2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)數(shù)列5.2等差數(shù)列5.2.2.2等差數(shù)列習(xí)題課課件

第2課時(shí)等差數(shù)列習(xí)題課核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【典例1】在等差數(shù)列{an}中,a1=25,S17=S9,求{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值.【思維導(dǎo)引】解答本題方法一:可先由條件求出公差d,進(jìn)而求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,然后借助二次函數(shù)知識(shí)求Sn的最大值.方法二:先由求出取最大值時(shí)n的值再求和.【解析】方法一:由題意得即所以Sn=25n+·(-2)=-(n-13)2+169.故當(dāng)n=13時(shí),Sn有最大值169.方法二:由方法一知所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.由所以n=13時(shí),Sn有最大值S13=169.【類題通法】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的兩種方法(1)通項(xiàng)公式法:在等差數(shù)列{an}中,當(dāng)a1>0,d<0時(shí),Sn有最大值,使Sn取到最大值的n可由不等式組確定;當(dāng)a1<0,d>0時(shí),Sn有最小值,使Sn取到最小值的n可由不等式組確定.(2)運(yùn)用函數(shù)思想求最值:Sn=n2+,若d≠0,則從二次函數(shù)的角度看:當(dāng)d>0時(shí),Sn有最小值;當(dāng)d<0時(shí),Sn有最大值;n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí),Sn取到最值.【定向訓(xùn)練】1.等差數(shù)列{an}中,a3+a10=5,a7=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則Sn的最大值為(

)A.1 B.19 C.60 D.70【解析】選D.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公差分別為a1,d,則所以Sn=na1+=二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為n=,因?yàn)閚∈N*,所以當(dāng)n=7時(shí),Sn(max)=70.2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S9>0,S8<0,則使得Sn取得最小值的n為 (

)【解析】選B.由S9>0,S8<0,得S9=9a5>0,所以a5>0,由S8==4(a4+a5)<0,所以a4<0,所以Sn取得最小值的n為4.探究點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的函數(shù)特征【典例2】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=33n-n2,(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2){an}的前多少項(xiàng)和最大?(3)設(shè)bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn′.【思維導(dǎo)引】(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng),也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1,d,從而求出通項(xiàng).(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值,也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號(hào)點(diǎn)求解.(3)利用an判斷哪些項(xiàng)是正數(shù),哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù),再求解,也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項(xiàng)的正負(fù)求解.【解析】(1)方法一:(公式法)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=34-2n,又當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=32=34-2×1滿足an=34-2n.故{an}的通項(xiàng)公式為an=34-2n.方法二:(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),所以{an}是等差數(shù)列,由Sn的結(jié)構(gòu)特征知解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.(2)令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,故數(shù)列{an}的前17項(xiàng)大于或等于零.又a17=0,故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大.(3)由(2)知,當(dāng)n≤17時(shí),an≥0;當(dāng)n≥18時(shí),an<0.所以當(dāng)n≤17時(shí),Sn′=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2,當(dāng)n≥18時(shí)Sn′=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544,故Sn′=

【延伸探究】1.(變條件)將例題中的條件“Sn=33n-n2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中a1=25,S17=S9”求其前n項(xiàng)和Sn的最大值.【解析】方法一:因?yàn)镾9=S17,a1=25,所以9×25+=17×25+解得d=-2.所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169.所以當(dāng)n=13時(shí),Sn有最大值169.方法二:同方法一,求出公差d=-2,所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.因?yàn)閍1=25>0,由得又因?yàn)閚∈N*,所以當(dāng)n=13時(shí),Sn有最大值169.方法三:因?yàn)镾9=S17,所以a10+a11+…+a17=0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13+a14=0.因?yàn)閍1>0,所以d<0.所以a13>0,a14<0.所以當(dāng)n=13時(shí),Sn有最大值169.方法四:設(shè)Sn=An2+Bn.因?yàn)镾9=S17,所以二次函數(shù)對(duì)稱軸為n==13,且開(kāi)口方向向下,所以當(dāng)n=13時(shí),Sn取得最大值169.2.(變條件)將例題中的條件“Sn=33n-n2”變?yōu)椤啊鼻髷?shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】a1=S1=-×12+×1=101,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1==-3n+104.因?yàn)閚=1也適合an=-3n+104,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3n+104(n∈N*).由an=-3n+104≥0,得n≤34.7.即當(dāng)n≤34時(shí),an>0;當(dāng)n≥35時(shí),an<0.(1)當(dāng)n≤34時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n;(2)當(dāng)n≥35時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn==n2-n+3502.故

【類題通法】1.在等差數(shù)列中,求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn),則從第一項(xiàng)起到該分界點(diǎn)的各項(xiàng)和為最值.(2)借助二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)求最值.2.尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法(1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn),可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用來(lái)尋找.(2)到函數(shù)y=ax2+bx(a≠0)的圖像的對(duì)稱軸距離最近的左側(cè)的一個(gè)整數(shù)或離對(duì)稱軸最近且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn).3.求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和,應(yīng)先判斷{an}的各項(xiàng)的正負(fù),然后去掉絕對(duì)值號(hào),轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問(wèn)題.【定向訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-6n,則{|an|}的前n項(xiàng)和Tn等于(

)

22-6n+18C. D.

【解析】選C.由Sn=n2-6n得{an}是等差數(shù)列,且首項(xiàng)為-5,公差為2,所以an=-5+(n-1)×2=2n-7,當(dāng)n≤3時(shí),an<0,當(dāng)n>3時(shí),an>0,Tn=

【補(bǔ)償訓(xùn)練】Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S4=S9,a1=-12.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及Sn.(2)求和:Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.【解析】(1)設(shè)公差為d,因?yàn)镾4=S9,a1=-12,所以4×(-12)+6d=9×(-12)+36d?d=2,所以an=-12+2(n-1)=2n-14,Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.(2)當(dāng)n≤7時(shí),Tn=-(a1+a2+a3+…+an)=-Sn=13n-n2,當(dāng)n≥8時(shí),an>0,Tn=-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)+(a8+…+an)=Sn-2S7=n2-13n+84.綜上,Tn=

探究點(diǎn)三等差數(shù)列的綜合應(yīng)用【典例3】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)設(shè)bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.【思維導(dǎo)引】(1)借助已知Sn求an公式,利用等差數(shù)列的定義an-=常數(shù)來(lái)證.(2)先求出Sn,bn,觀察發(fā)現(xiàn)運(yùn)用裂項(xiàng)法求和.【解析】(1)①當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=解得a1=1.②當(dāng)n≥2時(shí),由得即又因?yàn)閍n+>0,所以an-=1(n≥2).所以{an}是以1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知an=n,所以所以Tn=b1+b2+b3+…+bn==【類題通法】裂項(xiàng)相消法求和當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)是分式形式,分母是兩個(gè)式子的乘積,且兩個(gè)式子的差為常數(shù),這時(shí)可以把通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差,如在求和時(shí),中間很多項(xiàng)都會(huì)相互抵消,只剩首尾若干項(xiàng),從而求出數(shù)列的和.【定向訓(xùn)練】在等差數(shù)列中,a1=8,a3=4.(1)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最大值及使得Sn最大的序號(hào)n的值;(2)設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)之和,求Tn.【解析】(1)等差數(shù)列的公差所以an=10-2n,

=于是當(dāng)n取4或5時(shí),(2)所以【補(bǔ)償訓(xùn)練】Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知an>0,=4Sn+3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.【解題指南】(1)根據(jù)an+1=Sn+1-Sn及+2an=4Sn+3確定{an}的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)法求和.【解析】(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3,可得+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)==(an+1+an)(an+1-an),由于an>0,可得an+1-an=2,又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=2n+1.

(2)由an=2n+1可知

設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則Tn=b1+b2+…+bn===【課堂小結(jié)】

課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為(

)

【解析】選8=S8-S7=