ADE
與△
AD
'
E
關(guān)于直線
AE
對稱,連接
BD
'.當(dāng)△
AD
'
B
為直角三角形時,求
DE
的長.
②當(dāng)點
E
在線段
DC
的延長線上,且
ED
″經(jīng)過點
B
時,如圖所示.∵∠
ABD
″+∠
CBE
=∠
ABD
″+∠
BAD
″=90°,∴∠
CBE
=∠
BAD
″.
∴△
ABD
″≌△
BEC
(ASA).∴
BE
=
AB
=10.
∴
DE
=
D
″
E
=
BD
″+
BE
=8+10=18.綜上所述,
DE
的長為2或18.12.如圖,在矩形
ABCD
中,已知∠
BAD
的平分線交
BC
于點
E
,
AE
=
AD
,過點
D
作
DF
⊥
AE
于點
F
.
(1)求證:
AB
=
AF
;證明:(1)∵四邊形
ABCD
為矩形,∴
AD
∥
BC
,∠
DAB
=∠
ABE
=90°.∴∠
DAE
=∠
AEB
.
∵
AE
平分∠
BAD
,∴∠
BAE
=∠
DAE
=45°.∴∠
BAE
=∠
AEB
=45°.∴
AB
=
EB
.
(2)連接
BF
并延長交
DE
于點
G
,求證:
EG
=
DG
.
證明:(2)∵
AE
=
AD
,∠
EAD
=45°,∴∠
AED
=∠
ADE
=67.5°.又∵∠
FDA
=45°,∴∠
FDG
=∠
ADE
-∠
FDA
=22.5°.∵
AB
=
AF
,∠
BAF
=45°,∴∠
AFB
=67.5°.∴∠
EFG
=67.5°.∴∠
EFG
=∠
AED
.
∴
FG
=
EG
.
又∵∠
DFG
=∠90°-∠
EFG
=22.5°,∴∠
DFG
=∠
FDG
.
∴
FG
=
DG
.
∴
EG
=
DG
.
13.(選做)如圖,在矩形
ABCD
中,已知
AB
=5,
AD
=3,點
P
是
AB
邊上一點(不與點
A
,
B
重合),連接
CP
,過點
P
作
PQ
⊥
CP
交邊
AD
于點
Q
,連接
CQ
.
(1)當(dāng)△
CDQ
≌△
CPQ
時,求
AQ
的長;
(2)取
CQ
的中點
M
,連接
MD
,
MP
,若
MD
⊥
MP
,求
AQ
的長.
(方法二)∵點
M
是Rt△
CDQ
的斜邊
CQ
的中點,∴
DM
=
CM
.
∴∠
DMQ
=2∠
DCQ
.
∵點
M
是Rt△
CPQ
的斜邊的中點,∴
MP
=
CM
.
∴∠
PMQ
=2∠
PCQ
.
∵∠
DMP
=90°,∴2∠
DCQ
+2∠
PCQ
=90°.∴∠
PCD
=45°,∠
BCP
=9
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