高考數(shù)學(xué)（文）高分計(jì)劃一輪高分講義第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)

2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)[知識(shí)梳理]1．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)2．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．(2)常見(jiàn)的5種冪函數(shù)的圖象(3)常見(jiàn)的5種冪函數(shù)的性質(zhì)[診斷自測(cè)]1．概念思辨(1)當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是定義域上的減函數(shù)．()(2)關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).()(4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開(kāi)口大小．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P44T9)函數(shù)y＝(x2－3x＋10)－1的遞增區(qū)間是()A．(－∞，－2) B．(5，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))答案C解析由于x2－3x＋10>0恒成立，即函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，設(shè)t＝x2－3x－10，則y＝t－1是(0，＋∞)上的減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，要求函數(shù)y＝(x2－3x＋10)－1的遞增區(qū)間，即求t＝x2－3x＋10的單調(diào)遞減區(qū)間，∵t＝x2－3x＋10的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，則所求函數(shù)的遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).故選C.(2)(必修A1P78探究)若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c答案B解析冪函數(shù)a＝2，b＝eq\f(1,2)，c＝－eq\f(1,3)，d＝－1的圖象，正好和題目所給的形式相符合，在第一象限內(nèi)，x＝1的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以a>b>c>d.故選B.3．小題熱身(1)(2017·濟(jì)南診斷)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2答案C解析由冪函數(shù)的定義知k＝1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝eq\f(1,2)，從而k＋α＝eq\f(3,2).故選C.(2)函數(shù)f(x)＝x2－ax－a在[0,2]上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a等于()A．－1 B．1C．－2 D．2答案B解析解法一：(分類(lèi)討論)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x＝eq\f(a,2)≤1，即a≤2時(shí)，f(x)max＝f(2)＝4－3a＝1，解得a＝1符合題意；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)max＝f(0)＝－a＝1，解得a＝－1(舍去)．綜上所述，實(shí)數(shù)a＝1.故選B.解法二：(代入法)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x2＋x＋1在[0,2]上的最大值為f(2)＝7≠1，排除A；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－x－1在[0,2]上的最大值為f(2)＝1，B正確；當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x2＋2x＋2在[0,2]上的最大值為f(2)＝10≠1，排除C；當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2－2x－2在[0,2]上的最大值為f(0)＝f(2)＝－2≠1，排除D.故選B.題型1冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)eq\o(\s\do1(典例1))(2017·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))，則()A．?x0∈R，使得f(x)<0B．?x∈[0，＋∞)，f(x)≥0C．?x1，x2∈[0，＋∞)，使得eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0D．?x1∈[0，＋∞)，?x2∈[0，＋∞)使得f(x1)>f(x2)根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證．答案B解析由函數(shù)f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))，知：在A中，f(x)≥0恒成立，故A錯(cuò)誤；在B中，?x∈[0，＋∞)，f(x)≥0，故B正確；在C中，?x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，故C錯(cuò)誤；在D中，當(dāng)x1＝0時(shí)，不存在x2∈[0，＋∞)使得f(x1)>f(x2)，故D不成立．故選B.eq\o(\s\do1(典例2))(2018·榮城檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,x－13，x<2，))若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．用數(shù)形結(jié)合法．答案(0,1)解析作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖．則當(dāng)0<k<1時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根．方法技巧在解決冪函數(shù)與其他函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)及近似解等問(wèn)題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合的思想方法，即在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解．見(jiàn)典例2.沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的圖象可能是()答案D解析因?yàn)閍>0，所以f(x)＝xa在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在B中，由f(x)的圖象知a>1，由g(x)的圖象知0<a<1，矛盾，故B錯(cuò)誤；在C中，由f(x)的圖象知0<a<1，由g(x)的圖象知a>1，矛盾，故C錯(cuò)誤；在D中，由f(x)的圖象知0<a<1，由g(x)的圖象知0<a<1，相符．故選D.2．冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－1<m<3 B．0C．1 D．2答案C解析∵函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而當(dāng)m＝0或2時(shí)，f(x)＝x－3為奇函數(shù)，當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x－4為偶函數(shù)，∴m＝1.故選C.題型2求二次函數(shù)的解析式eq\o(\s\do1(典例))已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．本題采用待定系數(shù)法求解．解設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.[條件探究]若本例條件變?yōu)椋阂阎魏瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解∵f(2－x)＝f(2＋x)對(duì)x∈R恒成立，∴f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2.又∵f(x)圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，∴f(x)＝0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.方法技巧求二次函數(shù)解析式的方法求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式．一般選擇規(guī)律如下：沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．(2018·遼寧期末)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2，則a的值為()A．2 B．－1或－3C．2或－3 D．－1或2答案D解析函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a的對(duì)稱(chēng)軸為x＝a，圖象開(kāi)口向下，①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)，∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1；②當(dāng)0<a≤1時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，a]上是增函數(shù)，在[a,1]上是減函數(shù)，∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，由a2－a＋1＝2，解得a＝eq\f(1＋\r(5),2)或a＝eq\f(1－\r(5),2)，∵0<a≤1，∴兩個(gè)值都不滿足；③當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝a，∴a＝2.綜上可知，a＝－1或a＝2.故選D.2．若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足①不等式f(x)＋2x>0的解集為{x|1<x<3}，②方程f(x)＋6a＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試確定f(x)的解析式．解因?yàn)閒(x)＋2x>0的解集為(1,3)，設(shè)f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－eq\f(1,5).由于a<0，舍去a＝1.所以f(x)＝－eq\f(1,5)x2－eq\f(6,5)x－eq\f(3,5).題型3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)角度1二次函數(shù)圖象的識(shí)別eq\o(\s\do1(典例))不等式ax2－x＋c>0的解集為{x|－2<x<1}，則函數(shù)y＝ax2＋x＋c的圖象大致為()根據(jù)二次函數(shù)的圖象及根與系數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)驗(yàn)證．答案C解析由不等式ax2－x＋c>0的解集為{x|－2<x<1}可得a<0，且方程ax2－x＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為－2,1，故－2＋1＝eq\f(1,a)，－2×1＝eq\f(c,a)，解得a＝－1，c＝2，故函數(shù)y＝ax2＋x＋c＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，其圖象大致為C.故選C.角度2二次函數(shù)的最值問(wèn)題eq\o(\s\do1(典例))已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝()A．a(chǎn)2－2a－16 B．a(chǎn)2＋2a－16C．－16 D．16答案C解析令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)與g(x)的圖象如圖．由圖象及H1(x)的定義知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值為g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.故選C.角度3二次函數(shù)中的恒成立問(wèn)題eq\o(\s\do1(典例))已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的范圍．解(1)由題意得f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0，且－eq\f(b,2a)＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1]，單調(diào)增區(qū)間為[－1，＋∞)．(2)解法一：f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2＋x＋1>k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立．設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，則g(x)在[－3，－1]上遞減．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k<1，即k的取值范圍為(－∞，1)．解法二：f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2＋x＋1－k>0在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，設(shè)g(x)＝x2＋x＋1－k，則g(x)在[－3，－1]上單調(diào)遞減，∴g(－1)>0，得k<1.角度4二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題eq\o(\s\do1(典例))已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤1}，求實(shí)數(shù)b，c的值；(2)若f(x)滿足f(1)＝0，且關(guān)于x的方程f(x)＋x＋b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間(－3，－2)，(0,1)內(nèi)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解(1)設(shè)x1，x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2b，,x1x2＝c，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2b＝0，,c＝－1.))所以b＝0，c＝－1.(2)由題，知f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b.記g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c＝x2＋(2b＋1)x－b－1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－3＝5－7b>0，,g－2＝1－5b<0，,g0＝－1－b<0，,g1＝b＋1>0))?eq\f(1,5)<b<eq\f(5,7)，即實(shí)數(shù)b的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(5,7))).方法技巧1．識(shí)別二次函數(shù)圖象的策略解答二次函數(shù)的圖象問(wèn)題應(yīng)從開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在坐標(biāo)系上的位置等方面著手討論或逐項(xiàng)排除．見(jiàn)角度1典例．2．二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題的類(lèi)型及求解策略(1)類(lèi)型：①對(duì)稱(chēng)軸、區(qū)間都是給定的；②對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)、區(qū)間固定；③對(duì)稱(chēng)軸定、區(qū)間變動(dòng)．(2)求解策略：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類(lèi)討論的思想即可完成．見(jiàn)角度2典例．3．二次不等式恒成立問(wèn)題的求解思路(1)一般有兩個(gè)解題思路；一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．(2)兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min.見(jiàn)角度3典例．4．解決一元二次方程根的分布問(wèn)題的方法常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來(lái)解，一般從：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱(chēng)軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．(2017·浙江模擬)已知在(－∞，1]上遞減的函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，且對(duì)任意的x1，x2∈[0，t＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．[1，eq\r(2)]C．[2,3] D．[1,2]答案B解析由于函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝t，函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，∴t≥1.則在區(qū)間[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使對(duì)任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).又t≥1，∴1≤t≤eq\r(2).故選B.2．(2017·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)?－∞，0]，若關(guān)于x的不等式f(x)>c－1的解集為(m－4，m＋1)，則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)_______．答案－eq\f(21,4)解析∵函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)?－∞，0]，∴Δ＝0，即a2＋4b＝0，∴b＝－eq\f(a2,4).∵關(guān)于x的不等式f(x)>c－1的解集為(m－4，m＋1)，∴方程f(x)＝c－1的兩根分別為m－4，m＋1，即方程－x2＋ax－eq\f(a2,4)＝c－1兩根分別為m－4，m＋1，∵方程－x2＋ax－eq\f(a2,4)＝c－1根為x＝eq\f(a,2)±eq\r(1－c)，∴兩根之差為2eq\r(1－c)＝(m＋1)－(m－4)＝5，c＝－eq\f(21,4).1.(2017·昆明質(zhì)檢)若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，則m的取值范圍是()A．[0,4] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))答案D解析二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(3,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，由圖得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).故選D.2．(2017·浙江高考)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m()A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān) D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)答案B解析eq\a\vs4\al(解法一：)設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則m＝xeq\o\al(2,1)＋ax1＋b，M＝xeq\o\al(2,2)＋ax2＋b.∴M－m＝xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1)＋a(x2－x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無(wú)關(guān)．故選B.eq\a\vs4\al(解法二：)由題意可知，函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為固定值，則二次函數(shù)圖象的形狀一定．隨著b的變動(dòng)，相當(dāng)于圖象上下移動(dòng)，若b增大k個(gè)單位，則最大值與最小值分別變?yōu)镸＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故與b無(wú)關(guān)．隨著a的變動(dòng)，相當(dāng)于圖象左右移動(dòng)，則M－m的值在變化，故與a有關(guān)．故選B.3．(2018·棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，如果函數(shù)g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是________．答案(－1,0)解析函數(shù)g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4個(gè)零點(diǎn)可化為函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝m恰有4個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)y＝f(x)與y＝m的圖象如圖所示，故m的取值范圍是(－1,0)．4．(2018·皖南模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，則實(shí)數(shù)k＝________.答案eq\f(36,5)解析設(shè)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由題意知g(x)≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一個(gè)根，即g(5)＝0，可以解得k＝eq\f(36,5)(經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意)．[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2017·江西九江七校聯(lián)考)冪函數(shù)f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則m的值為()A．1或3 B．1C．3 D．2答案B解析由題意知m2－4m＋4＝1且m2－6m＋8>0?m＝1，故選B.2．(2018·吉林期末)如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)>－eq\f(1,4) B．a(chǎn)≥－eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)≤a<0 D．－eq\f(1,4)≤a≤0答案D解析①當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x－3為一次函數(shù)，是遞增函數(shù)；②當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，先減后增，在區(qū)間(－∞，4)上不可能是單調(diào)遞增的，故不符合；③當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向下，先增后減，函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸－eq\f(1,a)≥4，解得a≥－eq\f(1,4)，又a<0，故－eq\f(1,4)≤a<0.綜合得－eq\f(1,4)≤a≤0.故選D.3．如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么()A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)答案D解析由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)圖象關(guān)于x＝eq\f(1,2)對(duì)稱(chēng)，又拋物線開(kāi)口向上，結(jié)合圖象可知f(0)<f(2)<f(－2)．故選D.4．(2018·聊城檢測(cè))若二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，則f(x)的表達(dá)式為()A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋1答案D解析設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,ax＋12＋bx＋1＋c－ax2＋bx＋c＝2x.))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，,c＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝1，))則f(x)＝x2－x＋1.故選D.5．(2018·雅安診斷)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(－3,0)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正確的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③答案B解析因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正確；對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1,2a－b＝0，②錯(cuò)誤；結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時(shí)，y>0，即a－b＋c>0，③錯(cuò)誤；由對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，知b＝2a.又函數(shù)圖象開(kāi)口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正確．故選B.6．(2018·濟(jì)寧模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋cx≤0，,2x>0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)為()A．4 B．2C．1 D．3答案D解析由解析式可得f(－4)＝16－4b＋c＝f(0)＝c，解得b＝4.f(－2)＝4－8＋c＝－2，可求得c＝2.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2x≤0，,2x>0.))又f(x)＝x，則當(dāng)x≤0時(shí)，x2＋4x＋2＝x，解得x1＝－1，x2＝－2.當(dāng)x>0時(shí)，x＝2，綜上可知有三解．故選D.7．二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，且對(duì)任意的x∈R都有f(x)＝f(4－x)成立，若f(1－2x2)<f(1＋2x－x2)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－2,0) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案C解析由題意知，二次函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，圖象在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)為減函數(shù)．而1－2x2<2,1＋2x－x2＝2－(x－1)2≤2，所以由f(1－2x2)<f(1＋2x－x2)，得1－2x2>1＋2x－x2，解得－2<x<0.故選C.8．已知對(duì)任意的a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于0，則x的取值范圍是()A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<2或x>3答案B解析f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)．記g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1>0，,g1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x2－5x＋6>0，,g1＝x2－3x＋2>0，))解得x<1或x>3.故選B.9．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍為()A．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)] B．(2－eq\r(2)，2＋eq\r(2))C．[1,3] D．(1,3)答案B解析由題可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若有f(a)＝g(b)，則g(b)∈(－1,1]，即－b2＋4b－3>－1，解得2－eq\r(2)<b<2＋eq\r(2).故選B.10．已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2－x)，若函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\o(∑,\s\up16(m),\s\do4(i＝1))xi＝()A．0 B．mC．2m D．4m答案B解析由f(x)＝f(2－x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的圖象也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，所以這兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)．不妨設(shè)x1<x2<…<xm，則eq\f(x1＋xm,2)＝1，即x1＋xm＝2，同理有x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，…，又eq\o(∑,\s\up16(m),\s\do4(i＝1))xi＝xm＋xm－1＋…＋x1，所以2eq\o(∑,\s\up16(m),\s\do4(i＝1))xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)＝2m，所以eq\o(∑,\s\up16(m),\s\do4(i＝1))xi＝m.故選B.二、填空題11．(2017·湖北孝感模擬)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．答案(－∞，0]解析f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2＋1.若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))內(nèi)有零點(diǎn)，則f(x)＝0在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))內(nèi)有解，當(dāng)－eq\f(1,2)≤x<0或0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)≤0.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]．12．(2018·九江模擬)已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果對(duì)x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))解析因?yàn)閒(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，對(duì)稱(chēng)軸x＝－(a－2)，對(duì)x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，所以討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間[－3,1]的位置關(guān)系得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2<－3，,f－3>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤－a－2≤1，,Δ<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2>1，,f1>0，))解得a∈?或1≤a＜4或－eq\f(1,2)<a<1，所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4)).13．(2017·北京豐臺(tái)期末)若f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，其中a≤b≤c，對(duì)于下列結(jié)論：①f(b)≤0；②若b＝eq\f(a＋c,2)，則?x∈R，f(x)≥f(b)；③若b≤eq\f(a＋c,2)，則f(a)≤f(c)；④f(a)＝f(c)成立的充要條件為b＝0.其中正確的是________．(請(qǐng)?zhí)顚?xiě)序號(hào))答案①②③解析f(b)＝(b－a)(b－b)＋(b－b)(b－c)＋(b－c)·(b－a)＝(b－c)(b－a)，因?yàn)閍≤b≤c，所以f(b)≤0，①正確；將f(x)展開(kāi)可得f(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ac，又拋物線開(kāi)口向上，故f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3))).當(dāng)b＝eq\f(a＋c,2)時(shí)，eq\f(a＋b＋c,3)＝b，所以f(x)min＝f(b)，②正確；f(a)－f(c)＝(a－b)(a－c)－(c－a)·(c－b)＝(a－c)(a＋c－2b)，因?yàn)閍≤b≤c，且2b≤a＋c，所以f(a)≤f(c)，③正確；因?yàn)閍≤b≤c，所以當(dāng)f(a)＝f(c)時(shí)，即(a－c)(a＋c－2b)＝0，所以a＝b＝c或a＋c＝2b，故④不正確．14．對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－ab，a≤b，,b2－ab，a>b.))設(shè)f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),16)，0))解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x，x≤0，,－x2＋x，x>0))的圖象如圖所示．設(shè)y＝m與y＝f(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大分別為x1，x2，x3.由y＝－x2＋x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，得頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).當(dāng)y＝eq\f(1,4)時(shí)，代入y＝2x2－x，得eq\f(1,4)＝2x2－x，解得x＝eq\f(1－\r(3),4)(舍去正值)，∴x1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4